De ontstaansgeschiedenis van de axiomatische verzamelingenleer. Een reconstructie aan de ...

65 Pages·2007·0.39 MB·Dutch

Faculteit Letteren en Wijsbegeerte
Academiejaar 2006–2007
De ontstaansgeschiedenis van de
axiomatische verzamelingenleer. Een
reconstructie aan de hand van
adaptieve logica’s
Martijn Windels
Promotor: Prof. dr. Diderik Batens
Scriptie voorgedragen tot het behalen van de graad van
Licentiaat in de wijsbegeerte
i
Inhoudsopgave
Inleiding iii
1 De geboorte van de verzamelingenleer 1
1.1 Het herschrijven van een geschiedenis. . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Cantoriaanse verzamelingenleer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Van analyse naar verzamelingenleer . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Cantoriaanse verzamelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Verzamelingen en grondslagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 De pragmatische aanpak van Dedekind. . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Logicistische klassentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 De paradoxen van de verzamelingenleer . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Moderne verzamelingenleer 19
2.1 Zermelo, Fraenkel en Skolem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 Het welordeningstheorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2 Axiomatische verzamelingenleer . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.3 Het vervangingsaxioma en de geboorte van moderne ZFC 24
2.2 Klassen en verzamelingen in NBG . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.1 Von Neumann’s ordinale criterium voor verzamelingen . . 27
2.2.2 De verzamelingenleer van Paul Bernays . . . . . . . . . . 32
2.3 De Typentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.1 De typentheorie van Russell . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.2 De vereenvoudigde typentheorie. . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.3 New Foundations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4 Een voorlopige conclusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 Verzamelingenleer gebaseerd op adaptieve logica 46
3.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2 De logica CLu∃m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3 Van paraconsistent naar adaptief . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.4 Een adaptieve verzamelingenleer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5 Besluiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
ii
Inleiding
Hetwijsgerigstatuutvandeverzamelingenleerisopzijnzachtstgezegddubieus.
Enerzijds is in de loop van de twintigste eeuw genoeg evidentie verzameld om
te stellen dat alle wiskunde in de taal van de verzamelingenleer te formuleren
is. Bijgevolg heeft deze theorie een belangrijke funderende rol in de wiskunde.
Anderzijds is het ver van duidelijk wat verzamelingen nu net zijn. De verza-
melingenleer is het strijdpunt van een succesvolle wiskundige praktijk met een
pijnlijk gebrek aan filosofische inzichten. Laat ik om het probleem scherp te
stellen de verzamelingenleer confronteren met de klassieke filosofie¨en van de
wiskunde teneinde aan te tonen dat ze dat deze allemaal op een of meerdere
punten tekort schieten.
Eenvandecentralekenmerkenvandeverzamelingenleerisdemanierwaarop
erin met oneindigheden wordt omgesprongen. Een van de cruciale drijfveren in
de vroege ontwikkeling van de verzamelingenleer was net dat er verschillende
oneindigheden zijn. Het eigenaardige hieraan is dat eens de oneindigheid een
plaatshadgekregenindewiskundebleekdatmensenmethuneindigeverstand
er een zeker inzicht in kunnen krijgen en er eigenschappen van bewijzen. Het is
opdatpuntdatdeconstructivistentekortschieten. Indienwiskundigeobjecten
(eengevaarlijketermdieikenkelgebruikbijgebrekaanbeter)nietmeerzouden
zijndanmentaleconstructies,danzoudestudievanoneindighedendoormiddel
van de verzamelingenleer onmogelijk zijn. Het is bekend dat L.E.J. Brouwer,
devadervanhetmoderneconstructivismenetomdieredendachtdatdeverza-
melingenleer een grote dwaling was. Ikzelf zie niet in waarom een tekort aan
filosofisch begrip van een praktijk moet leiden tot het verbieden er van.
De zwakte van de formalistische positie is het gevolg van een aantal tech-
nische resultaten. Ten eerste weten we dankzij het werk van Kurt G¨odel dat
zoals de zaken er nu voor staan een consistentiebewijs voor de verzamelingen-
leer buiten ons bereik ligt. Wat nog erger is, is dat de verzamelingenleer geen
categorische formulering kan krijgen, althans niet in de eerste in de eerste-orde
logica. Hetgevolgisdatdedefinitievanverzamelingenals“diedingendieimpli-
ciet door de axioma’s van de verzamelingenleer zijn gedefinieerd” tekortschiet.
