Der Wärmeübergang an einer im geschlossenen Gehäuse rotierenden Scheibe

55 Pages·1967·2.013 MB·German

by  Prof. Dr. sc. techn. Fritz Schultz-Grunow, Dr. rer. nat. Raymond Caly (auth.)

FORSCHUNGSBERICHTE DES LANDES NORDRHEIN-WESTFALEN
Nr. 1824
Herausgegeben im Auftrage des Ministerpräsidenten Heinz Kühn
von Staatssekretär Professor Dr. h. c. Dr. E. h. Leo Brandt
DK 536.242
Prof. Dr. sc. techno Fritz Schultz-Grunow
Dr. rer. nato Raymond Ca!J
Institut für Mechanik an der Rhein.-Westf. Techn. Hochschule Aachen
Der Wärmeübergang an einer im geschlossenen
Gehäuse rotierenden Scheibe
SPRINGER FACHMEDIEN WIESBADEN GMBH 1967
ISBN 978-3-663-06056-7 ISBN 978-3-663-06969-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-663-06969-0
Verlags-Nr.011824
© 1967 b y Springer Fachmedien Wiesbaden
Ursprünglicb erschienen bei Westdeutscher Verlag, Köln und Opladen 1967
Gesamtherstellung : Westdeutscher Verlag
Inhalt
1. Einleitung ..................................................... 5
1.1 Überblick .................................................. 5
1.2 Ziel der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Theoretische Grundlagen ........................................ 7
2.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Die Strömung im engen Spalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Temperaturverlauf und Wärmeübergang im engen Spalt........ .. 13
2.4 Die Strömung im Spalt bei Ausbildung getrennter Grenzschichten. 19
2.5 Temperaturverteilung und Wärmeübergang bei Ausbildung getrennter
Grenzschichten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26
3. Experimentelle Untersuchungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35
3.1 Aufbau der Versuchseinrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35
3.2 Meßmethode und Meßbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38
3.3 Versuchsergebnisse .......................................... 38
3.4 Vergleich von Theorie und Experiment ........................ 53
4. Zusammenfassung .............................................. 53
5. Literaturverzeichnis ............................................. 55
3
1. Einleitung
1.1 Überblick
Strömung und Wärmeübergang in der Umgebung rotierender Scheiben sind
für den Theoretiker von Interesse. Im laminaren Bereich lassen sich die Navier
Stokesschen Gleichungen, die Kontinuitäts- und die Energiegleichung für den
Fall der freien Scheibe exakt lösen und ermöglichen damit eine Überprüfung
geeigneter Näherungsverfahren. Für den Ingenieur hat die rotierende Scheibe
praktische Bedeutung, da sie als vereinfachtes Modell für viele rotierende Ma
schinenteile aufgefaßt werden kann. Das trifft beispielsweise für Gasturbinen zu,
bei denen OPRECHT [1] festgestellt hat, daß erhebliche Leistungssteigerungen
durch gute Läuferkühlung zu erzielen sind. Bei dem von SCHULTZ-GRUNOW [2]
entwickelten Isotopentrennverfahren ruft eine gekühlte Scheibe, die in einem
beheizten Gehäuse rotiert, die Trennung hervor - Temperaturfeld und Wärme
übergang sind hierbei unmittelbar von Bedeutung. Auch in künftigen Raum
stationen könnten rotierende Scheiben und die durch sie hervorgerufene er
zwungene Konvektion wichtig werden, da wegen des fehlenden Schwerefeldes
keine natürliche Konvektion möglich ist.
Bei rotierenden Scheiben unterscheidet man zwischen freien Scheiben, die im
unbegrenzten Raum, und Scheiben, die im ganz oder teilweise geschlossenen
zylindrischen Gehäuse rotieren. Die Strömung und der Wärmeübergang an der
freien Scheibe wurden sowohl theoretisch als auch experimentell in einer Reihe
von Arbeiten untersucht, unter denen besonders die von v. KARMAN [3] und die
von MILLAPS, POHLHAUSEN [4] hervorzuheben sind [5, 6, 7, 8, 9, 10, 11].
