Table Of ContentDIE GRUNDLEHREN DER
MATHEMATISCHEN
WISSENSCHAFTEN
IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER
BERUCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE
HERAUSGEGEBEN VON
).L.DOOB· E.HEINZ
F.HIRZEBRUCH· E. HOPF· H. HOPF· W. MAAK
W. MAGNUS' F.K.SCHMIDT· K. STEIN
GESCHAFTSFOH RENDE HERAUSGEBER
B.ECKMANN UND B.L.VAN DER WAERDEN
ZORICH
BAND 92
2. verbesserte Auflage
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH
1964
DARSTELLENDE GEOMETRIE
VON
DR.FRITZ REHBOCK
O. PROFESSOR FaR MATHEMATIK
AN DER TECHNISCHEN HOCHSCHULE BRAUNSCHWEIG
2. verbesserte Auflage
MIT 111 GANZSEITIGEN ABBILDUNGEN
UND 2 PORTRĂTS
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH
1964
Gesm1iftsfiihrende Herausgeber:
Praf. Dr. B. Ed<mann
Eidgenossisme Temnisme Homsmule Ziirim
Praf. Dr. B. L. van der Waerden
Mathematismes Institut der Universit1it Ziirlm
ISBN 978-3-642-53339-6 ISBN 978-3-642-53379-2 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-642-53379-2
Alle Remte,
insbesondere das der Obersetzung in fremde Spramen,
vorbehalten
Ohne ausdriidcliche Genehmigung des Verlages
ist es aum nimt gestattet, dieses Bum oder Teile daraus
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oder auf andere Att zu vervielf1iltigen
© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1964
Ursprunglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin· Gottigen· Heidelberg· New York 1964
Library of Congress Catalog Card Number 64-22770
Softcover reprint of the hardcover 2nd edition 1964
Titel-Nr. 5075
AMICIS
ET STUDIOSIS
Vorwort zur 1. Auflage
Dieses kleine Handbuch der Darstellenden Geometrie bringt in ge
drängter Form den Stoff, der auch heute noch in einer vier-bis fünfstün
digen Vorlesung unseren Mathematikern, Ingenieuren und Architekten
an einer deutschen Universität oder Technischen Hochschule geboten
werden kann oder müßte. Vom Leser wird liebevolles Nachzeichnen aller
Konstruktionen erwartet. Daher sind die Figuren dieses Buches zum
Unterschied von denen vieler älterer Bücher sehr groß und nach Möglich
keit frei von entbehrlichen Hilfslinien gestaltet, aber dennoch so, daß
jede Konstruktion nahezu allein durch "Lesen" der Figur verstanden
werden kann. Der zugehörige Text steht genau neben jeder Bildseite.
Mit großer Sorgfalt unterstützten mich beim Entwerfen und Konstru
ieren der Bilder meine Assistenten Dr.-Ing. WOLFGANG BÖHM, Dr. rer.
nato ROBERT JAKOBI und cand. math. WOLFGANG KLEIN, beim Lesen der
Korrekturen Dr.-Ing. BÖHM und Dipl.-Math. ERICH GLüCK. Sie alle gaben
wertvolle Anregungen und gingen unverdrossen auf jeden Wunsch ein.
Ihnen und dem Verlag, der nach alter Tradition wieder einmal keine
Mühe scheute, gebührt mein herzlicher Dank.
Wagrain, am 16. Juli 1956 FRITZ REHBOCK
Vorwort zur 2. Auflage
Die Gestalt des Buches blieb unverändert: Die in der Ingenieur- und
Architekturpraxis nötigen und üblichen Spezialfälle und einfachen An
nahmen sind - vor allem bei den Beispielen und Aufgaben - bevorzugt
und vorangestellt, allgemeinere Fälle und Methoden daraus entwickelt
oder skizziert. Neueingefügt wurde eine Seite über das Zentralbild des
Kreises und am Schluß ein Verzeichnis bequem erreichbarer Beweise
und Ergänzungen.
Anregungen für knappe, aber klärende Zusätze verdanke ich meinem
Kollegen Prof. Dr. FRANK LÖBELL (München) und meinen früheren
Assistenten Dr.-Ing. WOLFGANG BÖHM (Berlin), Dr. ERICH GLüCK
(Gießen) und Dr. RUDoLF HALIN (Köln). Die beiden letzten durch
suchten als Spürhunde - wie Herr Halin das humorvoll umschrieb -
mehrmals eifrig und mit Erfolg das Buch und die Korrekturbogen.
