Desarrollo de nuevos algoritmos para el cálculo de la proyección Gauss-Krüger

159 Pages·2010·1.07 MB·Spanish

by  Carlos E

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA
DE MADRID
E.T.S. DE INGENIEROS AGRÓNOMOS
Desarrollo de nuevos algoritmos para el
cálculo de la proyección Gauss–Krüger
TESIS DOCTORAL

Carlos Enríquez Turiño
Licenciado en C. Matemáticas
Licenciado en C. Físicas
Año, 2009
18/01/2010 CET Tesis_Doctoral_versión_Tesis_Europea.docx
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DESARROLLO DE NUEVOS
ALGORITMOS PARA EL CÁLCULO
DE LA PROYECCIÓN GAUSS–
KRÜGER
por
Carlos Enríquez Turiño.
Tesis propuesta para el doctorado
en
Plan: Geodesia y geomática
Universidad Politécnica de Madrid.
2009
Aprobado por ________________________________________________ .
Presidente del comité supervisor.
_________________________________________________ .
_________________________________________________ .
_________________________________________________ .
Programa autorizado para obtener
el doctorado __________________________________________________ .
Fecha _______________________________________________________

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Universidad
Politécnica de
Madrid
Descripción breve
DESARROLLO DE NUEVOS
ALGORITMOS PARA EL
CÁLCULO DE LA PROYECCIÓN
GAUSS–KRÜGER.
por Carlos Enríquez Turiño.
Presidente del comité supervisor:Catedrático [Nombre].
Departamento de [Nombre].
Abstract:
The Transverse Mercator projection of the ellipsoid was derived by Gauss
as a special case of his general theory of conformal representation, and
was introduced by him into the Survey of Hanover between 1820 and
1830. A method for the full development of the formulae, using a
symbolic calculus program is developed, then the influence of each term
in the final result is studied to know which terms can be neglected while
achieving a desired precision and, finally, these results are applied to a
particular case.
A new set of formulas is described for calculating all the direct and
inverse transformation, the convergence of meridians, the linear
distortion, calculus of surfaces, and arc-to-chord correction, for the
Gauss–Krüger projection. Instead of using different formulas for each
problem, all the calculi are based on the formulas used to obtain the
direct transformation. These formulas are also more accurate than
previous ones and can be extended to an arbitrary width.
As an example, a version of the oblique conformal Mercator projection is
compared with a broaden version of the Gauss Kruger, to see the
difference between them and how it can be possible to extend the latter
to an arbitrary width.
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Capítulo I:  Introducción ................................................................... 1 
I.1  Cartografía e informática. ............................................... 1 
I.2  Objetivos. .......................................................................... 7 
I.3  Estructura de la Tesis. .................................................. 12 
Capítulo II:  Antecedentes ............................................................ 15 
II.1  Fundamentos de Cartografía Matemática. .................. 15 
II.2  Sistemas de representación conforme. ......................... 30 
II.3  La proyección Gauss–Krüger. ....................................... 35 
II.4  La Proyección Oblicua de Mercator .............................. 60 
Capítulo III:  Extension proposal for the Gauss–Krüger
projection formulae ......................................................................... 71 
III.1  Transformation functions .............................................. 71 
III.2  Elements of the projection. ............................................ 89 
Capítulo IV:  Results and discussion .......................................... 102 
IV.1  Calculus of the coefficients. ......................................... 102 
IV.2  Calculus of the elements of the projection ................. 117 
IV.3  Numerical application of the Oblique Mercator
projection ................................................................................ 124 
Capítulo V:  Conclusions ............................................................ 134 
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LISTA DE ILUSTRACIONES
Número Página.
Figura 1: Etapas en la representación plana de la superficie terrestre. .............. 3 
Figura 2: Sistemas de coordenadas geodésicas. ................................................... 17 
Figura 3: Elementos diferenciales en el elipsoide................................................ 21 
Figura 4: Elementos diferenciales en el plano. .................................................... 23 
Figura 5: Cálculo de los parámetros de una proyección. ..................................... 29 
Figura 6: Representación plana de la proyección. ............................................... 33 
Figura 7: Proyección de Mercator ......................................................................... 36 
Figura 8: Proyección Gauss–Krüger ..................................................................... 43 
Figura 9: Transformación directa ......................................................................... 46 
Figura 10: Geometría de curvas planas ............................................................... 55 
Figura 11: Triángulo elipsóidico ........................................................................... 56 
Figura 12: Corrección a la cuerda ......................................................................... 57 
Figura 13: Proyección Oblicua Mercator .............................................................. 62 
Figura 14: La proyección Hotine Oblicua de Mercator ........................................ 67 
Figura 15: Conversion of ∆x, ∆y into ∆E, ∆N ....................................................... 80 
Figura 16: Calculus of the curvature .................................................................... 93 
Figura 17: Angular distortion in milliseconds of the UTM projection for a
constant latitude ϕ = 40º ....................................................................................... 99 
Figura 18: Angular distortion in milliseconds of the UTM projection for a
constant longitude λ = 1º 30’ ................................................................................. 99 
Figura 19: Relationship among order, width zone and precision at low
latitudes (ϕ = 0º). .................................................................................................. 107 
Figura 20: Relationship among order, width zone and precision at low
latitudes (ϕ = 40º). ................................................................................................ 108 
Figura 21: Relationship among order, width zone and precision at low
latitudes (ϕ = 80º). ................................................................................................ 108 
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Figura 22: Difference{∆x4,2,∆y4,2} for a 10º−width zone. ...............................109 
90 90
Figura 23: Difference {∆x6,4,∆y6,4} for a 70º−width zone. ..............................110 
90 90
Figura 24: Difference {∆x8,6,∆y8,6} for a 70º−width zone. ...............................111 
90 90
Figura 25: Difference {∆x10,8,∆y10,8} for a 70º−width zone. ............................112 
90 90
Figura 26: Difference {∆x12,10,∆y12,10} for a 70º−width zone. ...........................113 
90 90
Figura 27: Difference {∆x14,10,∆y14,10} for a 70º−width zone. .........................114 
90 90
Figura 28: Local scale factor, m, for different latitudes as a function of
the longitude up to 10º width. .............................................................................121 
Figura 29: Local scale factor, m, for different latitudes as a function of
the longitude up to 30º width. .............................................................................121 
Figura 30: Route of the railroad ..........................................................................125 
Figura 31: Gnomic projection coordinates ..........................................................127 

