Devre Analiz Teknikleri

19 Pages·2007·0.21 MB·Turkish

Devre Analizi Ders Notları Devre Analiz Teknikleri
DEVRE ANALĐZ TEKNĐKLERĐ

Bu zamana kadar kullandığımız Kirchoffun kanunları ve Ohm kanunu devre problemlerini
çözmek için gerekli ve yeterli olan eşitlikleri sağladılar. Fakat bu kanunları kullanarak
şimdiye kadar izlediğimiz yöntemler biraz daha metodik ve algoritmiktir. Bu metodlarla
herhangi bir devredeki akım ve gerilim hesabı oldukça kolaylaşmış olmaktadır.

Çözüm metotlarına girmeden önce, bu yöntemleri anlatırken kullanacağımız terimlerin ne
manaya gediğini inceleyelim.

Düğüm: Đki veya daha fazla devre elemanının uçlarının birleştiği noktalar düğüm olarak
adlandırılır. Şekil.DT.1 için a, b, c, d, e, f, g, h, i, j noktalarının hepsi düğümdür.

Temel Düğüm: Üç veya daha fazla devre elemanın birleştiği düğüm temel düğüm olarak
adlandırılır. Şekil.DT.1’deki düğümler içerisinde yalnızca c, d, e, f, i, j temel düğümdür.

Yol: Hiçbir devre elemanının iki defa olmamak üzere, temel devre elemanlarının yan yana
olanları üzerinden gidilerek izlenen sıraya yol adı verilir. Şekil.DT.1’deki V , R , i , R bir
2 4 1 6
yol oluşturmaktadır. Yine i , R , V , de bir yol oluşturmaktadır.
2 7 3
+

Şekil.DT.1. Temel terimlerin incelenmesi için örnek devre

Kol: Đki düğümü birleştiren yola kol adı verilir. Örneğin a ve b düğümünü birleştiren R
1
direnci bir kol oluşturmaktadır. Yine V gerilim kaynağının olduğu yol, i akım kaynağının
4 2
olduğu yol bir koldur.

Temel Kol: Başka bir temel düğümden geçmeden iki temel düğümü birleştiren yola temel kol
denir. Şekil.DT.1’deki V , R , R yolu i yolu, V ,R yolu, R yolu, R yolu, i i1 yolu, R
1 1 2 2 4 8 3 6 1 4
yolu veV , R yolu temel kol örnekleridir.
2 5

Halka: Bir düğümden başlayarak, yine aynı düğüme geri dönen yola halka ismi verilir.
Şekil.DT.1’ deki halka örnekleri ise aşağıdaki gibidir;
R −V −R −R , R −R −i −V ,V −V −R −i −R −R
3 4 8 7 7 6 1 3 2 1 1 2 6 5

© Uğur TAŞKIRAN 2007 1
Devre Analizi Ders Notları Devre Analiz Teknikleri
Çevre: Đçinde başka bir halka olmayan halkaya çevre adı verilir. Şekil DT.1. için
R −V −R −R −R −V halkası, V −R −i −R halkası, i −V −R −R halkası,
4 1 1 2 3 3 2 4 1 5 1 3 7 6
R −R −V −R halkası, R −V −i halkası aynı zamanda birer çerçevedirler.
7 3 4 8 8 4 2

Düzlemsel Devre: Birbiri üzerinden atlama yapmadan bir düzlem üzerine (örneğin kağıda)
çizilebilen devrelere düzlemsel devre ismi verilir. Üzerinden atlama yapılmış devreler illaki
düzlemsel olmayan devre olmayabilirler. Bu devrelerin bir kısmı düzlemsel olarak çizilebilir.
Örneğin şekil DT.2’deki devre, şekil DT.3’teki gibi tekrar çizilebilir.