Wagrain, am 12. August 1964- FRITZ REHBOCK
Inhaltsübersicht
Einleitung: Grundbegriffe
Punkte, Geraden und Ebenen 2
Erster Teil: Fernbilder
I. Anschauliche Bilder
1.1 Zentral- und Fernbilder 6
LU Zentralprojektion . 6
1.12 Fluchtpunkt . 6
1.13 Parallelprojektion. 8
1.14 Zwei Fernbilder einer ebenen Figur 8
1.15 Normalprojektion 10
1.16 Kotierte Risse 10
1.2 Axonometrie . 12
1.21 Koordinaten und Risse 12
1.22 Zugeordnete Risse 12
1.23 Axonometrische Bilder 14
1.24 Dimetrische und isometrische Bilder 14
1.25 Kavalier- und Militärprojektion 16
1.26 Das Einschneidebild 18
1·3 Die Ellipse . 20
1.31 Das Fernbild eines Kreises . 20
1.32 Krümmungskreise . 20
1.33 Tangentenachteck und -zwölfeck 22
1.34 Punkte und Tangenten einer Ellipse. 24
1.35 Der Riß eines Kreises 26
1.36 Achsenkonstruktion . 26
1·4 Perspektivität und Affinität 28
1.41 Perspektivität 28
1.42 Affinität. 28
1.43 Spezialfälle 30
1.44 Kegelschnitte. 30
1·45 Drehungsaffinität . 32
1.46 Ellipsenaufgaben 32
x
Inhaltsübersicht
2. Zugeordnete Risse
2.1 Risse und Spuren . . . . . .
2.1l Spurpunkte und Spurlinien
2.12 Profilebenen und Hauptebenen
2.13 Geradenpaare . . . . . . .
2.14 Vereinigte Lage von Ebene und Gerade
2.15 Allgemeine Seitenrisse .
2.16 Spezielle Seitenrisse
2.2 Schnittaufgaben . . . . . . . . . . . . . . 40
2.21 Schnitt von Gerade und Ebene mit Hilfe einer Deckgeraden 40
2.22 Schnitt von Gerade und Ebene mit Hilfe eines Seitenrisses 40
2.23 Schnitt zweier Ebenen mit Hilfe ihrer Umrandungen 42
2.24 Schnitt zweier Ebenen mit Hilfe von Schichtebenen . 42
2.25 Schatten auf Hauptebenen . . 44
2.26 Schatten auf beliebige Ebenen 44
2·3 Maßaufgaben . . . . . . . .
2.31 Rechtwinkellage von Gerade und Ebene
2.32 Gemeinsame Normale zweier Geraden
2·33 Länge einer Strecke. . . .
2·34 Gestalt einer ebenen Figur .
2·35 Winkel zweier Ebenen. . .
2.36 Neigungswinkel einer Ebene
2·4 Kreisaufgaben . . 52
2.41 Risse eines Kreises 52
2.42 Drehzylinder . 52
2·43 Kugelumriß . . . 54
2·44 Kugelschnitte 54
2·45 Kugel bei Parallel- und Zentralbeleuchtung 56
2.{6 Kugel und Kugelschale mit Schatten . . . 56
3. Anschauliche Risse
3.1 Normale Axonometrie 58
3·1l Nachteile der schiefen Axonometrie 58
3.12 Das Spurendreieck 58
3.13 Umlegung der Koordinatenebenen 60
3.14 Umlegung eines Achsenprofils 60
3.15 Kreise in den Koordinatenebenen . 62
3.16 Verkürzungs- und Stauchungsfaktoren . 62
3.2 Spezialfälle der normalen Axonometrie . 64
3.21 Ingenieuraxonometrie . 64
3.22 Achsenmaßstäbe bei Ingenieuraxonometrie . 64
Inhaltsübersicht XI
3.23 Kreise in den Koordinatenebenen bei Ingenieuraxonometrie 66
3.24 Halbkreise in den Koordinatenebenen bei Ingenieuraxonometrie 66
3.25 Konturmantellinien eines 45°-Kegels bei Ingenieuraxonometrie 68
3.26 Isometrische Projektion. . . . . . . . . . 68
3·3 Einfache Kurven und Flächen zweiter Ordnung 70
3.31 Die Hyperbel 70
3.32 Die Parabel ............ . 70
3·33 Zylinder und Kegel . . . . . . . . . . 72
3·34 Ellipsoid und zweischaliges Hyperboloid. 72
3·35 Kugel mit Groß- und Kleinkreisen . . . 74
3.36 Einschaliges Hyperboloid und hyperbolisches Paraboloid. 76
3·4 Umrisse ..... 78
3.41 Tangentialebenen 78
3.42 Umriß und Kontur 78
3·43 Drehfiäche mit Berührungskugel 80
3·44 U mriß einer Drehfiäche . . . . 80
3·45 U mriß des einschaligen Drehhyperboloids 82
3.46 Umriß des hyperbolischen Paraboloids 82
4. Einfache Flächen
4.1 Drehflächen . . . 84
4.II Übersicht . . . . 84
4.12 Achsenparallele Schnitte. 84
4.13 Symmetrielinie eines ebenen Schnittes. 86
4.14 Konturpunkte eines ebenen Schnittes . 86
4.15 Beliebige Punkte und Tangenten eines ebenen Schnittes 88
4.16 Torusschnitt und Zylinderschnitt 88
4.2 Kegelflächen . . . . . . . . . 90
4.21 Kegelschnitte. . . . . . . . . 90
