Table Of ContentDETERMINANTEN
UND MATRIZEN
VON
PROF. DR. FRITZ NEISSt
SECHSTE AUFLAGE
MIT EINER ABBILDUNG
SPRINGER-VERLAG
BERLIN I GÖTTINGEN I HEIDELBERG
1962
ISBN 978-3-642-53068-5 ISBN 978-3-642-53067-8 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-53067-8
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Library 01 Congress Catalog Card Number: 62-15422.
Vo rwort zur sechsten Auflage.
Neben anderen Verbesserungen wurden dankenswerte Anregungen
der Herren P. SENGEN HORST, J. SCHRÖDER und K. Voss aufgenommen.
Stockdorf bei München, Januar 1962.
I VAN PAASCHE.
Vorwort zur ersten Auflage.
Das vorliegende Buch ist aus Vorlesungen entstanden, die ich mehr
fach als Einführung in die höhere Mathematik an den Universitäten
Halle und Berlin gehalten habe.
Es soll dazu beitragen, die Schwierigkeiten zu überwinden, die sich
dem Studierenden beim übergang von der Schule zur Hochschule bieten.
Diese ergeben sich z. T. daraus, daß der Lernende, von der Schule her
an die Form des abfragenden Unterrichts gewöhnt, vielfach noch nicht
die Reife für die übermittelung des Stoffes durch akademische Vor
lesungen besitzt. Denn hier bleibt dje Kontrolle darüber, ob wirklich
alles verstanden ist, der eigenen Initiative und Selbstkritik überlassen.
Es ist daher anzustreben, den Studenten besonders im Anfang
seines Studiums zur stärkeren aktiven Mitarbeit heranzuziehen. Diese
soll außer im Lösen von Aufgaben gelegentlich auch in der Wiedergabe
des in der Vorlesung gebrachten Stoffes sowie in Referaten einzelner
Abschnitte des Buches bestehen. Auf diese Weise tritt an die Stelle der
Vorlesung teilweise eine geleitete Lektüre.
An Vorkenntnissen wird so wenig wie möglich vorausgesetzt. Kom
binatorik, binomischer Satz und andere Dinge, die noch in das Pensum
der Schule gehören, werden daher entwickelt, jedoch in einer Form,
die sich vom elementaren Unterricht loslöst und den Studierenden
gleich zu Anfang mit Hilfsmitteln vertraut macht, die ihm neu, aber
für strenge Durchführung mathematischer Beweise von grundlegender
Bedeutung sind.
Es ist dies in erster Linie der Induktionsschluß. Seine vielfache Ver
wendung kann den Anfänger zunächst befremden; ebenso verhält es
sich mit dem Aufbau der Determinantentheorie nach der WEIERSTRASS-
IV Vorwort zur zweiten Auflage.
schen Definition. Trotzdem habe ich diese Darstellung gewählt. Denn
erstens werden so die Beweise kurz und einfach, und die ganze Theorie
gewinnt an Schönheit und Eleganz, zweitens soll neben der Übermitte
lung des Stoffes eine Einführung in mathematische Methoden und Ge
dankengänge überhaupt erfolgen, wie sie im elementaren Unterricht
nicht gegeben werden können.
In der Behandlung der linearen Gleichungen bin ich einer Anregung
des Herrn Prof. H. W. E. JUNG, Halle, gefolgt.
Die Paragraphen 13, 14, 15 und 16 sind für die folgenden Kapitel
nicht erforderlich und können übergangen werden.
In den Anwendungen wird die Bedeutung der Determinanten und
Matrizen für die analytische Geometrie gezeigt. Besonderer Wert ist
darauf gelegt, die Grundlagen für das Rechnen mit Vektoren zu schaffen.
Die Übungsaufgaben bieten keine besonderen Schwierigkeiten.
Einige davon sind mir von Assistenten gegeben worden, sie stammen
aus Vorlesungen, die früher an der Berliner Universität gehalten wurden.
Besonderen Dank schulde ich dem Verlag, der trotz der schwie
rigen Zeitlage das Erscheinen in so kurzer Zeit ermöglichte.
Charlottenburg, Oktober 1941.
NEISS
Vorwort zur zweiten Auflage.
