Table Of ContentNUMEROS DECIMALES
¿PORQ UE? ¿PARAQ UE?
14. Proporcionalidad geométrica y semejanza
Colección:
GrupoB eta
MATEMATICAS : CULTURA Y APRENDIZAJE
15. Poliedros
Gregoria Guillén Soler
1. Area de conocimiento: didáctica de las matemáticas
Angel Gutiénez, BernardoG ómezA lfonso, JuanD íaz Godino,L uis Rico RoÁe.o, M. SierraV ázquez 16. Una metodología activa y lúdica para la enseñanza de la geometría
Angel Martínez Recio, Francisco Juan Rivaya
2. Números y operaciones
Luis Rico Romero, Encarnación Castro Mafínez, Enrique Castro Martínez 17. El problema de la medida
Carmen Chamono Plaza,J uan M. Belmonte Gómez
3. Numeración y cálculo
Bernardo Gómez Alfonso 18. Circulando por el círculo
Francisco Padilla Dfaz, Arnulfo Santos Herniíndez,F idela Velázquez,
4. Fracciones Manuel Femández Reyes
Salvador Llinares Ciscar, M." Victoria SánchezG arcía
19. Superfrcie y volumen
5. Números decimales:p or qué y para qué M." Angeles del Olmo Romero, Francisca Moreno Carretero,F rancisco Gil Cuadra
JulinC cntenPoó rez
20. Proporcionalidad directa
ó. Números enteros M."L uisaF iolM oraJ, oséM ."F ortunAy ymemi
Jo¡é 1,, Conzdlcz Marf, M.'Dolores lriarte Bustos, Alfonso Ortiz Comas, Inmaculada Vargas- 21. Nudos y nexos. Redes en la escuela
Mnchuca, Manuela Jimeno Pérez,A ntonio Ortiz Villarejo, Esteban Sanz Jiménez
Moisés Coriat Benarroch, JuanaS ancho Gil, Antonio Marín del Moral,
7. Dlvlslbilidad Pilar Gonzalo Martín
ModcstoS ienaV ázquezA, ndrésG a¡cíaM, ." T. GonzálezA studillo,
22. Por los caminos de la lógica
Mario GonzálezA costa
Inés Sanz Lerma, Modesto Arrieta Liarramendi, Elisa Pardo Ruiz
8. Problemas aritméticos escolares
23. Iniciación al álgebra
Luis PuigE spinosaF, ernandoC erdánP érez
Manuel Martln SocasR obayna, Matías Camacho Machín, M." Mercedes PalareaM edina,
Josefa Hernández Domínguez
9. Estimación en cálculo y medida
IsidoroS egoviaA lex, EncarnacióCn astroM afínez, EnriqueC astroM artínez, Z. Enseñanza dela suma y de la resta
Luis Rico Romero
Carlos Maza Gómez
10. Aritmética y calculadora
25. Enseñanza dela multiplicacién y de la división
FredericU dinai Abelló
Carlos Maza Gómez
Ll.. Materiales para construir la geometría 26. Funciones y gráficas
CarmenB urguésF lamerichC, laudiA lsinaC ataláJ, osepM ." Fofuny Aymemi
Jordi Deulofeu Piquet, Carmen AzcárateG iménez
12. Invitación a la didáctica de Ia geometría 27, Azar y probabilidad
ClaudiA lsinaC ataláJ, osepM ." FortunyA ymemi,C armenB urguésF lamerich Juan Díaz Godino, Carmen Batanero Bemabéu, M." JesúsC añiza¡esC astellano
13. Simetríad inámica 28. Encuestasy precios
Rafael PérezG ómez, Claudí Alsina Catalá, Ceferino Ruiz Garrido AndrésN ortesC heca
29. Prensa y matemáticas
Antonio Fernández Cano, Luis Rico Romero
30. ordenador y educación matemática: algunas modalidades de uso
José A. Cajaraville Pegito
31.. Ordenar y clasificar
Carlos Maza Gómez, Carlos Arce Jiménez
32. Juegos y pasatiempos en Ia enseñanza de ra matemática eremental
JosefaF ernández Sucasas,M ." Inés Rodríguez Vela
33. Ideas y actividades para enseñar álgebra
NUM"EROS.f}EC
Crupo Azarquiel
34. Recursos en el aula de matemáficas ¿PORQ UE? ¿PARA'Q
FranciscHoe mánS igueroE,l isaC arrilloe uintela
Consejeeditor: tj l
I uis Rico Romero,J oséM ." FortunyA ymemi, Luis puig Espinosa :; ---. JULIA' -C-pErNoTfeEiNo-;iO'-i'' tP.':iiEft-ú' RiáEiZ
I del Departamento:deiMatd¿itied
"dcLogrons dp la.Uniye¡sidad 4q Zarugoza
EDITORIAL
SINTESIS
A mi madrc,
que no ha csc'ritt¡n in¡¡rinl ihnt
ni plantado arboles
pero tiene diez hijos
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Primera reimpresión:d iciembre 1997
I)eseo en estas líneas expresar mi agradecimientoa los amigo.t que mc han
Diseño de cubierta:J uan JoséY ázouez u.tutdadoy animado durante la redacciónd e estel ibro.