Şekil.DT.2 Örnek düzlemsel Devre Şekil.DT.3. Şekil.DT.2’deki devrenin
düzeltilmiş hali

Yine de bazı devreler vardır ki düzeltmeler sonucunda dahi atlamasız çizilmez. Bu durumdaki
bir devreye düzlemsel olmayan devre adı verilir. Şekil DT.4’deki devre böyle bir devredir.

R1 R2
R5
R4
V1 + R3 R6
-
R7
R8 R9
Şekil.DT.2 Düzlemsel Olmayan Devre

Göreceğimiz metodlar içerisinde çevre akımları yöntemi yalnızca düzlemsel devrelere
uygulanabilirken, düğüm gerilimleri yöntemi hem düzlemsel hem düzlemsel olmayan
devrelere uygulanabilir.

Düğüm gerilimleri yönteminde, her düğüme bir gerilim atanarak, Kirchoffun akım kanunu
vasıtasıyla denklemler elde edilir. Fakat bizim için gerekli olan ise temel düğüm sayısının bir
eksiği kadar denklemdir. Yani Düğüm gerilimleri yönteminde toplam denklem sayısı;

ds =n −1
1 e

burada n , temel düğümlerin sayısıdır.
e

© Uğur TAŞKIRAN 2007 2
Devre Analizi Ders Notları Devre Analiz Teknikleri
Çevre akımları yönteminde ise Kirchoff’un gerilim kanunu, toplam çevre sayısı dolayısıyla
denklem sayısı ds ise;
2
ds =b −(n −1)
2 e e
formülünden hesaplanır. Burada be toplam temel kol sayısıdır.

Düğüm Gerilimleri Metodu

Düğüm gerilimleri metodu temelde, temel düğümlere bir gerilim atanarak ve her düğüm için
Kirchoff’un akım kanunun yazılmasını temel alan bir yöntemdir. Bu yöntemle bütün temel
düğümlerdeki gerilimler hesaplanır. Bu değerler devrenin diğer noktaları için bir referans
özelliği taşır. Bu değerler vasıtasıyla devrenin herhangi bir noktasından geçen akımı veya
herhangi iki nokta arasındaki gerilimi hesap etmek mümkündür.

Aşağıdaki örnekle birlikte, düğüm gerilimleri yöntemi ile devre çözümünü inceleyeceğiz.
Gerekli olan denklem sayasıds =3−1=2.
1

Şekil.DT.5 Düğüm Gerilimleri Yöntemi Đçin Örnek Devre

Đlk olarak yapılacak iş devredeki düğümlerin tespitidir. Buradaki örnek için 1, 2, 3, ve 4
düğümdür. Fakat esas kullanacaklarımız ise temel düğümlerdir, yani 1, 2 ve 4 tür. Temel
düğümlerin bir tanesi toprak düğümü, yani sıfır volt noktası olarak seçilir ve ( veya
veya ) işaretleriyle gösterilir. Bu sıfır noktası olarak seçilen düğüm genellikle en çok
devre elemanının bağlı olduğu düğüm olur. Bu kesin bir kural olmamakla beraber genel bir
kabul olmuştur. Bazı durumlarda sıfır noktası diğer düğümler arasından seçilebilir. Bundan
sonraki adım geriye kalan temel düğümlere gerilim atamak yani her bir düğümdeki gerilimleri
V,V ,......,V gibi işaretlenir. Burada bir 1 düğümü için V ve 2 düğümü için V işaretini
1 2 n −1 1 2
e
kullanalım.

Bundan sonraki aşamada her bir işaretlenen düğüm için, sıfır noktası hariç Kirchoffun akım
kanunu yazılır. 1 düğümü için;
i +i +i =0
a b c

Burada i ,i ve i yönlerine dikkat edilerek ve Ohm kanunundan eşitlikler yazılır yani;
a b c
V −V V −V V −0
i = 1 k , i = 1 2 ve i = 1
a R c R b R
1 3 2
V −V V V −V
1 k + 1 + 1 2 =0
R R R
1 2 3
© Uğur TAŞKIRAN 2007 3
Devre Analizi Ders Notları Devre Analiz Teknikleri

Görüldüğü üzere i ,R ’nin bulunduğu koldan geçen akımdır ve denklemi ona göre
a i
yazılmıştır. i ve i de ona göre yazılmış ve en sonunda ise en başta yazılan denklemde yerine
b c
konmuştur.

