Table Of ContentMathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II
Katja Krüger
Hans-Dieter Sill
Christine Sikora
Didaktik
der Stochastik
in der Sekundar-
stufe I
Didaktik der Stochastik in der Sekundarstufe I
MathematikPrimarstufeundSekundarstufeI+II
Herausgegebenvon
Prof.Dr.FriedhelmPadberg,UniversitätBielefeld,
und Prof. Dr. Andreas Büchter, Universität Duisburg-Essen
BishererschieneneBände(Auswahl):
DidaktikderMathematik
P.Bardy:MathematischbegabteGrundschulkinder–DiagnostikundFörderung(P)
C. Benz/A. Peter-Koop/M. Grüßing:Frühem athematischeB ildung ( P)
M.Franke:DidaktikderGeometrie(P)
M.Franke/S.Ruwisch:DidaktikdesSachrechnensinderGrundschule(P)
K.Hasemann/H.Gasteiger:AnfangsunterrichtMathematik(P)
K.Heckmann/F.Padberg:UnterrichtsentwürfeMathematikPrimarstufe(P)
K.Heckmann/F.Padberg:UnterrichtsentwürfeMathematikPrimarstufe,Band2(P)
F.Käpnick:MathematiklerneninderGrundschule(P)
G.Krauthausen:DigitaleMedienimMathematikunterrichtderGrundschule(P)
G.Krauthausen/P.Scherer:EinführungindieMathematikdidaktik(P)
G.Krummheuer/M.Fetzer:DerAlltagimMathematikunterricht(P)
F.Padberg/C.Benz:DidaktikderArithmetik(P)
P.Scherer/E.MoserOpitz:FördernimMathematikunterrichtderPrimarstufe(P)
A.-S. Steinweg: Algebra in der Grundschule(P)
G.Hinrichs:ModellierungimMathematikunterricht(P/S)
R.Danckwerts/D.Vogel:Analysisverständlichunterrichten(S)
G.Greefrath:DidaktikdesSachrechnensinderSekundarstufe(S)
K.Heckmann/F.Padberg:UnterrichtsentwürfeMathematikSekundarstufeI(S)
F.Padberg:DidaktikderBruchrechnung(S)
H.-J.Vollrath/H.-G.Weigand:AlgebrainderSekundarstufe(S)
H.-J.Vollrath/J.Roth:GrundlagendesMathematikunterrichtsinderSekundarstufe(S)
H.-G.Weigand/T.Weth:ComputerimMathematikunterricht(S)
H.-G.Weigandetal.:DidaktikderGeometriefürdieSekundarstufeI(S)
Mathematik
F.Padberg/A. Büchter:EinführungMathematikPrimarstufe –Arithmetik(P)
F.Padberg/A.Büchter:VertiefungM athematikPr imarstufe– A ri thmetik/Zahlentheorie(P)
K.Appell/J.Appell:Mengen–Zahlen–Zahlbereiche(P/S)
A.Filler:ElementareLineareAlgebra(P/S)
S.Krauter/C.Bescherer:ErlebnisElementargeometrie(P/S)
H.Kütting/M.Sauer:ElementareStochastik(P/S)
T.Leuders:ErlebnisArithmetik(P/S)
F.Padberg:ElementareZahlentheorie(P/S)
F.Padberg/R.Danckwerts/M.Stein:Zahlbereiche(P/S)
A.Büchter/H.-W.Henn:ElementareAnalysis(S)
G.Wittmann:ElementareFunktionenundihreAnwendungen(S)
B. Schuppar/H. Humenberger:ElementareNumerik für die Sekundarstufe (S)
P:SchwerpunktPrimarstufe
S:SchwerpunktSekundarstufe
WeitereBändeinVorbereitung
Katja Krüger (cid:2) Hans-Dieter Sill (cid:2)
Christine Sikora
Didaktik der Stochastik
in der Sekundarstufe I
KatjaKrüger Hans-DieterSill
UniversitätPaderborn ChristineSikora
Paderborn,Deutschland UniversitätRostock
Rostock,Deutschland
ISBN978-3-662-43354-6 ISBN978-3-662-43355-3(eBook)
DOI10.1007/978-3-662-43355-3
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Vorwort
DiesesBuchwendetsichvorallemanMathematik-LehrkräfteallerSchularten,aberauch
anLehramts-StudierendeundReferendare1.Wirwolleninsbesonderejene,dienurweni-
ge Erfahrungen mit Stochastikunterricht haben, motivieren und dabei unterstützen, sich
mitdiesemThemengebietausfachdidaktischerPerspektivevertrautzumachen,aberauch
denerfahrenenLehrkräftenAnregungenfüreinezeitgemäßeUnterrichtsgestaltunggeben.
WeiterhinsollunserBuchImpulsezuDiskussioneninderDidaktikdesStochastikunter-
richtsliefernundAutorenvonLehrplänenundSchullehrbüchernbeiderKonzeptionvon
Stochastik-Curriculaunterstützen.
