Table Of ContentRheinisch-Westfälische Akademie der Wissenschaften
Natur-, Ingenieur-und Wirtschaftswissenschaften Vorträge · N 321
Herausgegeben von der
Rheinisch-Westfälischen Akademie der Wissenschaften
SIEGFRIED GROSSMANN
Deterministisches Chaos
GÜNTER HARDER
Experimente in der Mathematik
Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
299. Sitzung am 6. Oktober 1982 in Düsseldorf
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Großmann, Siqpriecl:
Deterministisches Chaos I Siegfried Großmann. Ezperimente in der Matb6-
matik I Günter Marder.
(Vorträge I Rheinisch-Wesdliliscbe Akademie der Wmensc:haften: Natur-,
Ingenieur-u. W"lrtSC:baftswiss.; N 321)
ISBN 978-3-531-08321-6 ISBN 978-3-663-14467-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-14467-0
NE: Harder, Günter: Experimente in der Mathematik; Rbeinisch-Wesdliliscbe
Akademie der Wissensc!Wten (Düsseldorf): Vorträge I Natur-, Ingenieur-und
Wirtschaftswissenschaften
© 1983 by Springer Fachmedien Wiesbaden
Ursprünglich erschienen bei Westdeutscher Verlag GmbH, Opladen 1983
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1983
ISSN 0066-5754
ISBN 978-3-531-08321-6
Inhalt
Siegfried Großmann, Marburg
Deterministisches Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1. Einleitung: Das Phänomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2. Nichtlineare Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3. Diskrete Dynamik: Motivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4. Chaos in der diskreten Dynamik................................. 16
5. Ordnung im Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6. Ergänzender Ausblick . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . 26
7. Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Diskussionsbeiträge
Professor Dr. phil. nat. habil. Hermann Flohn; Professor Dr. rer. nat.
Siegfried Großmann; Professor Dr. med. Benno Hess; Professor Dr. rer.
nat. Werner Hildenbrand; Professor Dr. rer. nat. Horst Rollnik; Professor
Dr.-Ing. RolfStaufenbiel; Professor Dr. sc. techn. Alfred Fettweis; Professor
Dr. rer. nat. Heiner Müller-Krumbhaar; Professor Dr. rer. nat. Claus Müller 30
Günter Harder, Bonn
Experimente in der Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Literatur......................................................... 55
Diskussionsbeiträge
Professor Dr. rer. nat., Dr. h. c. Friedrich Hirzebruch; Professor Dr. rer.
nat. Günter Harder; Professor Dr. rer. nat. Horst Rollnik; Professor Dr.
rer. nat. Werner Schreyet; Professor Dr. rer. nat. Heiner Müller-Krumbhaar;
Professor Dr. Andrew P. Ogg; Dr. math. Michael!.Aska; Professor Dr. rer.
nat. Falko Lorenz; Professor Dr. rer. nat. Max Koecher; Professor Dr.-Ing.
Rolf Staufenbiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Deterministisches Chaos
Von Sieg(ried Großmann, Marburg
1. Einleitung: Das Phänomen
Chaos is in. Was bedeutet "Chaos", was reizt immer mehr Forscher aus immer
mehr Disziplinen, sich damit zu beschäftigen?
Vielleicht ist es die wachsende Zahl merkwürdiger Beobachtungen, die in jüng
ster Zeit die Aufmerksamkeit erregt haben und die zu ihrem Verständnis sehr
widersprüchlich klingende Kategorien zu erfordern scheinen. Es handelt sich um
Bewegungsabläufe in makroskopischen Systemen fern vom thermischen Gleich
gewicht, die einerseits durch klassische Bewegungsgleichungen determiniert ver
laufen sollten, andererseits aber gewisse Züge "zufälligen" Geschehens aufweisen,
indem das zeitliche Verhalten irregulär und nicht längerfristig vorhersagbar ist,
kurz gesagt "chaotisch" aussieht. Das äußert sich z. B. bei der Fourieranalyse
geeigneter Variabler x(t) der untersuchten Systeme im Auftreten von Breithand
spektren x( v), die nicht durch thermisches Rauschen verursacht sein können.
