Der durchlaufende Träger über ungleichen Öffnungen: Theorie, gebrauchsfertige Formeln, Zahlenbeispiele

284 Pages·1926·9.424 MB·German

by  Dr.-Ing. Emil Kammer (auth.)

Der durchlaufende Trager
tiber ungleichen Offnungen
Theorie, gebrauchsfertige Formeln,
Zahlenbeispiele
Von
Dr.-Ing. Emil Kammer
ord. Professor flir Ingenieurwissenschaften an der Technischen Hochschnle
Darmstadt
Mit 303 Abbildungen im Text
und auf 4 Tafeln
Berlin
Verlag von Julius Springer
1926
Aile Rechte, insbesondere das der Dbersetzung
in fremde Sprachen, vorbehalten.
ISBN-13: 978-3-642-89924-9 e-ISBN-13: 978-3-642-91781-3
DOl: 10.1007/978-3-642-91781-3
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1926
Vorwort.
Das vorliegende Buch verfolgt in erster Linie praktische Zwecke:
Es will dem Statiker Hilfsmittel zur Vereinfachung und Abkiirzung
der statischen Berechnung durchlaufender Balken an die Hand geben.
Es befaBt sich daher mit theoretischen Dingen nur so weit, als zur
verstandnisvollen Benutzung der Hilfstafeln notwendig erscheint.
Deshalb sei dem Leser fUr den ersten Gebrauch des Buches emp·
fohlen, sogleich mit dem Abschnitt V des ersten Teiles und den Zahlen
beispielen des zweiten TeiIes, die die verschiedenen Anwendungsmoglich
keiten der Hilfstafeln des dritten TeiIes zeigen, zu beginnen. Hat
sich der Leser erst davon iiberzeugt, daB der vorgeschlagene Weg die
Rechenarbeit vereinfacht und erleichtert, dann wird er den theore
tisch en Untersuchungen ein um so groBeres Interesse entgegenbringen.
Die Hilfstafeln des dritten Teiles bilden nun, abweichend von den
bisherigen Tabellen zur Berechnung kontinuierlicher Trager, bei denen
es sich stets um fertige Zahlenwerte handelt, eine Zusammen
stellung gebrauchsfertiger Formeln in Tafelform, die so aufgebaut
sind, daB wesentliche Teile der Rechnung unter Benutzung gegebener
Zahlenreihen - namlich der durch Miiller-Breslau eingefUhrten
Zahlen w - durchgefUhrt werden konnen. Hierdurch wird eine knappe
und iibersichtliche Form der Hilfstafeln, und auBerdem eine groBere
Vielseitigkeit und Leistungsfahigkeit in der Anwendung gegeniiber
den bisherigen reinen Zahlentafeln erreicht.
Die Hilfstafeln sind fiir Balken iiber mehreren ungleichen Offnungen
aufgestellt und gestatten - unter Beriicksichtigung der Veranderlich
keit des Querschnittes in den einzelnen Offnungen - das unmittelbare
Auftragen der E'influBlinien fUr Stiitzen- und Feld-Momente, Quer
kriifte und Auflagerdriicke, ohne zuvOr zeitraubende Zwischenrech
nungen, wie Aufstellen und Auflosen von Dreimomentengleichungen
oder entsprechende graphische Untersuchungen, ausfiihren zu miissen.
Weiterhin lassen sich mit Hilfe der gebrauchsfertigen Formeln
sofort die Momente und Querkrafte infolge Eigengewicht, sowie die
GroBt· und Kleinst·Werte von Momenten, Querkraften und Stiitz
driicken infolge veranderlicher Nutzlast p ermitteln - alles Werte,
die der Statiker so schnell wie moglich haben mochte, weil er sie
unbedingt fiir die Querschnittsermittlung braucht.
IV Vorwort.