De formalist kan niet weten wat verzamelingen zijn.
Platonisten voelen zich goed in het paradijs van Cantor, de titel die David
Hilbertaandeverzamelingenleergaf. Dezwaktevandeconstructivistisnamelijk
dekrachtvanhunpositie. Hetishelemaalnietnodigoneindighedenmentaalte
construeren aangezien ze onafhankelijk van de mens bestaan. Het ontstaan van
de verzamelingenleer was niets anders dan het ontdekken van een nieuw conti-
nent in de wereld van de wiskunde. Maar daar houden de voordelen van deze
positie op. Er is geen enkele degelijke theorie over de manier de wiskundigen
hun eldorado waarnemen. Bovendien bevat de geschiedenis van de verzamelin-
iii
genleer een mooi voorbeeld van hoe dezelfde wiskundige werkelijkheid indien ze
bestaatzichopeenverschillendemanierlaatkennen. VoorGeorgCantorstond
het vast dat elke verzameling geordend kon worden, maar kon zijn hypothese
nietbewijzen. VoorBertrandRusselldaarentegenwaseenshetbewijsvoordeze
stelling geleverd was dit bewijs eerder een argument om aan te nemen dat het
bewijs zelf op foute principes steunde. Indien de platonist gelijk heeft, moet hij
duidelijk kunnen maken hoe een dergelijke verwarring mogelijk kan zijn.
In het licht van het falen van de filosofie zal ik onderzoeken hoe de verza-
melingenleer historisch gegroeid is om langs die weg beter te begrijpen wat
verzamelingenzijn. Ikgaervanuitdatdeverzamelingenleerzoalszenubestaat
het resultaat is van een lange reeks van pogingen om verschillende problemen
optelossen. Eerderdandeverzamelingenleertebeschouwenalseentheoriedie
langs steriele weg is ontstaan beschouw ze eerder als een methode, een gereed-
schapskist met sterke principes die zo universeel moesten zijn. Het is slechts
door te begrijpen wat de problemen waren die opgelost moesten worden dat
we zullen begrijpen wat verzamelingen zijn. Deze geschiedenis is wat ik in het
eerste deel zal behandelen.
De vraag die ik in het tweede deel zal behandelen is technischer van aard.
Zoals bekend werd de verzamelingenleer in haar vroege jaren geconfronteerd
metparadoxaleresultaten. Erwordteenonderscheidgemaakttussendevroege,
na¨ıeve,verzamelingenleerendeaxiomatischeverzamelingenleer. Hetisdeover-
gang tussen deze twee theorie¨en die ik zal onderzoeken. In mijn poging de
gedachten van de vaders van de moderne verzamelingenleer te vatten zal ik
beroep doen op een adaptieve logica.
iv
Hoofdstuk 1
De geboorte van de
verzamelingenleer
1.1 Het herschrijven van een geschiedenis
De na¨ıeve verzamelingenleer heeft nooit bestaan. Dat is de stelling die in dit
hoofdstuk verdedigd zal worden. Dat deze term ooit in zwang is geraakt heeft
te maken met de verwarring van twee projecten die een verschillende notie van
wiskundige collecties gebruikten. Langs de ene kant was er Georg Cantor’s
notie van menge, die ondanks haar vage definitie nooit getroffen werd door de
paradoxen die op het einde van de negentiende eeuw werden ontdekt, en aan
de andere kant was er de klassentheorie die uit de logica kwam en die niet met
Cantoriaanse ide¨een kon worden gecombineerd zonder tot paradoxen te leiden.
Cantor’stheoriena¨ıefnoemenberustopdegrovemisvatting,diehaaroorsprong
lijkttevindenbijBertrandRussell,datklassenenverzamelingenhetzelfdezijn.
Een aandachtige lezing van Cantor’s werk toont aan dat dit een vergissing is.