Zwischen geschlossenem Gehäuse und rotierender Scheibe zeigt die Flüssigkeit
ein wesentlich verwickelteres Strämungsverhalten. Wie SCHULTZ-GRuNOW [12]
herausgefunden hat, kann man vier verschiedene Strämungsformen abgrenzen;
je zwei für den laminaren und je zwei für den turbulenten Bereich. Dabei ergab
sich die zunächst überraschende Tatsache, daß zwei Grenzschichten auftreten
können, die durch einen starr rotierenden Flüssigkeitskern getrennt sind. In der
Folge wurden in weiteren Arbeiten [13, 14, 15, 16, 17] Scheiben, die mit ver
schiedenen Winkelgeschwindigkeiten relativ zueinander rotieren und Scheiben
in Gehäusen, bei denen durch die Zufuhr von Flüssigkeit in der Scheibenachse
eine Quelle oder Senke vorhanden ist, untersucht. Dabei wurden jedoch nur
allgemeine Klassen von Strömungsprofilen qualitativ aufgezeigt [13], oder, von
den Differentialgleichungen der stationären Strömung ausgehend, Lösungen
entwickelt, die nur für enge Spalte und nicht getrennte Grenzschichten gültig
sind [12, 16]. Erst DAILY und NE CE [18] greifen die Integralmethode für die
getrennten Grenzschichten aus [12] wieder auf. Durch Einführung einer weiteren
Grenzschicht an der zylindrischen Wand gelingt es ihnen, die Abhängigkeit der
5
Grenzschichtdicken, der Winkelgeschwindigkeit des Kerns und des Reibungs
momentes vom Verhältnis des Spaltes zum Scheibenradius in die Theorie
hineinzubringen und durch ausgedehnte Versuche experimentell zu belegen.
Schließlich wurde von LANCE und ROGERS [19] mit Hilfe einer elektronischen
Rechenanlage eine exakte numerische Lösung des Problems unendlich ausgedehn
ter Scheiben bis zu Reynoldszahlen entwickelt, bei denen sich der starr rotierende
Kern auszubilden beginnt.
Veröffentlichungen über den Wärmeübergang zwischen geschlossenem Gehäuse
und rotierender Scheibe gibt es dagegen kaum. KREITH, DOUGHMAN und
KOZLOWSKI [20) geben zwar experimentelle Daten bekannt, sie haben aber den
Wärmeübergang nicht direkt gemessen, sondern den Massenschwund eines
geeigneten diffundierenden Anstriches bestimmt. Mit Hilfe einer Analogie
betrachtung und durch Vergleich mit der freien Scheibe haben sie dann von
der Schmidt- auf die Prandtlzahl und von der Sherwood- auf die Nusseltzahl
geschlossen. In einer theoretischen Untersuchung haben SOG, BESANT und
SARAFU [21) sich durch die Wahl ihrer Geschwindigkeitsprofile auf den Fall
sehr enger Spalte und sehr kleiner Drehzahlen festgelegt, und durch die For
derung an eine Durchfluß-Reynoldszahl, die klein. aber doch wieder nicht zu
klein sein darf, das Problem so eingeengt, daß zum Beispiel die Scheibe im
geschlossenen Gehäuse ohne Flüssigkeitsdurchsatz nicht darin enthalten ist.
1.2 Ziel der Arbeit
Die vorliegende Arbeit hat die Herleitung und· die experimentelle Bestätigung
einer Theorie für den Wärmeübergang zwischen rotierender Scheibe und ge
schlossenem Gehäuse im laminaren Bereich zum Ziel. Dabei erwies es sich als
notwendig, die in den früheren Arbeiten errechneten Geschwindigkeitsprofile
zu verbessern, da die gemachten Vereinfachungen den Wert des Reibungs
momentes nur unerheblich, den Wärmeübergang aber merklich beeinflussen.
