Die Elemente der Planimetrie in ihrer organischen Entwickelung: Lehrbuch für jede Schule

68 Pages·1883·2.991 MB·German

by  Dr. E. Schindler (auth.)

!lit
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in
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Dr. (ffj. tdJhtbln,
\lltofeffor am ~oa~mBt~al'fclielt @~mttafium au 18etlin.
II. ~tufe:
~it wirklitl]t ®d"t btr Jmfiingt btr ~igurtn.
~ediu.
met fag 1.1 0 n S u f i 11 £l ~ 1J tin get.
1883.
2. J6teiCIIlIg:
IDic jfumgtucu! bct ~[mfiingc bet .:lFigunn.
I. ~a~ ~teiecf.
@Stile
1. ~in $Iheied.
§ 59. IDie lBHbung einet! IDreiedt! . . . . 1 [ 73
§ 60. mie mreiede.®tihfe. . . . . . . 2 [ 74
§ 61. mie 'f)omoIl)gen mreiede,®tude. . . 2 [ 74
§ 62. mle lBe3le'f)ungen ber mrelede,®tiide . 3 [ 75
§ 63. mle ®citen . . . . . . 3 [75
§ 64. mlc m5lnfeI . . . . . . 3 [ 75
§ 65. mle ®eitcn unb m5lnfe1 . . 5 [ 77
§ 66. SUlci gIcic'f)e mreied£l,®tfide . 5 [ 77
§ 67. SUlci ungleic'f)e mreieda,®tfide 6 [ 78
mic ,ltonftruHion dnes mrdeds aua mreieda,@:)tiiden.
§ 68. IDie geometrifc'f)e llrnaIl)fe . . . . . . . . . .. 7 [79
§ 69. mie @runb,llrufgaben beg mreled(l. . . . . . .. 8 80
§ 70. maG IDreied unb bie ~inien bet ~bene . . . . .. 16 88
2. IDat! IDreied unb feitlC :!rant!tlCtfalen.
§ 71. IDle ®l)mmetmlen . . 16
~
§ 72. IDie m5infeI'f)aIbierenben 17 8898
§ 73. IDie .j)o'f)en. . . . . 17 89
3. IDaG IDreied unb ber ,ltrei£l.
§ 74. IDaG ®e'f)nen,IDreied 18 f 90
§ 75. maG :!angenten,mreied 20 92
IDie >Sergldc'f)ung ber IDreiede.
§ 76. IDie >Sergleic'f)ung im aUgemeinen . . . 22 [ 94
§77. IDie ,ltOngruen3'®1i~e . . . . . . . 22 [ 94
§ 78. IDreiede mit 3Ulei ~Mren gIeic'f)er ®tude 26 f 98
§ 79. IDreiede mit einem ~Mr gleic'f)er ®tfide . 27 ~l9
IDie IDreieds,llrrfen.
§ 80. ~inleitung . 28 [100
IV
@ieite
1. IDas g leid)f d)enflig e IDreielf.
§ 81. IDie IDreielfs,<5tUcl'e .
1""
§ 82. IDie <5eiten 29 101
§ 83. IDie IDSinfel 2289 101
§ 84. IDie ®runb,&ufgaben 30 102
IDie %ransl.lerfalen bes gleid)fd)enUigen IDreielfs.
§ 85. IDie <5l)mmetmlen . . 30
§ 86. IDie IDSinfeIl)albierenben 31 f110023
§ 87. IDie ~iil)en. . . . . 31 [103
§ 88. IDie <5d)lI)erlinien . . 32 [104
IDie mergI ei d)ung ber gleid)f d)enfligen IDre ielfe.
§ 89. IDie Sb)ltgrueu3,<5ii~e . . . . . . . . . . . . 33 [105
§ 90. ®leid)fd)enflige IDreielfe mit einem ~aar gIeid)er <5tihfe 33 [105
2. IDas gIeid)feitige IDreielf.
§ 91. IDie IDreielfs.<5tUcl'e . 34
§ 92. IDie %mnsl.lerja(en 35 f110076
II. ~a~ ~imlf.
§ 93. IDie milbung bes mimlfa 36
f108
§ 94. IDie mierelfa,<5tiilfe. . . 37 109
§ 95. IDie l)omologen mierelfa,®tfrlfe 38 [110
§ 96. IDie IDSinfel 38 110
§ 97. IDie IDiagonalen. . . 38 f[1I1ll0
§ 98. IDas <5el)nen,mierelf . 39
§ 99. IDas %angenten,mieretf 40 112
IDall %ralJe3.
