Table Of ContentDiagramme
Einflufßlinien und Momenle
für Durchlaufträger und Rahmen
Von
Dr. techno Wilhelm Valentin
Ingenieurkonsulent fiir Bauwesen
Wien
Mit 55 Textabbildungen und 64 Tafeln
Springer-Verlag Wien GmbH
1950
ABe Rechte, insbesondere das der Obersetzung
in fremde Sprachen, vorbehalten
Copyright 1950 by Springer-Verlag Wien
Urspriinglich erschienen bei Springer-Verlag in Vienna 1950.
ISBN 978-3-662-24266-7 ISBN 978-3-662-26379-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-26379-2
Vorwort
Das vorliegende Buch will mit seinen Diagrammen in erster Linie ein Behelf
fUr den konstruktiv tatigen Ingenieur sein und beitragen, Rechenarbeit und da
mit auch Fehlerquellen zu vermindern. Urn nun auch die Tafeln moglichst rasch
anwenden zu konnen, sind aIle hiezu notwendigen Erlauterungen im Abschnitt IV
kurz zusammengefa13t, del' also unabhangig von den vorhergehenden Abschnit
ten I-III gehalten ist. Die Tafeln selbst sind in Form von Diagrammen und
nicht in Form von Tabellen wiedergegeben, weil jene den Vorteil der Ubersichtlich
keit und der leichteren Zwischenschaltung bieten. Der .M:a13stab wurde so gewahlt,
daB die Werte mit geniigender Genauigkeit entnommen werden konnen.
Die Abschnitte I-III sind fUr Anfanger gedacht und enthalten in einfacher
ausfUhrlicher Weise theoretische Grundlagen. Es ~war dabei mein Bestreben, immer
wieder die Beziehungen zwischen den Formanderungen und den inneren Kraften
anschaulich darzustellen, urn so das GefUhl fiir das Kraftespiel zu fordern.
Fiir die Unterstiitzung bei dieser Arbeit bin ich Herrn Zivilingenieur Karl
K ugi zu warmstem Dank verpflichtet, desgleichen Herrn Dipl.-Ing. J. S ch ii tz
nir das Lesen der Korrekturen und Herrn Dr. W. Kohler fiir das gewissenhafte
Zeichnen der Diagramme.
Besonderen Dank schulde ich dem Verlag,_ daB er mir bereits an fangs 1946,
zu einer Zeit gro13er wirtschaftlicher Unsicherheit, die Zusage der Drucklegung
gegeben hat, fUr die Berii.cksichtigung meiner Wiinsche wahrend derselben Ul1fl
fUr die bei den Biichern des Springer-Verlages gewohnte schone Ausstattung.
