Déformation par quantification et rigidité des algèbres enveloppantes

26 Pages·2005·0.22 MB·French

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JournalofAlgebra285(2005)623–648
www.elsevier.com/locate/jalgebra
Déformation par quantification et rigidité
des algèbres enveloppantes
M. Bordemann∗, A. Makhlouf, T. Petit
LaboratoiredeMathématiquesetApplications,UniversitédeHauteAlsace,Mulhouse,France
Reçule6juin2003
DisponiblesurInternetle1erfévrier2005
CommuniquéparEfimZelmanov
Abstract
Wecallafinite-dimensionalcomplexLiealgebragstronglyrigidifitsuniversalenvelopingal-
gebraUgisrigidasanassociativealgebra,i.e.,everyformalassociativedeformationisequivalent
tothetrivialdeformation.Inquantumgrouptheorythisphenomenoniswellknowntobethecase
forallcomplexsemisimpleLiealgebras.WeshowthatastronglyrigidLiealgebra,overafieldof
characteristic 0, has to be rigid as Lie algebra, and that in addition its second scalar cohomology
grouphastovanish(whichexcludesnilpotentLiealgebrasofdimensiongreaterorequalthantwo).
Moreover,usingKontsevitch’stheoryofdeformationquantizationweshowthateverypolynomial
∗
deformationofthelinearPoissonstructureong whichinducesanonzerocohomologyclassofa
complex Lie algebra g leads to a nontrivial deformation of Ug. Hence every Poisson structure on
avectorspacewhichiszeroatsomepointandwhoselinearpartisastronglyrigidLiealgebrais
thereforeformallylinearizableinthesenseofA.Weinstein.Finallyweprovideexamplesofrigid
Liealgebraswhicharenotstronglyrigid,andgiveaclassificationofallstronglyrigidLiealgebras
uptodimension6.
2004ElsevierInc.Allrightsreserved.
Mots-clés:Algèbreenveloppante;Déformation;Quantification;Rigidité;Cohomologie;StructuredePoisson;
Linéarisation
* Auteurcorrespondant.
Adressese-mail:[email protected](M.Bordemann),[email protected](A.Makhlouf),
[email protected](T.Petit).
0021-8693/$–seefrontmatter 2004ElsevierInc.Allrightsreserved.
doi:10.1016/j.jalgebra.2004.10.005
624 M.Bordemannetal./JournalofAlgebra285(2005)623–648
Keywords:Envelopingalgebra;Deformation;Quantification;Rigidity;Cohomology;Poissonstructure;
Linearization
1. Introduction
DanslathéoriedesgroupesquantiquesdeDrinfel’d(voir[17]ou[30]),onconsidèreen
particulierlesalgèbresenveloppantesquantiquesU gd’unealgèbredeLie(g,[,])surun
h
corpsK(généralementalgébriquementclosetdecaractéristiquezéro).Cesalgèbressont
desdéformationsformellesdel’algèbreenveloppanteUgdegentantqu’algèbredeHopf.
Danslaplupartdesexemples,introduitsparDrinfel’d[16]etJimbo[29],gestunealgèbre
de Lie semi-simple complexe de dimension finie. Dans ce cas, la déformation formelle
delastructureassociativedeUg,ausensdeGerstenhaber[21],dansU g(ainsiquepour
h
toute autre déformation associative) est une déformation triviale, c.-à-d. isomorphe à Ug
(voirparexemple[30,p.430]).Enrevanche,lacomultiplicationcocommutativedeUgse
déforme en une comultiplication non cocommutative dans U g. Ceci signifie que Ug est
h
unealgèbreassociativerigide,maisnonrigidecommealgèbredeHopf.Pourlesalgèbres
associativesetdeHopfdedimensionfinievoir[35]et[36].
