Table Of ContentUNIVERSITE´ DE´PARTEMENT LABORATOIRE GEVREY
DE DE DE
BOURGOGNE MATHE´MATIQUES MATHE´MATIQUE PHYSIQUE
`
THESE
Pre´sente´epar
Franc¸ois NADAUD
Pourl’obtentiondutitrede
DOCTEUR EN MATHE´MATIQUES
DE L’UNIVERSITE´ DE BOURGOGNE
´
DEFORMATIONS ET
´ ´ ´ ´
DEFORMATIONS GENERALISEES
Soutenuepubliquementle 21Janvier2000devantleJury suivant:
—PRE´SIDENT —
Alain CONNES
—EXAMINATEURS —
DidierARNAL
Georges PINCZON
Jacques SIMON
Daniel STERNHEIMER
Rapporte´eparDidierARNAL et OlivierMATHIEU.
A` LA ME´MOIRE DE MOSHE´ FLATO
Quandjesuisarrive´aulaboratoireGevrey,Moshe´ene´taitledirecteur
et il m’y accueillit avec sa chaleur coutumie`re.Il s’inte´ressaitau travail
dechacunetposaittoujoursdesquestionsessentielles,incitanta` prendre
dureculet ouvrantde nouvellesvoies de recherche.
Iln’e´taitpas seulementun mathe´maticienet unphysicien exception-
nel, c’e´tait un eˆtre unique par son intelligence, sa ge´ne´rosite´, sa bonne
humeur ponctue´e de since`res coups de gueule, sa franchise et par bien
d’autresqualite´sque luiseulsavait re´unir.
Comme beaucoup, j’ai e´te´ choque´ par sa disparition brutale et je me
souviens toujoursdeluiavec beaucoupd’e´motion.
AVANT PROPOS
Avantd’eˆtreadmis au sein dulaboratoireGevrey, lavisionquej’avais dumonde
delarechercheetdel’enseignementuniversitairee´tait,commecelledetoutautree´tu-
diant, de´forme´e par latrop grandedistance qui lese´pare des enseignants. Celle-ci et
mon regard sur les mathe´matiques en ge´ne´ral ont bien naturellement profonde´ment
e´volue´ au coursdes troisanne´es etquelquesmoise´coule´s depuis. Latotalite´ del’ex-
pe´rienceetdesconnaissancesquej’aiacquisespendanttoutcetempsn’estassure´ment
pas inscritedans les pages qui suivent— pourmoi l’essentiel est ailleurs. Mais leur
contenu,bienquemodeste,constitueunebasesurlaquellej’espe`rede´velopperdenou-
vellesdiscussionsmathe´matiques.Pourcommencer, j’ailachancedepouvoirsoutenir
cettethe`sedevantunjurysomptueux,compose´ de chercheurs actifsetreconnusdans
desdomainesquej’affectionne.Verseuxvonttoutd’abordmesremerciements.
Le nom d’Alain Connes, laure´at en 1982 de la prestigieuse Me´daille Fields, est
mondialementconnuetreconnu.Sacultureestdesplusvastesetses travauxsontdes
pluspointus;sesrecherchess’e´tendantenprofondeursurunlargedomainemathe´ma-
tiqueontinfluence´ etdirige´cellesdenombreuxmathe´maticiens.Jeluisuisprofonde´-
ment reconnaissant d’avoiraccepte´ de pre´siderce jury,sa pre´sence est pourmoi a` la
foisgratifianteetstimulante.
Jeremercietre`schaleureusementDidierArnaletOlivierMathieud’avoirrapporte´
surcettethe`se.J’aieuparfoisl’occasionderencontrerl’unetl’autreetd’appre´cierde
chacunladisponibilite´,l’ouvertureetsurtout,lorsdeconversationsmathe´matiques,la
patienceetlape´dagogiere´pondanta` lana¨ıvete´ oul’ignoranced’uninterlocuteur.Les
remarquesqu’ilsm’ontadresse´essurlemanuscritontde´ja`bienalimente´mare´flexion.
E´tante´tudiantenmaˆıtrisepuisenD.E.A.,j’aiassiste´auxcoursdeGeorgesPinczon.
Ilyabordaitlesquestionsquiavaientmapre´dilectionetlesexposaitavec unerigueur
et une clarte´ qui rendaient les se´ances tre`s agre´ables et te´moignaient de sa parfaite
maˆıtrisedusujet.C’esttoutnaturellementsoussadirectionquej’aivouluentreprendre
cette the`se et pas un instant au cours de ces trois anne´es je n’ai regrette´ ce choix.