Da nun diese Hil£stafeln kein Rezeptbuch bilden sollen, sondern
eine verstandnisvolle Benutzung durch den lngeniEiur voraussetzen,
darf die theoretische Begriindung nicht zu kurz kommen. Deshalb
werden im ersten Teil aIle wichtigen Fragen, die bei der Berechnung
durchlaufender Trager auftreten, besprochen und auch aIle in den
Hilfstafeln vorkommenden Formeln hergeleitet. Hierbei ist auch die
rechnerische und graphische Untersuchung des besonders im Eisen
betonbau neuerdings wichtigen FaIles durchgefUhrt, daB der Balken
querschnitt innerhalb der Offnungen beliebig veranderlich ist.
An einer groBeren Zahl von Beispielen wird die vielseitige Benutz
barkeit der Hilfstafeln gezeigt. Zunachst werden in einer Anzahl von
Grundaufgaben die immer wieder vorkommenden FaIle wie· Ermitteln
und Auftragen der EinfluBordinaten innerhalb der OfInungen, Dar
steHung der Maximal- und Minimal-Momenten- und Querkraftflachen
infolge p u . .a., besprochen; hierauf wird die zahlenmaBige Durch
rechnung von Tragern iiber 2, 3, 4, 6 und 7 Offnungen unter Be
nutzung der Hilfstafeln gezeigt. Das SchluBbeispiel bringt die rech
nerische und graphische Untersuchung eines Balkens iiber 4 Offnungen,
dessen Querschnitt auch innerhalb der einzelnen Offnungen verander·
lich ist.
Zur Erleichterung der Zahlenrechnungen sind eine Anzahl von
Zahlentafeln aufgenommen worden: die Ordinaten der Einheits
parabeln, die Zahlen wD und w'n und die Nomogramme fiir WT und wT.
Letztere sind mit Erlaubnis des Dr.-lng. G. Worch seiner Abhandlung:
"Graphische Hilfstafeln zur schnellen Berechnung statisch unbestimmter
vollwandiger Trager und Rahmen", Beton und Eisen 1924, entnommen
worden.
An dieser Stelle mochte ich den Assistenten meines Lehrstuhles
fiir ihre Mitarbeit danken. Mein erster Assistent, Herr Privatdozent
Dr.-lng. Worch, sowie die Herren Dipl.-lng. Stahl und Dipl.-Ing.
Havemann haben mir insbesondere bei der Aufstellung der Hilfs
tafeln sowie bei den umfangreichen Zahlenrechnungen und auch bei
der Korrektur wert volle Hil£e geleistet.
Der Verlagsbuchhandlung Julius Springer bin i6h fiir ihre Unter
stiitzung bei der schwierigen drucktechnischen Herstellung sowie fUr
die sorgfaltige Ausstattung des Buches ebenfalls zu Dank verpflichtet.
Darmstadt, im September 1926.
Emil Kammer.
Inhaltsverzeichnis.
Erster Teil.
Theone des durchlaufenden Balkens iiber ungleichen Offnungen.
Seite
I. Die Grundlagen . • . . . . . . . . 1
1. Einleitung. . . . . . . . . . . . . 1
2. Die Elastizitatsgleichungen . . . . . 3
3. Die Berechnung der Verschiebungen ~ 7
4. Die Zahlen co . . . . . . 12
a) Die Zahlen con und con 12
b) Die Zahlen cop und cop 14
5. Die Einheitsparabeln 16
a) Die Momentenparabel . 16
b) Die Querkraftsparabel • 17
6. Die EinfluBlinien des statisch bestimmten Hauptsystems 18
11. Der Balken auf beliebig vielen Stiitzen mit veranderlichem
Querschnitt . . . . . . . . . . . . 22
1. Die Dreimomentengleichungen .. . . . . . . 22
2. Die Ermittlung der Verschiebungen ~ . • . . • 24
a) Die Beiwerte ~jk der statisch unbestimmten GroBen X 24
b) Das Belastungsglied Zr • . • . . . . . • . . . . . 28
ex) EinfluB der auBeren, standigen oder beweglichen Belastung 28
(J) EinfluB beobachteter Stiitzenverschiebungen . 31
r) EinfluB ungleichmaBiger Warmeanderungen 32
3. Die Auflosung der Dreimomentengleichungen . . 33
a) Auflosung mit Hilfe von Determinanten. . . 33
b) Die rechnerische Ermittlung der Festpunkte . 35
c) Die (J-Tafel. . . . . . . . . . . . . . . . 40
4. Die StUtzenmomente infolge standiger und beweglicher Belastung 43
a) Nur ejne Offnung lr ist belastet . . . . . . 43
ex) Stiindige Belastung. . . . . . . . . . , 44
fJ) Veranderliche Belastung; EinfluBlinien . . 44
b) Es sind eine Anzahl von (jffnungen belastet . 50
5. Feldmomente, Querkrafte, Stiitzendriicke. . . . 52
6. Der EinfluB des Eigengewichts . 57
a) Die Stiitzenmomente 57
b) Die Feldmomente 58
c) Die Querkriifte 59
d) Die Stiitzendriicke . 60
7. Der Einflu.6 der Nutzlast p. 60
a) Die Stiitzenmomente 60
b) Die Feldmomente 61
c) Die Querkriifte . . . 64
·d) Die Auflagerkriifte 67
+
8. Maximalmomente infolge q = g P 68
VI Inhaltsverzeichnis.