En outre, le théorème de Poincaré–Birkhoff–Witt permet de regarder l’algèbre enve-
loppante Ug elle-même comme une «déformation», en général non commutative, de
l’algèbre symétrique Sg. Cette dernière algèbre est isomorphe à l’algèbre des fonctions
∗
polynômiales sur l’espace dual g de g et est munie d’une structure d’algèbre de Pois-
∗
son(provenantdela structuredePoissonlinéaire P sur g induiteparlecrochetdeLie
0
de g). La déformation Sg(cid:1)Ug a été précisée par Gutt [26] dans la théorie de quantifi-
cationpardéformationdeBayen,Flato,Frønsdal,LichnerowiczetSternheimer[3].Dans
cette théorie, on construit des déformations associatives formelles, dites star-produits ∗,
de l’algèbre C∞(M) de toutes les fonctions à valeurs complexes de classe C∞ sur une
variétédePoisson.KontsevitcharéexaminécettedéformationdeSgdanslecadred’une
formuleuniversellepourunstar-produitsurRn munid’unestructuredePoissonarbitraire
(voir[32]).L’équivalencedeladéformationdeKontsevitchetcelledeGuttàétédémontrée
parDito[13].
Laclassificationdesstar-produitsàétédonnéeparKontsevitchentermesdeclassesde
difféomorphie formelles des structures de Poisson formelles : il s’agit des déformations
formellesdesstructuresdePoissonelles-mêmes.Engéométriedifférentielle,cesdéforma-
tions(C∞ ouformelles)ontétéimplicitementétudiéesdanslathéoriedelinéarisationdes
structuresdePoissondeWeinstein[44,p.537]:onyasurtoutétudiélecasoùlastructure
de Poisson s’annule en un point et est linéarisable dans le sens qu’elle est isomorphe à
sa partie linéaire. En outre, une formule pour la déformation formelle d’une structure de
PoissondefaçonquelesfeuillessymplectiquesrestentlesmêmesaétéétablieparLecomte
(voir[33,p.165]).
Toutescesconsidérationsnousontamenésàpoursuivredeuxobjectifsessentielsdans
unepartiede[39]etdanscetarticle:
D’unepart,étudierlesdéformationsassociativesformellesdesalgèbresenveloppantes,
∗
principalementàl’aidedeladéformationdelastructuredePoissonlinéairesurg etdela
formuleuniverselledeKontsevitch.
M.Bordemannetal./JournalofAlgebra285(2005)623–648 625
D’autrepart,chercheretcaractériserlesalgèbresdeLiequ’onappellefortementrigides,
c.-à-d. dont l’algèbre enveloppante Ug est rigide dans le sens qu’elle n’admet que des
déformationstrivialescommealgèbreassociative.
Onaobtenulesrésultatsprincipauxsuivants:
1. À toute déformation polynômiale formelle non triviale de la structure de Poisson li-
néaireprovenantd’unealgèbredeLiecomplexegdedimensionfinieonpeutassocier
une déformation non triviale de son algèbre enveloppante Ug, voir le théorème 6.1.
Pourledémontrer,onconstruitd’abordunedéformationformelleàdeuxparamètres
del’algèbresymétriqueSgd’aprèsKontsevitchetonmontresaconvergenceparrap-
portaupremierparamètre.
2. Nousavonsmontré,indépendammentdelathéoriedeKontsevitch,lesdeuxthéorèmes
suivantspourlecasplusgénérald’uncorpsKdecaractéristique0:
– Si l’algèbre de Lie g n’est pas rigide, alors Ug n’est pas rigide non plus, voir
théorème 4.1. Ceci justifie la notion ‘fortement rigide’ et nous permet d’utiliser
les résultats sur la rigidité des algèbres de Lie obtenus par R. Carles, Y. Diakité,
M.GozeetJ.M.Ancochea-Bermúdezdans[1,4,6,24].
