Table Of ContentUniversitØ Pierre et Marie Curie Master de MathØmatiques
Cours introductif de M2
Groupes et AlgŁbres de Lie
Jean-Fran(cid:231)ois Dat
2012-2013
RØsumØ
Un groupe de Lie est une variØtØ di(cid:27)Ørentielle munie d’une structure de groupe
lisse.L’espacetangentenl’ØlØmentneutresevoitalorsmunid’unestructured’algŁbre
de Lie. Dans ce cours on introduit ces notions et on Øtudie leurs interactions.
Table des matiŁres
1 Groupes de Lie 2
1.1 DØ(cid:28)nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Groupes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 PropriØtØs topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 AlgŁbres de Lie abstraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 L’algŁbre de Lie d’un groupe de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Sous-groupes fermØs de GL (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
n
1.7 L’exponentielle d’un groupe de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8 Action d’un groupe de Lie sur une variØtØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.9 La correspondance entre groupes de Lie et algŁbres de Lie . . . . . . . . . 31
1.10 Mesures invariantes et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.11 Groupes de Lie complexes. Complexi(cid:28)cation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.12 ReprØsentations de dimension (cid:28)nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.13 ReprØsentations irrØducibles de sl (R) et de ses avatars . . . . . . . . . . . 45
2
2 AlgŁbres de Lie 49
2.1 AlgŁbre enveloppante d’une algŁbre de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 Forme de Killing. OpØrateurs de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3 AlgŁbres de Lie nilpotentes et rØsolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.4 AlgŁbres de Lie semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5 Structure des algŁbres semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.6 SystŁmes de racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
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1 Groupes de Lie
Dans ce chapitre, nous utilisons le vocabulaire et les concepts basiques de la GØomØtrie
Di(cid:27)Ørentielle. Toutes les variØtØs et morphismes de variØtØs seront de classe C∞, et nous
dirons simplement lisse pour (cid:16)de classe C∞(cid:17).
1.1 DØ(cid:28)nitions
1.1.1 DØfinition.(cid:21) Un groupe de Lie est un ensemble G muni de deux structures
compatibles :
(cid:21) Une structuredegroupedonnØeparuneloidecompositionm : G×G −→ G,(x,y) (cid:55)→
xy, et dont on note i : G −→ G,x (cid:55)→ x−1 l’application (cid:16)passage (cid:224) l’inverse(cid:17).
(cid:21) Une structure de variØtØ lisse (donnØe par une classe d’Øquivalence d’atlas de classe
C∞, mais nous n’avons pas besoin d’introduire de notation pour ceux-ci).
(cid:21) CompatibilitØ : Les application m et i sont lisses.
Remarque : le caractŁre C∞ de m n’implique pas celui de i. On peut trouver des contre-
exemples tordus.
Premiers exemples :
(cid:21) Tout groupe discret (disons dØnombrable).
(cid:21) Le groupe additif (R,+).
(cid:21) Legroupemultiplicatif(R×,·),sonanaloguecomplexe(C×,·),etlecercleunitØ(S1,·).
(cid:21) Les groupes gØnØraux linØaires
1.1.2 Groupes gØnØraux linØaires. Ce sont en quelque sorte les exemples fondamentaux
de groupes de Lie. Nous les rencontrerons sous deux formes.
Forme matricielle. G = GL (R), muni de la structure C∞ d’ouvert de M (R) (cid:39) Rn2.
n n
La multiplication (A,B) (cid:55)→ AB est polyn(cid:244)miale en les entrØes de A et B, donc C∞.
L’application inverse A (cid:55)→ A−1 = 1 com(A) est analytique, donc en particulier C∞.
detA
FormeintrinsŁque.SiV estunR-espacevectorieldedimension(cid:28)nie,GL(V) := AutR(V).
∼
Biensßr,sinestladimensiondeV,unchoixdebasedeV fournitunebijectionGL(V) −→
GL (R) qui est un isomorphisme de groupes de Lie au sens de la dØ(cid:28)nition suivante.
n
De mŒme, GL (C) est naturellement un groupe de Lie, et si V est un C-espace vectoriel,
n
alors GL(V) := AutC(V) est un groupe de Lie.
1.1.3 Remarque.(cid:21) Soit G un groupe de Lie et g ∈ G. Notons L : G −→ G,x (cid:55)→ gx
g
la (cid:16)translation (cid:224) gauche(cid:17) par g. C’est un di(cid:27)Øomorphisme de G, qui induit donc un isomor-
∼
phisme d L : T G −→ T G des espaces tangents. En particulier toutes les composantes
e g e g
connexes de G ont mŒme dimension.
