Table Of ContentDidaktik des Sachrechnens in der Grundschule
Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II
Herausgegeben von
Prof. Dr. Friedhelm Padberg
Universität Bielefeld
Bisher erschienene Bände (Auswahl):
Didaktik der Mathematik
P. Bardy: Mathematisch begabte Grundschulkinder – Diagnostik und Förderung (P)
M. Franke: Didaktik der Geometrie (P)
M. Franke/S. Ruwisch: Didaktik des Sachrechnens in der Grundschule (P)
K. Hasemann: Anfangsunterricht Mathematik (P)
K. Heckmann/F. Padberg: Unterrichtsentwürfe Mathematik Primarstufe (P)
G. Krauthausen/P. Scherer: Einführung in die Mathematikdidaktik (P)
G. Krummheuer/M. Fetzer: Der Alltag im Mathematikunterricht (P)
F. Padberg: Didaktik der Arithmetik (P)
P. Scherer/E. Moser Opitz: Fördern im Mathematikunterricht der Primarstufe (P)
G. Hinrichs: Modellierung im Mathematikunterricht (P/S)
R. Danckwerts/D. Vogel: Analysis verständlich unterrichten (S)
G. Greefrath: Didaktik des Sachrechnens in der Sekundarstufe (S)
F. Padberg: Didaktik der Bruchrechnung (S)
H.-J. Vollrath/H.-G. Weigand: Algebra in der Sekundarstufe (S)
H.-J. Vollrath: Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe (S)
H.-G. Weigand/T. Weth: Computer im Mathematikunterricht (S)
H.-G. Weigand et al.: Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I (S)
Mathematik
F. Padberg: Einführung in die Mathematik I – Arithmetik (P)
F. Padberg: Zahlentheorie und Arithmetik (P)
K. Appell/J. Appell: Mengen – Zahlen – Zahlbereiche (P/S)
S. Krauter: Erlebnis Elementargeometrie (P/S)
H. Kütting/M. Sauer: Elementare Stochastik (P/S)
T. Leuders: Erlebnis Arithmetik (P/S)
F. Padberg: Elementare Zahlentheorie (P/S)
F. Padberg/R. Danckwerts/M. Stein: Zahlbereiche (P/S)
A. Büchter/H.-W. Henn: Elementare Analysis (S)
G. Wittmann: Elementare Funktionen und ihre Anwendungen (S)
P: Schwerpunkt Primarstufe
S: Schwerpunkt Sekundarstufe
Weitere Bände in Vorbereitung
Marianne Franke / Silke Ruwisch
Didaktik des
Sachrechnens in der
Grundschule
2. Auflage
Autoren
Prof. Dr. Marianne Franke†
Institut für Didaktik der Mathematik
Justus-Liebig-Universität Gießen
Prof. Dr. Silke Ruwisch
Institut für Mathematik und ihre Didaktik
Leuphana Universität Lüneburg
Wichtiger Hinweis für den Benutzer
Der Verlag und die Autoren haben alle Sorgfalt walten lassen, um vollständige und akkurate
Informationen in diesem Buch zu publizieren. Der Verlag übernimmt weder Garantie noch
die juristische Verantwortung oder irgendeine Haftung für die Nutzung dieser Informa-
tionen, für deren Wirtschaftlichkeit oder fehlerfreie Funktion für einen bestimmten Zweck.
Ferner kann der Verlag für Schäden, die auf einer Fehlfunktion von Programmen oder ähnli-
ches zurückzuführen sind, nicht haftbar gemacht werden. Auch nicht für die Verletzung von
Patent- und anderen Rechten Dritter, die daraus resultieren. Eine telefonische oder schrift-
liche Beratung durch den Verlag über den Einsatz der Programme ist nicht möglich. Der
Verlag übernimmt keine Gewähr dafür, dass die beschriebenen Verfahren, Programme usw.
frei von Schutzrechten Dritter sind. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen,
Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung
nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-
Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften.
Der Verlag hat sich bemüht, sämtliche Rechteinhaber von Abbildungen zu ermitteln. Sollte dem
Verlag gegenüber dennoch der Nachweis der Rechtsinhaberschaft geführt werden, wird das
branchenübliche Honorar gezahlt.
Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek
Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibli-
ografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar.
Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media
springer.de
2. Auflage 2010
© Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2010
Spektrum Akademischer Verlag ist ein Imprint von Springer
10 11 12 13 14 5 4 3 2 1
Für Copyright in Bezug auf das verwendete Bildmaterial siehe Abbildungsnachweis.
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung
außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages
unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikrover-
filmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
Planung und Lektorat: Dr. Andreas Rüdinger, Barbara Lühker
Herstellung und Umschlaggestaltung: Crest Premedia Solutions (P) Ltd, Pune, Maharashtra, India
Satz: Autorensatz
ISBN 978-3-8274-2042-8
Inhaltsverzeichnis
Einleitung 1
1 Sachrechnen im Wandel der Zeit 5
1.1 Sachrechnen im 19. Jahrhundert 6
1.2 Sachrechnen im Zuge der reformpädagogischen Bewegung „vom
Kinde aus“ (Anfang des 20. Jahrhunderts) 8
1.3 Sachrechnen in der Nachkriegszeit
(Mitte des 20. Jahrhunderts) 11
1.4 Sachrechnen an der Jahrtausendwende
(Ende des 20. Jahrhunderts) 17
2 Ziele und Funktionen des Sachrechnens heute 19
2.1 Spannungsfeld von Zielsetzungen im Sachrechnen 19
2.1.1 Sachrechnen als Anwenden von Mathematik 20
2.1.2 Sachrechnen als Problemlösen 22
2.1.3 Sachrechnen als Umwelterschließung 23
2.2 Funktionen des Sachrechnens 24
2.2.1 Sachrechnen als Lernstoff 25
2.2.2 Sachrechnen als Lernprinzip 25
2.2.3 Sachrechnen als Lernziel 26
2.3 Sachrechnen im Kontext der Bildungsstandards 26
2.3.1 Sachrechnen im Kontext der inhaltsbezogenen Kompetenzen der
Bildungsstandards 27
2.3.2 Sachrechnen im Kontext der prozessbezogenen Kompetenzen der
Bildungsstandards 28
3 Aufgaben zum Sachrechnen 31
3.1 Kategorisierung von Aufgaben nach der beschriebenen Situation 33
3.1.1 Sachaufgaben mit Alltagsbezug 34
3.1.2 Sachaufgaben ohne Alltagsbezug 37
3.2 Kategorisierung von Aufgaben nach dem mathematischen Inhalt 41
VI (cid:126) Inhaltsverzeichnis
3.2.1 Sachaufgaben mit arithmetischem Inhalt 41
3.2.2 Sachaufgaben mit geometrischem Inhalt 45
3.2.3 Sachaufgaben zu funktionalen Zusammenhängen 47
3.2.4 Sachaufgaben zum situationsadäquaten Umgang mit Größen 50
3.2.5 Sachaufgaben mit stochastischem Inhalt 51
3.3 Kategorisierung von Aufgaben nach der Präsentationsform 53
3.3.1 Sachrechnen in Echtsituationen: Reale Phänomene und
Projekte 54
3.3.2 Sachrechnen mit authentischen Mathematisierungen 55
3.3.3 Sachrechnen mit Bildern 56
3.3.4 Sachrechnen mit Texten 59
4 Das Lösen von Sachaufgaben 65
4.1 Mathematisches Problemlösen 65
4.1.1 Der Problemlöseprozess 66
4.1.2 Heuristische Strategien 67
4.2 Mathematisches Modellieren 69
4.2.1 Der Modellierungsprozess 70
4.3 Sachrechnen als integriertes Modellieren und Problemlösen 71
4.4 Schwierigkeiten beim Lösen von Sachaufgaben 79
4.4.1 Orientierung an Oberflächenmerkmalen als Fehlerursache 81
4.4.2 Fehlerursachen beim Modellieren 85
4.4.3 Fehler in Abhängigkeit vom unterrichtlichen Kontext 90
4.4.4 Fehlertypen 95
4.5 Bearbeitungshilfen 97
4.5.1 Bearbeitungshilfen zur Analyse der Situation 99
4.5.2 Bearbeitungshilfen zur Modellbildung 101
5 Gestaltung des Sachrechenunterrichts 111
5.1 Gestaltungsprinzipien 112