4.22 Hyperbolischer Schnitt im axonometrischen Riß 90
4.23 Hyperbolischer Schnitt im Grund- und Aufriß . 92
4.24 Achsenparalleler Schnitt und Mantelabwicklung . 92
4.25 Brennpunkte. . . . 94
4.26 Der Satz von Pascal 94
4.3 Böschungsflächen . . 96
4.31 Ebenen von gegebener Neigung durch eine Gerade 96
4.32 Böschungsebenen durch geradlinige Straßenkanten 96
4.33 Das hyperbolische Paraboloid als Übergangsfiäche 98
4.34 Raumkurve mit Tangentenfläche . . . . . . . . 98
4.35 Böschungslinien und Böschungsfiächen . . . . . 100
4.36 Böschungsfiäche von gegebener Neigung durch gegebene Raum-
kurve .......................... 100
XII Inhaltsübersicht
4·4 Schraubenflächen . . . . . . . . . . 102
4.41 Die Schraubenlinie . . . . . . . . . 102
4.42 Anschauliche Risse einer Schraubenlinie 102
4·43 Regelschraubenflächen . . . . . . . 104
4·44 Tangentialebene und Kontur einer Schraubenfläche lO4
4·45 Achsenparalleler Schnitt einer Regelschraubenfläche 106
4.46 Stirnschnitt einer Regelschraubenfläche . . . . .. 106
5. Durchdringungen
5·1 Kugelverfahren für Drehflächen . . . . . 108
5·II Punkt- und Tangentenkonstruktion . . . lO8
5.12 Drehflächen mit gemeinsamem Achsenpunkt 108
5.13 Imaginäre Elemente mit reellen Rissen 110
5·14 Die Asymptoten einer Durchdringungskurve 110
5.15 Ringfläche und Kegel: Punktkonstruktion . II2
5.16 Ringfläche und Kegel: Tangentenkonstruktion 112
5.2 Pendelebenenverfahren für Kegelflächen II4
5.21 Pendelebenen zweier Kegel. . II4
5.22 Berührende Pendelebenen . . . . . . II4
5.23 Durchdringung zweier Rohre. . . . . II6
5.24 Schlagschatten eines Kreises auf einen Zylinder II6
5.25 Kegel und Zylinder: Punktkonstruktion . . II8
5.26 Kegel und Zylinder: Tangentenkonstruktion II8
5·3 Zerfallende Durchdringungskurven 120
5.31 Zwei Kegel mit zwei Berührungspunkten. . 120
5.32 Zwei Drehkegel mit gemeinsamer einbeschriebener Kugel 120
5·33 Kreuzgewölbe 122
5·34 Rohrknie ....... . 122
5·35 Kongruente Drehkegel 124
5.36 Hohlkegel mit Randschatten 124
5·4 Pendelebenenverfahren für Kugeln und Regelflächen . 126
5.41 Kugel und Kegel: Punktkonstruktion . . 126
5.42 Kugel und Kegel: Tangentenkonstruktion 126
5·43 Vivianisches Fenster . . . . . . . . 128
5·44 Kugel und Schraube. . . . . . . . . 128
5·45 Abwicklung eines schiefen Kreiskegels . 130
5.46 Abwicklung einer Schraubentorse. . . 130
Inhaltsübersicht XIII
Zweiter Teil: Zentralbilder
6. Distanzpunktperspektive
6.1 Fluchtpunkte .
6.II Fluchtpunkt und Verschwindungspunkt
6.12 Parallele Geraden. . . . . .
6.13 Fluchtlinien- und Winkelsatz
6.14 Hauptpunkt und Distanz ..
6.15 Perspektive Teilung. . . . .
6.16 Unzugängliche Fluchtpunkte.
6.2 Fluchtlinien .
6.21 Frontansicht .
6.22 Eckansicht
6.23 Kippansicht .
6.24 Schatten auf horizontale Ebenen
6.25 Schatten auf geneigte Ebenen
6.26 Schatten auf Wände. . . . . .
6.3 Distanzpunkte und Frontansicht
6.31 Horizontale Quadrate . . .
6.32 Horizontaler Kreis . . . . .
6·33 Axonometrische Perspektive .
6·34 Frontansicht mit Tiefenmaßen
6·35 Winkel in Horizontalebenen
6.36 Winkel in Tiefenwänden .
6.4 Zylinder und Kugel . . .
6.41 Drehzylinder . . . . . .
6.42 Zylinderachse senkrecht zur Bildtafel. . . . . . . . . . . .
6·43 Kugel mit Großkreisen . . . . . . . . . . . . . .
6·44 Ellipsen und Kreise in Wänden und Horizontalebenen .
6·45 Frontansicht eines Kreuzgewölbes
6.46 Schatten auf Zylinder. . . . . . . . . . . . . . .
7. Meßpunktperspektive
7.1 Meßpunkte ... 162
7·II Meßpunkte einer Ebene . . . . . . . 162
7.12 Konstruktion eines Ebenen-Meßpunktes . 162
7.13 Meßpunkte einer Geraden . . . . . . . 164
7·14 Konstruktion eines Geraden-Meßpunktes 164
7.15 Messen und Gestalten ebener Figuren 166
7.16 Messen und Abtragen von Strecken . . . 166