W ien, im Juli 1950
Del' Verfasser
Inhaltsverzeichnis
Seite
I. Tragwerke mit unverschiebIicheu Knoten, welche als Belastung nul' ein au/3eres
Moment in einem Knoten aufweisen ....................................... 7
A. Vorzeichenbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7
1. Festlegung del' V orzeichen von inneren lVIomenten ....... . 7
2. Freiaufliegender Trager mit Endmoment 7
3. Rahmen mit angreifendem Moment ... . ...... . S
4. Uberprtifung del' Vorzeichen . . . . . . . . . . ........ . 9
5. Vorzeichen in einem Knoten, an dem kein auf3eres Moment angreift 10
B. Beziehungen zwischen den Verdrehungswinkeln und den angreifenden "{omenten
am freiaufliegenden Trager bei unveranderlichem Tragheitsmoment 11
1. Trager mit einem Endmoment ... 11
2. Trager mit zwei Endmomenten .. .. .......... 12
C. Ermittlung del' Grof3e del' entstehenden lVIomente aus der Verformung
1. Durchlauftrager tiber vier Felder mit einem Moment tiber einer Sttitzo . . H
2. 3\Iomentenverteilung in einem Rahmen, an dem ein Moment in einem Knoten
angreift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. IS
D. Bestimmung del' Momentenverteilung mit Hilfe del' Ersatzsteifigkeitszahlen uml
Fortpflanzungszahlen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19
1. Zweifeldbalken mit Endmoment . . I\)
2. Dreifeldbalken mit Endmoment .. 22
3. Vierfeld (n-Feld) Trager mit Endmoment 23
4. ltahmen mit Endmoment ..................... . 24
5. Vereinfachte Bestimmung del' Ersatzsteifigkeits- und Fortpflnnzungszahl. 2li
6. Zweifeldbalken mit Moment tiber del' Sttitze 28
7. Vielfeldtrager mit Moment, i.iber einer Sti.itze 2n
II. Eillgespallllte Triiget· ..................................................... ao
A. Del' beiderse.its eingespannte Trager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30
1. Die allgemeine Berechnung des beiderseits eingespannten Tragers . . . . . . . ;~O
2. Unmittelbare Bestimmung del' Einfluf3linie fUr ein Feldmomcnt . . . . at
a. Einfluf3linie del' Querkmft in A ................ :~2
D. Del' einseitig eingespanntc Trager
III. Rahmen llud Durchlnuftrager ............................................ .
A. Allgemeines i.iber Rahmenbereclmung .................................... a4
1. Momentenvel'teitung in einem Rahmen bei beliebiger Belastung . . . . . . . . . . :3-1
2. Momentenverteilung in eillem Rahmen, wenn nul' ein Felcl bela stet iS1 . . . :iti
3. Einflul3linie fUr ein Eckmoment . . . :{,i'
4. Einfluf3linie flir ein Feldmoment . . . . . . . . 3n
ii. Einflul3linie einer Quel'kmft beim Knoten ....................... -it
(i. Einflul3linie del' Qnerkmft in einem beliebigen Punkt C des Feldes n .. 42
Sci(e
B. Durchlauftl'ager .. g
1. Zweifeldbalken 42
2. Viel'feldtl'agel' .................... . 46
3. Dul'chlauftl'agel' mit spiegelgleich angeol'dneten Feldel'n und mit spiegelgleicher
Belastung .... .... . .. . .... ... . . . . ... .. .. " ...... . 48
IV. Verwendung von Tafelll ZUI' Rahlllellherechnullg ... . ...... , .. .. ;")2
A. Durchlauftrager ..
1. Allgemeine Bezeichnungen ....................... .
--(--->-+-------+
2. Ermittlung del' 2-,2-, flo, f3-Werte mit Hilfe del' Tafeln 11 53
3. Durchlauftrager mit Gleichlast tiber einem einzigen Feld ..... . 53
4. Durchlauftragel' mit beliebiger Belastung in einem Feld fiG
5. Einfluf31inie fUr ein Feldmoment .. 57
6. Einfluf3linie ftir ein Sttitzmoment 5~)
7. Einfluf3linie einer Querkraft .... . (il
8. Einfluf3linie fi.i.r ein Auflager .. . (i2
B. Rahmenberechnung ..................................... . (j2
C. Beziehungen del' Tafel-Leitwerte m zum Einspanngrad und zu den Festpunkt-
zahlen. Die Clapeyronsche Gleichung ohne L- und R-vVerte ... . . . . . . . G5
Tafelvel'zeichnis ...................................................... (j I
Bemerkungen zu den TafeIn 11-55, 56-64 ............... 7.wisellen Tafell!) und 11
I. Tragwerke mit unverschieblichen Knoten, welche
als Belastung nur ein aufieres Moment in einem
Knoten aufweisen
A. V orzeichenbestimmung
1. Festlegung der Vorzeichen von inneren Momenten
Urn einem inneren Moment iiberhaupt ein Vorzeichen geben zu konnen, muJ3
man eine Vereinbarung treffen. Wie allgemein ublich, heben wir zu diesem
Zwecke eine Seite del' Tragwerkteile durch eine beigesetzte gestrichelte Linie
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hervor (Abb. 1), und bezeichnen ein inneres Moment dann als positiv, wenn
c1adurch an del' gestrichelten Seite Zugspannungen hervol'gerufen werden. Ent
stehen dort abel' Druckspannungen, dann heiJ3t ein inneres Moment negativ.
2. Freiaufliegender Trager mit Endmoment
Am Encle eines freiaufliegenden Tragers (Abb. 2) greife ein auJ3eres Moment
an. Es ist festzustellen, auf welcher Tl'agerseite Zugspannungen und auf welcher
Seite Druckspannungen auftreten.
