Table Of ContentCurso de História
da Matemática
Origens e Desenvolvimento do Cálculo
Curso de História
da Matemática
Origens e Desenvolvimento do Cálculo
Unidade 1
A MATEMÁTICA GREGA
MARGARET E. BARON
da equipe de preparação do Curso de História
da Matemática da Open University
Tradução do Professor JOSÉ RAIMUNDO BRAGA COELHO,
do Departamento de Matemática da Universidade
de Brasília
BE:J
Decanato de Extensão
E.ditam Universidade de Brasílza
Serviço de Ensino à Distância
Este livro ou qualquer parte dele
não pode ser reproduzido
sem autorização escrita do Editor.
1 9 8 5
Impresso no Brasil
EDITORA UNIVERSIDADE DE BRASILIA
Campus Universitário, Asa Norte
70.910 BRASÍLIA, Distrito Federal
Copyright © 1974 The Open University
Direitos exclusivos·de edição em língua portuguesa:
Editora Universidade de Brasília
Equipe de preparação do Curso de História da Matemática (AM289) da
Open University:
Diretor Geral - GRAHAM FLEGG
Unidades AM289 CI-C5, Origens e Desenvolvimento do Cálculo
Autores - MARGARET E. BARON e H. J. M. Bos
Edição brasileira
Revisão geral: JOSÉ RA!MUNOO BRAGA COELHO e REGINA COELI A. MARQUES
Editoração: GERALOO HUFF e MANUEL MONTENEGRO DA CRUZ (Editores);
FATIMA RE.IANE DE MENESES (Controle de Texto)
Serviço de Ensino à Distância:
Coordenador: T ARCÍSIO MEIRA CÉSAR
Capa: CLARICE SANTOS
Ilustração: ARQUIMEDES
O presente volume faz parte do Curso de História da Matemática:
Origens e Desenvolvimento do Cálculo da Universidade de Brasília.
Uma lista das unidades que compõem o curso pode ser encontrada ao
final desta unidade.
Para informações acerca da disponibilidade do material de leitura
citado neste texto, escreva à Universidide de Brasília, Decanato de
Extensão, Serviço de Ensino à Distância. Campus Universitário, 70.91 O
Brasília, Distrito Federal.
FICHA CATALOGRÁFICA
elaborada pela Biblioteca Central da Universidade de Brasília
Baron, Margaret E.
B265h Curso de história da matemática: origens e desenvolvimento do
cálculo, por Margaret E. Baron e H. J. M. Bos. Trad. de José Raimundo
Braga Coelho, Rudolf Maior e M. • José M. M. Mendes. Brasília, Editora
Universidade de Brasília, 1985, cl974.
5v. ilust.
Título original: History of mathematics: origins and development of
the calculus.
51(09) 517(09)
Bos, H J M, , colab.
ISBN 85-230-0172-7 (série)/85-230-0173-5 (Unidade 1)
SUMÁRIO
Introdução geral às unidades I a 5 1
Guia para a leitura das unidades 4
Leituras complementares 5
Unidade 1: A Matemática Grega
Objetivos 7
Nota sobre as questões 7
1.0. Introdução 9
1.1. Fórmulas de medidas e transformações
geométricas 11
1.2. Os primórdios da matemática grega 14
1.3. Os números figurados 15
1.4. Os indivisíveis 19
1.5. Os paradoxos de Zenão 22
1.6. O irracional 25
l. 7. A axiomatiz.ação da matemática grega 27
1.8. Trabalhando com as proporções 30
1.9. o· problema da quadratura 32 ~.;
1. 10. A quadratura do círculo 34
1.11. Euclides e o método de exaustão 37
1.12. Os métodos de integração de Arquimedes 40
1.13. As espirais 48
1.14. A descoberta do método de Arquimedes 50
1.15. Tangentes, ângulos e curvas 52
1.16. A transição para a Europa Ocidental 55
1.17. Conceitos de movimento 57
1.18. Resumo e conclusões 62
Referências bibliográficas 63
Agradecimentos 63
INTRODUÇÃO GERAL ÁS UNIDADES 1 A 5
1. É mais fácil dizer o que o cálculo faz do que dizer o que
ele é. Fora dos ambientes acadêmicos, aqueles que se preocu
pam com o cálculo infinitesimal, de uma maneira ou de outra,
estão interessados em suas aplicações. Em geral, a derivação
está relacionada com a descrição e mensuração da maneira
como as coisas variam, se movem e crescem; vamos utilizá-la
para calcular razões de crescimento, decrescimento, assim
como para prever desenvolvimentos futuros. A integração
constitui uma ferramenta básica nos processos de somas; por
exemplo, ela é usada para determinar a pressão total da água
contra uma represa, para determinar a quantidade total de
energia que flui através de um cabo elétrico num determinado
tempo ou a quantidade de terra a ser escavada de uma deter
minada região.