Il m’a laisse´ une grande liberte´, tout en m’apportant a` la fois la matie`re premie`re et
sonpointdevuee´clairantpourlatraiter.Jeluidoise´galementunsoutieninde´fectible
et inconditionnel,meˆme quand, succombant a` la fatigue et au de´couragement, je ne
me serais plus soutenu moi-meˆme. Pour tout cela, je lui adresse mes plus since`res
remerciements.
J’aifre´quemmentleplaisirdecroiserJacquesSimondansleslocauxuniversitaires
et d’y converser amicalement avec lui. A` mon grand regret j’ai moins souvent l’oc-
casion de rencontrer Daniel Sternheimer, mais je lui doisd’avoir porte´ une attention
AVANTPROPOS
touteparticulie`resurmontravailetsesnombreusesremarquesm’ontpermisd’ame´lio-
rerconside´rablementlemanuscrit.Jelesremercietouslesdeuxdemefairel’honneur
etleplaisirdesie´gerdanscejury.
Letempsafaitquej’ainoue´desliensamicauxavecquelquesmembresdelacom-
munaute´ des mathe´maticiens. Parmi eux comptent Fre´de´ric Bidegain, PhilippeBon-
neau,Ve´roniqueChloupetSe´bastienMiche´a,dontlecourageetleseffortsontdonne´
naissance aux Rencontres Mathe´matiques de Glanon, ainsi que Pierre Bieliavsky et
JosephDitoquisontvenuscomple´terl’e´quipedesorganisateurs.
Larecherchemathe´matiquesesatisfaitd’unelogistiquerestreintea` peudechoses,
mais l’ambiance quire`gneautourduchercheur restetoutde meˆme capitale. Celledu
LaboratoireGevreyestexcellente;ilyesttre`splaisantd’ydiscuter—souventautour
d’uncafe´ —demathe´matiques,d’enseignementoudetouteautrechose.J’aimeyren-
contrerdespersonnescommeJean-ClaudeCortet,ChristianeMartinouDanielBeau;
Marylise Debret, Georgette Agostini et Jacqueline Alexandre, chacune tre`s efficace
danssondomaine,contribuenta` yrendentlavieagre´able.
Aquelquesreprisesjemesuisde´place´ a`l’universite´deMetzquim’aa`chaquefois
chaleureusementaccueillietou` j’aitoujourseuplaisira` rencontrerSimoneGutt.
Pourceux quiconside`rentde l’exte´rieurce mondeunpeufoude laplusabstraite
desrecherches eta` quijenede´sespe`repasdepouvoirunjourexpliquerclairementen
quoiconsistemontravail,jeveuxessayerdede´crireunpeucommentilestve´cu.Jean
Dieudonne´, dans l’introductionde son Abre´ge´ d’histoiredes mathe´matiques,re´sume
ainsile tragique delaviedumathe´maticien:
(( ))
Commechezbeaucoupdesavants,laviedumathe´maticienestdomine´eparune
((
inlassablecuriosite´,unde´sirdere´soudrelesproble`mese´tudie´squiconfinea`lapassion,
etarrivea`lefaires’abstrairepresquetotalementdelare´alite´ambiante;lesdistractions
oubizarreriesdesmathe´maticiens ce´le`bres n’ontpas d’autreorigine.C’estquelade´-
couverted’unede´monstrationnes’obtientenge´ne´ralqu’apre`sdespe´riodesdeconcen-
trationintenseet soutenue,quise renouvelleparfoispendantdes moisoudes anne´es
avantquelere´sultatfinalnesoitatteint:Gaussareconnuavoircherche´ lesigned’une
expressionalge´briquependantplusieursanne´es,etilafalluaussilongtempsa`Kummer
etDedekindpourposerlesbasesdelathe´oriedesnombresalge´briques. 1
))
Pendant ces anne´es de recherche, j’ai pume rendre comptequela productiondu
chercheurcheminesurunecourbeendentsdescieetdela`quesonmoralpeutconnaˆıtre
degrandesfluctuations,tantsonrapporta` sontravailestparfoispassionnel—voirob-
sessionnel.Etceluiquide´butedoitveillera` nepasselaisserde´couragerparlasomme
colossaledesconnaissancesqu’iln’apasetdontiln’apuentrevoirqu’uneinfimepartie
aucoursdesese´tudes.