Seite
III. D er Bal ken auf vielen Stii tzen. Die Querschnitte sind innerhalb
del' Offnungen gleich, andern sich jedoch von Offnung zu Offnung 70
1. Die Dreimomentengleichungen . . . . . . . 70
2. Das Belastungsglied Zr . . . . . . 71
3. Die Auf1o~ung der Dreimomentengleichungen 73
4. Die Stiitzenmomente . . . . . . . . . . . 74
a) Die Offnung lr .. ist allein belastet . . . . 74
b) Beliebig viele Offnungen des Balkens sind belastet 77
5. Feldmomente, Querkrafte und Stiitzendriicke 78
a) Feldmomente . 78
b) Querkrafte . . . . . 79
c) Stiitzendriicke . . . . 81
6. EinfluBdes Eigengewichtes 82
7. EinfluB der Nutzlast p . . 82
IV. Die graphische Theorie des durchlaufenden Balkens 91
1. Die graphische Bestimmung der Festpunkte ....... 91
a) Der Querschnitt des Balkens ist beliebig veranderlich. . . .• 91
b) :per Quersch~itt ist innerhalb der Offnungen konstant, aber von
Offnung zu Offnung veriinderlich . . . . . . . . . . • . " 99
2. Die graphische Konstruktion der Stiitzenmomente. Kreuzlinienab·
schnitte und Festpunktsmomente ........ . . . . . . . 100
a) Der Balken mit beliebig veranderlichem Querschnitt . .... . . 100
b) Die Querschnitte des Balkens iindern sich von Offnung zu Offnung 104
3. Feldmomente, Querkrafte, Stiitzendriicke . . . . . . . . . 109
V. Die Hilfstafeln fiir durchlaufende Balken iiber 2,3,4,5,6
und beliebig vielen ungleichen Offnungen 110
1. Anzahl der Offnungen ., . . . . . . . 110
2. Die allgemeine Anordnung der Hilfstafeln 112
Zweiter Teil.
Grundaufgaben und Zahlenbeispiele.