– Si le deuxième groupe de cohomologie scalaire, H2 (g,K), de l’algèbre de Lie g
CE
nes’annulepas,alorsUgn’estpasrigide,voirthéorème4.2.Cecritèremontrepar
exemplequelesalgèbresdeLienilpotentesdedimension(cid:1)2nesontpasfortement
rigides.
Danscesdeuxrésultats,quisedéduisentduthéorème6.1danslecascomplexe,l’al-
gèbredéforméeestconstruitedirectemententermesdegénérateursetrelations.
3. EnplusdesexemplesdéjàconnuscommelaclassedesalgèbresdeLiesemi-simples
etl’algèbrenonabélienner dedimension2,onaétablilaforterigiditédesalgèbres
2
affinesgl(m,K)×Km(voirlethéorème3.3).Unepreuveplusgéométriqueaétéindé-
pendammentobtenueparDufouretZung[19]danslecadredesstructuresdePoisson
linéarisables.Pourtouscesexemples,nousavonsvérifiélanullitédudeuxièmegroupe
decohomologieH2 (g,Sg)quiesttoujoursisomorpheaudeuxièmegroupedecoho-
CE
mologiedeHochschildH2 (Ug,Ug)d’aprèsunthéorèmedeH.CartanetS.Eilenberg.
H
4. Notreprincipalthéorème6.1nouspermetd’exclurequelquesalgèbresdeLierigides
delalistedesfortementrigides,parexemplelessommessemi-directest ×n (al-
1 5,6
gèbredeLierésoluble)etsl(2,C)×n (oùn estl’algèbredeHeisenberg).Ainsi,on
3 3
obtientlaclassificationdesalgèbresdeLiefortementrigidesjusqu’endimension6:
{0}, K, r , sl(2,K), gl(2,K), sl(2,K)×r ,
2 2
sl(2,K)×sl(2,K), gl(2,K)×K2.
5. Duthéorème6.1,onendéduitégalementquetoutestructuredePoissondontlapartie
linéairecorrespondàunealgèbrefortementrigideestformellementlinéarisable.
Danscetarticle,onconsacreledeuxièmeparagrapheauxrappelsdequelquesgénérali-
tésconcernantlathéoriedesdéformations,lacohomologie,larigiditéetlesstructuresde
626 M.Bordemannetal./JournalofAlgebra285(2005)623–648
Poisson.Dansleparagraphe3,ondéfinitlesalgèbresdeLiefortementrigides,etonfour-
nitquelquesexemplesaumoyend’uncalculcohomologique.Leparagraphe4estconsacré
aux propriétés des algèbres de Lie fortement rigides, notamment à la démonstration du
théorèmes4.1et4.2mentionnésci-dessus.Dansleparagraphe5,onrappellelathéoriede
laquantificationpardéformationetlaformuleuniverselledeKontsevitschpourunedéfor-
mation de C∞(M) pour toute variété de Poisson M. Après avoir rappelé la construction
de Gutt et de Dito, on démontre notre théorème principal 6.1 mentionné ci-dessus. Dans
leparagraphe6,ondonnelaclassificationdesalgèbresdeLiefortementrigidesdedimen-
sion inférieure ou égale à six. On en déduit également quelques remarques à propos du
problèmedelinéarisationdesstructuresdePoissonenparagraphe7.
2. Généralités
1.SoientK unanneaucommutatifunitaireetgunealgèbredeLiesurK.Onnotepar
Ugl’algèbreenveloppanteassociéeàg.Rappelonsqu’uneg-représentation(àgauche)de
gestunK-moduleMetunK-homomorphisme
g⊗ M(cid:4)→M:x⊗a(cid:4)→xa (2.1)
K
tel que x(ya)−y(xa)=[x,y]a. Tout Ug-bimodule M est un g-module par (x,m)→
xm−mx,notéM .
a
SoitK =Kuncorps.OndésigneparSV l’algèbresymétriquesurleK-moduleV.Si
Q⊂K,ilexisteunebijectioncanoniqueω:Sg→Ugdonnéepar
(cid:1)
1
ω(x ···x ):= x ···x (2.2)
1 n n! σ(1) σ(n)
σ∈Sn
(où x ,...,x ∈g et S est le groupe des permutations de {1,...,n}) qui est un isomor-
1 n n
phismedeg-modulesentreSg etUg (voirparexemple[15,pp.78–79]).
a a
2. Les premiers travaux sur les déformations des algèbres remontent aux années 60.
L’articledeM.Gerstenhaber[21]fournitl’outildecesdéformationssurlabasedesséries
formellesqu’onrappelleci-dessous.