Die Nusseltzahl wurde in Abhängigkeit von der Drehzahl der Scheibe, der
Temperaturdifferenz zwischen Gehäuse und Scheibe, der Prandtlzahl der Flüssig
keit und dem Verhältnis von Spalt zu Radius der Anordnung bestimmt. Durch
Extrapolation auf große Spalte ergaben sich als Grenzfall die bekannten Werte
der freien Scheibe. Die Güte der Theorie wurde für Luft durch Experimente an
einer Scheibe von 15 cm Radius geprüft; für Wasser und andere flüssige Medien
wurden Meßwerte aus [20] und [9] herangezogen: Die Versuchsdaten sind in
guter Übereinstimmung mit den gerechneten Werten. Sie haben gezeigt, daß
eine Änderung der Strömungsform sich im Wärmeübergang stärker bemerkbar
macht als im Reibungsmoment und somit eine bessere Abgrenzung der ver
schiedenen Strömungsbereiche ermöglichen. Um die bei der Integralmethode
verwendeten Temperaturprofile auf eine sichere Grundlage zustellen, wurde das
gesamte Temperaturfeld im Spalt zwischen Gehäuse und Scheibe gemessen.
Dabei kam der Grenzschichtcharakter des Problems klar heraus und die ebenfalls
überraschende Tatsache, daß die Flächen gleicher Temperatur die Form einer
Glocke haben, die zur Gehäusewand hin geöffnet ist.
6
2. Theoretische Grundlagen
2.1 Problemstellung
Die Abb. 1 zeigt eine Scheibe, die in einem geschlossenen Gehäuse mit der
Winkelgeschwindigkeit w rotiert. Der Radius der Scheibe ist mit ro und der
Abstand des Gehäusebodens von der Scheibe mit ZO bezeichnet. Das Radialspiel
zwischen Scheibe und Gehäuse LI ro sei wesentlich kleiner als Zo. Die Scheibe
wird durch Wärmezufuhr auf der Temperatur TR, das Gehäuse durch Wärme
abfuhr auf der Temperatur Ts gehalten. Der zylindrische Mantel des Gehäuses
wird als idealer Isolator vorausgesetzt, so daß hier kein Wärmeübergang möglich
w
Abb.l
ist. Die Dicke der Scheibe spielt keine Rolle, da sich alle Untersuchungen auf den
unteren Teil einer Anordnung mit vertikaler Achse und nach oben geführter
Welle (Abb. 1) beziehen .. Bei stehender Scheibe wird der Wärmeübergang durch
Leitung besorgt, da wegen T R > T s eine stabile Temperaturschichtung vorliegt,
die keine natürliche Konvektion aufkommen läßt. \XTenn die Scheibe rotiert,
wird die Flüssigkeit in Umfangsrichtung mitgenommen, und durch die Zentri
fugalkraft entsteht eine Sekundärströmung u* in radialer Richtung. Diese wird
am Gehäusemantel umgelenkt, geht am Gehäuseboden nach innen, und auf Grund
der Kontinuitätsgleichung existiert eine Geschwindigkeit w* in achsialer Richtung
vom Gehäuse zur Scheibe hin. Die umgewälzte Flüssigkeit vergrößert den
Wärmeübergang, und das Maß der Vergrößerung wird im wesentlichen von
der Strömungsform bestimmt, die sich zwischen Scheibe und Gehäuse einstellt.
Bei engen Spalten Zo/ro < 1/100 zeigt die Flüssigkeit das in Abb. 1 rechts dar
gestellte Verhalten für alle vorkommenden Reynoldszahlen Rero = wrÖ/v < 3 .105
des laminaren Bereichs, nämlich daß die Radialkomponente der Geschwindigkeit
s-förmig über den Spalt verteilt ist. Für Spalte mit zo/ro > 1/10 bilden sich bereits
bei kleinen Drehzahlen an der Scheibe und am Gehäuse getrennte Grenzschichten
7
aus, so daß ein Flüssigkeitskern übrig bleibt, der mit konstanter Winkelge
schwindigkeit K w rotiert (0 ~ K ~ 0,5), und in dem die Geschwindigkeit keine
Radialkomponente hat. In den Grenzschichten fällt die Umfangs geschwindigkeit
von wr* auf Kwr* bzw. von Kwr* auf Null ab (Abb. 1, links). Ist schließlich
1/100< Zo/ro < 1/10, so sind beide Strömungsformen möglich, und es hängt
von der Reynoldszahl Re = wZ~/jJ und vom Verhältnis Zo/ro ab, ob die eine oder
die andere Strömungsform vorliegt. Allgemein läßt sich sagen, daß bei größer
werdendem Verhältnis Zo/ro der Übergang bei kleineren Reynoldszahlen Re
erfolgt und umgekehrt.