Het is beter de verhouding tussen de verzamelingenleer en de klassentheorie
uit het logicisme te vergelijken met die tussen de rekenkunde en de peanoax-
ioma’s. Enerzijds is er een wiskundige theorie die zonder propere grondslagen
ontstaat en ontwikkeld wordt en langs de andere kant een poging die theorie te
axiomatiseren. Cantor’s werk had wel een zekere filosofische kracht, maar wat
hij net bedoelde met menge heeft hij nooit ten volle duidelijk kunnen maken.
Russellheeftinzijnpogingomdewiskundeteherleidentotlogicanooitingezien
datCantoriaanseverzamelingeneigenschappenhebbendiezeongeschiktmaken
voor zijn project en dit heeft dan weer geleid tot het onrechtmatig gebruik van
resultaten over verzamelingen wanneer het over klassen gaat. Achteraf gezien
is het bijna vanzelfsprekend dat dit tot problemen moest leiden.
In wat volgt zal ik zowel de verzamelingenleer als de klassentheorie be-
spreken,denadrukleggendopdeverschillentussendeaanpakvandewiskundi-
genendelogici. EeneerstesectieiseenpogingtotrehabilitatievanCantor,voor
wieverzamelingenindeeersteplaatseenmiddelwarenomzijnechtelevenswerk,
de transfiniete getallen, wiskundig acceptabel te maken. In de tweede afdeling
zal besproken worden hoe verzamelingen aangewend werden om de grondslagen
van de wiskunde te geven. Daarin hoop ik duidelijk te maken dat een ver-
schillende norm qua rigueur tot verschillende versies van de verzamelingenleer
1
hebben geleid.
1.2 Cantoriaanse verzamelingenleer
De titel van deze afdeling is ten dele misleidend. Aangezien Cantor van nul
moest beginnen bij het ontwikkelen van zijn verzamelingenleer is zijn notie van
menge vaag en amorf geweest. Bijgevolg gebruikte hij in vrijwel elk artikel dat
hij schreef over verzamelingen een andere definitie. Het probleem daarbij is dat
de definitie in zijn wiskundig meest mature werk, Beitr¨age zur Begru¨ndung der
transfiniten Mengenlehre, niet langer de restricties bevat die de oorspronkelijke
definitieswelbevatten. MaarookditmoetgenuanceerdwordenaangezienCan-
torerregelmatigopblijftwijzendatzijnmenge eigenschappenhebbenwaardoor
zenietzondermeeraandeklassenvandena¨ıeveverzamelingeleergelijkgesteld
kunnen worden. Cantor was bijvoorbeeld van mening dat elke verzameling een
welordening heeft. Aanvankelijk leek dit vanuit de Cantoriaanse conceptie van
verzamelingenvanzelfsprekend, maarnaarmatehijverderonderzoekdeedbleek
deze positie hoe langer hoe moeilijker houdbaar. Om dit soort redenen moet er
onderscheid worden gemaakt tussen de verzamelingenleer anno 1883 en 1895.
Ondanks de verschillen is het belangrijk in het achterhoofd te houden dat Can-
tor’s verzamelingenleer in de eerste plaats een vehikel bleef om zijn uitbreiding
van het getalbegrip te verantwoorden. Hierdoor is het universum van Can-
tor voor ogen had van een heel andere aard dan het universum van de na¨ıeve
verzamelingenleer1.
1.2.1 Van analyse naar verzamelingenleer
Gezien vanuit het standpunt van Cantor is de verzamelingenleer een uit de
hand gelopen zoektocht naar het antwoord op een vraag uit de analyse2. Om
uit te vinden onder welke voorwaarden een functie uniek te schrijven is als
een fourrier-reeks diende hij het geval te onderzoeken van een functie die op
oneindig veel plaatsen discontinu is en dan komt al snel de vraag op wat die
oneindigheidbetekent. Deverzamelingenleerzaghetgeboortelichtin1874,met
de publicatie van U¨ber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebra-
”
ischenZahlen.”[33,p.88],waarinwordtbewezendatdealgebra¨ıschegetalleneen
aftelbareverzamelingvormen,terwijldezevandere¨elegetallenoveraftelbaaris.