Bref,larecherchemathe´matiqueestplusqu’uneactivite´a` tempspleinets’insinue
touslesjoursdanslavieduchercheur.Jenepeuxoubliermes prochesqui,sans faire
partiedemonunivers professionnel ,ontpulesubir.Ilyatoutd’abordmafamille
(( ))
etenparticuliermesparents,surquij’aitoujourspucompter.IlyasurtoutBe´ne´dicte,
Nicolas,IsabelleetJe´roˆme,mesamislespluschers,a` quijesouhaitebienducourage
pourmesupportera` l’avenir.
1.JeanDIEUDONNE´,Abre´ge´d’histoiredesmathe´matiques,Hermann,Paris,1978,p.3.
–6–
TABLE
AvantPropos 5
I. Pre´sentationdelaThe`se 9
II. Re´solutionsProjectivesetCohomologiedeHochschild 19
III. De´formationsGe´ne´ralise´es 29
IV. De´formationsContinuesetDiffe´rentielles 51
V. Annexe 59
Re´fe´rencesBibliographiques 61
– I –
PRE´SENTATION DE LA THE`SE
PlanduChapitre
Au 1 j’expose sommairement la the´orie des de´formations de Gerstenhaber, en
x
rappelantnotammentdequellemanie`relacohomologieyintervient.J’expliqueensuite
l’inte´reˆtsuscite´ par cette the´oriedans lemonde de laphysique the´orique,en rapport
avecleproble`medelaquantification.N’e´tantpasunexpertenlamatie`re,j’espe`reque
lelecteur averti voudrabien mepardonnerlana¨ıvete´ duproposet j’engagecelui qui
seraitcurieuxd’approfondirlaquestiona` consulterdirectementlesarticlesfondateurs
[BFFLS]. Un des auteurs de ceux-ci, D. Sternheimer, a re´cemment faitun large tour
d’horizondetouslesre´sultatsaccumule´sdepuisvingtanssurlesujet[Ste].
Le 2 re´sume le chapitre II de la the`se, ou` sont rassemble´s les de´finitions et les
x
re´sultats principauxutilise´spar la suite concernant lacohomologiede Hochschild et
l’emploidesre´solutionsprojectives.
Le 3pre´senteunenotiondede´formationplusge´ne´ralequecelledeGerstenhaber,
x
de´veloppe´eparG.Pinczon[Pin2]etmoi[Nad1],pourlaquelleleparame`tredede´for-
mation n’estpluscentraldans l’alge`brede´forme´e, mais ve´rifieunerelationdutype
t
,ou` estunendomorphismedel’alge`bredede´part.Cettethe´orien’estpas
ta=(cid:27)(a)t (cid:27)
pre´sente´e en de´tail par la suite car elle est un cas particulier de celle de´veloppe´e au
chapitreIIIdelathe`se.
Au 4 jege´ne´ralisede nouveaulathe´orie,pourfaireagirleparame`tre desdeux
x t
coˆte´s: et .C’estcettenotiondede´formationge´ne´ralise´equi
t(cid:1)a=(cid:27)(a)t a(cid:1)t=(cid:28)(a)t
este´tudie´eauchapitreIII.
Le 5 expose le re´sultat suivant, dont la de´monstration est le sujet de l’article
x
[Nad2]et occupe lechapitre IV de lathe`se:les the´oriesdes starproduits— i.e., des
de´formations de l’alge`bre des fonctions lisses sur une varie´te´ diffe´rentielle — utili-
sant respectivement des cochaˆınes qui sont des ope´rateurs multidiffe´rentiels ou des
cochaˆınes quisontseulementsuppose´escontinues—pourlatopologiede Fre´chetde
l’alge`bredesfonctions—sonte´quivalentes.
1.De´formationsetQuantification
x
M. Gerstenhaber a introduitla notionde de´formation d’une structure alge´brique
dansunarticle,paruen 1964,quipre´sentelathe´oriepourlesalge`bresassociatives et
indiquecommenttraiterlescasdesalge`bresdeLieetdesalge`brescommutatives[Ger].
I. PRE´SENTATION DE LA THE`SE
Un expose´ de´taille´ de lathe´oriese trouvedans un livre, publie´ en 1988,qu’ilae´crit
avecS.D.Schack[GS].