5.1.1 Gestaltungsprinzipien im Überblick 112
5.1.2 Sachrechnen von Anfang an 115
5.1.3 Sachrechnen zu sinnstiftenden Lernanlässen 119
5.1.4 Sachrechnen offen gestalten 123
5.1.5 Beim Sachrechnen über den Lösungsweg und über die Lösung
reflektieren 134
5.2 Sachrechenkompetenz gezielt aufbauen 137
5.2.1 Sachaufgaben selbst bilden 138
5.2.2 Wechsel der Repräsentationsebene bei Sachaufgaben 145
Inhaltsverzeichnis (cid:126) VII
5.2.3 Sachaufgaben verändern 155
5.2.4 Fragen zu Sachsituationen finden 156
5.2.5 Lösungen kritisch hinterfragen 159
5.3 Mit Sachtexten neue Welten eröffnen 164
5.4 Sachrechnen als Curriculum 171
6 Größen und Messen 177
6.1 Größen im Grundschulunterricht 178
6.1.1 Größen als Abstraktion 179
6.1.2 Überblick über die Unterrichtsinhalte zu Größen 182
6.1.3 Das didaktische Stufenmodell 184
6.1.4 Besonderheiten des Größenbereichs Längen 204
6.1.5 Besonderheiten des Größenbereichs Gewichte 210
6.1.6 Besonderheiten des Größenbereichs Zeit(-Spannen) 215
6.1.7 Besonderheiten des Größenbereichs Rauminhalte 225
6.1.8 Besonderheiten der bürgerlichen Größe Geld(-Werte) 231
6.2 Größenvorstellungen 235
6.2.1 Stützpunkte – die Bausteine von Größenvorstellungen 235
6.2.2 Anregungen zum Ausbilden von Größenvorstellungen 239
6.3 Schätzen 248
6.3.1 Was versteht man unter „Schätzen“ 248
6.3.2 Wann ist Schätzen sinnvoll? 249
6.3.3 Merkmale von Schätzaufgaben 251
6.3.4 Strategien beim Schätzen 254
Abbildungsnachweis 261
Literatur 267
Index 285
Einleitung
„Sachrechnen gehört wie Arithmetik und Geometrie zu den Kernbereichen
des Mathematikunterrichts der Grundschule.“ (Franke 2003, S. 1)
So beginnt die Einleitung in die erste Auflage des vorliegenden Buches. 2004
hat die Kultusministerkonferenz mit den Bildungsstandards Mathematik ver-
bindliche Kompetenzen beschlossen, die Grundschülerinnen und Grundschü-
ler am Ende des vierten Schuljahres erworben haben sollen (vgl. KMK 2004).
In diesen Bildungsstandards findet sich das Sachrechnen nicht mehr als eigen-
ständiger Inhaltsbereich neben der Arithmetik und der Geometrie. Ja, nicht
einmal das Wort „Sachrechnen“ wird in den gesamten Ausführungen über-
haupt erwähnt.
Allerdings wird der Grundgedanke des Sachrechnens – die Modellierung einer
Sachsituation mittels eines mathematischen Modells sowie die Interpretation
der mathematischen Ergebnisse in der jeweiligen Sachsituation – zu einem eige-
nen allgemeinen, prozessbezogenen Kompetenzbereich erklärt und erhält damit
ein besonderes Gewicht.
Warum heißt das vorliegende Buch dann nicht „Modellieren in der Grund-
schule“? Ließen sich mit einer derart veränderten Benennung nicht alte Diskus-
sionen überwinden, welche immer wieder um den Stellenwert des Rechnens
versus des der Sache kreisen (vgl. Kapitel 1 sowie die Erstauflage des Buches,
Franke 2003)? – Zwar greift der Kompetenzbereich Modellieren in den Bil-
dungsstandards das Herzstück des Sachrechnens auf und fokussiert auf dieses
Spannungsverhältnis von Mathematik und außermathematischer Realität, je-
doch erschöpft sich Sachrechnen nicht allein im Modellieren (vgl. in ähnlicher
Argumentation z. B. Löhr 2009). Vielmehr erweist es sich als vielfältig ver-
knüpft mit allen inhaltlichen Kompetenzbereichen ebenso wie auch mit den
anderen prozessbezogenen Kompetenzbereichen (vgl. dazu genauer Kapitel 2.4
und 3.2 sowie Löhr 2009; Ruwisch/Tiedemann 2007).