§ 100. IDie IDSinfel 42 [114
§ 101. IDie IDiagonalen. . 42 (114
§ 102. ~onftruftion unb ~ongruen3 . 43 f115
§ 103. IDas <5el)nen,%rape3 43 115
§ 104. IDas %angeuten,%mlJe3 44 (115
IDas ~araIle(ogramm.
§ 105. IDie <5eiteu 44 [116
§ 106. IDie IDSinfe[ 45 r117
§ 107. IDie IDiagonaleu. . . . . 46 [118
§ 108. ~amUelogramm unb ~reis . 47 [119
§ 109. ~araUelogramm unb IDreielf . 47 (119
§ 110. ~araUelogramm unb %rape3 . 48 [120
§ 111. ~araUelogramm unb mierelf. . 50 f122
§ 112. IDie &rten bes ~araUelogmmms 51 123
ID a s iRe d) t eI f.
§ 113. IDie <5eiten 52 (124
§ 114. IDie IDiagonaien . 53 [125
IDer iRl)omoutl.
§ 115. IDie IDiagonalcn . 54 [126
v
®ieite
!Das Quabrat.
§ 116. !Die !Diagonafen . 55 [127
III. n elf.
~a~
§ 117. !Die ~infef . . 55 [127
§ 118. ;Die ;Diagonalen . 56 [128
!Daß regufäre nelf.
§ 119. !Die ~infef . . . . . . 57 [129
§ 120. !Das regufäre @)el)nen,nelf 57 [129
§ 121. mas regufäre %angenten,n elf 60 [132
§ 122. mer .\heiß. . . . . . . 62 [134
ISBN 978-3-642-48508-4 ISBN 978-3-642-48575-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-48575-6
Itfhtitiontn D.
§ 60. Dn mu~enminfel einee ~teied'e. I § 60. D24 ~teiede'~tude.
(ftklii:tuugtn E.
§ 59. E78 ~teif eit. § 74. E93 Umbef cf)tiebenet ~teie einee
E79 Q:d'en. ~teied'e.
E80 ~reied'. § 75. E94 me3eicf)nung bee ~n16en
§ 61. E81 .\jomologe ~teied'e'~tMe. ~reiede,Umfnnge.
§ 64. E82 ffiecf)tminfliges ~reied. E95 Q:inbefcf)riebener ~teie einee
E83 @itum1Jfminfligee ~reied'. ~reiede.
E84 @i1Ji~minmgee ~reied. § 87. E96 ~cf)merlinie eines ~reied'e.
§ 65. E85 ®ldcf);cf)enfligee ~reied'. § 91. E97 ffieguliire ~igur.
E86 ®leicf);eitigea ~reied'. § 93. E98 ~nrnllelogrnmm.
§ 70. E87 ~rnna\)erfnlen. E99 ~rn1Je3·
E88 @ie~nen'~reied'. § 94. EIOO ~ingonnlen.
E89 ~nngenten'~reied. § 103. E101 ®leicf);cf)enfligee ~tn1Jea.
§ 72. E90 me3eicf)nung bet ~infel, § 110. E102 SJ.l1itteIlinie einee :trn1Je3ee.
~nlbierenben. E9G• @icf)mer1Junft einea ~reied'a.
§ 73. E91 .\jiJ~en einee ~reiede. § 112. ElO3 ffiecf)ted.
E92 meaeicf)nung ber ~reiedtl, E104 ffi~ombu6.
.\jiJ~en. E105 Dunbrat.
lit (l)tunllrii:~t G.
§ 61. G25 .$tongruente ~reiede.
(JtomddrrlJt (jrttt O.
§ 90. 011 ~~mmetrnle fur bie @i1Ji~en gleicf);cf)enfliger ~reiede.
012 ~infel9n(6ierenbe fitr bie SJ.l1ittelpunfte bet ®runblinien gleicf).
;cf)enfliger ~reiede.
§ 113. 013 ~nrnllele fur ~unfte gleicf)er Q:ntfernung llon einer ®ernben.
VII
§ 69. GA29 I. stonftruftion cinea IDreied'a aua brei ~eiten.
GA30 II. stonftruftion cine a IDreied'a aua 3wei ~eiten unb bem bon
i~nen eingefdJloffenen .®infeL
GA31 III. stonftruftion cinea IDreied'a aua 3lllei ~eiten unb bem @legen,
lllinfel ber gril~eren bon i~nen.