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . • . . 115
I. Grundaufgaben •...................... 115
Grundaufgabe 1. Darstellung der Momenten· undQuerkraftsflachen
mit Hilfe der Einheitsparabeln. . . . . 115
a) Momentenflache infolge Eigengewicht 115·
b) Maximalmomentenflache infolge p 116
c) Mo·Flache fUr Einzellasten . . . 117
d) Qo·Flache infolge p . . . . . . 119
e) Maximalquerkraftflache infolge p 119
Grundaufgahe 2. Benutzung del' Hilfstafeln fiir ron und wD 120
a) Darstellung der EinfluBlinie fiir den Drehwinkel ~.Am • • . 120
b) DarsteIlung der EinfluBlinie flir daB Stiitzenmoment. . _ . 121
roT'
Grundaufgabe 3. Benutzung der Hilfstafeln fiir roT und 122
a) DarBtellung der EinfluBlinie fiir daB Stiitzenmoment . 122
b) DarsteIlung der EinfluBlinie fiir die Querkraft . . 125
c) Darstellung der EinfluBIinie fUr den Stiitzendruck 127
Grundaufgabe 4. EinfluBIinien fiir die Feldmomente 129
a) Darstellung der EintiuBlinie eines Querschnitts in der Endoffnung 129
b) Darstellung der EinfluBlinien einer Anzahl von Querschnitten in
der Endoffnung . . . . . . . . . . . . . . . . . _ _ _ . . 1'31
c) Darstellung der EinfluBlinien in den MittelOffnungen . . . . . 133-
Inhaltsverzeichnis. VII
Seite
Gr un d auf gab e 5. Stiitzenmon:tente und MomentenfHichen infolge
symmetrischer Belastung der Offnungen 135
a) Symmetrische Einzellasten . . . . . 135
b) SymmetrischeStreckenlasten . . . . 136
Grundaufgabe 6. Stiitzenmomente infolge unsymmetrischer Be-
lastung ....................... . 137
a) Streckenlasten und Einzelkrafte • . . • . • . . . . . . 137
b) Beliebige unsymmetrische Belastung. Dreiecksbelastung. Mo
mentenbelastung 140
II. Zahlenbeispiele .......... . 142
Einleitung . . . . . . . . . . . . . . 142
Zahlenbeispiel 1. Der Balken iiber zwei ungleichen Offnungen • 143
a) EinfluBlinien fiir ein Feldmoment in der Offnung ll' . . . . . 143
b) EinfluBlinien fiir die Querkraft eines Quersohnittes der Offnung l2 144
0) min M1.!', max M1p und max Mllp infolge p . •.••.••.• 144
d) Samtliohe EinfluBlinien fiir Momente, Querkrafte und Auflager-
driicke. .................... . 145
e) Momente, Querkrafte und Auflagerdriicke infolge Eigengewicht 147
f) Maximal- und Minimal-Momente und Querkrafte infolge p. . 149
g) EinfluB der Stiitzensenkung " ............ . 151
h) EinfluB einer ungleiohmaBigen Erwarmung . . . . . . . . . 153
Zahlenbeispiel2. Der Balken iiber drei ungleichen Offnungen . 153
a) Vorarbeiten . . . . . . . . . .............. . 154
b) EinfluBlinien der Angriffsmomente, Querkrafte und Stiitzendriicke 154
c) EinfluB des Eigengewiohts . 156
d) EinfluB der bewegliohen Nutzlast p . 157
e) EinfluB der Stiitzensenkungen. . . . . 161
f) EinfluB einer ungleiohmaBigen Erwarmung 163
Zahlenbeispiel 3. Der Balken iiber vier ungleichen Offnungen. Be
rechnung mit Hilfe von Einheitsbelastungen 163
a) Vorarbeiten . _ . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . 164
b) Stiitzenmomente infolge der Einheitsbelastungen . . . . . 165
c) Stiitzenmomente infolge Eigengewicht . . . . . . . . . . 166
d) Maximal- und Minimal-Stiitzenmomente infolge Nutzlast p 166
el Auflagerdriioke infolge p . . . . . . . . . . . • • • . . 167
Zahlenbeispiel 4. Der Balken iiber sechs ungleiohen Offnungen . 169
a) Vo rarbeiten . . . . 169
b) EinfluBlinien fiir die
a) Stiitzenmomente 169
(J) Feldmomente . . 172
y) Querkrafte . . . 173
.5) Auflagerdriicke . 173
c) EinfluB des Eigengewichts 176
d) EinfluB der Nutzlast Pi GroBt- und Kleinst-Werte der Momente,
Querkrafte und Stiitzendrucke . . • . . . . . . . . • . . • 178
Za.~le n b espiel 5. Der durchlaufende Balken iiber sieben ungleichen
Offnungen ... . 185
a) Vorarbeiten ... . 186
b) EinfluBlinien fur die
/X) Stiitzenmomente 188
(J) Feldmomente . 189
y) Querkrafte . . 189
.5) Auflagerdriicke 190
VIII Inhaltsverzeichnis.