2 düğümü için denklemi yazalım.
i +i +i =0
d e f
V −V
i = 2 1 ; yönü i ’ye terstir, o yüzden bu şeklide yazılmıştır.
d R c
3
V −0
i = 2 ve i =−i akım kaynağının yönü i ’ye terstir.
e R f k f
4
Dolayısıyla ikinci denklem
V −V V
2 1 + 2 −i =0
R R k
3 4
şeklinde yazılabilir. Böylelikle iki bilinmeyenli iki denklem bulunmuş olur. Diğer değerler; R
dirençler ve kaynak değerleri devrede verilmiş olmalıdır. Đki bilinmeyenli iki denklem ise
doğrusal cebir vasıtasıyla kolaylıkla çözülebilir. Aşağıda verilen örnekle durum daha açık bir
şekilde anlaşılabilir.

Örnek.DT.1: Şekil.DT.5 teki devrede R =8 Ω , R =3Ω , R =4Ω ve R =12Ω dur.
1 2 3 4
V =20v ve i =5A ise, R üzerinden geçen akımı hesap ediniz.
k k 4
Sayısal değerleri yukarıda bulduğumuz denklemlerde yerine yazınız.
V −20 V V −V
1 + 1 + 1 2 =0 ⇒ 17V −6V =60x2
8 3 4 1 2

V −V V
2 1 + 2 −5=0 ⇒ −3V +4V =60x3
4 12 1 2
34V −12V =120
1 2
−9V +12V =180
1 2
25V =300
1
300
V = =12v
1 25
60+V 60+36 96
V = 1 = = =24v
2 4 4 4
V 24
i = 2 = =2A
R4 R 12
4

Düğüm Gerilimleri Yöntemi Özel Durumlar

Bağımlı Kaynaklar: Düğüm gerilimleri yönteminde, düğüm gerilimleri devrenin herhangi
bir yerindeki gerilimin ve akımın hesap edilmesi için yeterlidir. Bu yüzden bağımlı
kaynakların olması durumu değiştirmez. Bağımlı kaynakların kontrolleri ise düğüm
gerilimleri değişkenlerinden faydalanarak hesaplanır. Aşağıdaki örneği inceleyelim.

Örnek.DT.2: Aşağıdaki devrede işaretli düğüm gerilimlerini çözünüz.

© Uğur TAŞKIRAN 2007 4
Devre Analizi Ders Notları Devre Analiz Teknikleri
Devreyi dikkatle incelediğimizde
işaretli olan düğüm gerilimlerinin
birinin daha çözüme başlamadan belli
olduğunu görürüz. Bu V dir.
2
Görüldüğü üzere 25v’luk gerilim
kaynağı V ’nin düğümü ile toprak
2
arasına bağlıdır. Dolayısıyla V =25v
2
olur.

V için:
1
V V −V V V −25
1 −1+ 1 2 =0 ⇒ 1 −1+ 1 =0
10 20 10 20
45
2V −20+V −25=0 V = V =15v
1 1 1 3 1

Süper Düğüm: Eğer iki düğüm arasına bir gerilim kaynağı bağlanmış ise kollardan geçen
akımı direk yazamayız. Fakat dolaylı yollardan düğüm gerilimlerini yazabiliriz. Aşağıdaki
örneği inceleyelim.