DésormaisKdésigneuncorpsalgébriquementclosdecaractéristiquenulle.SoitK[[t]]
l’anneau des séries formelles à coefficients dans K. Pour chaque K-espace vectoriel E
on note E[[t]] le K[[t]]-module de toutes les séries formelles à coefficients dans E.
Soit(A,µ )uneK-algèbreassociative(respectivementdeLie).Alors(A[[t]],µ )estune
0 0
K[[t]]-algèbreassociative(respectivementdeLie).
Définition2.1. (a)Onappelledéformationassociative(respectivementd’unealgèbrede
Lie)formelledeAuneK[[t]]-algèbreassociative(respectivementdeLie)(A[[t]],µ )avec
t
µ =µ +tµ +t2µ +···+tnµ +···,
t 0 1 2 n
oùµn∈HomK(A⊗KA,A)(respectivementµn∈HomK(A∧KA,A).
M.Bordemannetal./JournalofAlgebra285(2005)623–648 627
(b)Deuxdéformations(A[[t]],µ )et(A[[t]],µ(cid:9))sontditeséquivalentess’ilexisteun
t t
isomorphismeformel
ϕ =ϕ +ϕ t+···+ϕ tn+···,
t 0 1 n
avecϕ0=IdA (l’applicationidentitédeA)etϕn∈HomK(A,A)telque
(cid:2) (cid:2) (cid:3)(cid:3)
µ(cid:9)(a,b)=ϕ−1 µ ϕ (a),ϕ (b) ∀a,b∈A.
t t t t t
(c)UnedéformationdeAestditetrivialesielleestéquivalenteà(A[[t]],µ ).
0
(d)Unealgèbreassociative(respectivementdeLie)Aestditerigidesitoutedéforma-
tiondeAesttriviale.
3. La théorie des déformations est intimement liée à la cohomologie de Hochschild
danslecasdesalgèbresassociativesetàlacohomologiedeChevalley–Eilenbergdansle
casdesalgèbresdeLie.OndésigneparHn (A,M)len-ièmegroupedecohomologiede
H
Hochschildd’unealgèbreassociativeAàvaleursdansunbimoduleMetparHn (g,M)
CE
lenièmegroupedecohomologiedeChevalley–Eilenbergd’unealgèbredeLieAàvaleurs
dansung-moduleM.LedeuxièmegroupedecohomologiedeHochschildd’unealgèbre
associative(respectivementcohomologiedeChevalley–Eilenbergd’unealgèbredeLie)à
valeursdansl’algèbrecorrespondàl’espacedesdéformationsinfinitésimales.Pournotre
étude,lesassertionssuivantessontimportantes(voir[21,22,38]):
Proposition 2.1. Soit A (respectivement g) une algèbre associative (respectivement une
algèbredeLie).
(a) SiledeuxièmegroupedecohomologiedeHochschild,H2 (A,A)(respectivementde
H
Chevalley–Eilenberg, H2 (g,g)) s’annule, alors l’algèbre A (respectivement g) est
CE
rigide.
(b) D’unautrecoté,siµ +tµ +···estunedéformationdeA(respectivementdeg)et
0 1
si A (respectivement g)estrigide,alorsle 2-cocycle µ esttoujoursun 2-cobordde
1
lacohomologiedeHochschild(respectivementdeChevalley–Eilenberg).