· Aplicações do cálculo se fazem presentes em todos os fenô
menos mensuráveis: gravitação, calor, luz, som, eletricidade,
magnetismo e ondas de rádio. Na física moderna, os conceitos
do cálculo e suas inúmeras extensões são usados com fre
qüência e à medida que outras ciências adquirem uma melhor
base matemática, mais numerosas tornam-se as utilidades
do cálculo.
2. Cientistas, engenheiros e astrônomos utilizam o cálculo
para explorar o universo físico em que vivemos, assim como
para explorar e controlar as fontes de riquezas da terra. A his
tória do cálculo inclui estas e muitas outras aplicações. Para a
humanidade, as necessidades mais primárias e urgentes estão
ligadas à alimentação, ao vestuário, à habitação e ao trans
porte. Em qualquer época, e para qualquer povo, as idéias
têm-se revelado mais importantes e o cálculo tem tido sua
participação na história dessas idéias. Embora ninguém possa
sugerir que as descobertas na matemática ocorram no vazio,
alheias aos acontecimentos externos de tipo científico, militar,
social ou econômico, a mais importante fonte de inspiração
neste campo tem estado usualmente dentro do homem e não
fora dele. Ninguém pode estudar a história do cálculo sem
recorrer constantemente a si mesmo para determinar em que
proporção os problemas formulados e resolvidos, parcial ou
completamente, devem-se a circu'nstâncias externas ou a
alguma forma de necessidade interna. Muitas vezes torna-se
impossível traçar a origem de um determinado problema;
uma vez formulado, em termos de matemática, o problema
torna-se, de algum modo, um desafio intelectual que certos
indivíduos aceitam quase sempre preparados para colocar
em planos inferiores os aspectos mais imediatos dos resultados
do seu trabalho.
O cálculo, como outras áreas do conhecimento humano, de
senvolveu-se através de uma combinação entre problemas
e teorias. Os problemas geraram as formulações de conceitos,
ORIGENS E DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO - 1
teorias e técnicas apropriadas para resolvê-los; teorias, por
sua vez, sugeriram novos problemas e ampliaram as áreas
de aplicação. No caso do cálculo, este processo resultou na
formulação de um conjunto compreensivo de regras opera
cionais para a solução de diversos problemas. A história desse
desenvolvimento é intrincada e complexa: esperamos que
você a ache tão fascinante quanto nós.
3. A maioria dos problemas do cálculo pode ser reduzida ao
conhecido modelo geométrico de uma curva plotada no plano,
tendo como referência um par de eixos ortogonais. Historica
mente, o modelo geométrico exerceu um papel central no
desenvolvimento do cálculo diferencial e integral.
A diferenciação desenvolveu-se em consonância com proble
mas de construção de tangentes a curvas. Se uma curva re
presenta o gráfico de uma função, a inclinação da reta tan
gente à curva, num ponto da curva, representa a razão de
variação da função; se uma curva representa a trajetória
de um corpo em movimento, a tangente dá a direção do movi
mento num determinado instante. Muitos outros problemas,
tais como os de determinação de extremos (máximos e mí
nimos), podem ser associados com a construção de tangentes
e podem ser assim resolvidos através da diferenciação. Estudos
mais gerais sobre curvaturas ou sobre as formas das curvas
e as maneiras como elas se dobram (em duas ou três dimen
sões) podem ser resolvidos usando-se o cálculo diferencial.