,4 Luis Rico, miembro del Comité Editorial, porque me propu.to lu idau dc
Reservadost odos los derechos.E stá prohibido, bajo las harerlo,m e apoyó con susc onsejosy su confianzay ha aportadoa lgunasm otlilica-
sancionesp enalesy el resarcimientoc ivil previstose n
doncs para mejorarlo.
las leyes, reproduci¡ registrar o transmitir esta publi-
cación,í ntegrao parcialmente,p or cualquiers istema A Efraim Centenoq ue estuvoc erca de mí desdel os comienzos,c olaboró en la
de recuperacióny por cualquierm edio,s eam ecánico, preparaciónd e fichas bibliográficas y ha aportado algunas ideas para facilitar la
electrónico,m agnético,e lectroópticop, or fotocopiao letlura del texto.
por cualquier otro, sin la autorizaciónp revia por escrito A BegoñaM elendo, y TeresaR odríguez. Sus observacionesm e han sido muy
de Editorial SíntesisS, . A.
ütila,r.
A Francisco Javier Centeno que ha hecho con gran precisión y cuidado los di-
@ Julia Centeno Pérez
httio,t.
o EDIToRTALsÍ NTEsrss, . A. A Guy Brousseaud e quien he aprendido mucho de lo que cuento en este libro.
Vallehermoso,3 4. 28015M adrid tiul orientacionefsu eron decisivasp ara la redacciónJ inal quep resento.M i agradeci-
Teléfono {'91\ 593 20 98 ml.,nlo es grandep or haber aceptadoh acer la presentaciónd e estet exto.
ht tp://www.sintesis.com
Muy particularmentea JoséM anuel Calzada que ha consagradom uchash oras
Depósito le gal: M-43.829- 1,997 u lu lecturay mejora de laforma de presentarlo.Q uiero expresarlea quí mi reconoci-
ISBN: 84-7738-028-7 Hlento por su generosay competentec olaboración.
l"inalmenle a todos los que cerca de mí han sufrido los efectosd e estet rabajo y se
Impreso en España - Printed in Spain alegranc onmigo de susr esuhados.
Indice
PRIMERA PARTE: ¿PORQ UE LOS NUMEROS DECIMALES?
Prólogo 13
lntroducción 17
l. La realidads ociald e los númerosd ecimales 19
1.l . Usosy contextosm ás signihcativose n los que aparecen 19
1.2.¿ Qués ignihcane sosn úmerosc on coma?¿ Paraq ué sirven?. ... 2l
1.3. ¿Puedene xpresarselo s mismos conceptoss in utilizar números
con coma? 22
1.4. ¿Soni ndispensablelos s númerosd ecimales? 22
1.5. Reflexionesy ejercicios 25
2. Los decimalese n la EnseñanzaO bligatoria 27
2.1. La educaciónm atemática:p reparaciónp ara la vida en la socie-
dad... 27
2.2. Los decimaleesn los cuestionarioys o rientacioneosf iciales..... 29
2.3. Los númerosd ecimalesfi guran en todos los programasd e Ense-
ñanzaPrimaria..... 32
2.4. Relaciónd e los númerosd ecimalesc on otrasá reasd el currículo 34
2.5. Pistasd e reflexión 35
SEGUNDA PARTE:¿ QUES ON LOS NUMEROS DECIMALES?