(Voir[30,p.430]pourunedémonstration.)Laréciproquedel’assertion(a)estfausse,il
existedesexemplesd’algèbresdeLierigidesdontledeuxièmegroupedecohomologieest
nonnul(voir[41,42]).Leproblèmeestencoreouvertencaractéristique0pourlesalgèbres
associatives(voir[23]pourunexempleencaractéristiquep).
Letroisièmegroupedecohomologiequandàluicorrespondàl’espacedesobstructions
pourl’extensiond’unedéformationd’ordrenàunedéformationd’ordren+1[21,22,38].
4. Le théorème classique suivant dû à H. Cartan et S. Eilenberg [7, p. 277] fait le
lien entre la cohomologie de Hochschild de l’algèbre enveloppante à valeurs dans un
Ug-bimodule M (en particulier M=Ug) et la cohomologie de Chevalley–Eilenberg de
l’algèbredeLieàvaleursdanslemêmemodule.
628 M.Bordemannetal./JournalofAlgebra285(2005)623–648
Théorème2.1. SoitgunealgèbredeLiededimensionfiniesurK.Alors
Hn (Ug,M)(cid:11)Hn (g,M ) ∀n∈N.
H CE a
Enparticulier,siQ⊂Konapourtoutn∈N
(cid:4)∞ (cid:2) (cid:3)
Hn (Ug,Ug)(cid:11)Hn (g,Ug )(cid:11)Hn (g,Sg )(cid:11) Hn g,Skg .
H CE a CE a CE a
k=0
5. Le théorème de Hochschild et Serre [28,34] suivant fournit une factorisation des
groupesdecohomologiedeChevalley–Eilenberg:
Théorème 2.2. Soient g une algèbre de Lie de dimension finie, M un g-module de di-
mensionfiniesurK,nunidéaldegetbunesous-algèbresupplémentaireden,réductive
dansg,tellequeleb-moduleinduitsurMsoitsemi-simple,alorspourtoutentierpositifp
ona
(cid:1)
Hp (g,M)(cid:11) Hi (b,K)⊗Hj (n,M)b
CE CE CE
i+j=p
oùHj (n,M)b désignelesous-espacedetouslesélémentsinvariantsparb.
CE
6.UnealgèbredePoisson(A,·,{,})estunealgèbreassociativecommutativeAsurK
munie d’un crochet de Lie {,}:A×A → A vérifiant l’identité de Leibniz {h,fg} =
{h,f}g+f{h,g},pourtoutf,g,h∈A.UnevariétéM estditevariétédePoissonsil’al-
gèbredesfonctionsC∞(M)estmunied’unestructuredePoisson,voir[43]pourlesdétails.
Danscecas,lecrochetdePoissonestdéterminéparuneapplicationbilinéaireantisymé-
∗
triquesurlefibrécotangentT M deM,c’estàdireunchampdetenseursantisymétriques
P ∈Γ∞(M,Λ2TM)(avecTM lefibrétangentdeM)telque
(cid:1)
{f,g}=P(df,dg)= Pij∂ f∂ g (2.3)
i j
i,j
avec∂ (1(cid:2)i(cid:2)n)ladérivation ∂ où(x1,...,xn)sontdescoordonnéeslocalessurM
i ∂xi
etPij sontdesfonctionslocalesC∞ définiesparPij :={xi,xj}.LechampdetenseursP
estappelébivecteurdePoisson.
Toute structure de Poisson sur M est équivalente à la donnée d’un bivecteur P ∈
Γ∞(M,Λ2TM)vérifiant,danstoutecarte,
(cid:1)n (cid:2) (cid:3)
Pih∂ Pjk+Pjh∂ Pki+Pkh∂ Pij =0. (2.4)
h h h
h=1
M.Bordemannetal./JournalofAlgebra285(2005)623–648 629
7. Soient M une variété différentiable, TiM :=Γ∞(M,ΛiTM) l’esp(cid:5)ace des champs
detenseursantisymétriquesdedegréi∈N, T0M :=C∞(M) et TM =( TiM,∧)
n(cid:1)0
l’algèbredesmultivecteurssurM.