4. A integração desenvolveu-se de problemas de quadraturas
V de curvas, isto é, determinação da área de regiões limitadas
por curvas, eixos e ordenadas. Por exemplo, se a curva repre
senta um gráfico de velocidade contra tempo, a distância total
percorrida num determinado intervalo de tempo é encontrada
por integração, isto é, calculando-se a área sob a curva.
Outros problemas geométricos, tais como a determinação
do comprimento de curvas (retificação), as áreas de superficies
t curvas e os volumes de regiões limitados por superficies planas
ou curvas (cubaturas), podem ser todos reduzidos a quadra
turas e assim resolvidos pelo cálculo integral. Embora con
ceitos precisos do cálculo atual independam das figuras e
dos desenhos, não teria sido fácil entender e ensinar sem a
imagem visual promovida pelos modelos geométricos das cur
vas, tangentes e quadraturas.
5. Os problemas das tangentes e quadraturas foram estudados
separadamente durante séculos, antes de finalmente se torna
rem relacionados no século XVII, através do que agora conhe
cemos como o teorema fundamenta/ do cálculo. Apresentado de
diferentes maneiras e em geral relacionado com modelos
geométricos, este teorema foi essencial para o relacionamento
entre diferenciação e integração. As soluções de problemas
envolvendo tangentes e quadraturas ficaram assim unificadas
através do teorema fundamental do cálculo, tornando-se
um instrumento importante e poderoso no e~tudo de pro-
2 - CURSO DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
blemas mais gerais pela introdução, também no século XVII,
de uma notação especial e de algoritmos (o u regras de cálcuio ).•
A introdução dessa notação tornou possível traduzir por meio
de fórmulas as informações obtidas com os modelos geomé
tricos; os algoritmos permitiram aos matemáticos realizar
operações de diferenciação e integração com fórmulas, ao
invés de as descreverem na linguagem geométrica. A introdu
ção das fórmulas modificou o cálculo e, em conseqüência,
o conceito de função tornou-se fundamental. Assim, do século
XVII em diante, o modelo geométrico de curva, tangente e
quadratura foi gradualmente substituído pelo modelo analí-
tico de função, derivada e integral.
6. O tipo de notação disponível tem sido um dos mais impor
tantes fatores no desenvolvimento da matemática, pois a
invenção e disposição de símbolos é parte do processo de des
coberta. Iremos discorrer sobre os diferentes símbolos-e nota
ções que foram utilizados no cálculo. Veremos que a ausência
de símbolos efetivos pode sustar literalmente o desenvolvi
mento do cálculo, enquanto que a utilização de notação suges
tiva e conveniente pode acelerar o seu progresso. Às vezes,
por outro lado, a presença de símbolos fornece uma lucidez
e uma clareza aparentes a trabalhos que, submetidos a uma
análise mais criteriosa, revelam-se errôneos. Usualmente a
invenção de diferentes símbolos para dar a mesma ou seme
lhante interpretação tem introduzido dificuldades e, em alguns
casos, a presença de símbolos escolhidos sem critérios torna
o trabalho confusQ.
7. Os símbolos, é claro, não compõem toda a história; são
os conceitos e as idéias por trás dos símbolos e modos de ex
pressões que nos interessarão sobremaneira. Embora as
curvas e depois as funções tenham sido conceitos fundamen
tais, os seus progressos não pertencem exclusivamente à his
tória do cálculo. Peculiar ao cálculo foi, entretanto, sua afi
nidade com as "quantidades infinitamente pequenas". Por
exemplo, dizemos que a tangente em um ponto P de uma curva
fornece o gradiente ou a razão de variação da curva em P.
Mas o que significa o gradiente da curva em P? Um ponto
pode não ter gradiente, enquanto que qualquer segmento
finito de uma curva, por pequeno que seja, é curvo e tem
assim sempre mais de um gradiente. É portanto razoável
sugerir-se que o gradiente de uma curva em P seja o gradiente
de um segmento "infinitamente pequeno" da curva em torno
de P, o qual, por ser tão pequeno, pode ser considerado reto.