Aus clem l~ichtungssinn cles angreifcnden Momentes erhalt man in Abb. 2 a
einen nach aufwarts gerichteten Auflagerdruck B und in Abb. 2b einen nach
abwi.irts gerichteten Auflagerc1ruck B und c1ementsprechencl entstehen in Abb. 2 a
Zngspannungen auf del' unteren Seite des Balkens, in Abb. 2b hingegen auf del'
8 Tragwerke mit unverschieblichen Knoten
oberen Seite. Wir wollen nun versuchen, unmittelbar aus dem Richtungssinn
des auBeren Momentes jene Tragerseite festzustellen, an der Zug auftritt. Dies
gelingt, wenn man in folgender Weise vorgeht: Man beschreibt um den An
griffspunkt des Momentes (Punkt A in Abb.2) einen Kreis im Sinne des an
greifenden Momentes, wobei man den Kreis von jenem Punkt aus zu zeichnen
beginnt, in welch em man das Vorzeichen bestimmen will (hier Punkt a). Es
-
Abb. 2 a-b
entstehen dann, wie man aus der Abb. erkennt, Zugspannungen auf jener Trager
seite, von welcher aus man den Kreis zu zeichnen begonnen hat, Druckspannun
gen auf jener Seite, zu der man bei der geschilderten Umfahrung gelangt, bzw.
wohin der Pfeil Abb. 2 zeigt. 1st auf diese Art festgestellt worden, wo Zug
spannungen auftreten, dann folgen aus der in A 1 getroffenen Vereinbarung
unmittelbar die Vorzeichen der Momente selbst.
3. Rahmen mit angreifendem Moment
Wir wollen versuchen, die gefundene Art der Vorzeichenbestimmung all
gemein anzuwenden, wenn ein auBeres Moment am Knoten eines Tragwerks
angreift, in dem mehrere Stabe in einem Punkt zusammenstoBen (Abb. 1 a). Es
ist dabei vor allem zu beachten, daB es sich stets nur um das Vorzeichen eines
inneren Momentes in einem solchen Punkt handeln kann, der sich in nachster
Nahe des Momentangriffspunktes befindet (z. B. Punkte a, b, c der Abb. 1 a).
Greift nun in Abb. 1 das Moment M im Knoten 2 an, wo drei Stabe zusammen
stoBen, dann wird sich Min irgendwelchen Verhaltnissen auf die Stabe I-III
aufteilen und es werden auf die einzelnen Stabe bestimmte Teilmomente Ml bis
M3 entfallen. Das Wesentlichste ist, daB diese Teilmomente auf aIle Fane die
gleiche Richtung haben mussen wie das angreifende Moment. Man hat demnach
rlrei Balken I-III (Abb. 1 b), von denen jeder fur sich am Ende mit einem
Moment belastet ist, dessen Richtungssinn gleich ist jenem des Angriffsmomentes.
Die Vorzeichen cler Momente in a, b und c konnen daher wie bcim einfachen
Trager nach Absatz 2 bestimmt werden.
Beispiel 1
1m Punkt 2 eines Durchlauftragers greift ein Moment M an (Abb.3). Die
Vorzeichen del' Momente in den Punkten 2a und 2b sind zu bestimmen. Abb. 3b
llnd 3 c sind nach del' Regel des Absatzes 2 gezeichnet. Demnach tretcn im Punkt2a
auf del' gestrichelten Seite Zugspannungen auf, es ist also hier das innere Moment
Vorzeichenbestimmung
<LIs ein positives zu bezeiehnen, wahrend im Punkt 2b (Abb.3e) das Moment
negativ ist, weil hier Zugspannungen auf deroberen Seite auftreten.
-@[ZI;YSPfJnnun.;
~[
!Jruckspennung
r:
Abb.3 a-c
Beispiel 2
Abb.4 zeigt einen herausgesehnittenen Rahmenknoten, an dem ein auBeres
Moment angreift. Die Vorzeiehen der entstehenden Momente konnen aus Abb. 4 b
bis 4e entnommen werden.
Naehdem wir auf vorstehende Art ganz im einzelnen die Vorzeiehen bestimmt
haben, sehen wir, daB man diese bei einiger Dbung sofort angeben kann, sobald
man sieh um den Angriffspunkt des Momentes einen Kreis gezeiehnet denkt,
wie er in Abb. 4a angedeutet ist.