Cantor wist nu dat er verschillende soorten oneindigheid bestaan, maar hij had
nietdemiddelenomdeeigenschappenvandeverschillendeoneindighedentebe-
handelen. Hoedanook,nuCantorwistdaterverschillendeoneindighedenzijn,
onderzocht hij enkele courante getalverzamelingen en kwam tot een conclusie
die een belangrijke motor achter de rest van zijn onderzoek zou worden. Uit de
voorbeelden die hij had onderzocht concludeerde Cantor omstreeks 1878 dat er
buiten de oneindigheid van de natuurlijke getallen en deze van het interval [0,
1] geen oneindigheden mogelijk waren[16, p.191]. Dit is de eerste versie van de
1Laatmijomtebeginnenstellendatdezebewoordingnietletterlijkopgevatmagworden.
Een van de centrale punten van Cantor’s opvattingen is dat er geen universele verzameling
mogelijkis. Ditzalverderduidelijkworden.
2Dit is niet de plaats om deze historie volledig te herhalen. Voor een overzicht van Can-
tor’swerkoverpuntverzamelingendatisuitgemondindestartvandeverzamelingenleer,zie
bijvoorbeeld[21,34].
2
continuu¨mhypothese, het probleem dat duidelijk maakt dat de wortels van de
verzamelingenleer in de analyse liggen.
Om op een exacte wijze over oneindigheden te kunnen spreken heeft Can-
tor zijn theorie van de transfiniete getallen uitgevonden. De eerste presentatie
van zijn onderzoekingen kunnen we vinden in Grundlagen einer allgemeinen
Mannigfaltigkeitslehre[16, pp.165–209], het eerste artikel waarin hij zich niet
langer beperkt tot puntverzamelingen maar zich bezighoud met verzamelingen-
leer. Hierin presenteert Cantor de beginselen van de transfiniete rekenkunde,
in de hoop langs deze weg duidelijk te maken dat het actuele oneindige wel
degelijk een plaats heeft in de wiskunde en dat we kunnen spreken van de
machtigheid van oneindige verzamelingen. Langs deze weg zou het probleem
van de continuu¨mhypothese scherper geformuleerd kunnen worden. De Grund-
lagen is waarschijnlijk een van de meest vernieuwende en revolutionaire teksten
uit de geschiedenis van de wiskunde: de oude angst voor het oneindige wordt
hieroverwonnenenvervangendooreenorigineletheorie. Ikzaldezeteksteerder
uitvoerigbehandelen,omdathierduidelijkzalwordendatCantor’sopvattingen
over verzamelingen verre van na¨ıef waren.
Cantor begint met de lezer te waarschuwen dat hij bevreemdende idee¨en
zal presenteren. Hij zal de getallenrij tot voorbij de oneindigheid aanvullen en
dit op een manier die volgens hem uiteindelijk door iedereen als eenvoudig en
natuurlijk zal worden beschouwd. Hij vervolgt door te stellen dat hij twee
soorten oneindigheid onderscheidt: oneigenlijke oneindigheid, die hij veran-
derlijke eindigheid noemt en die centraal staat in de analyse, en eigenlijke
oneindigheid,deactueleoneindigheidvanbijvoorbeelddevolledigeverzameling
natuurlijke getallen. Het basisidee van de transfiniete getallen is op zich niet
anders dan wat in de meetkunde werd gedaan met de introductie van het punt
op oneindig van een rechte, maar Cantor veralgemeent en radicaliseert dit idee.
In plaats van ´e´en punt op oneindig een oneindige rij punten op oneindig. Deze
metafoor,samenmethetonderscheidtussendetweetypesoneindigheid,lijktde
sleutel tot Cantor’s twee generatieprincipes voor (transfiniete) getallen te zijn:
(I) Indien α een getal is, dan α + 1 ook.
(II) Indien α, α + 1, α + 2, α + 3, ...een oneindige reeks getallen is,
dan is de limiet β van deze reeks ook een getal. Anders gezegd is
β het kleinste getal dat groter is dan elk getal uit de rij.
