Das Unendliche: Mathematiker ringen um einen Begriff

190 Pages·1995·1.03 MB·German

by  Rudolf Taschner (auth.)

Rudolf Taschner
Das Unendliche
Mathernatiker ringen urn einen Begriff
Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH
Mit 52 Abbildungen, davon 12 in Farbe
ISBN 978-3-540-59093-4 ISBN 978-3-662-11433-9 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-11433-9
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1995
Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg
New York 1995
Redaktion: lise Wittig, Heidelberg
Umschlaggestaltung: Bayerl & Ost, Frankfurt
unter Verwendung einer Illustration von Steven Hunt,
The Image Bank
Innengestaltung: Andreas Gosling, Barbel Wehner, Heidelberg
Herstellung: Andreas Gosling, Heidelberg
Satz: Lewis und Leins GmbH, Berlin
6713130 - 543210 - Gedruckt auf saurefreiem Papier
Inhaltsverzeichnis
_ Vorwort ............................ VII
_ 1 Pythagoras und das Unendliche
im Pentagramm ..................... .
_ 2 Euklid und die Unendlichkeit
der Primzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 . 9 . . .
_ 3 Archimedes und die unendliche
Erschopfung ..... . . . ........... ... . . . 40
_ 4 Newton und die Unendlichkeit
in der Bewegung . . ........ . ... . ...... 59
_ 5 Cantor und die unendlichen
Dezimalzahlen ........ ... . . . . ........ 81
_ 6 Hilbert und die unendliche GewiBheit .. 93
_ 7 Brouwer und die unendliche Freiheit ... 123
_ Anhang .............. . ... . . .. ....... 141
v
Vorwort
»Oas Unendliche hat wie keine andere Frage von
jeher so tief das Gemut der Menschen bewegt;
das Unendliche hat wie kaum eine andere Idee
auf den Verstand so anregend und fruchtbar ge
wirkt; das Unendliche ist aber auch wie kein an
derer Begriff so der Aufklarung bediirftig.«
Kein Theologe und kein Philosoph, sondern ein
Mathematiker, namlich David Hilbert, hat dies ge
schrieben. Theologen predigen das Unendliche als Ei
genschaft Gottes und der Ewigkeit, aber unseren Er
kenntnisdrang vermogen sie damit nicht zu stillen; Phi
losophen ergehen sich in phantastischen Spekulationen
iiber das Unendliche, aber Definitives ist von ihnen nicht
zu erfahren. Die Mathematik hingegen beansprucht, die
wahre Wissenschaft vom Unendlichen zu sein, und al
les, was wir dariiber wissen konnen, verdanken wir dem
Genie der Mathematiker.
Dieses Buch will von ihrem Bemiihen urn das Un
endliche berichten.
Es ist kein Buch iiber die Geschichte ner Mathe
matik, obwohl aus dem Leben mancher Mathematiker
erzahlt wird, urn den abstrakten Gegenstand in einen
VII
lebendigen Bezug zu stellen. Manche bedeutende For
scher wie Euler oder Gaug werden aber blog erwahnt,
viele wie Fermat oder Riemann nicht einmal zitiert. Das
Buch erhebt keinerlei Anspruch auf VoIIstandigkeit, es
will allein Aspekte der Mathematik aufzeigen, die mir
im Zusammenhang mit dem Unendlichen am wesent
lichsten scheinen.
Es ist aber auch kein Mathematiklehrbuch, ob
wohl in jedem Kapitel zumindest von einem epochalen
Resultat der Mathematik die Rede ist. Mathematiklehr
bucher sind in ihrem Aufbau nuchterner, in ihrem Stil
straffer, Extempores in Philosophie, Psycho logie, Mu
sik, Literatur, wie sie hier anzutreffen sind, sind in stren
gen Lehrbuchern verpont.
Dieses Buch ist fur mathematische Laien geschrie
ben, welche die Faszination des Unendlichen beriihrt
und die wissen mochten, was die Mathematiker daruber
zu erzahlen haben. Die Leser diirfen sich nicht vor eini
gen einfachen Formeln furchten, die ihnen wahrend der
Lekture begegnen - ein Buch uber Mathematik ohne
Formeln zu schreiben, ist ein Ding der Unmoglichkeit.
Mehr als die Kenntnis des Bruchrechnens wird nicht
erwartet. Ich habe mich bemuht, alle mathematischen
Sachverhalte so klar und einfach wie moglich zu prasen
tieren. Die beigelegten Skizzen bedeuten eine zusatzliche
Verstandnishilfe, denn bekanntlich sagt ein Bild mehr
als tausend Worte. Nur das Lesen des Anhangs erfor
dert zuweilen ein etwas tieferes Wissen urn den Umgang
mit Formeln und Gleichungen, das jedoch nie uber die
ubliche Schulmathematik hinausgeht. Der Anhang ist
namlich fur jene besonders interessierten Leser gedacht,
die alles genauer wissen wollen; auf ihn wird mit hoch