1.1.4 DØfinition.(cid:21) Un morphisme de groupes de Lie (parfois on dira simplement
morphisme lisse) est une application G −ϕ→ G(cid:48) qui est lisse et commute aux lois de groupe.
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Un tel morphisme est appelØ plongement, immersion, submersion, s’il l’est en tant qu’ap-
plication C∞. C’est un isomorphisme, s’il admet un inverse.
Exemples.
(cid:21) Le dØterminant det : GL (R) −→ R×.
n
(cid:21) L’exponentielle (R,+) −e→xp (R× ,·) est un isomorphisme d’inverse le log.
>0
(cid:21) L’enroulement de la droite sur le cercle : θ ∈ (R,+) (cid:55)→ exp(2iπθ) ∈ S1 est un
di(cid:27)Øomorphisme local surjectif.
(cid:21) Les enroulements d’une droite sur le tore : θ ∈ (R,+) (cid:55)→ (exp(2iπθ),exp(2iπθα)) ∈
S1 × S1. Si α ∈ R \ Q, c’est une immersion injective, mais pas un plongement car
l’image est dense.
Cas particuliers remarquables.
(cid:21) Les morphismes λ : (R,+) −→ G sont appelØs (abusivement) sous-groupes (cid:224) 1
paramŁtre.
(cid:21) Un morphisme du type ρ : G −→ GL(V) est appelØ reprØsentation (linØaire) de G
sur V. L’espace V est aussi appelØ (cid:16)espace sous-jacent(cid:17) (cid:224) la reprØsentation ρ.
1.1.5 Remarque.(cid:21) Si ϕ est un morphisme de groupes de Lie, la formule d ϕ =
h
d L ◦d ϕ◦(d L )−1 montre que ϕ est de rang constant.
e(cid:48) ϕ(h) e e h
1.1.6 DØfinition.(cid:21) Un sous-groupe de Lie H d’un groupe de Lie G est une sous-
variØtØ qui est aussi un sous-groupe. De maniŁre Øquivalente, l’injection H (cid:44)→ G est un
plongement de groupes de Lie.
Exemples.
(cid:21) H = Z dans G = R.
(cid:21) H = S1 dans G = C×.
Attention! Ne pas confondre sous-groupe de Lie et groupe de Lie immergØ (i.e. l’image
d’une immersion de groupes de Lie i : H (cid:44)→ G). Par exemple l’enroulement d’une droite
sur le tore associØ (cid:224) α irrationnel comme ci-dessus fournit un groupe de Lie immergØ de
S1 ×S1 isomorphe (cid:224) (R,+) mais qui n’est pas un sous-groupe de Lie.
1.1.7 Proposition.(cid:21) Tout sous-groupe de Lie H de G est fermØ.
DØmonstration. Cela dØcoule des deux points ci-dessous.
i) Puisque H est une sous-variØtØ, H est localement fermØ (i.e. tout point h de H admet
un voisinage U dans G tel que H ∩U soit fermØ dans U).
ii) Supposons plus gØnØralement que G est un groupe topologique et H un sous-groupe
localement fermØ. Alors H est fermØ. En e(cid:27)et, soit g dans l’adhØrence H de H dans G :
(cid:21) choisissons U voisinage ouvert de e dans G t.q. U ∩ H soit fermØ dans U. Quitte (cid:224)
remplacer U par U ∩ U−1 on peut supposer que U = U−1 (on dit alors que U est
symØtrique).
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(cid:21) gU est un voisinage ouvert de g donc gU ∩ H (cid:54)= ∅. Choisissons h dans cette inter-
section; on a donc g ∈ hU−1 ∩ H = hU ∩ H. Puisque hU est ouvert, hU ∩ H est
l’adhØrence de hU ∩H dans hU.
(cid:21) Or, hU ∩H = h(U ∩H) est fermØ dans hU par choix de U.
Le thØorŁme suivant donne une rØciproque assez spectaculaire, qui est source de nom-
breux exemples.
1.1.8 ThØorŁme. (Cartan, Von-Neumann)(cid:21) Tout sous-groupe fermØ H d’un groupe
de Lie G est un sous-groupe de Lie. Plus prØcisØment, il existe une structure de groupe de
Lie sur H (nØcessairement unique) qui fait de H une sous-variØtØ de G.