3. Antecedentehsi stóricosd e los númerosd ecimalesd: esdel a antigüedad
hastae l siglox Ix 39
3.1. Introducción.. 39
3.2. Sistemab abilónicod e numeraciónd e posición 40
3.3. El sistemap osicionald e los sabiosc hinos . 4l
3.4. Sistemam aya de numeraciónd e posición 43
3.5. El origend el sistemap osicionali ndio .. 44
3.6. El sistemad e numeracióná rabe:p ropagaciónd el sistemad e nu-
meraciónin dio .. 45
3.7. Consolidaciónd el sistemad e numeraciónd ecimal:l os números
decimalesd e Stevin 47
9
3.8. Establecimientod erS istemaM étrico Decimal:s u interésp edagó- 8. Relaciónc one l saber:la s situacione.s.. .. I lJ
grco... 50 8.1. Introducción.. ll3
3.9. Reflexioneys e jercicios...... 52 8.2. Situacionesp edagógicays situacionesm atemáticas. . . " l13
8.3. La teoríad e las situacionesd idácticasd e Brousseau il5
4. El número decimal: objeto de saber 53 8.4. Algunass ugerenciapsa ra seleccionayr construir situacioncsd c
4.1. Introducción 53 aprendizaje ilf{
4.2. El número decimal:o bietod e saber 54 8.5. Situacionesd idácticasq ue permitena nalizarl as condicioncst lcl
4.3. Los númerosr ealesD: edekind,C antor v Hilbert 55 funcionamientod el conocimientos obrel os decimales-mcdid"a l19
4.4. Pistasdereflexión ....... . 58 8.6.C onclusión. .. l.1l
8.7. Pistasd e reflexión,a ctividadesy talleres t32
i. El númerod ecimal: conocimientop ara enseñar 59
5.1. Insuficienciad e los númerosn aturalesp arar esolvera lgunosp ro- 9. Dificultades,e rrores' conflictos y obstáculos 135
blemas 59 9.1. Introducción.. 135
5.2. Construcciónd e los racionalesy de los decimales 6l 9.2. Erroresm ás frecuentesre lacionadosc on el conceptod e número
5.3. Fraccionesd ecimaless: usv entajas 66 decimal,c on su escrituray con suso peraciones. . . . 136
5.4. Escriturad ecimald e un número racional 69 9.3. Agruparl os erroresp ara identificarn ivelesd e comprensión' ' ' ' 138
5.5. Escriturase quivalentess:u importanciae n la enseñanza 70 9.4. ¿Sonú tilesc iertose rrorese n los procesosd e aprendizaje?' ' " ' ' 140
5.6. Otrase scriturasd ecimales 72 9.5. ¿Sonl os erroresú nicamenteí ndicesd e un aprendizajein comple-
5.7. Relaciónd e orden en el conjunto de los númerosd ecimales.. . . 73 io o de un fracaso?A: lgunasr eflexionesd idácticass obrel as cau-
5.8. Adición y sustraccióenn el conjuntod e númerosd ecimales"- .. 74 sasd e los errores t42
5.9. Multiplicaciódne númerosd ecimales .......:.. t5 9.6. Dificultad,c onflicto,o bstáculoe, rror . t44
5.10.División de númerosd ecimales 76 9.7. Identificaciónd e algunoso bstáculose pistemológicoesn los nú-
5.11.Ejercicios 78 merosdecimales.... t47
9.8. Pistasd e reflexión 148
TERCERA PARTE: EL PROBLEMA DE LA ORGANIZACION 10. Articulaciónd e los aprendizajesp:r ogresión 151
DE LA ENSEÑANZA DE LOS NUMEROS DECIMALES 10.1.I ntroducción. l5l
10.2.O bjetivosd e la enseñanzad e los decimales lti
Introducción 8l 10.3.B osquejod el procesod e articulaciónq ueproponey desarrolla
6. Primerasl eccionesp ara introducirl os decimales 83 Brousseau r53
6.1. Como extensiónn aturald el sistemad e numeraciónd ecimal ... 83 10.4.Otra forma de articularl as enseñanzadse los decimales' r57
6.2. A partir de la medida ó) 10s.. Conclusión l6l
ó.3. Presentacióna partir de funcionesn uméricas 90 r0.6E.jerciciosy pistasd e reflexrón 162
6.4. Conclusión. ...... 93
6.5. Pistasd e reflexióny ejercicios 93
CUARTA PARTE: SITUACIONESP ARA ENSEÑAR DIFERENTES