PourtoutX,Y ,...,Y ∈T1M l’opérateurdérivéedeLieassociéestdéfinipar
1 p
(cid:1)p
[X,Y ∧···∧Y ]= Y ∧···∧[X,Y ]∧···∧Y . (2.5)
1 p 1 i p
i=1
OndéfinitpourX ,...,X ∈T1MetQ∈TMuneextensiondeladérivéedeLie,appelée
1 p
crochetdeSchouten,définiepar:
(cid:1)p
[X ∧···∧X ,Q] = (−1)i+1X ∧···∧X(cid:6)∧···∧X ∧[X ,Q] (2.6)
1 p s 1 i p i
i=1
(cid:6)
avecX signifiantqueX estomis.
i i
Le crochet de Schouten [,] :TpM ×TqM →Tp+q−1M vérifie les propriétés sui-
s
vantes:
[P,Q] =−(−1)(p−1)(q−1)[Q,P] , (2.7)
s s
[P,Q∧R] =[P,Q] ∧R+(−1)pq+qQ∧[P,R] , (2.8)
s s s
(cid:7) (cid:8) (cid:7) (cid:8)
0=(−1)(p−1)(r−1) P,[Q,R] +(−1)(q−1)(p−1) Q,[R,P]
s s s s
(cid:7) (cid:8)
+(−1)(r−1)(q−1) R,[P,Q] . (2.9)
s s
L’algèbre des multivecteurs TM muniedu crochet de Schoutenest une super-algèbre de
Lie.Enparticulier,onalesformulessuivantesencoordonnéeslocales:
(cid:9) (cid:9)
(a) SoientP = 1 Pij∂ ∧∂ (∈T2M)etQ= 1 Qij∂ ∧∂ (∈T2M).Ilvient:
2 i,j i j 2 i,j i j
(cid:1) (cid:2)
[P,Q] = Pih∂ Qjk+Pkh∂ Qij +Pjh∂ Qki
s h h h
i,j,k,h
(cid:3)
+Qih∂ Pjk+Qkh∂ Pij +Qjh∂ Pki ∂ ∧∂ ∧∂ . (2.10)
h h h i j k
(cid:9) (cid:9)
(b) Soient P = 1 Pij∂ ∧∂ (∈ T2M) un champ de bivecteurs et A = Ai∂
2 i,j i j i i
(∈T1M)unchampdevecteurs.Ilvient:
(cid:1)(cid:2) (cid:3)
[P,A] = Pik∂ Aj +Pkj∂ Ai−Pij∂ Ak ∂ ∧∂ . (2.11)
s k k k i j
i,j,k
630 M.Bordemannetal./JournalofAlgebra285(2005)623–648
Un bivecteur P ∈T2M définit une structure de Poisson si et seulement si le crochet
deSchouten[P,P] =0.Ils’ensuitquel’opérateurδ :=[P,] estdecarrénuletdéter-
s P s
minelastructured’uncomplexesurTM dontlacohomologieestappeléecohomologiede
Poisson. (cid:9)
Soit P := ∞ taP une série formelle de champs de bivecteurs, c.-à-d. P ∈T2M
t a=0 a a
quelquesoita∈N.P estditestructuredePoissonformellesurM lorsque[P ,P ] =0
t t t s
cequiestéquivalentà
(cid:1)
[P ,P ] =0 ∀a∈N. (2.12)
b c s
b,c(cid:1)0
b+c=a
En particulier, [P ,P ] =0, alors P est une structure de Poisson sur M. La série P
0 0 s 0 t
estditedéformationformelledelastructuredePoissonP .Poura=1,l’équation(2.12)
0
donne0=[P ,P ] ,donclechampdebivecteursP esttoujoursuncocycledelacoho-
0 1 s 1
mologiedePoisson.