2.2 Die Strömung im engen Spalt
Der Impulssatz und die Kontinuitätsgleichung angewendet auf eine inkompres
sible, stationäre Strömung mit konstanten Stoffwerten lauten in Vektorschreib
weise
tJ* grad tJ* = - -1 grad p* + jJLl tJ* (2.2-1)
I]
divtJ*=O (2.2-2)
Hierbei sind I] die Dichte, jJ die kinematische Zähigkeit, tJ* der Geschwindigkeits
vektor und P* der Flüssigkeitsdruck.
Da die Strömung rotationssymmetrisch ist, entfällt die Abhängigkeit von der
Umfangskomponente ({J, und die obigen Gleichungen schreiben sich in Zylinder
koordinaten wie folgt, wenn u*, v* und w* die Geschwindigkeitskomponenten
in radialer, in Umfangs- und in achsialer Richtung sind
ou* v*2 ou* e1 8p* (82U* 1 ou* u* 02U*)
+ + + +
u* or* -- -;:;;;- w* oZ* = - or* jJ or*2 r* or* - r*2 OZ*2
(2.2-3)
ov* + u-*v-* + ov* (02V* + -1 -ov* - -v* + -02V-*)
u* - w* - = jJ - (2.2-4)
or* r* oZ* or*2 r* or* r*2 oZ*2
ow* + ow* 1 oP* + (02W* + -1 o-w* + -02W-*)
u* - IV* - = - - - jJ -- (2.2-5)
or* oZ* I] oZ* or*2 r* or* oZ*2
ou* u* ow*
-+-+-=0 (2.2-6)
or* r* oZ*
Führt man in die GI. (2.2-3) bis (2.2-6) die dimensionslosen Größen
r* Z* u* v* w*
r=-, Z=-, U=-, V=-,W=F-w- '
ro Zo wro wro
2
Re = wZo
jJ
8
ein und macht für den Druck p* im Hinblick auf affine Geschwindigkeitsprofile
den Ansatz
so ergibt sich
r
;e
u~ + u; + y;e :~ = r( ;: (::~ + : ~ - ~) + ::~] (2.2-8)
(y&u )-1 oowr + W oowz = - oopZo + yR1 e [(Z~O )2 (0o2rW2 + -1;: Oowr ) + 0o2ZW2 ] (2.2-9)
ou+~+ 1 ow=O (2.2-10)
or r yRe OZ
Für den engen Spalt ist (Zo/ro) ~ 1, die mit (ZOfro)2 multiplizierten Terme können
vernachlässigt werden, und von den obigen Gleichungen bleibt übrig
OU v2 1 ou 0-h+ 1- o-2u
u---+--=-w-=- (2.2-11)
or r yRe OZ or Re OZ2
OV UV W OV 1 o2v
u-+-+-=-=-- (2.2-12)
or r yRe OZ Re oZ2
u OW ow opo 02W 1
-;-;;~--,- +w-=--+- '- (2.2-13)
(yRe)-l or OZ OZ oZ2 yRe
Die Geschwindigkeiten u, v und W müssen den Randbedingungen
u(r, 0) = 0 u(r, 1) = 0
v(r, 0) = 0 ver, 1) = 1 (2.2-14)
w(r,O) = 0 wer, 1) = 0
genügen.
Analog zur Berechnung der Grenzschicht der ebenen Platte ist es zweckmäßig,
affine Lösungen der Differentialgleichungen aufzusuchen, die die Randbedin
gungen erfüllen. Mit Hilfe der Ansätze
U = rf(z) v = rg(z) w = h(Z) Po = Po(Z) und h = K22 r2
lassen sich die partiellen Differentialgleichungen (2.2-10) bis (2.2-13) auf das
folgende System gewöhnlicher Differentialgleichungen zurückführen
h'
2( + ,/_ = 0 (2.2-15)
. vRe
hg' g"
2fg + yRe = Re (2.2-16)
9
+ hf' f" .
j2_g2 -=- = _-K2 (2.2-17)
yRe Re
+ h"
hh' = - p~ ,I_ (2.2-18)
rRe
Die Konstante K bestimmt sich aus den Randbedingungen, die die Funktionen
f, g und hinfolge von (2.2-14) zu erfüllen haben. Da eine geschlossene Lösung
des Differentialgleichungssystems (2.2-15) bis (2.2-18) nicht möglich ist, liegt es
nahe, ein iteratives Verfahren anzuwenden. In nullter Näherung wird eine
kreisförmige Strömung angenommen, bei der die Umfangskomponente der
Geschwindigkeit linear vom Gehäuse zur rotierenden Scheibe hin anwächst.
