Table Of ContentMathematische und physikalische Grundlagen
Elastisches und inelastisches Materialverhalten
Große Verformungen, Fließvorgänge
Elastizität und Viskoelastizität
Plastizität und Viskoplastizität
Deiormaliong
JESBlTe
von
Professor (em.) Dr.-Ing. Georg Backhaus
Mit 174 Abbildungen und 1 Tabelle
AKADEMIE-VERLAG.- BERLIN 1983
LEerkstcohri:e neRne naitme ATkraaduemtimea-nVne rlag, DDR-1086 Berlin, Leipziger Str. 3—4
© Akademie-Verlag Berlin 1983
Lizenznummer: 202 - 100/433/82
Einbandgestaltung: Rolf Kunze
BGeessatmetlhlenrusmtmeelrl:u ng7:6 29V1E2B1 D(6r6u0c6k)e re- iL SV„ Th3o0m25a s Müntzer“ ‚5820 Bad Langensalza
Printed in GDR
DDR 72,00M
Vorwort und Übersicht
Dieses Buch baut auf dem Stoff der Lehrveranstaltungen über Elastische und Inela-
stische Stoffgesetzel) und Plastizitätstheorie auf, die von Verfasser über ein Jahrzehnt
hinweg an der Technischen Universität Dresden für Studenten der Fachrichtungen
Angewandte Mechanik, Werkstoffkunde, Konstruktion und Technologie durchgeführt,
wurden. Der Verfasser möchte mit diesem Buch eine zusammienfassende Darstellung
der das elastische und inelastische Materialverhalten beschreibenden Deformations-
gesetze und ihrer speziellen mathematischen, mechanischen und teilweise auch physi-
kalischen Grundlagen geben. Besonderes Gewicht ist dabei auf die Behandlung des
plastischen Materialverhaltens der Metalle und dessen analytische Darstellung gelegt,
die weitgehend aus experimentellen Ergebnissen abgeleitet wird.
In der technisch-wissenschaftlichen Literatur fehlt, bislang eine solche zusammıen-
fassende Bearbeitung, die geeignet erscheint, die zwischen den verschiedenen Formen
des Deformationsverhaltens bestehenden Zusammenhänge und Übergänge deutlicher
zu machen und dadurch wie auch durch die Bereitstellung der speziellen mathema-
tischen und mechanischen Grundkenntnisse dem auf diesen Gebiet tätigen Wissen-
schaftler und Ingenieur die Einarbeit und Übersicht zu erleichtern. Lesern, die einer
Aufarbeitung oder Vervollständigung der genannten speziellen Grundkenntnisse be-
dürfen, soll diese ohne aufwendiges Studium zusätzlicher Literatur ermöglicht werden.
Um das Studium des Buches zu erleichtern, hat sich der Verfasser un eine eingehende
und ausführliche Darstellung der theoretischen Entwicklungen bemüht, was allerdings
manchmal etwas zu Lasten einer kürzeren und damit übersichtlicheren Darstellung
geht.
Das Buch wendet sich an Dozenten und Studenten des Maschinen- und Bauwesens
und der Fertigungstechnik, an Ingenieure und Wissenschaftler, die auf den Gebieten
der Festigkeitsberechnung oder der Umformtechnik tätig sind, sowie an Werkstoff-
wissenschaftler und Physiker, die sich mit den mechanischen Eigenschaften der Fest-
körper befassen.
Der Inhalt ist in vier Hauptabschnitte gegliedert, von denen der erste der Ergän-
zung und Vertiefung der mathematischen Grundlagen dient, der zweite sich neben
den Spannungen vor allem mit der Geometrie der Verformungen befaßt. Der dritte
Hauptabschnitt behandelt die elastischen und viskoelastischen Defornationsgesetze,
der vierte das elastisch-plastische und viskoplastische Materialverhalten.
Der erste Hauptabschnitt ist vollständig auf die spätere Anwendung bei den Defor-
1) Anstelle der vielfach benutzten Bezeichnung „Stoffgesetze“ wird in diesem Buch der
konkretere Ausdruck ‚Defomnationsgesetze“" angewendot.
VI Vorwort und Übersicht
mationsgesetzen ausgerichtet. In gedrängter Form werden die Begriffe der Matrizen-
rechnung bis zu dem grundlegenden Satz von CAYLEY-HAMILTON zusammengefaßt.
