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Die Bewertung von Zinsoptionen
GABLER EDITION WISSENSCHAFT
Ulrich Walter
Die Bewertung
von Zi nsoptionen
Mit einem Geleitwort
von Prof. Dr. Wolfgang Bühler
DeutscherUniversitätsVerlag
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsoufnohme
Walter, Ulrich:
Die Bewertung von Zinsoptionen / Ulrich Walter.
Mit einem Geleitw. von Wolfgong Bühler.
-Wiesbaden: 01. Univ.-Vlg. ; Wiesbaden: Gabler, 1996
(Gabler Edition Wissenschaft)
Zugl.: Mannheim, Univ., Diss., 1995
ISBN 978-3-8244-6227-8 ISBN 978-3-322-97713-7 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-97713-7
Der Deutsche Universitäts-Verlag und der Gabler Verlag sind Unternehmen der
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Gabler Verlag, Deutscher Universitöts-Verlag, Wiesbaden
© Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler GmbH, Wiesbaden 1996
Lektorat: Claudia Splittgerber
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betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften.
Geleitwort
Eines der erfolgreichsten Gebiete der Mikroökonomie stellt die Bewertung derivativer
Instrumente dar. Die auf Black und Scholes zurückgehende, formal und ökonomisch
anspruchsvolle Theorie zur Bewertung von Aktienoptionen wurde unmittelbar nach
ihrer Publikation von Optionshändlern eingesetzt und wird seitdem weltweit ange
wandt.
Die Bewertung von Zinsderivaten stellt im Vergleich zu Optionen auf Aktien eine
wesentlich schwierigere Aufgabe dar. Die wichtigste Ursache hierfür ist die unter
schiedliche Dimensionalität des Instrumentes, das diesen Optionen zugrunde liegt.
Während es bei Aktienoptionen genügt, den stochastischen Kursverlauf einer ein
zelnen Aktie zu modellieren, ist für eine konsistente Bewertung von Optionen auf
Zinsinstrumente das stochastische und arbitragefreie Verhalten der gesamten Zins
strukturkurve und damit eines im Grundsatz unendlich dimensionalen stochasti
schen Prozesses zu beschreiben.
Diese höhere Komplexität der Problemstellung ist die Ursache, daß für die Bewer
tung von Zinsderivaten kein vergleichsweise elegantes und robustes Modell wie für
Aktienoptionen zur Verfügung steht. Nach dem heutigen Wissensstand wird ein
derartiges Modell auch nicht zu entwickeln sein. Die hohe Kunst besteht vielmehr
darin, die vielfältigen Aspekte, die bei der Bewertung von Derivaten auf Zinssätze
oder Anleihen zu beachten sind, geschickt auszubalancieren. Hierzu zählen die
vollständige Berücksichtigung der aktuellen Marktinformationen über Zins- und Vo
latilitätsstrukturen, die arbitragefreie und realitätsgerechte Modellierung der Sto
chastik der Zinsstrukturkurve, die Reduktion der Zinsstrukturentwicklung auf we
nige Einfiußfaktoren und die numerische Lösung der komplexen Bewertungsgleichung
in kurzer Zeit.
Herrn Walter ist mit seiner Dissertationsschrift diese Balance in hervorragender
Weise gelungen. Er zeigt, welche Konsequenzen mit einer möglichst exakten Schät
zung der Zinsstrukturkurve für die Marktpreise des Risikos und die Volatilitäten von
VI
Zinssätzen verbunden sind. Er arbeitet weiter die Probleme bei der Schätzung der
stochastischen Prozesse verschiedener Zinssätze unter Verwendung der Maximum
Likelihood-Methode heraus und zeigt, welche Zinssätze als Faktoren zur Beschrei
bung des Übergangsverhaltens von Zinsstrukturkurven am besten geeignet sind.
