Table Of ContentDas Cross -Verfahren
Das
Cross-Verfahren
Die Berechnung hiegefester Tragwerke
nach der Methode des Momentenausgleichs
Von
Dr.-Ing. Johannes Johannson
Zweite vollig umgearheitete Auflage
von
Dipl.-Ing. Gunter Raczat
Mit 161 Abbildungen
und 38 Rechenbeispielen
Springer-Verlag
BerlinjGottingenfHeidelherg
1955
ISBN 978-3-642-52902-3 ISBN 978-3-642-52901-6 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-52901-6
Aile Rechte, insbesondere das der tJ"bersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten.
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Copyright 1948 and 1955 by Springer-Verlag OHG., Berlin/Gottlngen/Heidelberg.
Vorwort.
Der Verfasser dieses Buches, Herr Dr.-Ing. JOHANNES JOHANNSON,
war durch seine Ingenieurtatigkeit im Ausland verhindert, die 2. Auf
lage vorzubereiten. Daher hat es der unterzeichnete Bearbeiter unter
nommen, das Werk so umzugestalten, wie es der heutige Stand der
Berechnungstechnik zu erfordern schien.
Hierbei wurde versucht, eine umfassende und geschlossene Dar
stellung des von CROSS eingefiihrten Verfahrens zu geben und auch
die Aufgaben, deren Losung von CROSS selbst nur angedeutet wurde,
vollstandig in seinem Sinne berechnet vorzufiihren. Insbesondere werden
die Rahmenwerke mit verschiebbaren Knoten (wir nennen sie hier in
der Regel: "Rahmenwerke mit Stabdrehwinkeln") sehr breit behandelt.
Das bisher meist empfohlene PlLKEysche Verfahren, das ein System
von ebensoviel Gleichungen verwendet, wie der Rahmen Stockwerke
hat, ist ausgeschieden worden. Es werden nur Losungsmethoden ver
wendet, die genau im CRossschen Sinne ablaufen, wenn sie auch, so
weit bekannt, noch nicht aile von ihm in dieser Form vorgeschlagen
wurden. Es wird eine moglichst strenge Form angestrebt, die fUr aIle
in Betracht kommenden Rahmenwerke giiltig bleibt: Die aufeinander
folgenden Teilverformungen - das sind rechnerisch die einzelnen Aus
gleichschritte -, mit denen allmahlich die Gesamtverformung erreicht
wird, werden durch die Ausgleich-und "Obertragungsbetrage beschrieben,
die mit den entsprechenden Arbeitszahlen (Festwerten) ermittelt werden.
Die Teilverformungen sind einzelne Knoten- oder Stabdrehungen oder
bestimmte Kombinationen je eines oder beider.
Dieser Versuch, die Berechnungsweisen vollstandig und streng ein
heitlich im CRossschen Sinn darzustelIen, erforderte die weitgehende
Umarbeitung des Werkes. Bei dieser Gelegenheit wurden die Beispiele
vor allem durch einfache Aufgaben vermehrt, um das Erlernen der
Handhabung zu erleichtern. Die an den Benutzer gestellten Anforde
rungen wurden nicht erh6ht. Man solIte den MOHRschen Satz kennen,
um aile Ableitungen zu verstehen, doch ist dies durchaus nicht erforder
lich, wenn nur die handwerksmaBige Benutzung des CRoss-Verfahrens
eingeiibt werden solI. Das geniigt zur Erledigung der meisten Aufgaben,
sob aId wenigstens sachkundige Anleiturig gegeben ist.
VI Vorwort.
Das Verfahren von CROSS hat sich einen festen Platz unter den
gebrauchlichen Berechnungsweisen verschafft. Es kommt dem Bedurf
nis nach Anschaulichkeit entgegen, das um so groBer wird, je weiter
der Kreis derjenigen zu ziehen ist, die solche Rechenverfahren benotigen.
Es entspricht auch insofern praktischen Bedurfnissen, als es erlaubt,
je nach Bedarf beliebig genau oder nur grob naherungsweise zu rechnen,
wobei immer gleichzeitig ein guter U"berblick uber das jeweils vor
handene AusmaB an Ungenauigkeit vorhanden ist. Sicher ist das Ver
fahren in dieser anschaulichen Form nicht zufallig im angelsachsischen
Raum aufgetaucht, wo es den empirischen Neigungen und der pragma
tischen Denkweise entspricht. Die Elemente lassen sich zwar an vielen
anderen SteIlen des technischen Schrifttums bereits vorher nachweisen;
es liegt nahe, ENGESSER zu erwahnen, der sogar ein Iterationsverfahren
angegeben haP, das im theoretischen Kern mit dem CRoss-Verfahren
weitgehend identisch ist. Doch ist noch weniger zufallig, daB viele im
festlandischen Europa hinzugefiigte Veranderungen die bestechende Ein
fachheit und Anschaulichkeit der ursprunglichen Form uberdecken,
selbst wenn sie in anderer Hinsicht Verbesserungen bedeuten mogen.
