Descartes, Fermat, and Analytic Geometry

58 Pages·2012·0.52 MB·English

by  Steve Williams

Analysis, Synthesis, the Infinite, 
and Numbers
Chapter 15
Getting Our Bearings
• Where are we in history?
• We’ve finished the middle ages, and have 
embarked on the Early Modern period (about 
1500 – 1800 or so).  
• In fact, we’ve finished the 1500’s as well.
Not Europe
Place Dates Names Mathematics
China Ancient & Medieval The Nine Chapters,  Square and cube roots, 
Sea Island  indeterminate equations, 
Mathematical  systems of linear 
Manual, others equations and linear 
congruences, polynomial 
equations
India Ancient & Medieval Aryabhata,  Square and cube roots, 
Bramagupta,  indeterminate equations, 
others linear congruences, 
combinatorics.
Islamic Empire Medieval Al Khwarizmi,  Algebra, solutions of 
Omar Khayyam, al  cubics by conics, Euclid’s 
Tusi, others 5th postulate, Hindu‐
Arabic numeration, 
Trigonometry
Europe
Place Dates Names Mathematics
Europe Medieval Leonardo of Pisa, bar  Islamic Methods introduced to 
Hiyya, ibn Ezra, ben  Europe
Gerson
Europe Renaissance /  Pacioli, Cardano,  Solution of the cubic, 
Early Modern Targaglia, Ferrari, del  systematic algebra & theory of 
Ferro, Bombelli, Viète, solving equations, 
Stevin, Regiomontanus,  trigonometry, decimal 
Copernicus, Kepler,  fractions, logarithms, 
Brahe, Napier, others heliocentric astronomy.
Getting Our Bearings
• Where are we in history?
• We’ve finished the middle ages, and have 
embarked on the Early Modern period (about 
1500 – 1800 or so).  
• In fact, we’ve finished the 1500’s as well.
• We are now entering the 1600’s.
Next up
Place Dates Names Mathematics
Europe 1600’s Fermat, Descartes, Analytic geometry, theory of equations, 
Newton, Liebniz,  area, normals, tangents, max/min, 
Barrow, Pascal,  systematic calculus
Oughtred, Harriot, 
Wallis
Europe 1700’s Bernoulli,  Further development of the calculus:  
Bernoulli,  differential equations, brachistochrone
Bernoulli, ….  problem, tautochrone problem, catenary 
Maclaurin,  problem, calculus of variations, multi‐
L’Hopital, dimensional calculus, transcendental 
Euler functions (logs, exp, trig), complex 
numbers, multi‐dimensional calculus, 
partial differential equations, calculus texts, 
the foundations of calculus, theory of 
equations, number theory.
Galileo and Cavalieri
• For us, the major mathematical interest in his 
work is his treatment of the infinite, and we’ll 
discuss that later when we talk about Cantor. 
• We will also discuss Cavalieri’s work when we 
talk about the development of calculus prior 
to Newton and Leibniz.
Pierre de Fermat
• 1601‐1665
• Trained as a lawyer at 
the University of 
Toulouse.
• Appointed as a judge in 
Toulouse in 1638.
• Married and had five 
children.
Pierre de Fermat
• Considered math his hobby, 
and never really published 
any of his works.  
• Like many others, he was 
interested in “restoring” 
lost works of ancient Greek 
mathematics.
• His work is known mainly 
because of his 
correspondences with other 
notable mathematicians, 
such as Mersenne (the 
“walking scientific journal of 
France.”)
Pierre de Fermat
• Made contributions to
– Number theory
– Analytic Geometry
– Probability
– Analysis (calculus)
• Often didn’t provide proofs. Didn’t like to 
“polish” his work.  This annoyed some of his 
contemporaries. He was often correct, but not 
always.