Table Of ContentDer Hauptsatz u¨ber symmetrische Funktionen
Es sei R ein kommutativer unit¨arer Ring. Es sei R[T ,...,T ] der Poly-
1 d
nomring in der Unbestimmten T ,...,T .
1 d
Es sei Γ = Z . Wenn α = (α ,...,α ) ∈ Γd so schreiben wir:
≥0 1 d
Tα := Tα1 ·...·Tαd ∈ R[T ,...,T ].
1 d 1 d
Ein Polynom f ∈ R[T ,...,T ] schreiben wir:
1 d
(cid:88)
f = r Tα, r ∈ R. (1)
α α
α∈Γd
Wir setzen
|α| = α +α +...+α , fu¨r α ∈ Γd.
1 2 d
Es sei f (cid:54)= 0. Der totale Grad u von f ist
u = max{|α| | r (cid:54)= 0} ∈ Γ.
α
Wir schreiben tdegf = u.
Wir sagen das f homogen von Grad u ∈ Γ ist, wenn r = 0 fu¨r |α| =(cid:54) u.
α
Das Nullpolynom ist homogen von jedem Grad u.
Die homogenen Polynome von Grad u sind ein R-Untermodul P ⊂
u
R[T ,...,T ]. Dieser R-Modul ist frei mit der Basis Tα, wo |α| = u. Man
1 d
hat
(cid:77)
R[T ,...,T ] = P (2)
1 d u
u∈Γ
ein graduierter Ring. (usw.)
Es sei f (cid:54)= 0 ein Polynom vom totalen Grad u. Dann setzen wir
(cid:88)
A(f) = r Tα, u = tdegf.
α
α,|α|=u
Man nennt A die Anfangsform von f. Die Anfangsform des Nullpolynoms
ist nach Definition das Nullpolynom.
Wenn der Ring R ntf. ist, so gilt fu¨r f,g ∈ R[T ,...,T ]:
1 d
A(fg) = A(f)·A(g).
1
Die lexikographische Ordnung
Es seien α,β ∈ Γd. Wir definieren die Relation (cid:31):
α (cid:31) β ⇔ exist. i ∈ [1,d], sd. α = β , fu¨r j < i und α > β . (3)
j j i i
Das ist ein Ordnungsrelation auf der Menge Γd, die lexikographische Ord-
nung.
Es seien α,β,γ ∈ Γd. Dann gilt:
α (cid:31) β ⇔ α+γ (cid:31) β +γ.
Insbesondere gilt die Implikation:
α (cid:23) α(cid:48) und β (cid:23) β(cid:48) ⇒ α+β (cid:23) α(cid:48) +β(cid:48).
Es sei f (cid:54)= 0. Dann gibt es ein maximales Element α bezu¨glich der
lexikographische Ordnung (cid:31), so dass r (cid:54)= 0. Dann setzen wir:
α
(cid:96)A(f) = r Tα, (cid:96)degf = α ∈ Γd.
α
Das ist die lexikographische Anfangsform bzw. der lexikographische Grad.
Die lexikographische Anfangsform des Nullpolynoms ist nach Definition das
Nullpolynom.
Wenn der Ring R ntf. ist, so gilt fu¨r f,g ∈ R[T ,...,T ]:
1 d
(cid:96)A(fg) = (cid:96)A(f)·(cid:96)A(g). (4)
Symmetrische Polynome
Wir betrachten im Polynomring Z[T ,...,T ][X] die folgende Gleichung:
1 d
(X −T )(X −T )·...·(X −T ) = Xd−S Xd−1+S Xd−2−...+(−1)dS .
1 2 d 1 2 d
Dabei sind S ,...,S die folgenden Polynome:
1 d
S = T +T +...+T
1 1 2 d
(cid:80)
S = T T +T T +...+T T = T T
2 1 2 1 3 d−1 d i<j i j
...
