Didaktik mathematischer Probleme und Aufgaben

223 Pages·1980·4.981 MB·German

by  Georges Glaeser (auth.), Georges Glaeser (eds.)

Georges Glaeser (Hrsg.)
Didaktik
Mathematischer Probleme
un d Aufgaben
r--
Aus dem Programm
Didaktik der Mathematik
Grundfragen des Mathematikunterrichts,
von E. Wittmann
Didaktik der Mathematik,
von J. van Dormolen
Der Mathematikunterricht in der Primarstufe,
von G. Muller und E. Wittmann
Didaktik
mathematischer Probleme und Aufgaben,
von G . Glaeser (Hrsg.)
Fehleranalysen,
von H. Radatz
I nsel der Zahlen,
von D. E. Knuth
Beweise und Widerlegungen,
von I. Lakatos
"'----- Vieweg ------------------'"
Ceorges Claeser (Hrsg.)
Didaktik
mathematischer Probleme
und Aufgaben
Mit 162 Bildern
Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig / Wiesbaden
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Didaktik mathematischer Probleme und Aufgaben
Georges Glaeser (Hrsg.). [Obers. u. bearb. von Gerd Walther).
Braunschweig, Wiesbaden: Vieweg, 1980.
Einheitssacht.: Le livre du probleme <dt.) Teilausg. d. Orig.-Werks.
ISBN-13: 978-3-528-08395-3 e-ISBN-13: 978-3-322-84092-9
DOl: 10.1007/978-3-322-84092-9
NE: Glaeser, Georges [Hrsg.); Walther, Gerd [Bearb.); EST
Titel der franzosischen Originalausgabe:
Le livre du probleme
Vol. 1: Pedagogie de I'exercice et du probleme (deuxieme edition), © 1976
Vol. 3: A propos d'un theme mathematique: la parite © 1973
Vol. 6: Geometrie d'incidence © 1976
Verlag CEDIC, Paris
Obersetzt und bearbeitet von Dr. Gerd Walther
Verlagsredaktion: Alfred Schubert
1980
Aile Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH Braunschweig, 1980
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Satz: Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig
ISBN-13: 978-3-528-08395-3
v
Vorwort zur deutschen Auflage
Die ersten I REMs (Instituts de Recherche sur I'enseignement des mathematiques) wurden
in Frankreich 1969 in der Absicht gegriindet, die mit der Einflihrung neuer Lehrplane er
forderlichen padagogischen Innovationen zu erproben und die Lehrer bei der Obernahme
ihrer neuen Aufgaben zu unterstiitzen; ferner wurden Unterrichtsmaterialien herausgegeben
und Grundlagenforschungen zum mathematischen LernprozeS unternommen.
Aufgrund einer flexiblen Organisationsstruktur war es moglich, daS an den I REMs Mathe
matiker, Lehrer, Psychologen, Linguisten, Statistiker, usw. zusammenarbeiten konnten.
GegenUber den zustiindigen Behorden der "Unterrichtsverwaltung" waren die Teams weit
gehend autonom, so daS eine Reihe padagogischer Vorschlage auch in Frage gestellt wer
den konnte. Gegenwartig sind die weitere Konsolidierung, die Unabhangigkeit und sagar
die Existenz der IREMs ernstlich durch das Kultusministerium bedroht. In einem der Pro
jekte des StraSburger I REM wurde das sechsbandige1) "Livre du Probleme" erarbeitet, von
dem nun die Bande 1, 3 und 6 den deutschsprechenden Kollegen vorgestellt werden.
Das Werk soli Mathematiklehrern Impulse vermitteln, Anregungen liefern, und ist als Ar
beitsmittel fUr Lehrer gedacht. Insbesondere geht es urn die didaktische Funktion von
Aufgaben und Problemen und deren Anpassung an padagogische Ziele. Obungsaufgaben,
Priifungsaufgaben oder Probleme fUr die Mathematikolympiade dienen unterschiedlichen
Zwecken und mUssen daher unterschiedlich abgefaSt und eingesetzt werden. 1m ersten Teil
wird diese Vorstellung an Hand zahlreicher Beispiele eingehender ausgeflihrt.