MitunseremLehrbuchknüpfenwiranfrüherewegweisendeArbeitenzurDidaktikder
StochastikimdeutschsprachigenRauman,dieu.a.vonBiehler,Borovcnik,Eichleru.Vo-
gel,Kütting,SchuppundWolpersu.Götzvorgelegtwurden.Weiterhinverwendenwirfür
SchulunterrichtbedeutsameempirischeForschungsergebnisse,vorallemaufdemGebiet
des Umgangsmit Daten undWahrscheinlichkeiten. Unser Hauptanliegenist es, Lernge-
genstände aus der Statistik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung enger miteinander zu
verbinden. Dazu schlagen wir eine einheitliche Betrachtungsweise und die Verwendung
gemeinsamerGrundbegriffefürbeideThemengebietevor.WirbemühenunsumdasZiel
einer „möglichst frühen und intensiven Verschränkung wahrscheinlichkeitstheoretischer
undstatistischerBetrachtungen“(Schupp1979,S.300)unddamiteiner„Aufhebungder
TrennungzwischenZufalls-undMassenerscheinungen“(Schupp1982,S.215).
DieGrundstrukturunseresBuchesorientiertsichamWechselverhältnisvongenerellen
theoretischen Überlegungen und konkreten unterrichtspraktischen Vorschlägen. Im ers-
ten Kapitel erläutern wir zunächst unsere Auffassungen zu Gegenstand und Bedeutung
des Stochastikunterrichts und geben Besonderheiten an, die ihn aus unserer Sicht von
dem übrigen Mathematikunterricht z.T. erheblich unterscheiden. Als eine weitere theo-
retische Grundlage legen wir im zweiten Kapitel die Grundzüge unserer Auffassungen
zur Modellierung stochastischer Situationen durch eine Prozessbetrachtung sowie unser
Konzept von Entwicklungslinien zur langfristig angelegten Ausbildung stochastischen
Wissens und Könnens dar. Wir unterbreiten ebenfalls in knapper Weise Vorschläge für
1BeiallenPersonenbezeichnungenverwendenwirzurbesserenLesbarkeitinderRegeldiemänn-
licheForm.
V
VI Vorwort
Ziele undInhaltein der Primarstufe, die ausunserer Sicht einegeeigneteGrundlagefür
denStochastikunterrichtinderSekundarstufeIdarstellen.
ImHauptteildesBuchesin denKapitelndrei, vier undfünf unterbreitenwir konkre-
teUnterrichtsvorschlägefürgrundlegendeInhaltedesStochastikunterrichtsunderläutern
möglicheProblemebeiLernenden.DabeiverwendenwireigeneBeispieleundsolcheaus
aktuellenSchullehrbüchernundFachzeitschriften,diewirfürempfehlenswerthalten.Mit
BlickaufeinekonkreteUmsetzung ineinem gewissen Zeitrahmenhabenwir dieUnter-
richtsvorschläge nach den Doppeljahrgangsstufen 5/6, 7/8 und 9/10 strukturiert, womit
auchunserspiralförmigesKonzeptverdeutlichtwird.
ImabschließendensechstenKapitelwendenwirunserneutausgewähltentheoretischen
Fragen zu, die im Zusammenhang mit unseren Unterrichtsvorschlägen aufgetreten und
bedeutsamsind.ImAnhangstellenwirzurInformationfürLehrkräftebesondereProble-
me der Stochastik zusammen, die im Unterricht auftreten können, aber aufgrund ihres
anspruchsvollenCharaktersnichtexplizitbehandeltwerden.DasBuchenthältkeinesys-
tematische Darstellung der fachwissenschaftlichen Grundlagen.Dazu verweisen wir auf
entsprechendePublikationenwieetwadieLehrbücher„ElementareStochastik“(Kütting
undSauer2011),„ElementareStochastik“(BüchterundHenn2007)oder„Stochastikfür
Einsteiger“ (Henze 2013)und auch diebedeutsamen Schriften von Arthur Engel(1976,
1983).
WirbedankenunsfürdieAnregungzudiesemBuchunddievielenwertvollenHinwei-
sebeiFriedhelmPadbergsowiefürdieUnterstützungbeiderGestaltungderAbbildungen
beiAnnaGornyundfürdassorgfältigeKorrekturlesenbeiAnnaSchäfer.
AlsAutorenteamhabenwirimSpannungsfeldvontheoretischenGrundlagendiskussio-
nen und praktikablen Unterrichtsvorschlägen in über zweijähriger Zusammenarbeit sehr
kritisch und konstruktiv über oft mehrere Zwischenstufen an der Ausformung unserer
IdeenundAnsätze gerungen.Wirsind in neuerWeisevon derStochastik begeistertund
überzeugt,dassGrundelementeallenLernendenverständlichgemachtwerdenkönnenund
unverzichtbarfüreinezeitgemäßeAllgemeinbildungallerBürgersind.