In der zweiten Auflage ist noch ein Kapitel über quadratische For
men hinzugefügt worden. Es enthält die wichtigsten Sätze über die
charakteristische Gleichung einer symmetrischen Matrix und die Haupt
achsentransformation. Sonst sind keine wesentlichen Veränderungen
vorgenommen worden.
Charlottenburg, August 1943.
NEISS
Vorwort zur dritten Auflage.
In die vorliegende Bearbeitung habe ich, ohne den Umfang des
Buches wesentlich zu vergrößern, einige Paragraphen neu aufgenommen,
von denen ich glaube, daß ihre Kenntnis wertvoll und ihr Studium
auch für den Anfänger nicht zu schwer ist.
So bringt § 19 weitere Beispiele von besonderen Determinanten,
die hauptsächlich als Übungsstoff gedacht sind. Weiter hinzugefügt
sind Sätze über die charakteristische Gleichung, Orthogonalisierungs
verfahren mit Anwendungen auf Ungleichungen und anderes.
Wer sich nur auf eine Auswahl der wichtigsten Definitionen und
Sätze beschränken will, kann die Paragraphen 14, 15, 16, 17, 26, 31
und 36 auslassen.
Bei der Fertigstellung dieser Auflage hat mich Herr IVAN PAASCHE
durch manchen wertvollen Hinweis unterstützt. Für seine Hilfe bei
der Anfertigung des Manuskripts und bei der Durchsicht der Korrektur
bogen möchte ich ihm auch an dieser Stelle meinen besonderen Dank
aussprechen.
Charlottenburg, Mai 1948.
NEISS
Vo rwort zur vierten Auflage.
Die Neuauflage sollte der Verfasser nicht mehr erleben: im Jahre
1952 nahm dem rastlos Schaffenden der Tod die Feder aus der Hand.
Auch der Plan einer Algebra konnte nicht mehr zu Ende geführt werden.
Anwendungen des im folgenden dargebotenen Stoffes bringt die 1950
im gleichen Verlag erschienene Analytische Geometrie des Verfassers.
Für kritische Bemerkungen sei Herrn Studienrat A. WEIMERSHAUS
und Herrn Dozent Dr. H. LENZ an dieser Stelle gedankt, desgleichen
dem Verlag für seine Mühe und Sorgfalt bei der Ersetzung von S. 73, 74
und 101 durch vereinfachte Darstellungen, die vermutlich die Billigung
des Verfassers gefunden hätten.
München, Februar 1955.
IVAN PAASCHE.
Inhal tsverzeichnis.
Seite
Erstes Kapitel: Allgemeine Vorbemerkungen.
§ 1. Induktionsschluß I
§ 2. Gebrauch des Summen- und Produktzeichens 2
§ 3. Aufgaben 3
§ 4. Einiges über algebraische Gleichungen 4
Zweites Kapitel: Kombinatorik.
§ 5. Permutationen 5
§ 6. Kombinationen. . . 7
§ 7. Binomischer Satz .. 9
§ 8. Gerade und ungerade Permutationen 10
§ 9. Aufgaben 12
Drittes Kapitel: Determi nan ten.
§ 10. Definition der Determinante nach LEIBNIZ . . 13
§ 11. Definition der Determinante nach WEIERSTRASS 16
§ 12. Einfache Sätze über Determinanten 22
§ 13. Beispiele, Aufgaben und Anwendungen . . . 26
§ 14. Erweiterung der Weierstraßschen Definition. 32
§ 15. Satz von LAPLACE . . . . . . . . . . 33
§ 16. Verallgemeinertes Multiplikationstheorem 34
§ 17. Der SYLVEsTERsche Satz . . . . . . . 36
§ 18. Aufgaben . . . . . . . 37
§ 19. Weitere Beispiele und Aufgaben über besondere Determinanten 38
Viertes Kapitel: Matrizen.
§ 20. Rechnen mit Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
§ 21. Cramersche Regel; inverse, transponierte, orthogonale Matrizen 46
§ 22. Aufgaben .................. . 53
§ 23. Geometrische Anwendungen . . . . . . . . . . . 54
§ 24. Transformation einer Matrix auf die Diagonalform . 64
§ 25. Rang einer Matrix ....... . 68
§ 26. Die charakteristische Gleichung einer Matrix . . . 71
Fünftes Kapitel: Systeme linearer Gleichungen.