Daher wurde auch das zweistufige Verfahren von DASEK zwar noch
mitaufgenommen, aber nicht weiteren Beispielen wie in der 1. Auflage
zugrunde gelegt. Als Haupthandhabe bei Rahmenwerken ohne Stab
drehwinkel dient das CROSS-Verfahren in der von seinem Schopfer be
reits angewendeten verkiirzten Form, bei der erst aIle U"bertragungs
betrage angeschrieben werden und dann nur ein einziger Ausgleich er
folgt. In diesem Ruckgriff auf die primitivere Form schien dem Be
arbeiter ein V orteil fUr die Benutzer zu liegen, die weniger haufig vor
Aufgaben der hier behandelten Art stehen.
Meinen Mitarbeitern, den Herren Ing. ANz und LANGKAU, verdanke
ich wertvoIle Mithilfe bei der Fassung und Berechnung der Zahlen
beispiele und bei den Korrekturen.
Dem Verlag ist das bereitwillige Eingehen auf die weitreichenden
Wunsche des Bearbeiters besonders zu danken.
Hagen, den 1. Mai 1955.
Giinter Raczat.
1 Eisenbau Bd.11 (1920) S.81. - Den Hinweis auf diese QueUe verdanke
ich Herrn Professor MEHMEL.
Inbaltsverzeicbnis.
(Die wichtigsten Bezeichnungen siehe unter 1.4.)
Seite
1. Grundlagen ... . .. .
1.1 Physikalische Deutung des CROSS-Verfahrens
1.2 Aufgabenbereich. . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Allgemeine Vereinbarungen fiir Berechnungsform und Darstellung 4
1.31 Berechnungsziel und a.uBerliche Berechnungsform 4
1.32 Grundbegriffe 4
1.33 Vorzeichenregeln . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Die wichtigsten Zeichen . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Rechnerische Verfolgung der mechanischen Vorgange 8
1.6 Steifigkeiten und Ubertragungszahlen 12
1. 7 Verteilungs- oder Ausgleichzahlen . 18
1.8 Zusammengesetzte Drehsteifigkeiten _ 20
1.9 Teilverformungsbilder _ . . . . . . 23
2. Die allgemeine Handhabung des CRoss-Verfahrens bei Durch
lauftra.gern und einfachen Rahmenwerken mit und ohne Stab-
drehungen unter auBeren Lasten 25
2.1 Allgemeine Regeln . . . . . _ . . 25
2.11 Berechnungsgang . . . . . . 25
2.12 Behandlung von Kragtra.gern 27
2.2 Beispiele fiir einmaligen Momentenausgleich 27
2.21 ~,,---:lt:1fI.'millml'im "'m "'m O'I mIi! Il'l!l'. 28
2.22 .k j ,,," :fllili/llllllllltlll!i 29
ml
2.23 pP'E3~ffj5@D~~R!'fIfi tf'''"11i !1' 111- 30
2.24 .!oil, ,. " :fllll"'llllIliliiillifi 31
2.25
31
2.26 "1
33
2.3 Beispiel fUr Anwendung del' CRossschen Iteration in del' ausfiihrlichen
Jf.'"
Form '""iI ,~IIIIIIIIIIII,*"'!ii"""!IIIlill ... . . _ . . . . . .3 3
VIII J nhaltsverzeichnis.
Seitc
2.4 Kiirzere Schreibweise der CRossschen Iteration 35
2.41 Allgemeines ........... . 35
2.42 Beispiel 2.3 in verkiirzter Schreibweise 35
2.43 '140 f ::& i"itii ill
36
2.44
:38
~.