1 Materiales y ocasionesd e la vida corrientee n las que puedene ncontrarse ASPECTOSD E LOS NUMEROS DECIMALES
los decimales 95
7.1. Introducción.. 95 lnlrrducción 165
7.2. Las regletasd e Cuisenaire 95 I l, Situacioness obrer epresentacións,i gnificadoy lecturad e decimales . . . 167
7.3. Bloquesa ritméticosm ultibased e Dienes 97 I l.l. Juegosd e estimaciónd e medidas 168
7.4. Ábacos 99 I 1.2. Adáptaciónd e la situación< reproduciru n segmento>) 168
7.5. Minicomputadodr e Papy 105 11.3.P asard e la escrituraf raccionariad e los racionalesd ecimalesa su
7.6. Introducciónd e los decimalesc on la calculadorad e bolsillo . . . . 109 escriturad ecimalJ. uegoss obrel a rectan umérica ..... 168
7.7. Otros materialesy situacionesd e la vida corriente 110 11.4.D iversojsu egoss obrela rectan umérica.. . -. 172
7.8. Algunasr eflexioness obrel a utilizaciónd e materiales lll I 1.5.I nstrumentodse medida 175
7.9. Pistasd e reflexión l2 I 1.6. Utilizar la calculadorad e bolsillo 175
l0
ll
t.1.Sobree l usod el ceroy su signifrcacióenn la escritura. ........ 178
r.8A.reas de regionesd e papel cuadriculado 180
1.9.Pasadr e fraccioneas d ecimaleys viceversa .......... j. 183
1.10.Escriturasd ecimalese quivalentes 185
l.l L Sobree l orden en los decimales 187
t.12.Sobrel a densidadd e los decimales . . . 189 Prólogo
r.l J. Algunasp reguntaas biertas¡ ....... 194
1.14.Adición, sustracción,m ultiplicación y división de números deci-
males* 195
il t5 Sustracciónd e númerosd ecimales r98
ILló. Situacionesq ue permiten dar significadoa l producto de dos deci-
males . 199
|.11, EI número decimal como factor de proporcionalidad,P roporcio-
nalidad,p orcentajese, scalas 201
I l" ltl, Situacioneqs ue permitend ar signiñcadoa la divisiónd e números
decimales 205
I l. I 9. Pistasd e reflexión,e jerciciosy talleres 206
BIBLIOGRAFiA 209
¿Osh abéisf rjado algunav ez en una rueda de bicicleta?E s un prodigio de ligere-
za, de robustezy , aparer'temented, e sencillez.¿ Habéisa preciadoa decuadamente
itodal a ingeniosidadd e su construcción?P esosc onsiderablesp uedens uspendersdee
los radiosq ue, en forma de tela de araña,e ndurecenla llanta y la mantienene n el
' planoq ue cortaa los dosc onosq ue forman;l os radiosp enetrant angencialmenteen
el cubo para impedir la rotaciónd e éster espectod e la llanta; pero como para ello
debenc ruzarses e les insertaa lternativamentea derechae izquierda del collarín del
cubo,d ebiendot eneré stee xactamentee l espesoar decuadoy; ¿cómol ograrq ue las
roscasd e los radiosn o sea flojenn unca solas?...
Nunca acabaríamosd e enumerart odas las invencionesm ecánicasd e las quc
csta maravillae s el resultado.P ero ¿quiént iene necesidadd e maravillarscd c su
bicicleta?B astac on que ruede.
Los númerosd ecimaless e parecenb astantea estoso bjetosf amiliaresp rctlados
de matemáticasd, e cienciay de tecnologíap, ero cuyo uso no exigep rácticamente
ningúnc onocimientoS. u invencióne mpezóe n el albad e la historia- con el ojo de
Horusy las medidasd ecimalesc hinas- y no seh a terminadop rácticamenteh asta
Dedekind v la matematizaciónd e los reales.
Se trata de una estructura muy ingeniosa, apta para resolver problemas muy
complejosy a vecesi nclusoa parentementeco ntradictoriosa, las puertas,a lavez,
del álgebray del análisis.P or estop lanteanu n problemao riginal a la enseñanza.
Por una parte, se parecen tanto a los naturales que es muy fácil emplearlos y
Bprenderm uy pronto una cierta manerad e usarlos:f ueron inventadosp ara eso.
