Didaktik des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe II

321 Pages·1982·4.99 MB·German

by  Uwe-Peter Tietze

U.-P. Tietze/M. Klika/H. Wolpers
Didaktik des
Mathematiku nterrichts
in der Sekundarstufe 11
,..-__ Aus dem Programm _________- --.....
Didaktik der Mathematik
Lehrbücher
Grundfragen des Mathematikunterrichts,
von E. Wittmann
Der Mathematikunterricht in der Primarstufe,
von G. Müller und E. Wittmann
Didaktik des Mathematikunterrichts
in der Sekundarstufe 11
von U.-P. Tietze, M. Klika, H. Wolpers
Didaktik der Mathematik,
von J. van Dormolen
Didaktik mathematischer Probleme und Aufgaben,
von G. Glaeser (Hrsg.)
Mathematik für Lehrer in Ausbildung und Praxis,
von G. G laeser
Ergänzende Literatur
Das Schulbuch im Mathematikunterricht,
von M. Glatfeld (Hrsg.)
Fehleranalysen im Mathematikunterricht,
von H. Radatz
Insel der Zahlen,
von D. E. Knuth
Beweise und Widerlegungen,
von I. Lakatos
'-----Vieweg ----___________
Uwe-Peter Tietze
Manfred Klika
Hans Wol pers
Didaktik des
Mathemati ku nterri chts
in der Sekundarstufe 11
Friedr. Vieweg & Sohn Braunschweig / Wiesbaden
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Tietze, Uwe-Peter:
Didaktik des Mathematikunterrichts in der Sekundar
stufe 11 [zwei)/Uwe-Peter Tietze; Manfred Klika;
Hans Wolpers. - Braunschweig; Wiesbaden: Vieweg,
1982.
(Didaktik der Mathematik)
ISBN 978-3-528-08491-2 ISBN 978-3-322-91103-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-91103-2
NE: Klika, Manfred:; Wolpers, Hans:
Alle Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig 1982
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1 982
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men.
Satz: Vieweg, Braunschweig
v
Vorwort
Jeder Lehrer ist mit dem Problem vertraut, daß es eine Fülle von Kriterien fachwissen
schaftlicher, psychologischer und pädagogischer Art gibt, nach denen Lehrstoff ausge
wählt und Unterricht durchgeführt werden kann. Wir wollen mit dem vorliegenden Buch
solche Kriterien in einen Begründungs- und Zielzusammenhang bringen und damit Hilfen
für die Planung und Durchführung von Unterricht geben. Es ist nicht unser Ziel, fertige
Curricula und Kursvorschläge vorzustellen, weil wesentliche curriculare Entscheidungen
in der Verantwortung des Lehrers liegen sollten.
Die für diese Entscheidungen nötigen allgemeinen fachdidaktischen Grundlagen werden
in Teil I entwickelt. Nach unserer Auffassung ist es nicht sinnvoll, fachdidaktischen
Untersuchungen einen theoretischen Rahmen von außen her aufzuprägen, von der Lern
psychologie, der Curriculumforschung oder der allgemeinen Didaktik her. Uns ging es
darum, diesen Rahmen aus der wechselseitigen Verflechtung von fachlichen, lernpsycho
logischen und pädagogischen Perspektiven heraus zu entwerfen. Ferner war uns daran
gelegen, unterschiedliche Tendenzen und Strömungen in der Fachdidaktik kritisch darzu
stellen und in die Überlegungen mit einzubeziehen.
Die Auswahl der fachlichen Gebiete Analysis, lineare Algebra/analytische Geometrie und
Stochastik trägt den üblichen Lehrplanvorschlägen Rechnung. Nicht berücksichtigt wurde
die Informatik, und zwar im wesentlichen aus Platzgründen, aber auch wegen ihrer derzeit
ungeklärten Stellung innerhalb des Fächerkanons der Oberstufe. Die fachdidaktische
Diskussion der einzelnen Gebiete erfolgt vor dem Hintergrund der Darlegungen des Teils I.