Cantor noemt de verzameling van de natuurlijke getallen de eerste getalklasse,
en voert een beperkingsprincipe(Hemmungsprinzip) in dat stelt dat de tweede
getalklasse bestaat uit alle getallen te vormen uit de eerste klasse met behulp
van de principes (I)&(II). Dit proces laat verdere uitbreiding toe naar hogere
getalklassen, en Cantor benadrukt dan ook dat dit proces geen einde kent[16,
p.196]. Om te verduidelijken waarom deze nieuwe getalklassen van belang
zijn, wordt het concept van machtigheid besproken. Cantor stelt dat iedere
goedgedefinieerde verzameling een machtigheid heeft, en dat voor transfiniete
verzamelingenvanden-demachtigheidgeldtdatzegelijkmachtigzijnaanden-
de getalklasse. Merk op dat dit impliceert dat het hebben van een machtigheid
een noodzakelijke voorwaarde is om een verzameling te kunnen zijn. Dat dit
een verwerping inhoudt van de stelling dat de logicistische klassentheorie gelijk
is aan de verzamelingenleer is te verdedigen aan de hand van een citaat uit
Cantor’s recensie van Die Grundlagen der Arithmetik van Frege. In een kritiek
op de getalsdefinitie uit dat werkje zegt hij het volgende:
3
...er u¨bersieht ganz, daß der Umfang eines Begriffs” quantitativ im
”
allgemeinen etwas v¨ollig Unbestimmtes ist; nur in gewissen F¨allen
ist der Umfang eines Begriffs” quantitativ bestimmt, dann kommt
”
ihmallerdings, wenn er endlich ist, eine bestimmte Zahl und, falls er
unendlich ist, eine bestimmte M¨achtigkeit
zu[16, p.441].
En hij vervolgt door te stellen dat een theorie van de kardinaalgetallen moet
ontwikkeld worden alvorens men zonder problemen over extensies kan spreken.
Kon de waarschuwing nog explicieter worden geformuleerd? Cantor besefte
maar al te goed dat een na¨ıef comprehensieprincipe ongeschikt is om de verza-
melingenleer op te stoelen. Sterker nog, de verzamelingenleer moet reeds uit-
gewerkt zijn alvorens de logicistische stap van intensie naar extensie mogelijk
is.
Het begrip machtigheid laat toe te spreken over de grootte van oneindige
verzamelingen. Aangezien nu elke verzameling een machtigheid heeft, en deze
uit te drukken is door middel van een (transfiniet) getal hebben we impli-
ciet de mogelijkheid een verzameling te ordenen. Cantor was van mening
dat de generatieprincipes voor getallen in zekere zin vanzelfsprekend waren.
Daaruitvolgtdatdetransfinietegetalleneennatuurlijkemanierbiedenomelke
goedgedefinieerde verzameling te ordenen.
Daß es immer m¨oglich ist, jede wohldefinierte Menge in die Form
einer wohlgeordneten Menge zu bringen, auf dieses, wie mir
scheint,grundlegendeundfolgenreiche,durchseineAllgemeingu¨ltig-
keit besonders merkwu¨rdige Denkgesetz werde ich in einer sp¨ateren
Abhandlung zuru¨ckkommen.[12, p.169]
Indiendecontinuu¨mhypotheseheteerstehoofdprobleemvandeverzamelingen-
leer was, dan is het bewijs van bovenstaande stelling het tweede probleem dat
dringend opgelost moest worden. Ik wil kort stilstaan bij dit probleem omdat
het ten eerste voor een groot deel heeft bepaald hoe de axiomatische verza-
melingenleer is ontstaan maar ook omdat het exemplarisch is voor de manier
waarop wiskunde abstracter is geworden mede dankzij de uitvinding van de
verzamelingenleer. Het zal ons ook iets leren over Cantor’s filosofie van de
wiskunde.
Cantor’swerkpastineentraditiewaarinwiskundenietlangerbeperktmoest
worden tot constructieve methoden3. Laat mij om dit te illustreren Cantor’s
eerste definitie van Menge aanhalen:
Eine Mannigfaltigkeit (ein Inbegriff, eine Menge) von Elementen,
dieirgendwelcherBegriffssph¨areangeh¨oren,nenneichwohldefiniert,
wenn auf Grund ihrer Definition und infolge des logischen Prinzips
vomauschgeslosenenDrittenesalsintern bestimmt angesehenmuß,
sowohl ob irgendein derselben Begrifssph¨are angeh¨origes Object zu
der gedachten Mannigfaltigkeit als Element geh¨ort oder nicht, wie
auch, ob zwei zur Menge geh¨orige Objekte, trotz formaler Unter-
schiede in ter Art des Gegebenseins einander gleich sind oder nicht.