Unede´formationd’une -alge`bre associative,deLieoucommutativeestladon-
k A
ne´e d’une structure de -alge`bre,du meˆme type, sur l’ensemble des se´ries
k[[t]] A[[t]]
formelles a` coefficients dans , telle que est isomorphe, comme -
A A[[t]]=(t = 0) k
alge`bre,a` .Leproduit decettestructuree´tant -biline´aire,ilestde´termine´ par
A (cid:22)~ k[[t]]
sarestrictiona` ,doncparlasuitedesapplications -biline´aires
de´finiesparlacAon(cid:2)diAtion k (cid:22)n :A(cid:2)A!A
, X .
n
8a;b2A (cid:22)~(a;b)= (cid:22)n(a;b)t
n2N
L’alge`bre , de produit , est une de´formation de si, et seulement si, est
le produitAde[[t]]. On dit que(cid:22)d~eux de´formations de soAnt e´quivalentes s’il exi(cid:22)st0e un
A A
isomorphisme de -alge`bresentrelesdeuxtelque pourtout .
'~ k[[t]] '~(a)=a a2A
A` chacune des cate´gories d’alge`bres conside´re´es est associe´e une the´orie coho-
mologique:cohomologiedeHochschildpourlesalge`bresassociatives, deChevalley-
Eilenbergpourlesalge`bresdeLieetdeHarrissonpourlesalge`brescommutatives.(On
de´finite´galementunehomologie,quiest,quandleschosessepassentbien,dualedela
cohomologie.)Danstouslescas, lescochaˆınessontdesapplicationsmultiline´airesde
vers : ,etlecobordestde´finia` l’aideduproduitde .La
(cid:15) (cid:15)
A A C (A;A) (cid:26) L (A;A) A
cohomologied’unealge`brepermetnotammentdeclassifiersesextensions.
La connaissance de lacohomologie de l’alge`bre apportedes rensei-
(cid:15)
H (A;A) A
gnementssursesde´formations.Parexemple, si de´finitunede´formationde ,alors
(cid:22)~ A
lepremierterme estuncocycleetl’ensembledescocyclescochomologuesa` est
exactementl’ense(cid:22)m1bledespremierstermesdesde´formationse´quivalentesa` .E(cid:22)n1fait,
(cid:22)~
une2-cochaˆıne estuncocyclesi,etseulementsi,
(cid:11)1
(a;b)2A (cid:0)! (cid:22)0(a;b)+(cid:11)1(a;b)t
estunproduitsur ,desorteque apparaˆıtcommel’ensemble
2 2
A[[t]]=(t = 0) H (A;A)
desclassesd’e´quivalencedesde´formationsinfinite´simalesde .Delameˆmemanie`re,
A
, le quotient des de´rivations de par ses de´rivations inte´rieures, est inter-
1
H (A;A) A
pre´te´commel’ensembledesautomorphismesinfinite´simauxde .Un2-cocyclee´tant
A
donne´, il se peut qu’il n’existe pas de de´formation commenc¸ant par celui-ci, auquel
caslecocycleestditnoninte´grable.Quandonessaiedeconstruire,cranparcran,une
de´formationcommenc¸antparuncocycledonne´,lesobstructionssuccessivesquiappa-
raissentsontdese´le´mentsde :ilestpossibledecontinuerlaconstructionsi
3
H (A;A)
cette obstructionest nulle. En particulier, si , alors toutes les obstruc-
3
H (A;A) = 0
tionsdisparaissentetdonctout2-cocycleestinte´grable.Enfin,si alors
2
H (A;A)= 0
estrigide,c’est-a`-direquetoutessesde´formationssonte´quivalentesauproduit
A
P P P .
n p n+p
(cid:22)0( ant ; bpt )= (cid:22)0(an;bp)t
Ilest possiblede de´formerd’autresstructuresde lameˆme manie`re:coge`bres, bi-
ge`bres,alge`bresdeHopf...Danschacunedecescate´gories,ilexisteunecohomologie
dontlespremiersespaces sontrelie´sauxproble`mesd’inte´grabilite´etdetrivialite´dans
lathe´oriedesde´formations.
La the´oriedes de´formations apris une importance touteparticulie`reen physique
the´oriquea` laparutionen 1978de deuxarticles fondamentaux,e´crits par unee´quipe
comprenant M. Flato, qui lancent le programme de quantification par de´formation
[BFFLS]. Cette the´oriefait apparaˆıtre la me´canique quantiquecomme une de´forma-
tiondelame´caniqueclassique,desortequecelle-ciestlalimite,lorsquelaconstante
–10–