PaderbornundRostockimNovember2014
KatjaKrüger,ChristineSikoraundHans-DieterSill
Inhaltsverzeichnis
1 BedeutungundBesonderheitendesStochastikunterrichts. . . . . . . . . . . 1
1.1 BedeutungundGegenstanddesStochastikunterrichts . . . . . . . . . . . . 1
1.2 BesonderheitendesStochastikunterrichts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 KonzeptionelleGrundlagen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 ModellierungstochastischerSituationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 EntwicklungslinienstochastischenWissensundKönnens. . . . . . . . . . 16
2.3 ZumStochastikunterrichtinderPrimarstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3 StochastikunterrichtindenJahrgangsstufen5und6 . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1 ErfassenvonDaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.1.1 Daten-undSkalenarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.2 DatenausderKlassebzw.Jahrgangsstufe . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1.3 DatenerhebungeninanderenUnterrichtsfächern . . . . . . . . . . . 34
3.2 Diagrammeerstellenundlesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.1 Säulendiagramme,Piktogramme,Balken-undLiniendiagramme 39
3.2.2 RelativeHäufigkeiteninBand-undKreisdiagrammen . . . . . . . 47
3.2.3 Stamm-Blätter-DiagrammeundHistogramme . . . . . . . . . . . . 51
3.3 Datenzusammenfassen:arithmetischesMittelundZentralwert . . . . . . 55
3.3.1 ArithmetischesMittelvonRohdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3.2 Zentralwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3.3 ArithmetischesMitteleinerHäufigkeitsverteilung . . . . . . . . . . 62
3.3.4 VergleicheundPrognosenmitMittelwerten. . . . . . . . . . . . . . 66
3.4 Wahrscheinlichkeitenqualitativbestimmenunddarstellen . . . . . . . . . 68
3.5 Wahrscheinlichkeitenquantitativbestimmen. . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5.1 QuantifizierenvonWahrscheinlichkeitsangaben . . . . . . . . . . . 77
3.5.2 DatenundWahrscheinlichkeiten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.5.3 WahrscheinlichkeiteninLaplace-Modellen . . . . . . . . . . . . . . 87
3.5.4 WahrscheinlichkeitvonEreignissen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.5.5 ZumProblemderGleichwahrscheinlichkeit. . . . . . . . . . . . . . 98
VII
VIII Inhaltsverzeichnis
4 StochastikunterrichtindenJahrgangsstufen7und8 . . . . . . . . . . . . . . 101
4.1 PlanenundDurchführeneinerUmfrage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.1.1 PlaneneinerUmfrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.1.2 DurchführenundAuswerteneinerUmfrage. . . . . . . . . . . . . . 108
4.2 VergleichenvonDatenundVerteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.2.1 AuswertenvonUmfragenmitVierfeldertafeln . . . . . . . . . . . . 111
4.2.2 VergleichenvonkategorialenoderordinalenDaten
mitBand-undSäulendiagrammen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.2.3 HäufigkeitsverteilungmetrischerDatennachKlasseneinteilung . 117
4.2.4 Boxplotserstellen,interpretierenundvergleichen . . . . . . . . . . 121
4.2.5 EinAusblickaufdieExplorativeDatenanalyse. . . . . . . . . . . . 128
4.3 ModellierenmehrstufigerVorgängemitBaumdiagrammen. . . . . . . . . 130
4.3.1 AnalysierenderStrukturmehrstufigerVorgänge . . . . . . . . . . . 131
4.3.2 BerechnenvonWahrscheinlichkeitenmitdenPfadregeln . . . . . 134
4.3.3 ZurRolledesLaplace-ModellsbeimehrstufigenVorgängen . . . 144
5 StochastikunterrichtindenJahrgangsstufen9und10 . . . . . . . . . . . . . 151
5.1 ManipulationenbeiderDarstellungvonDaten . . . . . . . . . . . . . . . . 152
5.2 Häufigkeitsverteilungenuntersuchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.3 SimulierenstochastischerVorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.4 BerechnenundInterpretierenvonErwartungswerten. . . . . . . . . . . . . 180
5.5 StatistischeAbhängigkeitundbedingteWahrscheinlichkeit . . . . . . . . 190
5.5.1 StatistischeAbhängigkeitenmitVierfeldertafeln
undBaumdiagrammenuntersuchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.5.2 BedingteWahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5.6 ZusammenhängebivariatermetrischerDaten . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6 AspektegrundlegenderBegriffe,MethodenundBetrachtungsweisen . . . 217
6.1 ProzessbetrachtungstochastischerSituationen. . . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.1.1 VerwendungderWörter„Zufall“und„zufällig“ . . . . . . . . . . . 217
6.1.2 AspektederProzessbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
6.2 BegriffeundgrafischeDarstellungenderBeschreibendenStatistik . . . . 225
6.2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
6.2.2 GrafischeDarstellungenvonDaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.3 AspektedesWahrscheinlichkeitsbegriffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.3.1 ObjektiveundsubjektiveWahrscheinlichkeit
ausSichtderProzessbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
6.3.2 ErmittelnvonWahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
6.3.3 QualitativeAngabevonWahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . 242
6.3.4 AngabevonWahrscheinlichkeitendurchChancen. . . . . . . . . . 244
6.3.5 InterpretierenvonWahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Inhaltsverzeichnis IX
6.4 DieBegriffeErgebnis,EreignisundGegenereignis. . . . . . . . . . . . . . 247
6.5 BedingteWahrscheinlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