Seite
c) Einflul3 des Eigengewichtes g und der Nutzlast p . 191
a) Stiitzenmoment M. fiir Eigengewicht und Nutzlast . 191
fJ) max MIVp in der Offnung l. . . . . . . . . . . . 192
r) Maximal- und Minimal-Querkraftflache in der Offnung l. und
1.,; max und min C4P • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 193
Zahlenbeispiel 6. Der Balken iiber vier ungleichen Olfnungen mit
veranderlichem Querschnitt inn erhal b der Offnungen . 195
1. Die rechnerische Untersuchung des Balkens . . . 196
a) Die Dreimomentengleichungen und ihre Auflosung 196
b) Einflul3Iinien fiir die
a) Stiitzenmomente . . . _ . . . . . 199
fJ) Feldmomente. . . . . . . • . . . 201
c) Die rechnerische Ermittlung der Festpunkle . 202
2. Die graphische Untersuchung des Balkens . 203
a) Die graphische Ermittlung der Festpunkte . 203
b) Bestimmung der Stiitzenmomente mit Hilfe der Kreuzlinien-
abschnUte . . • . . . . . . . . _ . . _ . . . . 205
Dritter Teil.
Hilfstafeln zur Berechnnng dnrchlanfender Balken fiber
nngleichen Offnnngen.
Hilfstafel L HiIfswerte z und Momente Mo fiir symmetrische Belastung 208
" II.1) Der Balken iiber zwei ungleichen Offnungen . 210
III. 1) " drei" " 214
"IV. ') " vier 220
V.1) " fUnf . " 229
Vl,1) sechs 243
n+
VIL') " 1 " 260
" VIII. Ordinaten der Einheitsparabeln 265
1. Momentenparabel 26.5
2. Querkraftsparabel . . _ . . 266
IX. Die Zahlen roD und rob • • . . 2 6 7
X. Nomographische Tafeln fiir roT und roT (Ausschlagtafel).
" XI. N omographische Tafeln fiir
f
w~ (~)
und d (Ausschlagtafel).
') Die Hilfstafeln II bis VII enthalten folgende Untertafeln:
1. Bezeichnungen und Abkiirzungen,
2. die Dreimomentengleichungen,
3. die Aufliisung der Dreimomentengleichungen,
4. Tafel der Werte fJ,
5. Tafel der Werte k,
6. Einflul3linien fiir die Stiitzenmomente,
7. " "" Feldmomente,
8. " Querkriifte,
9. " "" Auflagerdriicke,
10. Einflul3 des Eigengewichts g,
11. " der veranderlichen Nutzlast p,
12. " "symmetrischen Belastung je einer Offnung.
Berichtigungen.
S . 10,3. Zeile~. u. lies: Mk=YbX+ayX, stat t Mk=Ybx=ay ,x.
nr_1 -1
S. 27, Formel (36 b) lies: E Jc <5,. +'. r = .L'."J 'W r +, -Xrt+-,
r+,
r=1
2nr- l
Xr+,
statt EJc<5r+,r= Wr+'-l-'
, r+l
r=l
S. 42, 3. Zeile v. o. lies: flu statt fl2 r .
S. 60, Formel ('18) lies: Qmg = gr (xo r - xr) statt Qmg = gr (xor - x,,;).
S. 61 I, 3. Zeile v. o. lies: x/' statt x~r' '
r
S. 82, Formel (135), 3. Zeile v. o. lies: - Lb1' + !bt' ~J kr- 1,,' wD
r r+l
11 Lt,.' l ,
-lb'
statt +b-I kr-',r wn .
S. 97, Formel (151) lies: fr statt f,.'. r ,"+lJ
S.123, 7. Zeile v. o. lies: '745 = - 3,930 (w~ - 0,340 Wn)
statt '745 = - 3,930 (WD - O,341J WD) .