8. Soit (g,[,]) une algèbre de Lie de dimensionfinie n sur un corps K et g∗ son dual
algébrique.L’algèbresymétriqueSgs’identifiedemanièrenaturelleàl’algèbredesfonc-
∗
tionspolynômialessurg .LastructuredegpermetdedéfinirlecrochetdePoissonlinéaire
∗
surg :
(cid:2)(cid:7) (cid:8)(cid:3)
{f,g}(x):=x df(x),dg(x)
avec(cid:9)f,g∈Sg et x ∈g∗. Soient (ei)i=1,...,n une base de g, (ei)i=1,...,n sa base duale et
x= n x ei ∈g∗,{f,g}=P (df,dg)avecP lebivecteurdéfinipar
i=1 i 0 0
(cid:1) (cid:1)
1
P = Pij∂ ∧∂ oùPij(x)= Ckx (2.13)
0 2 0 i j 0 ij k
i,j k
avecCk lesconstantesdestructuredeg.
ij
Ils’ensuitque(Sg,·,{,})estunealgèbredePoisson.
9. Toute cochaîne de Chevalley–Eilenberg dans HomK(Λkg,Sg) s’identifie de façon
naturelle à un champ de multivecteurs dans Tk(g∗). Les deux formules suivantes qui se
déduisent par un calcul direct caractérisent la liaison entre l’opérateur cobord δ de la
CE
cohomologiedeChevalley–EilenbergetceluidelastructuredePoissonlinéaire.
Lemme 2.1. Soit φ ∈HomK(Λkg,Sg)∼=Λkg∗ ⊗Sg⊂Tk(g∗) et soit i(ei):Λ•g→
Λ•−1gleproduitintérieur.
(cid:1) (cid:1) (cid:2) (cid:3)
∂ 1
δ φ(x)= Cj x ei∧ φ(x)− Ci ek∧el∧i(e ) φ(x) , (2.14)
CE ik j ∂x 2 kl i
k
i,j,k i,k,l
δ φ=[P ,φ] . (2.15)
CE 0 s
M.Bordemannetal./JournalofAlgebra285(2005)623–648 631
3. AlgèbresdeLiefortementrigides
Dansceparagrapheonintroduitlanotiondeforterigiditéavecquelquesexemples.Le
corpsKestdecaractéristiquenulle.
Définition 3.1. Une algèbre de Lie g est dite fortement rigide si son algèbre envelop-
panteUgestrigidecommealgèbreassociative.
UnealgèbredeLiegestditeinfinitésimalementfortementrigidesiledeuxièmegroupe
decohomologieH2 (g,Sg)s’annule.
CE
Lapropositionsuivanteestuneconséquenceimmédiatedelaproposition2.1etduthéo-
rèmedeCartan–Eilenberg(2.1):
Proposition3.1.SoitgunealgèbredeLiededimensionfinie.Sigestinfinitésimalement
fortementrigide,alorselleestfortementrigide.
Tous les exemples qui suivent correspondent à des algèbres de Lie infinitésimalement
fortementrigides.OncalculeledeuxièmegroupedecohomologieH2 (g,Sg)àl’aidedu
CE
théorèmedeHochschild–Serre(2.2)appliquéàtouslesgroupesH2 (g,Skg).
CE
L’algèbre de Lie de dimension 1 est infinitésimalement fortement rigide car H2 (K,
CE
SkK)={0}.
3.1. AlgèbresdeLiesemi-simples
D’après les lemmes de Whitehead, le premier et le deuxième groupe de cohomologie
d’unealgèbredeLiesemi-simplegàvaleursdanstoutK-modulededimensionfiniesont
triviaux.Parconséquent, H2 (g,Skg)={0}, ∀k∈N.Ceciassure,pourlecasparticulier
CE
k=1, la rigidité de l’algèbre de Lie. D’après ce qui précède on a le théorème classique
(voir[30,p.426]):
Théorème3.1. ToutealgèbredeLiesemi-simplededimensionfinieestinfinitésimalement
fortementrigide.