Das von ihm entwickelte 2-Faktoren-Modell, das auf den Erfahrungen für die ba
lancierte" Anwendung verschiedener I-Faktoren-Modelle beruht, besitzt alle für die
Untersuchung von Finanzmärkten wesentlichen Merkmale. Es stellt ein theoretisch
anspruchsvolles und dennoch praktisch einsetzbares Bewertungsmodell dar. Seine
Erklärungsgüte für beobachtete Preise von Zinswarrants ist vergleichbar mit der von
Modellen zur Bewertung von Aktienoptionen. Mehr ist nicht zu erwarten.
Prof. Dr. Wolfgang Bühler
Vorwort
Längst hat die Kapitalmarkttheorie ein mathematisches Niveau erreicht, daß selbst
ein abgeschlossenes Mathematikstudium keine Gewähr mehr dafür bietet, alle für
das Verständnis notwendigen mathematischen Grundlagen erworben zu haben. Für
Wirtschaftswissenschaftler hat dies zwei Konsequenzen: Zum einen sind sie gezwun
gen, ihre mathematischen Kenntnisse deutlich zu erweitern, sofern sie nicht klas
sische ökonomische Problemstellungen wie die Bewertung von Finanztiteln reinen
Mathematikern überlassen wollen. Zum anderen liegt der Schwerpunkt der betriebs
wirtschaftlichen Forschung in diesem Themenbereich verstärkt in der Umsetzung
und Anwendung der theoretischen Ansätze unter Berücksichtigung der realen öko
nomischen Rahmenbedingungen.
In diesem Sinn ist auch die vorliegende Arbeit weniger dem Bereich der Grundla
genforschung, sondern vielmehr dem Gebiet des Financial Engineering zuzuordnen.
Infolgedessen wurde bei der Darstellung theoretischer Grundlagen auf eine elegante
und mathematisch rigorose Formulierung mit Hilfe der Maßtheorie verzichtet. Statt
dessen wurde versucht, die zentralen Einsichten und Zusammenhänge, soweit wie
möglich, auf weniger formale Weise abzuleiten.
Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftlicher
Mitarbeiter am Lehrstuhl für Finanzierung der Universität Mannheim. Herrn Pro
fessor Dr. Wolfgang Bühler gilt mein Dank für die Überlassung und Betreuung eines
sehr interessanten und aktuellen Themas. Sein außergewöhnliches Analysevermögen
hat sicherlich wesentlich zur Qualität dieser Arbeit beigetragen. Herrn Professor
Dr. Martin Schader danke ich für die Übernahme des Korreferats.
Des weiteren bin ich meinen Kolleginnen und Kollegen zu Dank verpflichtet. Be
sonders sei an dieser Stelle Dr. Michael Berendes, dessen ausgeprägte ökonomische
Intuition mir in zahlreichen Situationen hilfreich war, Dr. Alexander Kempf und
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last, not least Dr. Marliese Uhrig für die kreative Zusammenarbeit gedankt. Nicht
zuletzt diese konstruktive, von fachlichen Diskussionen begleitete Kooperation war
es, die meine Freude am wissenschaftlichen Arbeiten begründete. Ferner möchte ich
mich bei Dipl.-Kfm. Andrea Dube, Dipl.-Kfm. Ulrich Müller, Dipl.-Kfm. Andreas
Schmidt und Dr. Michael Schulze sowie Frau Annemarie Marte für die durch ein
freundschaftliches Verhältnis geprägte Zusammenarbeit bedanken.
Den Professoren Dr. Rainer Schöbel und Dr. Siegfried Trautmann danke ich für
das Interesse, das sie Teilen der Arbeit bereits zu einem relativ frühen Zeitpunkt
entgegengebracht haben. Darüber hinaus schulde ich Herrn Dr. Sven BarteIs Dank
für seine Unterstützung bei dem im Rahmen dieser Arbeit vorgestellten Verfahren
zur Schätzung von Zinsstrukturkurven.
Schließlich stehe ich in der Schuld von Frau Dr. Susanne Hübsch. Ohne ihr Verständ
nis und Entgegenkommen wäre die vorliegende Arbeit sicherlich nicht in dieser Zeit
entstanden.