GA32 IV. stonftruftion cinea IDreied'a aua 3lllci ~eiten unb bem @legen,
lllinfel ber flcineren bon i~nen.
GA33 V. stonftruftion einei3 IDreied'i3 aua dner ~eite unb ben beiben
i~r anHegenben .®infeln.
GA34 VI. stonftruftion einea IDreied'a aua ciner ~eite, cinem i~r an'
liegenben unb einem i~r gegenitberliegenben .®inleI.
§ 74. GA35 stonftruftion bea einem IDreied' um'befd)rie'benen streifea.
§ 75. GA36 stonftruftion bea einem IDreied' ein'befd)rie'benen streifea.
§ 84. GA37 stonftruftion einet! .®infeli3 gIeid) ber .piiIfte einei3 gegebenen.
§ 91. GA38 stonftruftion einea ~otea im (il;nblmnfte einer @leraben.
§ 105. GA39 stonftruftion einer $araUeIen mit Birlel unb mneaL
§ 107. GA40 lHnbere stonftruftion einer $araUelen mit BirleI unb mneaL
§ 113. GA41 stonftruftion bea geometrifd)en Drtea fitr $unfte, llleId)e bon
MN um a entfernt finb.
GA42 IDledJanifd)e stonftruftion bea geometrifd)en Drtea in GA41 •
•
2. &bteilung:
lit :fbngtntn~ btt :t'lmfiingt btt cfiguftn.
1.
~a~ ~rcicd+
I. ~in ~feied'.
§ 59. ~ i c ~ it bun 9 11 C {I ~ rc i c du,
3 ®etabe fonnen enhlJeber .paraUeI gegen, ober fic'9 in einem
ober 2 ll3unften fc'9neiben. 3m letteren ~aUe gegen 2 ®erabe
.paraUeI unb Itlerben bon ber 3 ten ®etaben in 2 ll3unften gefc'9nitten.
Sn aUen Mefen ~iiUen entftegen oe.
I / fannte msinfe1 unb mlinfe1.ll3aare.
' \ msenn 3 ®etabe fo geric'9tet
Y finb, baa fid) immet nut je 2 @e.
A .B rabe in einem ll3unfte fc'9neiben,
;0 fc'9neiben fic'9 Mefe10en nac'9 F2
3·2
§ 18 in -2-= 31l3unften, lJon
e"
I
benen 3 mal ie 2 ll3unfte in cinet
" (S)eraben Hegen.
:iDiefe 3 ®eraben fc'9Heflen cine
%fuc'ge bon aUen @ieiten cin unb oilben baget ben Umfang cinet
%igut. %ig. I.
l)(ac'9 § 6 gciflen bie ®Heber cine!3 Umfange!3 @ietten.
~78 :iD t ei f eit geiflt cine lJon 3 ®eraben oegren3te %igut.
~79 ~ Cfe n gciflen Me @ic'9nitt.punfte 31tleier lJerfc'9ieben geric'9teten
@ieiten cine!3 Umfang!3.
Fl' ~in :iDreifeit gat (nac'9 F2 § 18) 3 ~Cfen.
~80 :iD r ei e Cf gciflt cine %igur, beren Umfang 3 ~Cfen gat.
:iDer I)(ame cine!3 :iDrcieCf!3 Itlitb mit 3 gtoflen lateinifc'gen ~uc'9.
ftaoen ge f c'9ri e0 en unb in betienigen ~uc'9ftaoenfolge g def en, in
1tle!c'ger ba!3 m-uge Me 9tcigenfolge bet ~Cfen am Umfang Itlagtnimmt.
:iDa Mefe 9tci~enforge cine bo.p.peUe, entgegengefette fein fann, fo
gat iebe!3 :iDteieCf 31tl ei entg e g e ng ef et te I)( am en. @iteUt man
®~inbier, \jlianimetrie II. 1
2 r. mas mreied'. [74
fie'{) bor, bat innerljalb be£l Umfang£l ein Uljr3eiger befeftigt ift, fo
ljeitt berjenige SDreiecr£l,~(ame ,)jOfitib, beffen ~ue'{)ftabcnfoIge ber ,)jo"
fitiben SDreljung be£l Uljr3eiger£l entf,)jrie'{)t, ber anbere entgegengefette
negatib.