S = T ·...·T .
d 1 d
Man nennt S ∈ Z[T ,...,T ] die elementarsymmetrischen Polynome.
i 1 d
2
Wir betrachten den Ringhomomorphismus von Polynomringen:
Z[U ,...,U ] −→ Z[T ,...,T ]
1 d 1 d (5)
U (cid:55)→ S
i i
Nach [Alg1] Corollar 36 ist der Morphismus (5) endlich.
Wir bezeichnen mit S die Gruppe der Permutationen der Menge [1,d] ⊂
d
Z. Zu jedem σ ∈ S assoziieren wir den Homomorphismus von Z-Algebren.
d
σ : Z[T ,...,T ] −→ Z[T ,...,T ]
∗ 1 d 1 d
T (cid:55)→ T
i σ(i)
Das ist ein Homomorphismus der Gruppe S in die Gruppe der Automor-
d
phismen der Z[T ,...,T ], denn man u¨berpru¨ft:
1 d
(στ) = σ ◦τ .
∗ ∗ ∗
Die Permutationsgruppe S operiert von rechts auf Γd:
d
ασ = β, wo β = α , α ∈ Γd, σ ∈ S .
i σ(i) d
Man sieht leicht ein, dass
σ Tα = Tασ−1.
∗
Definition 0.1 Ein Polynom h ∈ Z[T ,...,T ] heißt symmetrisch, wenn fu¨r
1 d
alle σ ∈ S , gilt dass σ h = h.
d ∗
AllgemeinerbetrachtenwireineabelscheGruppeN. WirsetzenN[T ,...,T ] =
1 d
N ⊗ Z[T ,...,T ]. Dann operiert σ u¨ber den zweiten Faktor des Tensorpro-
Z 1 d
duktes. Wir ko¨nnen daher von symmetrischen Elementen in N[T ,...,T ]
1 d
sprechen.
Ein Element h ∈ N[T ,...,T ] hat eine eindeutige Darstellung
1 d
(cid:88)
h = n ⊗Tα.
α
α∈Γd
Dann gilt
(cid:88)
σ h = n ⊗Tασ−1.
∗ α
α∈Γd
3
Insbesondere ist h genau dann symmetrisch, wenn
n = n , fu¨r alle σ ∈ S .
α ασ d
Die Menge der symmetrischen Elemente h ∈ N[T ,...,T ] bezeichenen
1 d
wir mit
N[T ,...,T ]Sd. (6)
1 d
Das ist eine Untergruppe von N[T ,...,T ].
1 d
Wenn wir die Abbildung (5) mit N⊗ tensorieren, so erhalten wir eine
Z
Abbildung
N[U ,...,U ] → N[T ,...,T ]. (7)
1 d 1 d
Wenn N = R ein Ring ist, so ist diese Abbildung nichts anderes als die
Evaluation U (cid:55)→ S ∈ R[T ,...,T ]. In diesem Fall heißen die Elemente in
i i 1 d
(6) symmetrische Polynome.
Theorem 0.2 (Hauptsatz u¨ber symmetrische Funktionen). Die Abbildung
(7) induziert einen Isomorphismus
N[U ,...,U ] → N[T ,...,T ]Sd.
1 d 1 d
Beweis: Wir bescha¨ftigen uns zuna¨chst nur mit dem Fall N = Z. Aber
¨
tatsa¨chlich gelten unsere Uberlegungen fu¨r jeden (nullteilerfreien) Ring R
anstelle von Z.
Es sei O ⊂ Γd Orbit unter der Operation von S . Es gibt in O ein
d
eindeutig bestimmtes Element α ∈ O, so daß
α ≥ α ≥ ... ≥ α . (8)
1 2 d
Das ist das gro¨sste Element in O bezu¨glich (cid:31). Die α ∈ Γ welche (8) erfu¨llen,
d
nennen wir maximal. Es sei
(cid:88)
M = Tβ, α ∈ O maximal.