Nous dØmontrerons ce thØorŁme plus tard. Donnons-en un corollaire tout aussi spec-
taculaire :
1.1.9 Corollaire.(cid:21) Soient H et G deux groupes de Lie. Tout homomorphisme de
groupes continu ϕ : H −→ G est lisse.
DØmonstration. ConsidØrons l’application graphe de ϕ :
Γ : H → H ×G
ϕ .
h (cid:55)→ (h,ϕ(h))
C’est un homØomorphisme de H sur son image Γ (H) dont l’inverse est donnØ par la
ϕ
restriction pr de la premiŁre projection H × G −p→r1 H. De plus, l’ØgalitØ Γ (H) =
1|Γϕ(H) ϕ
{(h,g) ∈ H ×G,ϕ(h) = g} montre que Γ (H) est fermØ. D’aprŁs le thØorŁme prØcØdent,
ϕ
c’est donc un sous-groupe de Lie de H ×G. Or pr est manifestement lisse, donc pr
1 1|Γϕ(H)
est un homØomorphisme lisse et de rang constant (cf remarque plus haut). Le thØorŁme du
rang constant implique que c’est un di(cid:27)Øomorphisme. Il s’ensuit que Γ est un morphisme
ϕ
lisse et donc, en notant pr la seconde projection, ϕ = pr ◦Γ aussi.
2 2 ϕ
1.1.10Remarque.(cid:21) IlestintØressantdesoulignerlaconsØquencesuivanteduthØorŁme
du rang qui est utilisØe dans la preuve ci-dessus : tout morphisme bijectif de groupes de Lie
est un isomorphisme. En e(cid:27)et, il su(cid:30)t de prouver que la di(cid:27)Ørentielle d ϕ : T H −→ T G
e e e
de ϕ au point e est inversible (auquel cas elle est inversible en tout point). Or, si d ϕ n’Øtait
e
pas injective, le thØorŁme du rang constant impliquerait immØdiatement que ϕ n’est pas
injective au voisinage de e, contredisant l’injectivitØ de ϕ. Par ailleurs, di d ϕ n’Øtait pas
e
surjective, le thØorŁme du rang constant impliquerait que l’image d’un voisinage conven-
able de e par ϕ est d’intØrieur vide. Par le thØorŁme de Baire, il s’ensuit que l’image de ϕ
est d’intØrieur vide, contredisant la surjectivitØ de ϕ.
1.2 Groupes classiques
Comme autre consØquence intØressante du thØorŁme 1.1.8, tous les (cid:16)groupes classiques(cid:17)
sontdesgroupesdeLie.CommecesontlesexempleslesplusintØressants,nousenrappelons
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la liste ci-dessous. La lettre K dØsigne indi(cid:27)Øremment les corps R et C, et V dØsigne un
K-espace vectoriel de dimension (cid:28)nie n.
1.2.1 Groupes spØciaux linØaires. Le dØterminant GL(V) −→ GL (K) Øtant un ho-
1
momorphisme continu de groupes topologiques, son noyau SL(V) est fermØ donc un sous-
groupe de Lie. On l’appelle groupe spØcial linØaire de V. Un choix de base de V l’identi(cid:28)e
(cid:224) SL (K).
n
Exercice. (cid:21) Le centre de SL (K) est formØ des homothØties de dØterminant 1, donc il
n
estisomorphe augroupe µ (K)desracinesn-iŁmes del’unitØ dansK∗ (d’ordrensiK = C,
n
d’ordre 1 ou 2 si K = R).
1.2.2 Groupes orthogonaux. Notons Sym (V) le K-espace vectoriel des formes K-
K
bilinØaires symØtriques Φ : V × V −→ K. On a une action linØaire, donc continue, de
GL(V) sur Sym (V), donnØe par gΦ(v,w) := Φ(g−1v,g−1w). Le stabilisateur de Φ pour
K
cette action est donc fermØ dans GL(V), donc un sous-groupe de Lie. On le note
O(Φ) := {g ∈ GL(V), Φ(gv,gw) = Φ(v,w),∀v,w ∈ V}.
Si Φ est non-dØgØnØrØe, on l’appelle groupe orthogonal de Φ.