Pero, por otra parte, esta primera comprensión se convierte en obstáculop ara un
usom ásr efinadoy parau na buenac omprensiónd e cuestionefsu ndamentalesp,a ra
Gle studiod e las matemáticasH. ace falta mucho tiempo para olvidar susp rimeros
reflejosy aprenderlo contrariod e aquelloq ue nosh a permitidor esolvern umerosos
'problemasp rácticos.¿ Cómo organizar, por tanto, la enseñanzaa lo largo de una
ridad obligatoriaq ue,.h oy día -felizmente-, va más allá de la mera inicia-
t2
IJ
En estel ibro, Julia Centenos eñalal as aportacionesm ás recientesd e los diversos
tipos de investigación en esta materia y muestra los caminos que se abren ante
profesoresy educadoresE. sta obra sea poya en un importante trabajo de documen-
tación, de orígenesm uy diferentes,c uya sÍntesis,a causad e la variedad de puntos
de vista, presentabad ificultadesq ue me pareceh an sido aquÍ felizmente superadas.
Habiendo tenido accesoa fuentes todavía no publicadasy a investigacionesp oco
conocidas,l a autora presenta muchas ideas nuevas e interesantesp ara todos los
públicos,s in rechazart ampoco los enfoquesm ás clásicos.O frece ademáso tras
proposicionesr,e sultadod e reflexionese investigaciondpse rsonales.
No era tarea fiicil, habida cuenta de los torbellinos y reformas que no dejan de
agitar la pedagogíal,a psicologÍac ognoscitivay la didáctica de las matemáticas.E l
resultadom uestrau n muy loablee sfuerzoa lavez de eclecticismoy de precisión
que merecerás, in duda, la estimad e los lectores.
Debod ecir,p or último, que,e n cuantot rabajod e síntesisr,e sultad e grana ctua-
lidad ya que el problemaq ue hemosp lanteadoa l principio no se resolveráh asta PRIMERA PARTE:
que el conjunto de los interesadosp: rofesoresd e distintosn iveles,m atemáticos,
organizadoredse programasy evidentementeta mbién el público, no seh agac ons- ¿PORQ UE LOS NUMEROS
cicnted c la naturalezac ultural -y no solamenteté cnica,a dministrativay científi-
ca- dc las solucionesa proponer. DECIMALES?
4:
Guy Brousseau
t4
Introducción
Los números decimaless e han convertido en los últimos años en protagonistas
de todos los cálculos -hasta el punto de que en la práctica desplazanc ompleta-
mente a las fracciones- debido a la disponibilidad creciented el uso de calculado-
ras y de ordenadoresq ue hacen las operacionesc on ellos. En opinión de BnowN
( 198l ): <<Puestqou e el sistemad ecimal ha sido adoptadop ara las calculadorasy los
ordenadores,p arecep robable que los decimaless e utilizarán cadav ez más en las
aplicaciones;y el uso de las fraccionesd ecaerág radualmente.>S egún esto, una
primera respuestain genua a la pregunta con la que iniciamos esta primera parte
rría: <<Noso cupamosd e los decimalesp orque las calculadorasy los ordenadores
;alculan con decimales.>>
Con el fin de acercarnosa una respuestam ¿iss atisfactoriap resentamose n el
capÍtulo primero algunass ituacionesf amiliares en las que la información cuantifi-
cadas e transmite por medio de unos símbolosn uméricos escritosc on una coma,
Ilamadosh abitualmented ecimales.
Nos interrogamos a continuación sobre la signiñcación de estase scrituras y
rerca de su utilidad. En un principio, la palabra< <decimabti ene la acepciónq ue se
le atribuye habitualmente,q ue sueles er equivalentea la expresión:< <númerocso n
:oma), por oposición a números sin coma o números enteros.P ero necesitamos
:Dnocer1 oq ue les caracteiza por sÍ mismos.
Para ello, podemosc uestionarnoss obrel a posibilidad de sustituirlos -en algu-
úrs casos- por números enteros,s in que varíe el significadod e la frasee n la que
ry.recían con coma. Es decir, buscamosa quellass ituacionese n las que seap osible
;rescindir de los números con coma.
)' finalmente indagaremosc uáles son las situacionese n las que no es posible
nm¡smitir una información numéricad isponiendos ólo de los números enteros.S on
rsas situacionesl as que permitirán dar sentido a los números decimales,q ue no
¡uredenc aracterizarsep or la manera de estar escritos sino por la función que cum-
¡im.
En el capÍtulo segundor ecogeremosla s distintasp rogresionesq ue sobree l tema
,rmnmerosd ecimales>e>n contramos en los cuestionarioso ficiales de los últimos
mg'r ta años para la enseñanzao bligatoria, y nos interrogaremos acercad e la idea de
rmr€ro decimal que se transmite en ellos.
T7