In den folgenden Teilen werden diese Ideen in·verschiedenen mathematischen Themenbe
reichen angewandt: diese Themen fligen sich i. a. jedoch nicht unmittelbar in die offiziellen
franzosischen, deutschen oder anderen Lehrplane ein; stehen ihnen aber genUgend nahe,
so daS ein phantasievoller Padagoge sie im Sinne einer aktiven Padagogik etwa im Stile von
Celestin Freinet, Martin Wagenschein oder Israel Wittemberg fruchtbar machen kann.
Mit ein wenig Phantasie und Initiative kann der deutschsprachige Lehrer das vorliegende
Material auf seine individuelle Unterrichtspraxis abstimmen.
Die einzelnen Teile des Werkes werden durch eine Einleitung eroffnet, die jeweils die pada
gogischen In tentionen darlegt.
1) Der siebte Band dieser Reihe ist eine Obersetzung aus dem Russischen: das "Livre du probleme de
Physique" des beriihmten Physikers Kopitzo. Ein elementar gehaltenes "Livre du probh~me .....
ist in Vorbereitungi es wird von einer Gruppe unentgeltlich arbeitender Physiker in Verbindung mit
dem I REM erstellt.
VI Vorwort
Das vorliegende Werk ist Ergebnis von Teamarbeit. Mehr als vierzig Mitarbeiter waren an
seiner Entstehung beteiligt. Es ist daher unmoglich, eine eindeutige Zuordnung zwischen
den Mitarbeitern und den einzelnen Abschnitten herzustellen: einige vorbereitende Studien
sind nicht in ihrer urspriinglichen Form belassen worden; dennoch haben sie bei der Er
stellung des endgultigen Textes eine wichtige Rolle gespielt.
Die Arbeit geht weiter: sie mug weitergehen, wenn die I REMs in dieser oder einer anderen
Form fortbestehen wollen. Leider gestaltet sich die Kommunikation zwischen gewissen
"Didaktik-Schulen" noch recht schwierig. Insbesondere scheint der Rhein eine schwer zu
uberschreitende "Grenze" zu sein. Die gelungene Initiative von Gerd Walther, das Livre du
ProblElme zu ubersetzen, ist ein begrugenswerter Beitrag zur Dissemination padagogischer
Gedanken.
G. Glaeser
Vorwort des Obersetzers
In einer dynamischen Padagogik des aktiven Lernens spielen Aufgaben zur Anregung der
Selbsttatigkeit des Schiilers eine zentrale Rolle. Je nach den padagogischen Absichten des
Lehrers und den yom Schuler erwarteten Aktivitaten gibt es verschiedene Aufgabentypen.
Das vorliegende Buch entwickelt hierfur ein Klassifikationsschema und gibt auf diese
Weise dem Lehrer ein methodisches Instrument zu einem differenzierten Einsatz (bzw.
Auswahl) von Aufgaben an die Hand. Der so erarbeitete didaktische Rahmen wird illustriert
an inhaltlich ansprechenden Themen: Pari tat und Inzidenzgeometrie, und kann als Versuch
gedeutet werden, Mangel der traditionellen Aufgabendidaktik (wie sie etwa von H. Lenne
aufgezeigt worden sind) zu uberwinden und zu einer ausgewogenen Vermittlung zwischen
Instruktion und Selbsttatigkeit zu kommen.
Dortmund, Dezember 1979
G. Walther
VII
Inhalt
Didaktik mathematischer Probleme und Aufgaben ................... .