Vielleicht ist es die außerordentlich reichhaltige, teilweise universelle Struktur
und Ordnung, die der pseudo-stochastischen Unordnung vorgelagert bzw. über
lagert ist. Sie äußert sich in wohlstrukturierten Kaskaden von Subharmonischen in
den Spektren x(v) bzw. in Periodenverdopplungen immer höherer Ordnung im
Zeitablauf x(t), wenn man äußere Parameterader betrachteten Systeme ändert.
Subharmonische sind zu unterscheiden von den wohlbekannten höheren Harmo
nischen, die für verzerrte Schwingungen typisch sind.
Vielleicht ist es schließlich die verblüffend einfache Möglichkeit, komplizierte
Zeitabläufe und reichhaltig strukturierte Spektren mit ganz einfachen, allerdings
wesentlich nichtlinearen Gleichungen zu modellieren. Man kann nämlich "per
Hand", geometrisch konstruierend oder durch einen Taschenrechner unterstützt
multiplizierend und addierend komplizierte Phänomene nachahmen, insbe
sondere quasi- stochastische Dynamik, selbsterzeugtes deterministisches Chaos
"erleben".
Man beobachtet so etwas z. B. bei Flüssigkeiten im Bereich des Turbulenzein
satzes, in offenen chemischen Reaktionssystemen mit permanenten Massen-oder
Energieströmen, in nichtlinearen elektrischen Schaltkreisen etwa mit V araktor
dioden bei periodischem äußeren Antrieb, in piezo-elektrisch getriebener akusti-
8 Siegfried Großmann
(a) (d)
(b) (e)
(c) (f)
0 1/2 flfo 0 1/2 f lfo
Bild 1: Spektren der Schwingungen eines nichtlinearen elektrischen Oszillators (LAUTERBOllN et al. [1])
bei harmonischer Anregung mit wachsender Stärke oo a.
scher Kavitation von Flüssigkeiten, in Josephson-Elementen, bei der Erzeugung
von Wirbellinien in He li durch ersten Schall, bei optischer Turbulenz im Laser
getriebenen optisch bistabilen Material, in NMR-Messungen usw. Beispiele seien
in Bild 1, 1' und Bild 2 gezeigt. Man erkennt in Bild 1 die fortgesetzte Bifur
kation zu immer tieferen Subharmonischen der festen Anregungsfrequenz f
0
(1/2--+ 1/4--+ 1/8). Sie sind von ihren jeweiligen höheren Harmonischen beglei
tet, der charakteristischen Begleiterscheinung nichtlinearer verzerrter Schwingun-
Deterministisches Chaos 9
a 23
0
b 23
0
c 23
~~
'I
0
I I
20 min
Bild 1' : Zeitliche Änderung der Sauerstoffkonzentration in einem offenen chemischen Reaktions
system, der Meerrettich-Peroxidase-katalysierten Oxidation von NADH durch Sauerstoff.
Von oben nach unten abnehmende Peroxidase-Konzentration, nach ÜLSEN und DEGN [1].
10 Siegfried Großmann
(a) bolom~t~rs, x(t) (b)
1.25mm
0
LGMAG
3mm dB
-SO+-~~~~~--~~so o
0 100 20 300 400
(c) I mHz
f,
f,
16
20 -
0
LGMAG
dB LGMAG
dB
-40
~T
-so+-~+-~~--~--~
-40 0 100 200 300 400 500
mHz
-40 .J.,..J---,-----L.---.-J._,....:.L.L,.,..:.:...:....,J
440 500 f/mHz 560 0
f, .t. .t.
f,
20 -8 8 4
LGMAG
dB
-so~~--~--~~--~so o
-40 _.__--r---,--~--r-......;..r 0 100 200 300 400
450 550f/mHz650 mHz
Bild 2: Spektren (log der Amplitude in dB) der lokalen Temperaturmessung T(t) in einer Rayleigh
Benardzelle [2]. a) Das Strömungsfeld in einer von unten erwärmten Flüssigkeitsschicht. Einsatz
der regulären Konvektion bei einem Temperaturgefälle .dT "'2,5 mK zwischen unterer und
0
oberer Platte. b)ßT(oca) liegt im lntervall40,5ßTc bis 43 ßTc. c)ßT im Chaosbereich 43 .dTc
bis 43,5 ßTc.