Für die Funktion g ergibt sich somit go = Z und wegen 0 ~ Z ~ 1 lassen sich
die Größenordnungen der Funktionen J, g, h und ihrer Ableitungen abschätzen.
Es ist
&~&~1 K~& wegen (2.2-17)
f~f' ~f" und h ~ h' wegen O~Z~l
f~ h' ~ h wegen (2.2-15)
f" ~ 0(1) wegen (2.2-17)
Berücksichtigt man in (2.2-17) nur die Terme nullter und 1. Ordnung, so folgt
als Gleichung für die 1. Näherung von f
f~' = - Re (Z2 - K2) (2.2-19)
und hieraus mit (2.2-14)
/1 = -,--Re (-Z4 - K-2 Z2 + 6 K2 - 1 Z) (2.2-20)
12 2 12
Aus (2.2-15) ergibt sich
h~ = Re3/2 [ ~4 _ K2Z2 + (K2 - :) z] (2.2-21)
und mit (2.2-14) 1)]
h1 = Re3/2 [3Z50 - K-23Z-3 + (K"22 - 12 Z2 (2.2-22)
wobei
ist.
Die erste Korrektur für go erhält man aus (2.2-16)
2/ g + h19'0 = g"l (2.2-23)
1 0 VRe Re
und mit gl (0) = 0 und gl (1) = 0 folgt
2)
Z7 Z5 Z4
gl = Re2 ( - 315 + 100 - 180 - 1575 Z (2.2-24)
10
Analog ergibt sich aus (2.2-17) bei Vernachlässigung von Termen, die von
1
höherer als 2. Ordnung klein sind, die 2. -:\äherung für
~ ~ hJ~ I~'
11- (2.2-25)
gü - 2gogj t l'Re Re
und aus (2.2-15) folgt wieder
(2.2-26)
Unter Berücksichtigung von (2.2-14) erhält man nun in 2. "t\äherung für h2 undh
.--"~8' - ",7 ",6
l- -"-'- - -"'-
75600 14000 9000
2 Z5 193 83 ..,2 )] (2.2-27)
-- 23625 1- 756000 Z3 - 567~0
",4 3 1
h ~ Re [ -- ?2 + 20 Z2 - 15 Z
11
Re2 ( ___ ",la
453600 '" 33600 18900 4000
..,4 193 83)1 (2.2-28)
4 ~25 - 504000 Z2f 567000 Z
3 -Re2~ (2.2-29)
10 252000
Die Funktionen ,1;0 i-,1;1, h2 und h sind in den Abb. 2 -4 graphisch dargestellt.
Um die Güte der ~äherung abzuschätzen, wurden diese iterativ gewonnenen
Lösungen mit denen von LA~cE und ROGERS [19] verglichen. Diese lösten das
Gleichungssystem (2.2-15) bis (2.2-17) numerisch nach Rl'~GE--KeTTA mit
Hilfe einer elektronischen Rechenanlage, indem sie mit einem Satz von Versuchs
werten bei Z -~ 0 starteten und dann diese Anfangswerte solange systematisch
variierten, bis die Randbedingungen bei Z - 1 erfüllt waren. In den Abb. 5-7
h
sind die prozentualen Abweichungen der Funktionen,l;O ; Jö, h2 und von
1
den durch LA~cE und ROGERS errechneten Funktionen ,1(, hund graphisch
aufgetragen. Es zeigt sich, daß bis zu Re C~ 10 - nur diese Reynoldszahlen kom
men bei nicht getrennten Grenzschichten in Betracht - die Abweichungen selbst
an der ungünstigsten Stelle kleiner als 5° () sind. Die Funktionen,l;O i-,I;1, h2
und/2 besitzen aber gegenüber der numerischen Lösung von LA~CE und ROGERS
den Vorteil, daß in ihnen die Abhängigkeit von Z und Re explizit auftritt, was
für die Weiterverwendung der Geschwindigkeitsprofile in der Energiegleichung
11