~(ame
3um Unterfe'{)iebe bon einem ~infel"~(amen erljaH ber SDreiecr£l"
S)1ame ein borangefteute£l SDreiecr£l"3eie'{)en.
S)1ae'{) %ig. I finb 3. ~. ,)jofHib hie ~(amen I':::, ABC, I':::, BCA,
I':::, CAB; negatib bie S)1amen I':::, BAC, I':::, ACB, I':::, CBA.
§ 60. ~ie ~rciedt\i-.$tild\C.
~in SDreiecr£l~Umfang Iatt unterfe'{)eiben 3 @;eiten. SDie I))(at~
3a lj len ber @;eiten eines SDreiecr£l ltJerben mit benjenigen ffetnen
Iateinife'{)en ~ue'{)ftaben oe3eie'{)net, ltJeIe'{)e ben groten mUe'{)ftaben
iljrer ~egenecren entf,)jre"
I .A e'{)en. SDie .2angen~~inljeit
1 ill ltJitb fortgefaffen, ltJeil
aUe @;trecren" 3aljlen aI£l
c \))Ceter "3aljIen ongegeben
ltJerben. mgt %ig. I.
~in SDreiecfs ~ Umfang
~----L~L.::-L-_~a~ __l. :.:;3=-";::"B fatt ferner 3 ~infelunter~
1IC fe'{)eiben, ltJeIe'{)e innerljaIb
me
be£l Umfang£l Hegen. SDie at 3a lj Ie n ber inneren eine£l
~infe{
SDreiecr£l luerben bure'{) biejenigen fIeinen griee'{)ife'{)en mUe'{)ftaben be"
3ete'{)net, ltJeIe'{)e ben grot en mUe'{)ftaben iljm @;e'{)eiteI1Junfte entf,)jtee'{)en.
SDie ~infeI"~inljeit 10 ltJitb fortge1affen, ltJen aUe ~infcI"3aljIen oI£l
~rab"3aljlen ongegeben ItJcrben. mgt %ig. I.
~in SDreiecrs"Umfang Iatt aue'{) foIe'{)e ~infef unterfe'{)eiben, ltJefe'{)e
bie ffUe'{)tung eine£l inneren @;e'{)enfeI£l mit bet entgegengefetten 9lie'{)"
tung be£l folgenben birbet. Li. AC1If in %ig. I.
~ u f3Cn" ~ i nl e{ eine£l SDreiecr£l l)eitt berjenige SDtciecr£l"~infe1,
ltJeIe'{)en bie 9lie'{)tung cines inneren @;e'{)enfel£l mit ber entgegenge"
feb ten 9lie'{)tungbes folgenben bilbet.
Fl' Seber ~uten"~infel eine£l SDreiecr£l birbet mit bern an"
Hegenben Snnen~~infeI ein ~(ebenltJinfeI~ll5aar.
SDreiecr£l~ @;tucre ljeiten bie @;eiten unb ~infeI eine£l SDreiecr£l"
Umfang£l.
§ 61. ~omologe ~reiedt\i-.$tiidte.
$tongruente SDreiecre finb gIeie'{).
Fl' @Ieie'{)e SDreiecre ljaben gIeie'{)e @;eiten unb gIeie'{)e ~infeI.
SDie enif,)jree'{)enb gIeie'{)en @;tucre gIeie'{)er SDreiecre finb baron
75] § 61. ~DmDIDge IDreied'a,@)ti\cfe. - § 64. IDie lffiinfeI eineG IDreied'a. 3
erfennbar, bat hie entftJtec'f)enb g1eic'f)en @leiten entftJrec'f)enb g1eic'f)e
@egenttlillM unb entftJrec'f)enb
I A gXeic'f)e ~infe1 entftJtcc'f)cnb gleic'f)e
@egenfeiten 1)aben. mgL 'iJig. 1.
~81 S) 0 mole 9 e @ltilcre 1)ei"
ten in fongruenten SDreieden
bie @egenfeiten gfeic'f)er m3inM
unb bie @egenttlinfe1 gleic'f)er
@leiten.
F Sn fongruenten :!lteiecren
2'
finb hie gomologen @ltiicre ein"
anber gleic'f).
§ 62. ~ie ~t)ie~lIn9cn bet" ~reicdts-.$tiidte.