In den Anwendungen zur Abbildung und Transformation werden die Eigenschaften
der homogenen Verzerrung erörtert. Bei den Vektoren und Tensoren erfahren die Be-
griffe der materiellen zeitlichen Ableitung und der Bezugssystemindifferenz beson-
dere Beachtung.
Sämtliche Beziehungen dieses Kapitels werden in zwei Schreibweisen angegeben:
in der physikalisch anschaulichen Indizesschreibweise und in der für numerische
Rechnungen vorzugsweise benutzten Matrizenschreibweise. In den nachfolgenden
Hauptabschnitten wird fast ausschließlich die Indizesschreibweise benutzt.
Gegenüber der knappen, aber ausreichend erscheinenden Darstellung des Span-
nungszustandes im zweiten Hauptabschnitt ist der weitaus größte und in Anbetracht
des diffizilen Gegenstandes recht umfangreiche Teil dieses Kapitels der eingehenden
Behandlung der großen. Verformungen bzw. Verzerrungen gewidmet. Erörtert werden
die verschiedenen Arten von Deformations- und Verzerrungstensoren, die natürlichen
Verzerrungs- und Drehungsgeschwindigkeiten, stationäre und instationäre Verfor-
mungsvorgänge und der Begriff der Drehungsfreiheit. Die im Hinblick auf die ver-
formungsbedingte Anisotropie wichtigen Beziehungen für die materiellen zeitlichen
Änderungen der Verzerrungstensoren werden dargestellt.
Ein Abschnitt dieses Kapitels befaßt sich mit der Integration der Verzerrungs-
geschwindigkeiten. Während die hierbei erhaltenen Verzerrungsgrößen bei kleinen
Verzerrungen praktische Bedeutung haben, ist diese dagegen bei den gleichfalls be-
handelten großen Verformungen nur noch beschränkt vorhanden.
Der dritte Hauptabschnitt gibt einleitend eine phänomenologische Übersicht über das
elastische und die verschiedenen Formen des inelastischen Materialverhaltens. Hier-
bei werden anhand mechanischer Analogiemodelle die Grundbegriffe und Grund-
beziehungen für die spätere Weiterverarbeitung gegeben. Die zur Erläuterung des
elastischen Verhaltens notwendigen thermodynamischen Grundgesetze werden in ein-
fachster . Form entwickelt. Es schließt' sich die Unterssuucchh ung des lastiis c Ver-
haltens in Form der Thermo-Elastizität an. B anelastischen Ver
Bei den elastischen Dejormationsgesctzen für große Verzerrungen werden die ver-
schiedenen Möglichkeiten der Darstellung mittels Verformungsmatrix und Deforma-
tionstensoren behandelt. Die Anwendung der entwickelten Spannungs-Dehnungs-
Beziehungen erfolgt an grundlegenden Beispielen. Vor .
. estellt w zei ni
Satz von CAYLEY-HAMILTON entsprechende Form der Detor 1 weiterhin eine dem
. , mations ü
und kleine Verzerrungen. Der relativ umfangreiche Abschnitt der elastı ch A in
mationsgesetze schließt mit“einer Besprechung der verschiedenen Fo na ni; on
Elastizitätsgesetze und einer kurzen Erörterung anisotroper S en Ger ne
»pannungs-Dehnungs-
Beziehungen.
Die Behandlung der viskoelastischen Deformati ,
setzung, kleiner Verzerrungen. Entwickelt ind nunneeze erfolgt unter Voraus-
bietende allgemeine Differentialgleichung des linearen visk . praktische Vorteile
Von größerer Allgemeinheit ist die anschließend betrachte en antischen Verhaltens.
Auf ihrer Grundlage erfolgt der Übergang zum allgemeinen & achwirkungstheorie-
zum nichtlinearen Verhalten. Durch den Einbau einer Deh Pannungszustand und
Nachwirkungstheorie wird diese in einer Form erhalten, die ah a egung in 2°
’ a8 viskoelastische
Vorwort und Übersicht VII
Verhalten als auch das viskoplastische Verhalten der Metalle bei hohen Temperaturen
umfaßt.