Ulrich Walter
Inhaltsverzeichnis
1 Einleit ung 1
2 Grundlagen einfaktorieller Zinsmodelle 10
2.1 Einführung .......... . 10
2.2 Arbitragefreiheit ....... . 13
2.3 Eigenschaften der Anleihepreise 15
2.4 Eigenschaften spezieller Zinsprozesse 19
2.5 Komparativ-statische Analyse der Zinsstruktur 23
2.5.1 Parameter des Zinsprozesses ..... . 24
2.5.2 Risikoeinstellung der Marktteilnehmer 32
2.5.3 Momentanzinssatz ... 32
2.5.4 Form des Zinsprozesses 37
2.5.5 Form des Marktpreises des Risikos 37
2.6 Analyse der Volatilitätsstruktur ... 39
2.6.1 Parameter des Zinsprozesses . 44
2.6.2 Momentanzinssatz ..... . 44
2.6.3 Risikoeinstellung der Marktteilnehmer 45
2.6.4 Form des Zinsprozesses ..... . 46
2.6.5 Form des Marktpreises des Risikos 47
3 Anpassung an die beobachtete Zins- und Volatilitätsstruktur 51
3.1 Anpassung an die aktuelle Zins struktur .... 53
3.1.1 Generelle Möglichkeiten der Anpassung 55
3.1.2 Numerisches Verfahren. 58
3.2 Analyse der Risikoeinstellung 63
3.2.1 Parameter des Zinsprozesses . 65
3.2.2 Form des Zinsprozesses ... 68
3.2.3 Form des Marktpreises des Risikos 69
3.2.4 Form der Zinsstruktur . . . . . . . 69
3.3 Berücksichtigung der Volatilitätsstruktur . 74
x INHALTSVERZEICHNIS
4 Analyse der Optionswerte 81
4.1 Variation einzelner Parameter und Einflußgrößen 85
4.1.1 Parameter des Zinsprozesses . 86
4.1.2 Anleihekurs ........ . 88
4.1.3 Optionsfrist . . . . . . . . . 94
4.1.4 Restlaufzeit des Underlying 94
4.1.5 Kurzfristiger Zinssatz ... 96
4.2 Einfluß der Form des Zinsprozesses und der funktionalen Gestalt des
Marktpreises des Risikos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 98
5 Schätzung der Zinsstruktur und der Beziehungen der Zinssätze 108
5.1 Verfahren zur Schätzung der Zinsstruktur 109
5.2 Empirische Studie ............. 117
5.2.1 Güte des Verfahrens . . . . . . . . 118
5.2.2 Volatilitäten und Korrelationen der Zinssätze 130
6 Schätzung der Zins prozesse 141
6.1 Maximum-Likelihood-Methode 144
6.2 Simulationsstudie ...................... . 146
6.3 Simulationsgestützte Verbesserung des Schätzergebnisses . 152
6.4 Empirische Stlldie ............... . 153
6.4.1 Entwicklung des kurzfristigen Zinssatzes. 153
6.4.2 Entwicklung des langfristigen Zinssatzes . 159
6.4.3 Entwicklung des Spreads der Zins struktur 162
7 Zwei-Faktor-Modell 165
7.1 Die Modellierung mehrfaktorieller Ansätze . 166
7.2 Entwicklung des Zwei-Faktor-Modells 169
7.2.1 Komparativ-statische Analyse der Zins struktur 173
7.2.2 Anpassung des Modells an die aktuelle Zinsstruktur 178
7.2.3 Komparativ-statische Analyse der Optionswerte 184
8 Empirische Analyse von Anleiheoptionen 198
8.1 Datenbasis .......... . 199
8.2 Bestimmung der Modellwerte 199
8.3 Empirische Ergebnisse . . . . 202
9 Zusammenfassung und Ausblicke 212
Literat urverzeichnis 214