4. Uberpriifung der Vorzeichen
Um die Vorzeiehen der entstehenden Momente iiberpriifen zu konnen, miissen
wir vorerst eine neue Bezeiehnung einfiihren. StoBen in einem Knoten (Abb. 4a)
mehrere Stabe zusammen und umfahrt man den Knoten auf einem Kreisbogen
ZUj'euf'deryo//- I
gezeichnefeo,sl3o-i
setTe, dane/!\
Al1 negetl=Y"""';~*=-l==-==
b
J \Zugeufder lugeufder
I gestricne/fen , 1"1'0//g ezeiclmeiP.n
I S etle, dener I ,sl8bseite, daner
AI.] POStflY d Alt; nega!IY e
Abb. 4 a-a
von 1 iiber 2uncl 3 naeh 4 (die Umfahrung konnte [Cueh im entgegengesetzten
Sinne erfolgen) d[Cnn trifft nwn den Stab I znerst auf del' gestrieheIten Seite,
den Stab IV ebenfalls, hingegen die Stiibe II nnd III trifft man znerst auf del'
]0 Tragwerke mit unverschieblichen Knoten
nichtgestrichelten Seite. Es sollen nun zwei Stabe "gleichsinnig bezeichnet"
genannt werden, wenn man bei einer solchen Umfahrung beide Stabe zuerst
auf der gestrichelten oder beide Stabe zuerst auf der nichtgestrichelten Seit.e
trifft. 1m entgegengesetzten FaIle gelten zwei Stabe als "ungleichsinnig bezeichnet".
In Abb. 4 sind daher die Stabe I und II, I und III, II und IV ungleichsinnig,
die Stabe II und III, I und IV gleichsinnig bezeichnet. Mit dieser Bezeichnungs
weise ergibt sich aus der Feststellung in Absatz 2 unmittelbar Folgendes: Greift
in einem Knoten ein auBeres Moment an, dann entstehen in gleichsinnig bezeich
neten Stabe n Momente mit gleichem Vorzeichen, wahrend in ungleichsinnig
bezeichneten Stabe n die Momente verschiedene Vorzeichen haben miissen.
Beispiel 3
In Abb. 4 sind die Momente zu iiberprUfen. Rier sind die Stabe I und I I un
gleichsinnig bezeichnet, daher miissen richtigerweise die Momente M1 und M2
verschiedene Vorzeichen haben. Da hingegen die Stabe II und III gleichsinnig
bezeichnet sind, miissen die Momente M2 und M3 die gleichen Vorzeichen haben,
wahrend in den Stab en III und IV, welche wieder ungleichsinnig bezeichnet
sind, auch entgegenbezeichnete Momente auftreten miissen.
5. Vorzeichen in einem Knoten, an dem kein aufieres Moment angreift
Bis jetzt haben wir nur yom Vorzeichen solcher inneren Momente gesprochen,
die in der unmittelbaren Nahe jener Knoten entstehen, in welchem ein auBeres
Moment angreift. Diese inneren Momente pflanzen sich im Tragwerk fort und
wir wollen nunmehr die Vorzeichen der inneren Momente in einem Knoten be
trachten, an dem kein auBeres Moment angreift, sondern in welchem sich nur
ein inneres Moment auf die anschlieBenden Stabe fortpflanzt. Abb. 5a zeigt einen
solchen herausgeschnittenen Rahmenknoten und es sei die Momentenverteilung
von links her bekannt, wonach im
Punkt a ein positives Moment auf
trete. Urn die Vorzeichen der Momente
in b und c zu bestimmen, bauen wir
in a ein Gelenk ein und lassen an Stelle
des inneren Momentes Ma zwei gleich
groBe aber entgegengesetzt drehende
auBere Momente angreifen (Abb. 5b).
Nun ist der Richtungssinn von 1J1a zu
Abb. ;, a-b ermitteln. Da Ma positiv ist und die
gestrichelte Seite des Stabes I unten
liegt, muB Ma nach den Ausfiihrungen im Abs. 2 bei a den in Abb. 5 b
angegebenen Richtungssinn haben. Aus der Abbildung sieht man weiters,
daB Ma auf die Stabe II und III wie ein auBeres Moment im eingezeichneten
Sinn wirkt und es konncn somit wie friiher die Vorzeichen der Momente in b und c
bestimmt werden. 1m vorliegenden Beispiel entsteht in b ein positives und in c
ein negatives Moment. Aus dies em Einzelfall konnen wir aber sofort allgemein
feststellen: Pflanzt sich ein inneres Moment in einem Knotcn von einem Stab 81
auf die Stabe 82 bis 8n fort, dann tragt das im Stab 8n entstehencle Moment das