S. 125, 10. Zeile v. u. lies: (.t = 0,385 slatt. i = 0,38.) .
S. 132, Abb. 134a u. b lies: 1'JA = 3,82 statt 1'J:m = 3,82 .
S. 141, 2. Zeile v. u. lies: Z2 = - P 13 t3' w~ statt Z2 = - P t3 t3' Wn .
. . 12 1 t 1
S.145, 14. Zelle v. o. hes: c2P = 2-4 k'2 statt C2P = ~ - 4 k,2•
t
t
S. 150, 9. Zeile v. o. lies: min ML2 = - t, k1l
s t att mi'lMl L ] = - 4P' 11 k11 ~b2 .
S.151, 10. Zeile v. u. lies: min C,p = 0 statt min Cp = 0 .
S. 152, letzte Zel'1 e Il' es: QI I = - 11,22,20 statt QI I = 112,2,02 .
S. 158, 4. Zeile v. o. lies: t,' = 2 c,p - b,' statt t,' = 2 c, - b,'.
S. 170, 3. Zeile v. links lies: 13 = 14,0 statt 13 = 14,3 .
S.217, 1. Zeile der Mg-Werte lies: M2u = -1 [g,l, k~, + g212 k22 (1 -11,) + g3ta k23J
statt MlU = - t [g, I, k21 + g2t2 k22 (1 - (.t,) + g3 t3 k23l .
S.218, 4. Zeile v. o. lies: cap = ~ - 4\ [k2' 1, + k23 tal
=i - 3
statt . Cap 41t [k2' I, + k23 t3]'
2
S.248, in der Reihe der Qr Werte lies: "14 = - kt'4 WT' statt '71 __ 7k1,4- W
., " 4 - T,'
S.259, in der Reihe der max. Auflagerkrafte, unter C lies:
5
15 + t6 I + I . +
P-~ - a5 5 d6 6 -mIll 1'5 max ;'6
t t5 + t6 t l .
s att p-2--a5 5+a6 6-mm1'5-max)'6'
Erster Teil.
Theorie des durchlaufenden Balkens
fiber ungleichen Offnungen.
I. Die Grundlagen.
1. Einleitung.
Der Balken auf mehreren Stiitzen, wie ihn Abb. 1 zeigt, besitzt
nur ein festes Auflager, wahrend aIle anderen Auflager, um Zwan
gungen infolge von Temperaturanderungen, von Erhartungsvorgangen
usw. im Tragwerk zu vermeiden, beweglich angeordnet sind. Da
nun ein Balken auf zwei Stiitzen statisch bestimmt ist, hier aber zu
den beiden Endauflagern noch n U nbekannte der n Innenauflager
hinzutreten, ist ein Tragwerk nach Abb. 1 n-fach statisch unbestimmt.
Abb.l.
Zur Berechnung dieser n Unbekannten miissen n Gleichungen ge
funden werden, die man aus dem elastischen Verhalten des Tragers
herleiten kann und die daher Elastizitatsgleichungen genannt
werden. Wahlt man als statisch unbestimmte GroBen die Biegungs
momente iiber den Innenstiitzen, so nehmen diese Elastizitats
gleichungen eine fur die Auflosung sehr bequeme Form an, weil in
jeder Gleichung nicht mehr als drei Unbekannte vorkommen. Diese
Gleichungen gehen in der Praxis unter dem Namen Clapeyron'sche
Gleichungen (von Clapeyron 1857 aufgesteIlt), werden aber besser
Dreimomentengleich ungen genannt, denn bereits zwei Jahre vor
Clapeyron, d. h. 1855, hat Bertot diese Dreimomentengleichungen
verwendet 1).
1) Wir Deutsche bevorzugen ja gern fremdlandische, klangvolle Bezeichnungen,
haben aber meist wenig Gluck damit. So l'uhrt der Polonceau-Dachstuhl von
W ie gm ann her, die Cremonaschen Kriifteplane hat zuerst Bow aufgestellt usw.
Kammer, Durchlaufende Trager. 1