Örnek.DT.3
V V
1 + 1 +i =0
10 50 x
i : gerilim kaynağı üzerinden
x
geçen akımı direk
bilemediğimizden gerilim
kaynağı üzerinden geçen bir
akım tanımlandı:
V düğümü için
1
V düğümü için
2
V
−i +2+ 2 =0
x 10
Bu iki denklemi toplarsak i terimleri yok olur.
x
V V V
1 + 1 +2+ 2 =0 elde edilir. (Denklem 1*)
10 50 10

Fakat eksik olan bir denklem daha bulunmalıdır. Çünkü 2 bilinmeyenli denklemleri çözmek
için en az iki adet denklem lazımdır. Bu ise kontrollü gerilim kaynağını yerine yazarak
bulunur.
V V
V −V =50i ⇒ i = 1 ⇒ V −V =50 1
1 2 10 1 2 10
−4V −V =0
1 2
Böylece ikinci denklem elde edilmiş oldu. Denklemler çözülürse:
© Uğur TAŞKIRAN 2007 5
Devre Analizi Ders Notları Devre Analiz Teknikleri
5V +V +100+5V =0 6V +5V =−100
1 1 2 ⇒ 1 2
−4V −V =0 X(5) −20V −5V =0
1 2 1 2
−14V =−100
1
100
V = =7.142v
1 4
V =−28.57v
2

Denklem (1*) kısaca yazabilmek için süper düğüm yöntemi adı verilen bir yöntem
uygulanabilir. Bu yöntem gerilim kaynaklarının arasına bağlı olduğu her düğüm için
uygulanabilir. Eğer süper düğüm için Kirchoff’un akım kanununu yazarsak:
V V V
1 + 1 +2+ 2 =0
10 50 10
Denklem (1*)elde ederiz.

Çevre Akımları Metodu

Çevre akımları metodunda temel olan çevrelerin tespit edilerek çevreler içerisinde akımlar
dolaştığının varsayılmasından ibarettir. Daha sonra çevre için Kirchoff’un gerilim kanunu
yazılır. Sonuç olarak b −(n −1) adet denklem elde edilir. Bu denklemlerle çevre akımları
e e
hesaplanır. Yine düğüm gerilimlerinde olduğu gibi çevre akımları devrenin herhangi bir
yerindeki gerilim ve akımların hesaplanması için yeterlidir. Şekil.DT.6’yı ele alalım.

VR 12
+ -
R1
i2
R2 R3
VR 22 VR 32
- + - +
+ - + -
VR 21 VR 33
+ -
R4
Vk1 + VR 41 VR 43 i3 Vk 2 +
- -
i1 - +

Şekil.DT.6 Çevre Akımları Yönteminin Uygulanması

© Uğur TAŞKIRAN 2007 6
Devre Analizi Ders Notları Devre Analiz Teknikleri
Şekil.DT.6’daki devrede üç adet çevre olduğu görülmektedir. Devrede dört adette temel
düğüm bulunmaktadır. Devrede altı adette temel kol vardır. Gerekli olan denklem sayısı
b =6 ve n =4 için b −(n −1)=6−(4−1)=7−4=3’tür. Bu sayı ise çevre sayısına eşittir.
e e e e
Çevreler tespit edildikten sonra her çevre için çevre içinde dolanarak devresini tamamlayan
çevre akımları tespit edilir. Bu akımların yönleri ya hepsi saat yönünde, ya da saat yönünün
tersi yönde tespit edilir. Burada ve ilerde hep saat yönü tercih edilecektir. Bundan sonra ise
çevre akımının yönü referans alınarak Kirchoff’un gerilim kanunu yazılır. i halkası için bunu
1
yazalım.
−V +V +V =0 Burada V ve V , i akımına göre pozitif kabul edilir.
k R R R R 1
1 21 41 21 41
−V +V +V =0 V gerilimi bir sonraki aşama için dikkatle seçildi.
k 21 R 21
1 41
Eğer V ve V , i akımına göre seçilmişse denklemi yeniden yazarsak;
R R 1
21 41
−V +(i −i )R +(i −i )R =0
k 1 2 2 1 3 4
1
R üzerinden geçen akımın (i −i ) olduğuna ve R üzerinden geçen akımın (i −i )
2 1 2 4 1 3
olduğuna ve kabul edilen referans gerilim yönlerine dikkat ediniz.
i halkası için ise
2
+V +V +V =0
R R R
22 12 32
denklemi yazılıp, değerleri yerine konursa
R (i −i )+Ri +(i −i )R =0
2 2 1 12 2 3 3
Burada V =−V olduğuna ve bunların i ve i akım yönlerine göre alındığına dikkat ediniz.
R R 1 2
22 21
i halkası için ise
3
V +V +V =0 ⇒ R (i −i )+R (i −i )+V =0
R R R 4 3 1 3 3 2 k2
43 33 k2
Bu şekilde denklemler bulunmuş olur. Sonuç denklem sistemini çözerek elde edilir.