1.1 Einleitung............................................ 1
1.2 Erschliegungsaufgaben. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Probleme (Kleine Forschungsaufgaben) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4 Obungsaufgaben. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16
1.5 Aufgaben zur Schulung der Prazision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21
1.6 Konkrete Handlungen - Handlungen mit konkretem Material. . . . . . . . .. 28
1.6.1 Mathematik als beobachtende und experimentelle Wissenschaft ... , 28
1.6.2 Drei Stufen der Erkenntnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28
1.6.3 Verschiedene, durch konkrete Handlungen angestrebte
padagogische Ziele ................................. 33
1.6.4 Der padagogische Status konkreter Materialien . . . . . . . . . . . . . .. 35
1.6.5 Lernspiele....................................... 36
1.7 Anwendungen der Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39
1. 7.1 Didaktische Motivation mathematischer Anwendungen . . . . . . . .. 40
1. 7.2 Das Aufstellen von Gleichungen ........................ 44
1.7.3 Das Mathematisieren ............................... . 46
1.7.4 Padagogik der fiktiven Situationen ...................... . 50
1.8 Tests 54
1.8.1 Die Selbstkontrolle ................................ . 54
1.8.2 Der unmittelbare feed-back ........•.................. 55
1.8.3 PrUfungen mit sozialen Sanktionen ...................... . 56
1.8.4 Allgemeine Prinzipien fUr die Vorbereitung von PrUfungen ...... . 57
1.8.5 Benotu ng ...................................... . 63
1.8.6 Forschungsthemen ................................ . 65
Bibliographie ............................................ . 66
Zusatzliche Literatur ....................................... . 68
2 Probleme und Aufgaben zur Pari tat ............................. . 70
2.1 Einleitung ........................................... . 70
2.2 Aufgaben ........................................... . 70
2.2.1 Gerade und ungeradere Zahlen ........................ . 71
2.2.2 Probleme Uber das HandeschUtteln ...................... . 73
2.2.3 Farbungsprobleme mit 2 Farben " ..................... . 74
VIII Inhalt
2.2.4 lerlegung von Polygonen in Parallelogramme . . . . . . . . . . . . . . .. 74
2.2.5 Das Barmixer-Problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75
2.2.6 Spiel mit drei Miinzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 75
2.2.7 Problem........................................ 76
2.2.8 Dominoprobleme.................................. 76
2.2.9 Katz und Maus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 78
2.2.10 Kauderwelsch .................................... 78
2.2.11 Das Vorzeichen von Permutationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 78
2.2.12 Das Hutmacherproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 82
2.2.13 Schach und Pari tat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 82
2.2.14 Das Schachbrett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 83
2.2.15 Das Springer-Problem ............................... 85
2.2.16 Das Damespiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87
2.2.17 Noch einmal Schach ................................ 88
2.2.18 Farbungvon Landkarten mitzwei Farben .................. 90
2.2.19 Figuren, die sich in einem lug zeichnen lassen ............. " 92
2.2.20 Punkte, Strecken, Dreiecke, lahnrader . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 94
2.3 Losungen ............................................ 96
2.4 Nachwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 103
Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 103
3 Probleme und Aufgaben zur I nzidenzgeometrie ...................... 104
3.1 Einleitung - Die Inzidenzgeometrie im Dienste einer fortschrittlichen
polykonkreten Didaktik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 104
3.2 Inzidenzstruktur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 106
3.2.1 Relationen - einmal anders ........................... 107
3.2.2 Einige theoretische Begriffe ........................... 114
3.3 Erste mathematische Gehversuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 118
3.3.1 Spiel mit Plattchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 118
3.3.2 Spiel mit Buchstaben ................................ 128
3.3.3 Die U-Bahn . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 130