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LISTA DE TABLAS
Número Página.
Tabla 1: Elipsoides de referencia. ......................................................................... 16 
Tabla 2: Notación empleada. ................................................................................. 20 
Tabla 3: Parámetros de la proyección. .................................................................. 28 
Tabla 4: Direct and inverse formulas for the TM projection (Snyder 1984) ...... 80 
Tabla 5: Algorithm used to determine the latitude and the longitude from
x and y. ................................................................................................................... 81 
Tabla 6: Tissot’s artifice values for different latitudes and longitudes. ........... 100 
Tabla 7: Order of magnitude (10p) of the an ∆λn terms. ..................................... 103 
Tabla 8: Value of the an ∆λn coefficients for a 30º width zone in a 10º
latitude and for different values of ηk. ............................................................... 104 
Tabla 9: Number of terms (order) necessary to achieve a 10 m precision
according with the latitude and the zone width. ............................................... 105 
Tabla 10: Number of terms (order) necessary to achieve a 1 m precision
according with the latitude and the zone width. ............................................... 105 
Tabla 11: Number of terms (order) necessary to achieve a 0.1 m precision
according with the latitude and the zone width. ............................................... 106 
Tabla 12: Number of terms (order) necessary to achieve a 0.01 m
precision according with the latitude and the zone width. ............................... 106 
Tabla 13: Number of terms (order) necessary to achieve a 0.001 m
precision according with the latitude and the zone width. ............................... 107 
Tabla 14: Influence of degree ηk.......................................................................... 115 
Tabla 15: Gauss–Krüger coordinates of the initial points grid. ....................... 118 
Tabla 16: Gauss–Krüger coordinates of the final points grid. .......................... 118 
Tabla 17: Calculus of the geographic coordinates in the GK−projection for
a point. .................................................................................................................. 119 
Tabla 18: Distances, in meters, between corresponding points using the
formula (2.75). ...................................................................................................... 119 
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