Örnek.DT.4: Şekil.DT.6’daki devredeV =35v, R =50Ω, V =25v, R =250Ω,
k 1 k 2
1 2
R =50Ω ve R =25Ω ise i , i ve i çevre akımları kaçtır?
3 4 1 2 3

Denklemlerde değerleri yerlerine yazalım.

−35+(i −i )250+(i −i )25=0 ⇒ 275i −250i −25i =35
1 2 1 3 1 2 3
250(i −i )+50i +(i −i )50=0 ⇒ −250i −350i −50i =0
2 1 2 2 3 1 2 3
25(i −i )+50(i −i )+25=0 ⇒ −25i −50i +75i =−25
3 1 3 2 1 2 3

Denklem sistemini çözelim
275 −250−25
∆= −250 350 −50 =1000000=106
−25 −50 75
35 −250−25
∆ = 0 350 −50 =300000 i =∆ /∆=0,3A
1 1 1
−25 −50 75
© Uğur TAŞKIRAN 2007 7
Devre Analizi Ders Notları Devre Analiz Teknikleri
275 35 −25
∆ = −250 0 −50 =200000 i =∆ /∆=0,2A
2 2 2
−25 −25 75

275 −250 35
∆ = −250 350 0 =−100000 i =∆ /∆=−0,1A
3 3 3
−25 −50 −25

Çevre Akımları Yöntemi Özel Durumlar
Bağımlı kaynakların devrede bulunması çevre akımları yöntemini değiştirmez çünkü çevre
akımları devrenin herhangibir yerindeki gerilim ve akımını belirlediği için küçük
değişikliklerle devre çözülebilir. Bunun için Örnek.DT.5’i inceleyelim.

Örnek.DT.5: Çevre akımları yöntemi kullanarak 20Ω’luk direnç üzerinden geçen akımı
hesaplayınız.
2 A
Şekle bakıldığında iki adet akım kaynağı
Kirchoff’un gerilim kanunu yazmak için
bir problem oluşturur gibi gözükmektedir.
i2
Fakat dikkatli bir incelemeyle i =2A
10 ohm 20 ohm 2
i
olduğunu kolaylıkla bulabiliriz. Böylece
bilinmeyen sayısı bir adet azılmış olur. i
Đx + 1
halkası için denklemi yazalım. 5A lık akım
Vx
25 ix + i1 5 A i3 80 v + kaynağı üzerindeki gerilime V diyelim.
- - x
-

−25i +(i +i )10+V =0
x 1 2 x
i halkası için yazalım
3
−V +(i +i )20+80=0
x 3 2
Bu iki denklemi toplarsak,
−25i +(i +i )10+(i +i )20+80=0 elde edilir.
x 1 2 3 2