Damit ist das Sachrechnen weiterhin ausgesprochen komplex und damit
schwierig zu unterrichten wie zu erlernen. Gleichzeitig betont jedoch Müller
(2000, S. 43) zu Recht: „Übersetzung [in die Sprache der Mathematik, S. R.]
und Interpretation gestalten sich aber von Fall zu Fall anders, so daß es völlig
aussichtslos ist, dem Sachrechnen durch Klassifikation von Aufgabentypen,
durch Musterlösungen, durch Regeln oder gar durch Vorschriften für das Auf-
schreiben zu begegnen. Den Kindern wird durch solche Schemata in Wahrheit
2 (cid:126) Einleitung
nicht geholfen.“ Nach wie vor gilt es deshalb, den spontanen Lösungsansätzen
der Kinder mehr Raum zu geben, an ihren Vorkenntnissen anzuknüpfen, sie
selbst stärker in den Mittelpunkt des Unterrichts zu rücken. Darüber hinaus
entstehen in den letzten Jahren Studien, welche zeigen, dass und in welcher
Form das Handeln der Lehrperson in einem derartigen Unterricht – häufig als
Unterrichtskultur bezeichnet – wesentlich zum Erfolg im Sachrechenunterricht
beiträgt (z. B. Leiß 2007; Schneeberger 2009).
Mit diesem Band soll Studierenden für das Lehramt an Grundschulen, Lehr-
amtsanwärterinnen und -anwärtern sowie Lehrkräften in Grundschulen Hinter-
grundwissen ebenso geboten werden wie Anregung und Hilfe zur Gestaltung
des Sachrechenunterrichts und zur Arbeit mit Größen.
Zunächst erfolgt in diesem Band eine Auseinandersetzung mit dem Sachrech-
nen aus historischer Sicht. Dabei wird deutlich, dass es schon immer verschie-
dene Tendenzen zur Integration dieses Gebietes in den Mathematik- bzw.
Rechenunterricht gab. Mit Beispielen der Reformpädagogen Gerlach, Kühnel und
Kempinsky wird belegt, dass Forderungen nach Lebensnähe und Umweltbezug
nicht neu sind. Es erscheint immer noch hilfreich, diese Ideen aus der Reform-
pädagogik vor dem Hintergrund neuer Erkenntnisse über das kindliche Denken
und Lernen zu bewerten. So lässt sich ein Konzept zum Sachrechnen heute entwi-
ckeln. Geprägt ist dieses Konzept durch die Nähe zu den Kindern. Dabei wird
„Nähe“ nicht nur auf ihre sachliche Umwelt bezogen, sondern meint einen ver-
schobenen Fokus, der die bisherigen Erfahrungen, Interessen, Erwartungen
und Fantasien der Kinder ernst nimmt und sinnvoll an diesen anknüpft.
Während das Sachrechnen traditionell vorwiegend als Einkleidung und Anwen-
dung arithmetischer Inhalte gesehen wurde, verfolgt das Sachrechnen heute
verschiedene Zielsetzungen. Als Übungsfeld für die arithmetischen Kennt-
nisse wird das Anwenden der Mathematik in den Vordergrund gerückt. Mit dem
Ziel, Problemlösefähigkeiten auf- und auszubauen, wird der Bezug des Individuums
zum mathematischen Inhalt stärker in den Mittelpunkt gestellt. Letztlich wird
mit dem Ziel der Umwelterschließung die Verbindung aller drei Aspekte ange-
strebt. Damit tritt die Mathematik jedoch häufig in den Hintergrund. Das Span-
nungsfeld der Zielsetzungen sowie daraus abzuleitende unterschiedliche Funk-
tionen des Sachrechnens sowie seine Stellung im Kontext der Bildungsstandards
werden im zweiten Kapitel erläutert.