:iDie @ltiicre eine!3 :!lreiecf!3 befte1)en in @leiten unb m3infe1n. :!lie
gegenfeitigen ~e3ie1)ungen bet :!lreiecr!3"@ltucre fonnen ba1)er bteifac'f)
betfc'f)ieben fein.
1. @egenfeitige ~e3ie1)ungen ber @le He n.
2." " " m3infeI,
3." " ,,@leHen un b m3in fe!'
§ 63. ~ie .$eitcn bes ~reiedts.
H. @egeben 6,. ABC mit ben @litecren feinet @leiten BC = a,
CA = b, AB = c. 'iJig. I.
B. ~ac'f) G6 § 10 ift b + c > a,
A I c+a> b,
a+b> c.
:!la fernet b + c > a, fo f01gt,
c \1.1enn man aUf beiben @leiten b abi}ie1)t,
c > a - b ober a - b < c.
~benfo ift a + b > c. 'iJ01gHc'f)
C '------'<--::-0- -- B boubrec'tf ) c@ -lubat ra<ft iobn; bofon1 gUac:'f ) bb u>rc 'f) c @-luba"
itaftion bon b: a> c - b obet c - b < a.
Th. c + b > a c - b < a,
c + a > b unb c - a < b,
a + b > c a - b < c.
Sn einem :!lreiecf ift bie @lu mm e bon 2 @leiten ftet!3 gtotet
al!3 bie brUte @leite, unb hie :!lifferena bon 2 @leiten ftet;3 Heiner
a1;3 bie brUte @leite.
§ 64. ~ie ~inkel tines ~rticdt&.
H. @egeben 6,. ABC mit feinen msinfe1n A BAC = A lX,
A ABC = A fJ, A ACB = A y. 'iJig.1.
1*
4 1. ~ai3 ~reiecf. [76
B. Um bie S)teied!3~m3infef mit oefannten m3inM45aaten tJet~
gfei~en au fiinnen, fonfttuiete man but~ A bie ®etabe JlrfN II BC.
lDann ift A JlrfAC = A ACB = A y af!3 m3e~fehtJinfef,
A NAB = A ABC = A f1 af!3 m3e~fehtJinfeL
~orgfi~ A a + A fJ + A Y =
+ +
I A JlrfAC A a A BAN=
2R.
-M-------------iAy) ;7iij""N---------- Th. A a + A fJ + A Y =
2R.
lDie @)umme bet btei inueten
m3 in f ef eine!3 lDteied!3 ift ftet!3
grei~ 2 lRe~ten.
Fl' m3enn in einem lDteiede 2
L..::--------1!!A3~B m3infef oefannt finb, fo ift bet
btitte m3infe! bUt~ fie oeftimmt.
H. ®egeoen 6. ABC mit feinen 3 inneten lDteied!3~m3inMn
unb einem ~utenltJinfe1 A ABM. ~ig. II.
B. Um ben ~utemlJinfe{ A ABM mit ben imteten lDteied!3~
m3infefn but~ befannte m3infeI45aate in meaieljung au btingen,
fonfttuiete man but~ B hie ®etabe B P II CA. lDann ift
A ABP = A BAC = A a a{!3 m3e~fehtJinfef,
A P BM = A ACB = A Y a{!3 fonef1Jonbente m3infef.
+
~oIgfi~ A ABM= A ABP+ A PB1V!= A a A y.
~o{gfi~ AABM- A a = A y.
Th. A ABM = A a + A Y unb A ARM - A a
=Ay·
S)(un flnb A a unb A Y biejenigen Snnen~m3infet bc!3 lDteied!3,
ttJef~e bem ~uten~
J[ ttJinfef A A B M
A
ni~t a{!3 S)(eoen~
ttJinfe1 anfiegen, ttJie
A fJi fobann ift bet
mettJei!3 filt ieben
anbeten ~utenttJin~
fer betfefbe.
lDet ~uten~
B ttJinfe! eine!3 lDtei~
ed!3 ift ftet!3 grei~
bet @)umme bet oeiben i~m ni~t anHegenben Sunen~m3infefi unb
bet Untetf~ieb eine!3 ~utenttJinfeI!3 unb eine!3 iljm ni~t anIiegenben
Snnen~m3infef!3 ift ftet!3 grei~ bem anbeten iljm ni~t anfiegenben
Snnen~m3inM.
Fl' lDet ~utenttJinfeI etne!3 lDteied!3 ift ftet!3 gtiitet af!3 ein iljm
ni~t anfiegenbet Snnen~m3infeL