Fakat bu denklem V değerleri yazmadan da çizikli yol izlenerek de Kirchoff’un gerilim
x
kanunundan yazılabilir. Böylece akım kaynağı kaldırılarak elde edilen çerçeveye süper çevre
ismi verilir. Bu şekilde yazılan denklem bir denklemi yok ettiği için fazladan bir denklem
daha yazmak gerekir. Bu ise akım kaynağının bağlı olduğu koldan geçen akımı yazarak
bulunur.
i −i =5A (akım kaynağının yönü i ile aynı yönde)
3 2 1
Denklemlerdeki fazladan bilinmeyen i ise i −i ’ye eşittir.
x 1 2
Tüm değerler yerine yazılırsa;
−25(i −2)+10(i −2)+20(i −2)+80=0
1 1 3
−15i +20i +50−20−40+80=0
1 3
© Uğur TAŞKIRAN 2007 8
Devre Analizi Ders Notları Devre Analiz Teknikleri

−15i +20i =−70 −15i +20i =−70
1 3 ⇒ 1 3
15/ i −i =5 15i −15i =75
1 3 1 3
−5i =5 i =1A
3 3
i −i =5 ⇒ i −1=5 ⇒ i =6A
1 3 1 1
i =i −i =1−2=−1A
20Ω 3 2

Düğüm gerilimleri yöntemi genelde çevre akımları yöntemine göre avantajlıdır. Fakat bazı
durumlarda devre daha bilinmeyenli denklem sistemine dönüştürülebiliyorsa daha az
bilinmeyenli denklem sistemi tercih edilir. Bu arada düzlemsel olmaya devrelere yalnızca
düğüm gerilimlerinin uygulanabildiğini unutmayınız.

Kaynak Dönüşümü
Bazı durumlarda Gerilim kaynağına seri bağlı direnç, akım kaynağına paralel bağlı bir dirence
dönüştürüldüğünde devrede bazı sadeleşmeler olur. Eğer gerilim kaynağına seri bağlı direnci
akım kaynağına paralel bağlı dirence dönüştürülebilecek bir yöntem bulunursa bu
uygulanabilir.

Şekil.DT.7’deki dönüşümü yapabilmek içinR yük direnci üzerinden geçen akımların veR
L L
üzerinde düşen gerilimlerin eşit olması gerekir.
Rs
il il
+ +
Vk + VL RL ik Rp VL RL
-
- -

Soldaki devre için
V V .R
i = k ve V = k L
L R +R L R +R
S L S L

Sağdaki devre için
i .R
i = k p
L R +R
P L

R =0 için i =V /R ve i =i olmalıdır.
L L k S L k
Dolayısıyla i =V /R olur.
k k S
R =∞ için V =V ve V =i .R olur.
L L k L k p
Eğer V ’yı ilk denkleminde yerine yazarsak;
k
i =i .R /R ⇒ R = R
k k p S p S
Sonuç olarak kaynak dönüşümü için gerekli formüller bulunmuş olur. Kaynak dönüşümler
çift taraflıdır.

© Uğur TAŞKIRAN 2007 9
Devre Analizi Ders Notları Devre Analiz Teknikleri
Örnek.DT.6:

5 ohm 3 ohm Kaynak dönüşümünü kullanarak i akımını
x
hesap ediniz. 11v’luk gerilim kaynağının
ix
güç üretip üretmediğini bulunuz
6 A
11 V + 21 ohm 10 ohm
-

6A’lik 10Ω devre elemanlarına kaynak dönüşümünü uygulayalım.
V =6.10=60v R =10Ω
k S
1
Devreyi tekrar çizelim

.
10Ω’luk ve 3Ω’luk dirençler seri hale gelir
ve 13Ω’luk bir dirençle değiştirilebilir

60v’luk gerilim kaynağı 13 Ω’luk dirence
tekrar kaynak dönüşümü uygulayalım.
i =60v/13Ω=4,615A R =13Ω
k P
1 1

21 Ω ve 13 Ω’luk direnç paralel
21.13
olduğundan: R = =8,029
P2 21+13

© Uğur TAŞKIRAN 2007 10