Die Gliederungsprinzipien sind unterschiedlich, da der Stand der fachdidaktischen Diskus
sion in diesen Gebieten unterschiedlich ist. Wie in Teil I so waren auch in den Teilen II
bis IV Schwerpunktsetzungen und Verkürzungen unvermeidlich. Wir haben z. B. auf Voll
ständigkeit und Präzision der Darstellung mathematischer Inhalte dort verzichtet, wo sie
aufgrund des Kontextes nicht als notwendig erschienen. In allen Teilen des Buches haben
wir aber versucht, die Fülle des Diskussionsmaterials so aufzuarbeiten, daß dem Leser
Zugänge zu Vertiefungen von Einzelfragen geboten werden.
Zur Verbesserung der Lesbarkeit ist der gesamte Text durch Normal- und Kleindruck ge
gliedert. In Normaldruck sind die wesentlichen fachdidaktischen Teile des Textes wieder
gegeben, in Kleindruck werden in der Regel dargestellt: erläuternde Beispiele, F ach in
halte, Ergänzungen und Vertiefungen. Durch Schemata sollen Überblicke über wichtige
Problemkreise gegeben werden. Einzelnen Kapiteln des Teils I sind Diskussionsanregungen
angefügt, deren Bearbeitung Aspekte dieses Teils, aber auch ihre Verbindung zu solchen
der übrigen Teile verdeutlichen sollen.
VI Vorwort
Die Entwicklung und Darstellung unseres Konzeptes von einer Diaktik für den Mathe
matikunterricht in der Sekundarstufe II erwies sich in vielerlei Hinsicht - nicht zuletzt
wegen der immensen Informationsfülle - als eine schwierige Aufgabe. Beim Versuch, sie
zu lösen, waren kritische Hinweise von Prof. Alten, StD Baumann, Prof. Becker,
Prof. Blum, cand. phi!. Gerdes, Dr. Herget, Prof. Kahle, Dr. Lahmann, Prof. Schindler
und Dr. Sievers eine große Hilfe. Ihnen möchten wir dafür besonders danken. Für das
Schreiben des Manuskriptes danken wir Frau von Cotzhausen, Frau Hamel und Frau
Perkaus, für seine Hilfe bei der Literaturbeschaffung Herrn Dr. Winkelmann vom IDM.
Nicht zuletzt schulden wir Dank dem Verlag für sein Entgegenkommen und die ange
nehme Zusammenarbeit.
M. Klika, u.-P. Tietze, H. Wo/pers
Frühjahr 1981
VII
Inhaltsverzeichnis
Teil I: Fachdidaktische Grundfragen des Mathematikunterrichts in der
Sekundarstufe 11
(von Uwe-Peter Tietze)
Zur Analyse von Zielen 2
1.1 Zur Problematik der lernzielorientierten Curriculumentwicklung . . . . . . .. 2
1.1.1 Hinweise zur allgemeinen Curriculumforschung,
Hinweise zu fachdidaktischen Tendenzen und Strömungen. . . . . . . . . . .. 2
1.1.2 Zur Situation der gymnasialen Sekundarstufe II . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8
1.1.3 Generierung von Lernzielen für den Mathematikunterricht in der
Sekundarstufe II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 12
1.2 Allgemeine Lernziele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19
1.2.1 Unterschiedliche Ansätze zur Generierung von allgemeinen Lernzielen .... 19
1.2.2 Ein Katalog allgemeiner Lernziele ............................ 25
Schema 1.1 Daten und Fakten zur Situation des Mathematikunterrichts in der
reformierten Oberstufe ......... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9
Schema 1.2 Wichtige Gesichtspunkte zur Generierung von Lernzielen und
Zusammenhänge zwischen ihnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17
Schema 1.3 Mathematische Grundtätigkeiten im Mathematikunterricht der
Sekundarstufe II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23
Schema 1.4 Repräsentieren...................................... 29
Schema 1.5 Wichtige Ikonisierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31
Schema 1.6 Wichtige Teilqualifikationen des Formalisierens in der
Sekundarstufe II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32
2 Begriffs- und Regellernen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32
2.1 Das Lernen von Begriffen und Regeln aus psychologischer Sicht ...... .. 33
2.2 Besonderheiten beim Lernen mathematischer Begriffe und Regeln . . . . . .. 36
2.2.1 Unterschiedliche Formen mathematischer Begriffsbildung ... . . . . . . . .. 36
2.2.2 Formen des Elementarisierens und Zugänglich-Machens . . . . . . . . . . . . .. 37
2.3 Fundamentale Ideen im Mathematikunterricht .................... 41
2.4 Zur Frage der Lehrverfahren - einige Konsequenzen aus kognitiven
Theorien des Lernens .................................... 44