Der letzte und umfangreichste Hauptabschnitt befaßt sich mit den Deformations-
gesetzen des elastisch-plastischen und viskoplastischen Materialverhaltens. Dieses Ka-
pitel enthält. in wesentlichen Teilen Ergebnisse der Forschungsarbeit des Verfassers
und der im Rahmen ihrer Dissertationen erfolgten experimentellen und theoretischen
Arbeiten seiner Mitarbeiter, der Herren Dr.-Ing. G. Friıtzsche, A. MASHAOUR,
K. RICHTER, H.-J. STEIGER, M. VOLPERT.
Nach einer kurzen Darstellung physikalischer Grundvorstellungen zum plastischen
Verhalten werden in mehreren Abschnitten die Deformationsgesetze des isotropen
elastisch-plastischen Materials (Fließbedingungen, Fließgesetze, Fließtheorie, Defor-
mationstheorie) behandelt. Eine sehr eingehende Darstellung erfährt der verallgemei-
nerte BAUSCHINGER-E/fekt als eine wesentliche Ursache der verformungsbedingten
Anisotropie. Seine analytische Erfassung erfolgt mittels der vom Verfasser eingeführ-
ten [28, 292] BAUSCHINGER- Relazationsfunktion, mit der sowohl bei unstetigen als
auch bei stetigen Verformungsvorgängen gute quantitative Übereinstimmung mit
Versuchsergebnissen erreicht wird. Besonderheiten der zyklischen Verformung (Ent-
festigung, Relaxation) werden unter Auswertung der oben genannten Forschungs-
arbeiten durch die dargebotene Theorie quantitativ erfaßt. Abschließend werden ver-
schiedene Formen anisotroper Fließbedingungen betrachtet.
Die Deformationsgesetze des viskoplastischen Materials, also des Verhaltens der
Metalle bei erhöhten und hohen Temperaturen, werden im letzten Hauptabschnitt des
Kapitels behandelt. In Anbetracht dieses großen und noch sehr unvollständig er-
forschten Gebietes der mechanischen Eigenschaften des Festkörpers hat sich der
Verfasser auf eine kurzgefaßte Darstellung beschänkt. Im Vordergrund der analy-
tischen Behandlung steht dabei die mechanische Zustandsgleichung, die im Hinblick
auf die große Streuung der meisten Meßergebnisse eine brauchbare Näherung dar-
stellt. Ausgehend von der Theorie für gleichbleibenden Belastungszustand bei ver-
änderlicher Belastungsgröße, können gesicherte Aussagen über das Verhalten bei be-
liebiger Belastungsgeschichte noch nicht gemacht werden. Es werden hier zwei Mög-
lichkeiten erörtert, die von der Existenz einer statischen Fließgrenze (bei niedrigen
und mittleren Temperaturen) bzw. der Existenz einer initialen plastischen Dehnung
(bei hohen Temperaturen) ausgehen.
Abschließend möchte der Verfasser Herrn Professor Dr. rer. nat. habil. G. Laxp-
GRAF für die mühevolle Durchsicht des Konzepts und wertvolle Ratschläge, dem
Akademie-Verlag, insbesondere dem Lektorat Physik, für die verständnisvolle Unter-
stützung bei der Herausgabe dieses Buches seinen Dank aussprechen.
*EORG BACKHAUS
Inhaltsverzeichnis
Bezeichnungen und Schreibweisen ............:22reeseeeseneeenen XII
1. Mathematische Grundlagen .........c2rereeeseeenenereeneennnnnnn 1
1.1. Quadratische Matrizen.ss .see .ne.ns .on.en .ee2n eeen eern eon n ne 1
1.1.1. Begriff und Sehreibweisen ...........22s2ereeseeeseeeerneenrnnene 1
1.1.2. Matrizenmultiplikation .........222eseeeseneeeereeseeneneneenenn 3
1.1.3. Einheitsmatrix und KRONECKER-Symhol.........s.ccereneeenenenee 7
1.1.4. Kehrmatrix und orthogonale Matrix ........-.rrerecaseeeeeneennnn 8
1.1.5. Charakteristische Matrix und Eigenwerte ..........2ceencecseenenen 10
1.1.6. Matrizenpolynome, Satz von CAYLEY-HAMILTON ..........-220r0n.. 12