3Een ander voorbeeld van dit fenomeen zijn zuivere existentiebewijzen, zie bijvoorbeeld
[23,p.78].
4
Im allgemeinen werde die betreffende Entscheidungen nicht mit
denzu Gebote stehende MethodenoderF¨ahigkeiteninWirklichkeit
sicher und genau ausfu¨hrbar sein; darauf kommt es aber hier dur-
chausnichtan,sondernallein aufdieinterne Determination,welche
in konkreten F¨allen, wo es die Zwecke fordern, durch Vervollkomm-
nung der Hilfsmittel zu einer aktuellen (externen) Determination
auszubilden ist[16, p.150].
Het is belangrijk dat Cantor enkel verwacht dat het in principe mogelijk moet
zijn te bepalen of een element al dan niet tot een verzameling behoort. De
verzameling van de re¨ele getallen waarin de cijferreeks 17894 voorkomt zal π
al dan niet bevatten, ongeacht of deze sequentie al hebben aangetroffen in de
decimale ontwikkeling er van. Iets analoog geldt voor de welordening van een
verzameling. Cantorhadin1883nogmaartweeoneindighedengevondenenhij
dacht dat de transfiniete getallen zoals hij ze had gedefinieerd voldoende waren
om alle machtigheden uit te drukken. Bijgevolg gaven de transfiniete getallen
een manier om, althans in principe, de elementen van eender welke verzameling
in een welordening te plaatsen4.
Bovenstaande definitie leert ons bovendien iets bijzonder over Cantor’s op-
vattingen over verzamelingen. Voor eender welk object geldt dat het ofwel tot
een gegeven verzameling behoort, ofwel niet. De verzamelingen die het einde
van de na¨ıeve verzamelingenleer waren, zoals de totaliteit alle ordinaalgetallen
of de verzameling van alle verzamelingen die zichzelf niet bevatten, zijn volgens
deze definitie helemaal geen verzamelingen. In de eindnoten van de grundlagen
geeftCantoreenanderedefinitievanmenge,maardeteneurblijftdezelfde: niet
elke klasse is een verzameling[12, p.204 - 205]. Alleen redeneert Cantor nu va-
nuit de stelling dat alle verzamelingen een machtigheid hebben. Cantor begint
zijn redenering met een nieuwe definietie van menge:
Unter einer “Mannigfaltigkeit” oder “Menge” verstehe ich n¨amlich
allgemein jedes Viele, welches sich als Eines denken l¨aßt, d.h. jeden
Inbegriff bestimmter Elemente, welcher durch ein Gesetz zu einem
Ganzen verbunden werden kann [...]
Hij vervolgt door te stellen dat het volgens hem uitgesloten is dat er een einde
komtaandereeksvandeopeenvolgendetransfinietegetallen. Hoewelhettweede
generatieprincipetoelaatovertegaannaareenlimietgetal,blijftereenonbereik-
bare limiet in de vorm van het Goddelijke Absolute5. Het Absolute kan niet
gekend of benaderd worden. De getallenrij is dus niet als geheel te denken, en
dus ook geen verzameling. Bijgevolg kan er helemaal geen verzameling van alle
ordinaalgetallen bestaan, laat staan een universele verzameling[16, p.205].
In de nasleep van de Grundlagen schreef Cantor een belangrijk werkje dat
ongepubliceerdbleeftot1970,ironischgenoegomdatMittag-Leffler,deuitgever
van het desbetreffende tijdschrift(Acta Mathematica), van mening was dat het
zo’n honderd jaar te vroeg werd geschreven. In Principien einer Theorie der
Ordnungstypen presenteerthijeenverdereuitbreidingvanzijnwerkrondtrans-
finiete rekenkunde. In de Grundlagen had Cantor het getalsbegrip uitgebreid
omtesprekenoverdemachtigheidvaniederewillekeurigeverzameling,maarde
4MichaelHallettzeteengelijkaardigegedachtenganguitelkaar[34,p. 32–40].
5Een dergelijke terminologie doet nu vreemd aan, maar was dit voor Cantor geenszins.
Voorhemgaanmetafysicaenwiskundehandinhand[30,p.83].