§ 27. Allgemeine Lösung eines Systems linearer Gleichungen. 74
§ 28. Lineare Abhängigkeit . . . . . . . . . 80
§ 29. Zusätze zur Lösung linearer Gleichungen 84
§ 30. Geometrische Anwendungen ..... 86
Sechstes Kapitel: Orthogonalisierung.
§ 31. Orthogonalisierungsverfahren . . 93
§ 32. Anwendungen auf Ungleichungen . . . . . . . . . . 96
Satzverzeichnis. VII
Siebentes Kapitel: Quadratische Formen. Seite
§ 33. Die charakteristische Gleichung einer symmetrischen Matrix 100
§ 34. Hauptachsentransformation . . . . . 102
§ 35. Trägheitsgesetz quadratischer Formen 105
§ 36. Definite quadratische Formen. 107
Sachverzeichnis. . . . . . . . . . . . . 110
Satzverzeichnis.
Satz Seite Satz Seite Satz Seite
1- 2 6 22 44 39 83
3 7 23-24 49 40 84
4- 5 8 25 51 41-42 94
6- 7 11 26 57 43-44 96
8 19 27 59 45 97
9-12 23 28 66 46 98
13-15 24 29 67 47-48 101
16 25 30 69 49 103
17 26 31-33 72 50 104
18 32 34 73 51 105
19 34 35 74 52 106
20 35 36 78 53 107
21 36 37-38 82 54 108
Erstes Kapitel.
Allgemeine Vorbemerkungen.
§ 1. Der Induktionsschluß.
Für die Summe der n ersten natürlichen Zahlen gilt folgende Formel:
+ + ... +
I 2 n = n(n: I),
die dem Leser wahrscheinlich als Summe einer arithmetischen Reihe
bekannt ist. Wir wollen die Formel nachprüfen, indem wir für n irgend
welche natürlichen Zahlen einsetzen; z. B. ist für n = I, 2, 4 bzw.
1= 1 (I + I) , I + 2 = 2 (2 + I) , I + 2 + 3 + 4 = 4 (4: I) usw.
2 2
Derartige Proben kann man beliebig vermehren. Will man indessen
aus solchen einzelnen Feststellungen folgern, daß diese Formel immer,
d. h. für jedes natürliche n richtig ist, so ist das ein Schluß vom Beson
deren zum Allgemeinen. Er wird Induktionsschluß genannt und ist als
mathematischer Beweis in dieser Form nicht zulässig.
Der folgende Beweis dieser Formel soll den Leser mit einem sehr
häufig angewandten Gedankengang vertraut machen, der Schluß der
+
vollständigen Induktion oder Schluß von n auf n I oder kurz
Induktionsschluß genannt wird. Die Formel selbst, die gewöhnlich anders
bewiesen wird, dient hier nur als Beispiel für dieses Beweisverfahren.
Wir überzeugen uns durch Einsetzen zunächst von der Richtigkeit
der Formel für n = 1. Dann nehmen wir an, die Formel sei für alle natür
lichen n < rbewiesen, wo unter r eine beliebige feste, natürliche Zahl zu
verstehen ist. Vielleicht erscheint es im ersten Augenblick widersinnig,
das als richtig anzunehmen, was doch erst bewiesen werden soll. Das trifft
aber nicht zu; denn die Annahme bezieht sich nur auf alle natürlichen
n < r, der Beweis soll aber die Gültigkeit der Formelfür alle natürlichen
n erbringen. Wir zeigen jetzt: Wenn die Annahme erfüllt sein sollte, d. h.
wenn die Formel für alle natürlichen n < r richtig ist, dann ist sie auch
+
für die folgende Zahl r I richtig, oder anders ausgedrückt:
Voraussetzung: 1+2+ ... +n=n(n2+I) fürn<r.
+
Behauptung: (n wird durch r I ersetzt)
+ + ... + + + + +
I 2 r r I = (r I)t 2) •
Neiß. Determinanten. 6. Anf!. 1
2 Allgemeine Vorbemerkungen.
+ + ... +
Zum Beweis wird die Summe I 2 r in die nach der Vor-
+
aussetzung z ulaoossl• ge F orm r (r 2 1) gesc h n.e b en. D anach Ia utet d·l e B e-
hauptung:
+ + + + +
r (r 1) I = (r 1) (1' 2)
2 r 2·
Das ist eine Identität, wie man durch Umformung leicht bestätigt.