ham io LAibnbeialrdeu ngA bbuinldd unTgr an(shofmoorgmeantei oVne.r.z.er.r.u.n.g). .:....2c.en.er.s2e2.s2 e-n-eene2eecee-reee-nnenen nn 1144
bu hd io io wo VLienrezaerrer uAnbgbsihladuupntga chesineenr Kunudg elz ug.e.o.r.d.n.e.te. ..R.i.c.h.t2u.nog2eene nu.e.n.u.r.e.n.e.n.e.e.n.e.n. 1176
deu io =
um bu ko bo t BEeiigsepniselc haefitneern edbeern ehn omVoegrefnoernm unVge rzuenrdr unFgal l .d.er. .e.i.nefraeceheenn eeSncehceernuenrge.n.e.n. 2214
eu je io io na RKeoionred inDarteehnutnrga nusnfdo rmraeitnie onV er.z.e.r.r.u.n.g., 2F2a-ll0 22d0er sreeisnsens eSeceheeereunnge en.e.n.e.e.ne.n 3219
ud bo “ Zerlegung der allgemeinen homogenen Verzerrung ..........2222202. 35
ei o Vektoren und Tensoren........ cz cc nennen nenne ner teren 39
1.3.1. Transformationsgesetz für Vektoren ........... erneuern 39
1.3.2. Transformationsgesetz für Tensoren.........222c2ceneeenn een 41
1.3.3. Tensorinvarianten .... con 2 ee ernennen 45
1.3.4. Räumliche und zeitliche Ableitungen... ...... 22. n ocean 47
1.3.5. Bezugssystemindifferenz (Objektivität) .. 2.2 c cc ocean ö4
1.3.6. Lineaurndi Itsotärotpi e ..........ucceenneeneesnenneuueneuenenen 58
Spannungen und Verformungen ......2 22 nn nee enee rennen 64
Spannungen .....seeeseenseensenereennennennennesensseernernenn 64
Homogener Spannungszustand, Hauptspannungen, Oktaederspannun-
BEN... eeeeeeerenereneennneen eere terns eenenenneeeneennee n 64
Spannungstransformation und Invarianten .........ccenneeeeenen. 67
Inhaltsverzeichnis
X
Deviatorspannungen und Deviatorinvariantener. .e.er.e.ee.n.nn.: 70
DE H Inhomogener Spannungszustand, Gleichgewichtsbedingungen.......... 72
U S Spannungsgeschwindigkeit ....... eneneeeeeesensneereeenneneennn 73
D u
D mn Allgemeine (große) Verformung ......srreeeeeneennnn ennennnnenn 75
Verformung und Verzerrung ..2......eecerenernenenenne nennen 15
oDkbn Deformations- und Verzerrungstensoren, Invarianten ........cccere- 8
ubi Dehnung und Gleitung bei großer Verformung. ...........r ernennen 86
u
Dvb Große Verformung bei kleiner Verzerrung ........22rcceeeenenenenn 90
wp
Natürliche Verzerrungs- und Drehungsgeschwindigkeiten ............ 95
b
NDu Tensor der Verzerrungs- und Drehungsgeschwindigkeiten ............ 100
Nmo
Mbn Stationäre und instationäre Verformungsvorgänge ........2rscceeeen 104
Db Ebene stationäre Verformung .......Censeocereeennen nennen ann 107
Dwa
E b Drehungsfreie (instationäre) Verformung... .....222220rcseeeeneenrn 112
b
DNbL ' Zeitliche Änderung der Verzerrungstensoren Leeunnnenrnenseenrenenen 117
rb©
,Boooe Integration der Verzerrungsgeschwindigkeiten ........ Pe 121
Deur Anwendungen auf die Zug-Torsions-Verformung eines Rohres ........ 129
DbLn Verformungsweg und Vergleichsdehnung. ...2.222.22 2.cc.ecu.n 133
Eb w
Dvrar r Anwendungsbeispiele zur Vergleichsdehnung .........222 22220222... 138
Grundzüge der elastischen, anelastischen und viskoelastischen Deforma-
tionsgesetze ... none eoeeeennennnnnnsre nenne nern 145
3.1. Übersicht über das inelastische Materialverhalten 222... 145
3.1.1. Grundeigenschaften ....... ensurenee nen 145
3.1.2. Grundzüge des Spannungs-Dehnungs-Verhaltens. 22.222222... 146
3.1.3. Mechanische Analogiemodelle, axiomatische Grundlagen ............. 150
3.2. Elastisches und anelastisches Verhalten... cc... 156
3.2.1. Thermodynamische Grundlagen des elastischen Verhaltens. .......... 156