Mit der Öffnung des Sachrechnens erfolgte auch eine Erweiterung der Be-
zeichnungen von Aufgaben, ohne dass dieser Vielfalt an Aufgabentypen eine
einheitliche Systematisierung und Begrifflichkeit unterliegt. Statt eine Zuord-
nung einzelner Aufgabentypen in ein Kategoriensystem vorzunehmen, werden
im dritten Kapitel verschiedene Analysekriterien vorgestellt, anhand derer Aufga-
ben in ihren Zielen, Ansprüchen und ihrer Reichweite kategorisiert und somit
bewusst für den Unterricht ausgewählt werden können.
(cid:126) 33
Zum Lösen von Sachaufgaben entwickelt jedes Kind seinen individuellen
Weg. Dabei lassen sich bestimmte Phasen erkennen. Dieser Prozess wird im
vierten Kapitel zunächst als idealisierter mathematischer Problemlöseprozess sowie als
mathematische Modellierung beschrieben, um für das Lösen von Sachaufgaben als
Integration von Modellieren und Problemlösen spezifiziert zu werden. Das Lö-
sen von Sachaufgaben ist ein komplexer Prozess, welcher Schwierigkeiten und
Hürden aufweist und auf verschiedene Weisen zu Fehlern führen kann. Lehr-
personen, Schülerinnen und Schüler sollten sich gleichermaßen um das Verste-
hen der Gedanken anderer Kinder, das Erkennen von Fehlern, Aufdecken von
Fehlerursachen und deren Überwindung bemühen. Dazu werden im vorliegen-
den Buch Fehler in ihrem Zusammenspiel von Lernumfeld, Lerneinstellung
und individuellen Lösungsstrategien aufgeführt. Im Anschluss werden für das
Lösen von Sachaufgaben Bearbeitungshilfen aufgelistet, welche bereits in der
Grundschule thematisiert, ausprobiert und geübt werden können, da sie in den
verschiedenen Phasen des Problemlöse- und Modellierungsprozesses von Nut-
zen sein können. Da dem Übergang vom Situationsmodell als gedanklichem
Abbild der beschriebenen Situation zum mathematischen Modell ein besonde-
res Gewicht im Lösungsprozess beizumessen ist, werden diejenigen Bearbei-
tungshilfen genauer vorgestellt, welche in diesem Prozess eine Brücke zwischen
beiden bilden können.
Für die Gestaltung des Sachrechenunterrichts werden im fünften Kapitel
Gestaltungsprinzipien vorgestellt. Einige sind ausführlich beschrieben, mit Schul-
buchbeispielen verdeutlicht und durch methodische Hinweise konkretisiert. Für
einen gezielten Aufbau der Sachrechenkompetenz werden Aktivitäten zum Bilden,
Darstellen und Verändern von Sachaufgaben vorgestellt und Angebote zum
Hinterfragen und Interpretieren mathematischer Ergebnisse sowie zum Um-
gang mit verschiedenen Fragen erläutert. Sachrechnen umfasst nicht nur Sach-
aufgaben, in denen die reale kindliche Lebenswelt widergespiegelt wird. Als eine
Möglichkeit, Kindern neue Welten zu eröffnen, wird die Arbeit mit Sachtexten
thematisiert. Die Mathematik hilft dabei, den Sachverhalt besser zu verstehen
und entsprechende Vorstellungen aufzubauen. Zusammengefasst werden die
Vorschläge zur Unterrichtsgestaltung in Überlegungen zu einem Sachrechencurri-
culum.
Obwohl beim Sachrechnen neben natürlichen Zahlen immer auch Größen ein-
bezogen sind, wird im sechsten Kapitel explizit auf die Behandlung von Grö-
ßen eingegangen. Auch in diesem Kapitel erfolgt eine Auseinandersetzung mit
Sachsituationen, denn Größen können nicht losgelöst von konkreten Situatio-
nen behandelt werden. Eine Größe ist hierbei eine gedankliche Abstraktion
messbarer Eigenschaften von Dingen und Erscheinungen, z. B. „Länge“ aus
der Länge eines Stiftes, dem Durchmesser eines Tellers, der Tiefe eines Kruges
oder der Dicke eines Heftes. Die Vorstellungen der Kinder über Größen sind
an konkrete Objekte und an Sachverhalte gebunden. Ausgehend von einem
Überblick über die Größenbereiche in der Grundschule wird ein didaktisches