5
transfinieten waren slechts geschikt om te spreken over de welgeordende verza-
melingen. De volgende stap voor Cantor was een uitbreiding van de getallen
zodathetmogelijkwerdtesprekenoverdestructuurvaneenverzamelingonder
hun natuurlijke orde. Wat nu de ordinalen wordt genoemd, is slechts bruik-
baar voor welgeordende verzamelingen, en de theorie van de ordetypes vormt
een natuurlijke uitbreiding hierop[30, p.84]. Dit is belangrijk omdat het aan-
toontdatdeoorspronkelijkemotivatievanCantordetheorievandetransfiniete
getallen bleef en dat ten gevolge van dit het begrip van menge veel specifieker
was dan het klassenbegrip van de logicisten. Enkel wat een machtigheid heeft
kan een menge zijn; verzamelingen zijn niet los te denken van het getalbegrip.
Een ordetype is een koppel hX,<i.waarbij X een verzameling is en < een
orderelatie6. Hetbelangrijkstegevolgvandeinvoeringvandeordetypesisdatze
toelatendeinzichtendieCantorreedshadopgedaanoverpuntverzamelingenin
dematevanhetmogelijketeveralgemenen[30,pp92-101]endatisnetdegrote
innovatie van Cantor. Hij duwt de verzamelingenleer in de eerste plaats naar
voor als methode om andere wiskundige problemen op te lossen, zoals duidelijk
mag blijken uit volgend citaat.
Sie[de theorie van de ordetypes] bildet einen wichtigen und grossen
TheilderreinenMengenlehre (Th´eoriedesensembles),alsoauchder
reinen Mathematik, denn letztere ist nach meiner Auffassung nichts
Anderes als reine Mengenlehre [30, p.84].
Het is niet onzinnig dit het geboorte-uur van het verzamelingtheoretisch re-
ductionisme te noemen. Dedekind zou immers zijn Was sind und was sollen
die Zahlen pas in 1888 publiceren en gegeven de uitvoerige postwissel tussen
deze laatste en Cantor is het niet uitgesloten dat Dedekind ten dele de mosterd
bij Cantor heeft gehaald. In hoofdstuk twee zullen we stilstaan bij de manier
waarop het idee dat alle wiskunde uit te drukken is als verzamelingenleer onder
meer bij Zermelo de verzamelingenleer be¨ınvloed heeft.
In1891geeftCantorzijnbefaamdediagonaalbewijs[13,p.278–281]dataan-
toont dat er geen grootste kardinaalgetal bestaat. Cantor heeft op dat moment
wiskundig bewezen wat hij in de grundlagen op theologische en metafysische
grond had beweerd: er komt geen einde aan de rij van de transfiniete getallen.
Cantor bewijst dat het aantal functies van een verzameling op zichzelf groter is
dan de kardinaliteit van deze verzameling7. Hoewel Cantor zichzelf nimmer in
dergelijke termen heeft uitgedrukt, had hij vanaf dat moment impliciet de mo-
gelijkheid om te spreken over de machtsverzameling van een willekeurige verza-
meling. Dit had evenwel onaangename repercussies voor Cantor’s opvattingen
over verzamelingen. Met de generatieprincipes voor getallen in het achterhoofd
ishetintu¨ıtiefaanvaardbaartestellendatelkeverzamelingeenwelordingheeft,
maarhoezietdeordeningvaneenmachtsverzamelingeruit? Hetwerdbijgevolg
meer en meer noodzakelijk een bewijs voor het welordeningstheorema te geven.
6Cantorspreektzelfoverhetalgemenebegripwaaronderalleverzamelingenmetdezelfde
ordestructuurvallen[30,p.87]. CantorenlaterRussellhebbenuitgebreidgebruikgemaaktvan
dezemethodevandefinitie door abstractie vanwatwenu(omdepsychologischeconnotaties
tevermijden?) eenvoudigwegequivalentieklassennoemen.
7Merkopdatditpastindetendensvandeveralgemeningvanhetfunctiebegrip. Wanneer
Cantor spreekt over alle functies, dan gaat het al lang niet meer om functies waarvoor een
regel bestaat. De stap naar het latere keuzeaxioma volgt hier bijna onmiddellijk uit, zie
daarvoor[37].
6