3.2.2. Anelastisches Verhalten (Thermoelastizität) .......22...... 160
3.3. Elastische Deformationsgesetze . 22.2... 166
3.3.1. Energetische Grundbeziehungen ......... 222... 166
3.3.2. S5 pannungs-Dehnungs-Beziehungen en dedess iissoottrrooppeenn KKöörrnpeerrss hbeeii wguraofßeenn
ETZETTUNGEN zen
nen 172
3.3.3. Anwendungsbeispiele für inkompressibles Material .......... u \ . 175
3.3.4. Eine rennen. Pannungs-Dehnungs-Bezichungen für große und
3.3.5. Lineare Blastizitätsgesetze .......... nn 186
3.3.6. CaucHy- und GREEN-Elastizität, Anisotropie.... on 192
3.4. Viskoelastische Deformationsgesetze nee rneeeee 194
3.4.1. Differentialgleichung der linear viskoelastischen Deformationsgesetze 194
Inhaltsverzeichnis
3.4.2. Lineare Nachwirkungstheorie ............2esccseeereeenneenrsses 199
3.4.3. Nichtlineares Verhalten und allgemeiner Spannungszustand .......... 206
3.4.4. Nichtlineare Nachwirkungstheorie mit Dehnungsverfestigung ........ 210
Deformationsgeseize des elastisch-plastischen und elastisch-viskopla-
stischen Materialverhaltens .............--.r2cssereeenenenerenenn 216
4.1. Physikalische und experimentelle Grundlagen des plastischen Verhal-
bENS...ooonaeeneeeres eneessreneenestneeeerrereseeneneeereenerne 216
4.1.1. Physikalische Grundvorstellungen ............22ocnneeeeeeernnenn 216
4.1.2. Spannungs-Dehnungs-Verhalten ............2.u22ceseeweesneeneneen 220
4.1.3. Fließkurven und ihre analytische Erfassung.............2ces2ucse.... 224
4.1.4. Superplastizität ......2u@s2seneeeeeeerenenerserenenenserenennnen 228
4.2, Fließbedingungen des isotropen Materials ..........e-cereenceeenn 229
4.2.1. Fließbedingungen nach TREScA und von MISES ............crc nenn 229
4.2.2. Darstellung durch Spannungsinvarianten .......crer2useereene e 234
4.2.3. Fließkurve bei mehrachsigen Spannungszustand.....2........2222.% 237
4.2.4. Isotrope Abweichungen von der Misesschen Fließbedingung.......... 238
4.2.5. Darstellung der Fließbedingung in der Deviatorebene...............- 247
4.3. Fließzustand .........eeseeeneneeseenereenesnenseneneererenenern 248
4.3.1. Grundpostulate und Fließgesetz .......2.222ceeeonc eeoens een r 248
4.3.2. Fließzustand für die allgemeine isotrope Fließbedingung ............. 255
4.3.3. Darstellung des Fließzustandes im Vektorraum ......-20o-202eenenen 258
4.4. Deformationsgesetze des isotropen elastisch-plastischen Materials..... 262
4.4.1. Isotrope Fließtheorie............cueneeeenenenenanrneennneeenn 262
4.4.2. Differentielles Deformationsgesetz .........-.en-2ceneeeneeennnenn 267
4.4.3. Deformationstheorie ......2.cunnesnneenu eean reeen enneeneeeenne n 272
4.5. Anisotropie infolge plastischer Verformung .......cceaceneeeennnn 276
4.5.1. Folgefließflächen und BAUSCHINGER-Effekt..ce. .cn.ec.e.en.e.e . 276
4.5.2. Isotrope und kinematische Verfestigung ......--.z2ceneaeeeeenenenn 280
4.5.3. Analytische Darstellung des verallgemeinerten BauscHinGer-Effekts.. 283
4.5.4. Verformungsweg mit Knick (Hakenweg) ....c.u c.ce.nee.e .ee.n 237
4.5.5. Zyklische Verformung. ......e.os 2necsnnsenecn annneu reensne n 291
4.6. Deformationsgesetz bei stetigen plastischen Verformungsvorgängen.... 300
4.6.1. Materielle Ableitung des Richtungstensors und Bezugssystem......... 300
4.6.2. Zusatzspannungen infolge Verfornungsanisotropie durch den Barv-
SCHINGER-Effekt.........cccecneeereneenunesenenenennnereneseneen 303
4.6.3.