Desta e de várias outras maneiras, o conceito de infinitamente
pequeno entra nos debates sobre tangentes e quadraturas.
Problemas filosóficos relacionados com os conceitos de espaço
e de tempo, a natureza de quantidades contínuas e a pos-
sibilidade de sua divisibilidade ad infinitum são relevantes.
Veremos que a luta para entender as quantidades infinitamente
pequenas de modo a não gerar paradoxos e contradições foi
ORIGENS E DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO - 3
urna das grandes preocupações da matemática, desde os gregos
até o século XIX. A solução do problema dos infinitésimos,
que foi finalmente adotada no século XIX (e que em seu rigor
é comparável à análise clássica grega), veio para eliminar as
quantidades infinitamente pequenas e para estruturar o cál
culo com base nos conceitos de número e limite. Esta solução
deixou sem resposta as questões relacionadas com os con
ceitos de indivisibilidade do contínuo e da natureza das
quantidades infinitamente pequenas. Apenas conseguiram
separar estas questões da teoria do cálculo declarando-as
psicológicas ou filosóficas, portanto de nenhuma utilidade
prática para o matemático. (É claro que, embora parcialmente
implícitas, estas idéias são inerentes aos axiomas sobre os
quais repousam os conceitos de números e limites.)
8. Resumo. Tentaremos, nestas cinco unidades que se seguem,
traçar os mais importantes aspectos da história do cálculo,
quais sejam:
O aparecimento do conceito de integração através da
solução de problemas envolvendo áreas (quadraturas),
volume (cubatura) e comprimento de arcos (retificaçiio).
O desenvolvimento do conceito de diferenciação associa
do aos problemas de tangente e os problemas relaciona
dos a valores extremos, normais e curvaturns.
A unificação destes problemas através do teore111u fun
damental do cálculo.
O desenvolvimento de notações e símbolos.
O aparecimento do conceito de função.
O conceito de "quantidades infinitamente pequenas",
"indivisíveis" e quantidades divisíveis ad infinitum.
O abandono eventual dos infinitésimos e a determinação
do conceito de limite como o conceito fundamental do
cálculo.
Guia para a leitura das unidades
1. Você deve procurar entender tanto a parte matemática
apresentada quanto o contexto histórico em que está inserida.
2. Leia duas vezes toda a fonte primária citada no texto, fa
zendo anotações dos fatos importantes. Tente resumir o que
se apresenta no texto por si próprio, usando qualquer notação
que conheça (ou invente uma), para que possa compreender
bem o que e como está sendo demonstrado. Faremos algumas
observações no decorrer do texto para ajudar a compreensão,
mas, no todo, achamos mais conveniente que você produza
primeiramente suas próprias observações, comparando-as a
seguir com as nossas.
4 - CURSO DE HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
3. Embora seja essencial comparar conceitos, provas, métodos,
regras e símbolos usados em uma determinada época ou por
um certo indivíduo, com outros, e também com os utilizados
hoje em dia, é muito perigoso condenar teorias particulares
sem levar em conta a estrutura do pensamento matemático
no qual as idéias foram concebidas.
Os matemáticos antigos não eram incompetentes. Se tiveram
idéias que não combinam com as nossas, é recomendável
perguntar-se por que eles pensaram assim, como essas idéias
chegaram a se desenvolver e que inspiração trouxeram aos
matemáticos de hoje.
4. Se você achar alguma coisa confusa nessas unidades ou se
discordar de alguns pontos, é sempre aconselhável buscar
informações extras. Você pode encontrar interpretações com
pletamente diferentes - ou apenas diferenças em ênfases
atribuídas a um ou outro aspecto. Nestes casos, deve tirar
suas próprias conclusões; talvez esta seja a parte mais interes
sante para você.
Leituras complementares
Recomendamos a leitura dos seguintes textos:
BARON, M. E. The origins of the infinitesimal calculus. Per
gamon, 1969.
BüYER, C. B. The history of the calculus and its conceptual
development. Dover, 1959.
ORIGENS E DESENVOLVIMENTO DO CÁLCULO - 5