Damit ist der Beweis natürlich noch nicht fertig, es ist nur gezeigt:
Wenn die Formel etwa für alle natürlichen n < 17 richtig ist, dann ist sie
es auch für n = 18. Die Beweisführung beruhte auf einer Annahme, deren
Gültigkeit zunächst noch offen ist und einstweilen nur für n = I fest
steht. Daher gilt aber die Formel, wie eben gezeigt wurde, auch für
n = 2, ebenso kommt man von n = 2 zu n = 3, und diese Schlußweise
kann beliebig weit fortgesetzt werden.
Der Induktionsschluß ist, wie man sieht, nur zu gebrauchen, wenn der
zu beweisende Satz eine Aussage über eine ganze Zahl enthält. Es ist
auch nicht immer gesagt, daß die Gültigkeit bei n = I anfängt, sie kann
auch schon bei n = 0 oder erst an einer späteren Stelle einsetzen.
§ 2. Gebrauch des Summen- und Produktzeichens .
.L; (großes griechisches Sigma) ist das Summenzeichen. Ist f((]) eine
Funktion von (], die nur für ganzzahlige (] erklärt zu sein braucht, und
will man die Summe
+ + ... +
1(1) 1(2) I(n)
bilden, so schreibt man dafür
n
.L;t (e),
e=1
lies: "Summe von (] = I bis n"; d. h.: es werden für (] der Reihe nach die
Zahlen I, 2, bis n eingesetzt, und die so erhaltenen Werte I((]) werden
addiert. Häufig tritt der Summationsbuchstabe als Index auf:
.Ln; ae = a1 -+- a2 + ... + an·
e=1
Auf die Bezeichnung dieser Zahl kommt es nicht an, daher ist:
n n n-1
.L;ay = .L;ae = .J;ai.+1 ,
,.=1 e=1 1.=0
+
(] ist durch Ä I ersetzt; wenn (] die Werte von I bis n durchläuft, geht
Ä von 0 bis n - 1.
Die Regel für die Multiplikation zweier Summen nimmt jetzt fol
gende Form an:
n m n-m
.L;ae.L;b;.=.L; .J;aeb;..
e=1 }.-1 e=1 1=1
§ 3. Aufgaben. 3
e
Die rechte Seite ist eine Doppelsumme, denn und Adurchlaufen unab
hängig voneinander die Werte von 1 bis n bzw. von 1 bis m. Natürlich
müssen hier die beiden Summationsbuchstaben verschieden bezeichnet
werden.
II (großes griechisches Pi) ist das Zeichen für die Bildung eines
Produktes. Es bedeutet
n
IIt(e)=t(1)t(2) .. ·t(n)
(1=1
t
das Produkt von n Faktoren (e).
§ 3. Aufgaben.
Folgende Formeln sind durch vollständige Induktion zu beweisen.
Die linken Seiten sind bei Aufgabe 1 bis 7 auf zwei Arten geschrieben,
um den Leser an den Gebrauch des Summenzeichens zu gewöhnen.
n
1. .J)e2 = 12 + 22 + ... + n2 = n (n + 1)6(2n+ 1)
e=O
2. L"n." ; e3 = 13 + 23 + ... + n3 = (n (n 2+ 1))2 n~O
e=o
n
'\, 1 1 + 1 + ... + 1 n - 1
3. L.; (e -1) e = r:2 2-3 (n - 1) n = -n
e=2
n +
4. L".;" e (e 1+ 2) = :t1: 3 + 21· 4 + ... + n (n 1+ 2) = 4 (n3 +n2 1) (5n n+ 2) n > 1
e=1
n
"" + 1 + 1 + 1 + '" + 1 +
5. L.; e (e 1) (e 2) = 1·2·3 2·3·4 n (n+ 1) (n 2)
(1=1 +
n (n 3)
+ + n>l
4 (n 1) (n 2)
q" -1
n-l + + + .. , + { falls q =l= 1
6 . .J)qe = 1 q q2 qn-l = q-l
e=O n falls q = 1
n
+ + ... +
7 . .J)e2e-1 = 2.21 3.22 n2n-1 = (n - 1) 2n
e=2
n
,\'.R.-= 2 _ n + 2
8. L.; 2f 2"
[>=1 G
(n x) x)
n sin ~ 1 cos
9 . .J)cos (e x) = . x
e=O sm2
1*