3.3.4 Das Miihlespiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 134
3.4 Das Erwachen deduktiver Argumentation ................ . . . . . .. 137
3.4.1 Logisches Denken: Volistandige Aufzahlungen . . . . . . . . . . . . . .. 138
3.4.2 Semiregulare und regulare Konfigurationen . . . . . . . . . . . . . . . .. 142
3.4.3 Der schopferische Einfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 144
3.4.4 Beweis und Oberzeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 146
3.5 Minigeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 149
3.5.1 Projektive Ebenen ................................. , 149
3.5.2 affine Inzidenzebenen ............................... 157
3.6 Die Verwendung von Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 169
3.6.1 Die affine Ebene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 169
IX
3.6.2 Andere endliche affine Geometrien ...................... 174
3.6.3 Die Pappus-Konfiguration ............................ 177
3.6.4 Der Satz von Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 181
3.7 In zidenzstrukturen Uber unendlichen Korpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 187
3.7.1 AR und Ac ...................................... 187
3.7.2 Affine Inzidenzstruktur und affine R-Struktur ............... 189
3.7.3 I nzidenzgeometrie auf Zylinder und Kugel ................. 190
3.7.4 Nichteuklidische Inzidenzgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 193
3.7.5 Nicht-Desarguesche Geometrien ........................ 195
3.8 Losungen ............................................ 200
Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 213
1
1 Didaktik mathematischer Probleme und Aufgaben
1.1 Einleitung
Die Reform des Mathematikunterrichts vollzieht sich auf der ganzen Welt unter schwierigen
Bedingungen. Da von einer immer noch steigenden Schiilerzahl auszugehen ist, setzt diese
Reform eine solide Ausbildungspolitik qualifizierter Lehrer voraus. Das mindest Erreichte
sind Oberlegungen Uber liele und Methoden des Mathematikunterrichtsj dabei wurden
auch padagogische Maximen entdeckt bzw. wiederentdeckt, die so "evident" sind, daF.. sie
weder bezweifelt, noch befolgt werden.
Jedermann stimmt darin Uberein, daF.. Mathematik treiben nicht Stapeln von Kenntnissen
bedeutet: Verstandestatigkeit, Vorstellungskraft, Strenge, GrUndlichkeit und intellektuelle
Redlichkeit entwickeln sich nicht beim passiven Anhoren einer Unterrichtslektion. Den
noch besteht ein wesentlicher Teil der Vorbereitung zukUnftiger Lehrer noch immer darin,
zurechtgezimmerte, schulmeisterliche StundenentwUrfe auszufertigen, was sicher nUtzlich
sein kann, aber nur einen kleinen Ausschnitt seines spateren "Handwerks" widerspiegelt.
Der folgende Teil der Einleitung wird sich gerade mit einigen anderen Aspekten des Lehrer
handwerks beschafiigen. Dabei sollen Ansatze einer Didaktik mathematischer Probleme und
Aufgaben skizziert werden, deren liel die Weckung einer aktiven und kritischen Einstellung
der SchUler ist.
AusdrUcklich sei hervorgehoben, daF.. dieses Buch nicht einfach als Sammlung unmittelbar
im Unterricht verwendbarer Aufgaben verstanden werden darf. Die Aufgaben sind deshalb
auch nicht nach Schwierigkeitsgraden, 5()ndern nach Themen geordnet. Die endgiiltige Ab
fassung der fUr die Klasse vorgesehenen Texte bleibt noch zu tun. Der vorgeschlagene Text
ist lediglich Vehikel, der durch verschiedene Faktoren wie: Geschmack des Lehrers, Ge
schmack der SchUler in Abhangigkeit von der jeweiligen Situation, Reaktion der SchUler
auf ahnliche Aufgaben und die jeweils anvisierten padagogischen liele, modifiziert wer
den kann. Man wird ja z. B. auch eine Klassenarbeit, bei der keine Hilfsmittel zugelassen
sind, anders verfassen, als eine freiwillig zu leistende Arbeit, die der SchUler in aller Ruhe
ausfuhren kann.
Bei der Vorbereitung eines Textes konnen verschiedene Formen gewahlt werden. Gewisse
Probleme konnen z. B. mehrere Male, mit jeweils einer Woche lwischenraum, dargeboten
werdenj andere Aufgaben werden als Obungsbatterien angeboten: Dies sind Serien von
kurzen Fragen, deren didaktische Bedeutung auf der Art der lusammenstellung und den
durch sie bewirkten Leistungsfortschritt beruht.
Die yom Lehrer zu treffende Auswahl der Aufgabentexte hangt sehr stark von den gegen
wartig geltenden Lehrplanen abo Deshalb wollen wir auch gar nicht verhehlen, daF.. gewisse
Kapitel in ihrer Gesamtheit derzeit nicht zu realisieren sind. Indessen zielen unsere Unter-