3.2. Sommesdirectesdesemi-simplesetd’autres
Théorème 3.2. Soit f une algèbre de Lie de dimension finie qui est infinitésimalement
fortementrigideetsunealgèbredeLiesemi-simplededimensionfinie.
Alorslasommedirecteg:=f⊕sestinfinitésimalementfortementrigide.
Démonstration. D’aprèslethéorèmedeHochschild–Serre(2.2)etleslemmesdeWhite-
headona
H2 (g,Sg)∼=H2 (f,Sg )s∼=H2 (f,Sf⊗Ss)s∼=H2 (f,Sf )⊗(Ss)s∼={0}
CE CE a CE CE a
etgestinfinitésimalementfortementrigide. (cid:2)
632 M.Bordemannetal./JournalofAlgebra285(2005)623–648
Enparticulier:
Corollaire3.1. Lasommedirected’unealgèbredeLiesemi-simplesdedimensionfinie
etdel’algèbredeLiededimension1estinfinitésimalementfortementrigide.
Parexemple,l’algèbredeLiegl(m,K)estinfinitésimalementfortementrigidequelque
soitm∈N.
3.3. L’algèbregl(m,K)×Km
Soitmunentierstrictementpositif,al’algèbredeLiegl(m,K),nl’espacevectorielKm
etglasommesemi-directea⊕n(oùlecrochetestdéfinipar[φ+v,φ(cid:9)+v(cid:9)]:=[φ,φ(cid:9)]+
φv(cid:9)−φ(cid:9)v).
Théorème3.3. Aveclesdéfinitionsmentionnéesci-dessusona
H0 (n,Sg)a∼=K et Hk (n,Sg)a∼={0} ∀k∈N, k(cid:1)1.
CE CE
Ils’ensuitque
Hk (g,Sg)∼=Hk (a,K).
CE CE
Enparticulier,H2 (g,Sg)∼={0},doncgestinfinitésimalementfortementrigide.
CE
Démonstration. Puisque a est une sous-algèbre réductive dans g, le théorème de
Hochschild–Serre2.2s’appliqueetdonneladécomposition
(cid:4)k
HkCE(g,Sg)∼= HkC−Er(a,K)⊗KHrCE(n,Sg)a.
r=0
Pour calculer les groupes de cohomologie Hr (n,Sg)a il faut considérer les espaces
CE
des r-cochaînes a-inva(cid:5)riantes, HomK(Λrn,Sg)a. Évidemment, Sg∼=Sa⊗K Sn, et on
aHomK(Λrn,Slg)= li=0HomK(Λrn,Sia⊗KSl−in).Puisquea=HomK(n,n),alors
Sia⊂HomK(n,n)⊗i =HomK(n⊗i,n⊗i),donc
(cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3)
HomK Λrn,Sia⊗KSl−in a⊂HomK n⊗(i+r),n⊗(i+l−i) a.
Soit f ∈HomK(n⊗(i+r),n⊗l)a∼=(n⊗l ⊗Kn∗⊗(i+r))a. En particulier, f est invariant par
l’application identité 1∈a. Puisque 1.g=lg pour tout g∈n⊗l et 1.h=−(r +i)h pour
touth∈n∗⊗(r+i),alorsf nepeutêtrenonnulquesir+i=l,doncHomK(Λrn,Slg)a=
HomK(Λrn,Sl−ra⊗Srn)a.Puisquel’algèbrecommutativeSgs’identifiedefaçonnatu-
relle à l’algèbre des polynômes sur l’espace dual a∗×n∗, alors l’application linéaire Φl
r
suivanteestunmorphismesurjectifdea-modules(cequisevoitàl’aided’unebaseden
etsabaseduale):