2.4.1 Zur Gegenüberstellung: entdeckenlassendes Lehren
versus expositorisches Lehren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44
2.4.2 Ausubels Verfahren des expositorischen Lehrens .................. 45
2.4.3 Verfahren des entdecken lassenden Lehrens im Sinne von Bruner . . . . . . .. 46
VIII In haltsverzeichn is
3 Problem lösen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48
3.1 Art und Funktion von Problemaufgaben ........................ 49
3.2 Heuristische Verfahrensregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51
3.3 Die Förderung von Problemlösefähigkeiten im Mathematikunterricht,
methodische Hinweise zur Vermittlung von heuristischen Regeln. . . . . . .. 62
3.4 Empirische Untersuchungen zum Problemlösen ................... 65
Schema 3.1 Charakteristische Aspekte von Problemaufgaben ................ 49
Schema 3.2 Welche Funktion hat die Problemaufgabe im Unterricht? . . . . . . . . .. 51
Schema 3.3 Wie sucht man die Lösung? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54
Schema 3.4 Planungsschema zum Problemlösen ........................ 64
4 Beweisen im Mathematikunterricht ................. . . . . . . . . .. 68
4.1 Form und Ziele des Beweisens im MU .......................... 69
4.2 Exemplarische Analyse von Beweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73
4.3 Beweisen: Nachvollziehen oder Selbstfinden ..................... 77
Schema 4.1 Gedankliche Abfolge beim Begründen von Sätzen. . . . . . . . . . . . . .. 71
Schema 4.2 Kriterien für einen didaktisch optimalen Beweis . . . . . . . . . . . . . . .. 76
Schema 4.3 Kontrolle des Beweisverständnisses ........................ 78
Schema 4.4 Bewertungskriterien für Schülerbeweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 79
5 Ergänzung: Einige Hinweise zur Unterrichtsplanung ................ 80
Schema 5.1 Einige Hauptvariablen des Unterrichtsgeschehens und wichtige
Beziehungen ....................................... 80
Schema 5.2 Handlungsdiagramm zur Planung von Unterrichtssequenzen ........ 82
Teil 11: Analysis
(von Manfred K/ika) ..................................... 86
6 Positionen in der didaktischen Diskussion,
historische Entwicklungslinien .............................. 87
6.1 Einfiihrung in die Intentionen des Konzepts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87
6.2 Fachliche und fachdidaktische Positionen zum Analysisunterricht . . . . . .. 88
6.3 Entwicklungslinien - Anmerkungen zur Geschichte der
Infinitesimalrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 92
7 Leitideen im Analysisunterricht, die der Differential- und
Integralrechnung vorausgehen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95
7.1 Reelle Zahlen .......................................... 95
7.2 Zum Funktionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 97
7.3 Zum Grenzwert- und Stetigkeitsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 98
Schema 7.1 Stetigkeitsdefinitionen ................................. 100
Schema 7.2 Leitideen im Analysisunterricht ........................... 102
I nhaltsverzeichn is IX
8 Zentrale Mathematisierungsmuster der Analysis ................... 102
8.1 Verwendungssituationen und Mathematisieren .................... 102
8.2 Mathematisierungsmuster in Naturwissenschaften und Technik ......... 103
8.3 Mathematisierungsmuster in Wirtschafts- und Sozialwissenschaften ...... 108
8.4 Defizite beim Transfer von Begriffen der Analysis .................. 113
Schema 8.1 Zentrale Mathematisierungsmuster ......................... 111
Schema 8.2 Reelle Funktionen als Mathematisierungsmuster
(Möglichkeiten für ihre Gewinnung und Repräsentation,
Eigenschaften) ...................................... 112
Schema 8.3 Spezielle Funktionen als Mathematisierungsmuster .............. 113
9 Bereichsspezifische Strategien und dynamische Aspekte in der Analysis ... 115
9.1 Bereichsspezifische Strategien ............................... 115
9.2 Zum Exaktifizieren ...................................... 118
9.3 Algorithmische Aspekte - Zum Einsatz von Taschenrechnern und
Computern ........................................... 120