α
β∈O
Die Polynome M sind offensichtlich symmetrisch. Die M , wo α maximal
α α
ist, und die Tβ, so daß β nicht maximal ist, bilden zusammen eine Basis des
Z-Moduls Z[T ,...,T ].
1 d
Es ist klar, dass sich jedes symmetrische Polynom f ∈ Z[T ,...,T ] ein-
1 d
deutig in der Form
(cid:88)
f = c M c ∈ Z.
α α α
α,maximal
4
schreiben la¨ßt. Genauso la¨ßt sich jedes symmetrische h ∈ N[T ,...,T ] ein-
1 d
deutig schreiben als
(cid:88)
h = n ⊗M , n ∈ N. (9)
α α α
α,maximal
Insbesondere haben wir den Isomorphismus
N ⊗Z Z[T1,...,Td]Sd ∼= N[T1,...,Td]Sd.
Wir betrachten fu¨r jedes maximale α das Polynom
S(α) = Sα1−α2Sα2−α3 ·...·Sαd−1−αdSαd.
1 2 d−1 d
Das ist ein symmetrisches homogenes Polynom vom totalen Grad:
(α −α )+2(α −α )+...(d−1)(α −α )+dα = |α|.
1 2 2 3 d−1 d d
Man hat nach der Regel (4)
(cid:96)A(S(α)) = Tα = (cid:96)AM .
α
Das Polynom S(α) − M ist wieder homogen von Grad u = |α| aber sein
α
lexikographischer Grad ist kleiner als α. Da es nur endlich viele Elemente in
Γd vom Betrag u gibt, finden wir sukzessive eine Darstellung
(cid:88)
S(α) = M + a M , a ∈ Z, |γ| = |α|. (10)
α αγ γ α,γ
γ,α(cid:31)γ
Unter allen maximalen ρ ∈ Γd mit |ρ| = u, (wo u fixiert ist,) gibt es es ein
minimales Element α bezu¨glich der lexikographischen Ordnung. Dann gilt
nach (10), dass
S(α) = M .
α
Dann folgt nach Induktion, dass auch eine Formel gilt:
(cid:88)
M = S(α)+ b S(γ), b ∈ Z, |γ| = |α|.
α αγ α,γ
γ,α(cid:31)γ
Der Z-Untermodul Q von P , der von den Elementen
u u
M , wo α maximal |α| = u (11)
α
5
ist gleich dem Z-Untermodul der von den Elementen
S(α), wo α maximal |α| = u (12)
erzeugt wird, und (11) bzw. (12) sind jeweils eine Basis von Q . Durch
u
die Tβ (siehe oben) ko¨nnen wir jede dieser Basen zu einer Basis von P
u
erga¨nzen. Also ist Q ein direkter Summand von P . Die Untergruppe
u u
N ⊗ Q ⊂ N ⊗ P besteht genau aus den symmetrischen Elementen von
Z u Z u
N ⊗ P (vergleiche (9)).
Z u
Die Formeln
α −α = β ,...,α −α = β ,α = β ,
1 2 1 d−1 d d−1 d d
definieren eine Bijektion zwischen allen maximalen α ∈ Γd mit |α| = u und
der Menge aller β ∈ Γd, so dass
β +2β +...+dβ = u. (13)
1 2 d
Es sei G der Z-Untermodul von Z[U ,...,U ], welcher von allen Monomen
u 1 d
der Form
Uβ1 ·...·Uβd (14)
1 d
erzeugt wird. Die Erzeugenden des R-Moduls G werden bei dem Ringho-
u
momorphismus (5) auf die Basis (12) von Q abgebildet:
u
∼
G → Q → P ,
u u u
wobei der erste Pfeil ein Isomorphismus ist.
Wenn man mit N tensoriert, so erha¨lt man
∼
N ⊗ G → N ⊗ Q → N ⊗ P .
Z u Z u Z u
Der erste Pfeil ist ein Isomorphismus und der zweite ein Injektion. Daraus
folgt die Behauptung.
6