2.45 JJ I~
~
'"
if,~ ~ "
2.5 Beispiele fUr Rahmenwerke mit Stabdrehwinkeln (verschiebharen
Knoten) .......................... . 46
2.51 Stabdrehung,n uud Knot,ndreh=g'u gld'hwitig ~
46
2.52 Wie 2.51, Stab· und Knotendrehungen abwechselnd . . . . . MI
2.53
H
!!"Y. lJil1l< 51
2.54 Rahmen wie 2.53, unter Windlast 58
3. Einige Verfahren zur Abkiirzung des Berechnungsganges hpi
Durchlauftriigern und Rahmenwerken ohne StabdrphwinkeI 5!1
3.1 Allgemeines . . . . . . . . . 59
3.2 Das zweistufige Verfahren nach DASEK 60
3.21 Ableitung des Verfahrens 60
3.22 Beispiel: Durchlauftriiger wie in 2.43 64
3.23 Eine weitere Vereinfachung fiir den zweistufigen Ausgleieh 65
3.24 Beispiel: Wie 3.22, jedoch vereinfacht gemiiB 3.23 . . . . 66
3.25 Beispiel: Rahmenwerk wie in 2.45, nach dem zweistufigen Ver·
fahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.26 Geschlossene Losungen filr Tragwerke mit drei, vier odeI' fUnf
Knoten . . . . . . . . . . . 71
3.3 Umgehung der CRossschen Iteration. 73
3.31 Allgemeines7:3
3.32 Verfahren . . . . . . . . . . 75
3.33 Beispiel: Rahmen wie in 2.45 75
3.34 Beispiel: Durchlauftriiger wie in 2.43 79
3.35 Ableitung des Verfahrens . . . . . 80
Inha.Itsverzeichnis. IX
Selte
4. Behandlung von Rahmenwerken mit ein- oder mehrfacher
Symmetrie ........... . 82
4.1 Belastungsumordnung . . . . . . . . . . . . 82
4.2 Ansatz der Steifigkeiten, wenn Stabdrehwinkel nicht vorhanden sind 83
4.3 Ansatz der Steifigkeiten, wenn Stabdrehwinkel vorhanden sind . .. 84
4.4 Regeln fur die Zusammensetzung der Ergebnisse bei allgemeiner un-
symmetrischer Belastung 85
4.5 Beispiele n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.51
n 85
4.52
86
4.53
88
4.54 1 I 1
89
4.55 JlIIIIIIIIIIIII~IIIIIIIIIIII!!. 89
4.56 90
4.57 OJ
91
4.58
91
4.59 Weitere Beispiele fur antimetrische Belastungsfalle symmetrischer
Systeme ............... . ........ . 92
x
Inhaltsverzeichnis.
Selte
5. Ein besonderes Verfahren fiir eingeschossige Rahmenwerke 94
5.1 Allgemeines . 94
5.2 Beispiel: Wie 2.51 95
- 1- - 1
5.3 Beispiel: I
l
98
6. Die Handhabung des CRoss.Verfahrens bei groBeren Stock
werkrahmen. Rahmentragern und bei Durchlauftragern auf
elastisch senkbaren Stiitzen 101
6.1 Allgemeines . . . . . . . . . 101
6.2 Beispiel: (ohne Vorverformung)
101
6.3 Beispiel wie 6.2. mit Vorverformung 102
6.4 Beispiel:
............... 105
6.5 Beispiel: kls.:.~!-+-!-+--!--Jl
107
6.6 Durchlauftrager auf elastisch senkbaren Stiitzell . 112
6.7 Durchlauftrager mit gegebenen Auflagersenkungen 115
6.8 Nebenspannungen in Fachwerken . . . . . . . . 115
7. EinfluB von Temperaturanderungell, Schwinden und Normal-
kraften . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.1 GleichmaBige Temperaturanderung 117.
7.2 UngleichmaBige Temperaturanderung 119
7.3 EinfluB von Langenanderungen durch Normalkrafte 120
7.4 Beispiel:
121
8. EinfluBlinien . 124
8.1 Allgemeines . 124
8.2 Beispiel: ../JO I I I
1
. ... . ... . ... 126
Inhaltsverzeichnis. XI
Sette
9. Veranderliche Tragheitsmomente ... 131
9.1 Ausgangsmomente, Steifigkeiten, "Obertragungs- und Ausgleichzahlen 131
9.11 Ausgangsmomente . . . . . . . . . 131
9.12 Steifigkeiten und "Obertragungszahlen 132
9.13 Stockwerkssteifigkeit . . . . . . . 134
9.14 Ausgleichzahlen . . . . . . . . . . 134
9.15. Bestimmung der Endtangentenwinkel ex und {J 134
9.16 Zusammengesetzte Drehsteifigkeit 135
;;=rJI~~=" =l~:~~
9.2 Beispiel: ....
136
9.3 Beispiel: EinfluBlinie fiir das Rahmenwerk in 9.2 138
Anhang ... 146
Tabelle I. Steifigkeiten und "Obertragungs- und Ausgleichzahlen 146
Tabelle II. Volleinspannmomente 151
Tabelle III. w-Zahlen 155
Tabelle IV. Steifigkeiten und Endtangenten- t-F------f
::oJ .
winkel bei der Sta bform. . . . I-- 156
Tabelle . V. Ausgarrgsmomente zur Stabform 158
Tabelle VI. Steifigkeiten und Endtangenten
winkel zur Stabform . . . . . 158
Tabelle VII. Ausgangsmomente zur Stabform 162
Tabelle VIII. EinfluBlinien fiir Endtangenten
winkel bei der Stabform. . . . to: 164
Tabelle IX. EinfluBIinien fiir Endtangenten-
rl=----f
winkel bei der Stabform . 165
Namen- und Sachverzeichnis .. 166