Schema 9.1 Strategien in der Analysis ............................... 117
10 Fundamentale Ideen in der Differentialrechnung .................. 122
10.1 Zugänge zum Ableitungsbegriff .............................. 122
10.2 Zur Ableitung von Funktionen .............................. 131
10.2.1 Ableitungen spezieller Funktionen ............................ 131
10.2.2 Ableitungsfunktion, Stammfunktion .......................... 135
10.2.3 Ableitungsregeln ........................................ 136
10.3 Globale Sätze .......................................... 138
Schema 10.1 Differenzierbarkeitsdefinitionen .......................... 129
Schema 10.2 Ableitungsregeln ..................................... 138
Schema 10.3 Globale Sätze der Differentialrechnung ...................... 141
11 Fundamentale Ideen in der Integralrechnung ..................... 141
11.1 Zugänge zum Integralbegriff ................................ 141
11.2 Zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ............... 147
11.3 Einige Bemerkungen zu Differentialgleichungen ................... 148
Teil 111: Analytische Geometrie und lineare Algebra
(von Uwe-Peter Tietze) .................................. 150
12 Fundamentale Ideen ..................................... 150
12.1 Leitideen ............................................ 151
12.2 Zentrale Mathematisierungsmuster ...... , ..................... 160
12.3 Bereichsspezifische Strategien, innermathematische Problemfelder ....... 171
x
I nhaltsverzeichn is
Schema 12.1 Leitideen zur linearen Algebra im Umfeld der Schulmathematik ..... 152
Schema 12.2 Zentrale Mathematisierungsmuster ......................... 167
Schema 12.3 Bereichsspezifische Strategien ............................ 173
Schema 12.4 Elementargeometrische Probleme in vektorieller Behandlung ....... 177
Schema 12.5 Aufgabenbeispiele für einige schulrelevante
Mathematisierungsprobleme ............................. 179
13 Fachdidaktische Positionen zur analytischen Geometrie
und linearen Algebra (Darstellung) ............................ 180
13.1 Position 1: Die analytische Geometrie der Traditionellen
Mathematik (Kegelschnittlehre); die Weiterentwicklung
zur vektoriellen analytischen Geometrie ................ 181
13.2 Position 2: Begründung der linearen Algebra aus der Geometrie ........ 183
13.3 Position 3; Der affine Raum als Vektorraum ..................... 186
13.4 Position 4: Anlehnung an die universitären Grundvorlesungen ......... 188
13.5 Position 5: Ein Zugang über Matrizen; die Orientierung an
außermathematischen Motivierungen .................. 192
13.6 Position 6: Aufbau der linearen Algebra über die Behandlung von
Gleichungssystemen ............................. 193
13.7 Position 7: n-Tupel und ihre geometrische Interpretation ............. 195
Schema 13.1 Vergleichende übersichtsdarstellung der Positionen 3 und 4 ........ 191
14 Vergleichende Analyse fachdidaktischer Positionen,
programmatische überlegungen .............................. 197
14.1 Vergleichende Analyse fachdidaktischer Positionen, zur
unterschiedlichen Behandlung einzelner Inhalte ................... 197
14.1.1 Fragen eines axiomatisch-deduktiven Aufbaus .................... 198
14.1.2 Unterschiedliche Behandlung des Vektorbegriffs in der SII;
affine Räume .......................................... 202
14.1.3 Zur Einführung des Skalarprodukts ........................... 208
14.1.4 Art und Umfang geometrischer Fragestellungen ................... 213
14.1.5 Zur Bewertung algorithmischer und anwendungsorientierter Zugänge;
lineare Gleichungssysteme und Matrizen; außermathematische
Motivierung ........................................... 216
14.2 Programmatische überlegungen .............................. 219
Schema 14.1 Schulrelevante Interpretationen des Vektorbegriffs .............. 203
Schema 14.2 Verschiedene Einführungen des Skalarprodukts ................ 209
15 Ergänzung: Abbildungen, Determinanten ....................... 225
15.1 Lineare und affine Abbildungen ............................. 225
15.2 Determinanten ......................................... 227
Schema 15.1 Analogien bei Determinanten ............................ 228