gestellten Zahlen verwiesen. Fur das Verstandnis des
Haupttextes ist das Lesen des Anhangs an keiner Stelle
erforderlich.
VIII
Manchmal werden in den Formeln die kleinen
griechischen Buchstaben a fi.ir Alpha, f3 fur Beta, y fi.ir
Gamma, cp fur Phi, 17 fur Pi und '" fur Psi verwendet. Ei
nerseits bezeichnet man seit jeher so die Winkel im Drei
eck und andererseits verwenden wir diese Zeichen fur
die unendlichen Dezimalzahlen, die sich nach und nach
als die eigentlichen Heiden unserer Geschichte uber das
Unendliche entpuppen.
Fur ihre Unterstutzung und ihren Zuspruch beim
Abfassen des Textes bin ich meiner Frau von Herzen
dank bar. Karl Riesenhuber danke ich fur seine Kor
rekturen und Verbesserungsvorschlage. Der Springer
Verlag hat sich auch bei der Herausgabe dieses kleinen
Werkes in Professionalitat und Zuvorkommenheit aus
gezeichnet.
Das Buch hat seinen Zweck mehr als erfullt, wenn
die Leser nach der Lekture noch mehr uber die ange
schnittenen Themen erfahren m6chten. Interessieren sie
sich fur die Mathematik in all ihren Facetten, fur die
Tatigkeit des Mathematikers und fur die Verbindung
der Mathematik zu anderen Wissenschaften, kann man
ihnen nur das einzigartige Buch »Erfahrung Mathema
tik« von Philip Davis und Reuben Hersh ans Herz le
gen, das im Verlag Birkhauser erschienen ist. Die philo
sophisch interessierten Leser finden in Hermann Weyls
glanzend verfaRter »Philosophie der Mathematik und
Naturwissenschaft« aus dem Verlag Oldenbourg eine
Hille von Anregungen. Sind die Leser sogar fur ein
eigentliches Lehrbuch der Mathematik aufgeschlossen,
kann ich schon aus Eigeninteresse nicht verschweigen,
daR ich im Verlag Manz einen dreibandigen »Lehrgang
der konstruktiven Mathematik« verfaRt habe.
Rudolf Taschner
IX
1 Pythagoras und das
Unendliche im Pentagramm
Legenden ranken sich urn das Leben des Pytha
goras. Man sagt, er sei auf der griechischen Insel Sa
mos, nur wenig mehr als zwei Kilometer westlich vom
Festland Kleinasiens gelegen, urn 570 v. Chr. geboren.
Aus Protest gegen die politischen Verhaltnisse in seiner
Heimat verlieR er diese. Er bereiste Kleinasien, Phoni
zien, Agypten, Mesopotamien, lernte vom groRen Tha
les von Milet Mathematik und Astronomie und stu
dierte eingehend astrologische und religiose Myt hen, die
in den von ihm besuchten Regionen vorherrschend wa
ren. All dies sog er in sich auf und nutzte es als Grund
lage fur einen Geheimbund, einen Zirkel sich »Pytha
goraer« nennender Weisen, der seinen Sitz im sudita
lienischen Croton aufschlug1• Wie spater die Temp
ler, Rosenkreuzer oder Freimaurer erlangte der Ver
ein der Pythagoraer immer mehr politischen EinfluR
und wurde dementsprechend immer heftiger von sei
nen Gegnern angefeindet. Die Rivalen siegten: es kam
zur Vertreibung der Pythagoraer aus Croton, und Py
thagoras fuhrte den Rest seiner Anhanger ins sudita-
1
Mathematiker
beugen sich
tiber eine Ta
fel (Ausschnitt
aus Raffaels
»Schule von
Athen«).
lienische Metapont, wo er urn 480 v. Chr. verstorben
sein soil.
Pythagoras als Mathematiker im heutigen Sinn zu
bezeichnen, ist sicher falsch2• Er war nicht einmal ein
Philosoph wie Sokrates, Platon oder Aristoteles, viel
mehr haben wir ihn uns als religiosen Lehrer und mysti
schen Meister vorzustellen, dessen Wort unwiderspro
chen die letzte Instanz allen Wissens und die unbezwei
felbare Antwort auf aile Fragen war. »ER selbst hat
es gesagt«, galt bei seinen Jtingern als unerschtitterli
ches Argument im Streitgesprach - und mit ER war der
gottgleiche Pythagoras gemeint. Leider ist uns fast kei
nes seiner Worte tiberliefert, nur ein einziger mythischer
Spruch aus seinem Munde bekannt: »Alles ist Zahl.«
In diesem Diktum konzentriert sich die Uberzeu
gung des Pythagoras, die gesamte nattirliche und soziale
Welt sei durch arithmetische Strukturen bestimmt und
konne auf Beziehungen zwischen Zahlen zurtickgeftihrt
werden. Obwohl uns Heutigen dies auf den ersten Blick
befremdlich anmutet, kann man der These des Pythago
ras gewisse Plausibilitat nicht absprechen. Die Trtimpfe
in Debatten hat doch der in der Hand, der vorschlagen
kann: »Legen wir die Zahlen auf den Tisch«. Scheinbar
2