Rappelons que deux formes quadratiques sont Øquivalentes si elles appartiennent (cid:224)
la mŒme orbite sous GL(V). Il s’ensuit que leurs groupes orthogonaux sont conjuguØs
dans GL(V), et en particulier isomorphes. Lorsque K = C, on sait que toutes les formes
quadratiques sont Øquivalentes, de sorte que O(Φ) est isomorphe au groupe orthogonal
complexe usuel
O(n,C) = {M ∈ M (C), tMM = I }.
n n
Lorsque K = R, le thØorŁme de Sylvester a(cid:30)rme l’existence d’un entier p (cid:54) n et d’une
base e ,···,e dans laquelle
1 n
(cid:32) (cid:33)
n n p n
(cid:88) (cid:88) (cid:88) (cid:88)
Φ x e , y e = x y − x y .
i i i i i i i i
i=1 i=1 i=1 i=p+1
Le couple d’entiers (p,q := n − p) s’appelle la signature de Φ. Ainsi O(Φ) est isomorphe
au groupe matriciel
O(p,q) := (cid:8)M ∈ M (R), tM.D .M = D (cid:9)
p+q p,q p,q
oø D = D(1,···,1,−1,···,−1) est la matrice diagonale oø 1 est rØpØtØ p fois et −1 l’est
p,q
q fois. Pour p = n et p = 0, on retrouve le groupe orthogonal euclidien O(n,0) = O(n) qui,
comme on le sait bien, est compact. Les autres groupes orthogonaux ne sont pas compacts.
On a O(p,q) = O(q,p) et on montre que les O(p,q) pour q (cid:54) p sont deux (cid:224) deux non
isomorphes.
Exemple. (cid:21) Pour la forme xx(cid:48) +yy(cid:48) +zz(cid:48) −tt(cid:48) sur l’espace-temps R4, on obtient ainsi
le groupe de Lorentz O(3,1) qui intervient dans la thØorie de la relativitØ gØnØrale.
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Par ailleurs, on dØ(cid:28)nit les groupes spØciaux orthogonaux par
SO(p,q) := O(p,q)∩SL (R).
p+q
1.2.3 Groupes unitaires. Ici K = C. Notons Herm(V) le R-espace vectoriel des formes
hermitiennes Ψ : V × V −→ C. On a une action linØaire, donc continue, de GL(V) sur
Herm(V), donnØe par gΨ(v,w) := Ψ(g−1v,g−1w). Le stabilisateur de Ψ pour cette action
est donc fermØ dans GL(V), donc un sous-groupe de Lie. On le note
U(Ψ) := {g ∈ GL(V/C), Ψ(gv,gw) = Ψ(v,w),∀v,w ∈ V}.
Si Ψ est non-dØgØnØrØe, on l’appelle groupe unitaire de Ψ.
Comme dans le cas symØtrique, deux formes hermitiennes sont Øquivalentes si elles sont
dans la mŒme orbite sous GL(V). Dans ce cas, leurs groupes unitaires sont isomorphes et
mŒme conjuguØs. Ici aussi, les formes hermitiennes sont classi(cid:28)Øes par leur signature : le
thØorŁme de Sylvester a(cid:30)rme l’existence d’un entier p (cid:54) n et d’une base e ,···,e dans
1 n
laquelle
(cid:32) (cid:33)
n n p n
(cid:88) (cid:88) (cid:88) (cid:88)
Ψ x e , y e = x y − x y .
i i i i i i i i
i=1 i=1 i=1 i=p+1
Ainsi, posant q = n−p, le groupe topologique U(Ψ) est isomorphe au groupe matriciel
U(p,q) := (cid:8)M ∈ M (C), tM.D .M = D (cid:9)
p+q p,q p,q
Pour pq = 0, on retrouve le groupe unitaire habituel U(n,0) = U(n) qui, comme on le sait,
est compact. Les autres groupes unitaires ne sont pas compacts. On a U(p,q) = U(q,p) et
on montre que les U(p,q) pour q (cid:54) p sont deux (cid:224) deux non isomorphes.
Remarque. (cid:21) Les groupes U(1,n−1) jouent un r(cid:244)le prØpondØrant dans des problŁmes
actuels de thØorie des nombres.
De mŒme que prØcØdemment, on a le groupe spØcial unitaire
SU(p,q) := U(p,q)∩SL (C).
p+q
Exercice. (cid:21) DØterminer les centres de U(n), SU(n), O(n), SO(n).
1.2.4 Groupes symplectiques. (cid:192) nouveau, K dØsigne R ou C. Notons Alt (V) le K-
K
espace vectoriel des formes K-bilinØaires alternØes ψ : V × V −→ K. On a une action
linØaire, donc continue, de GL(V) sur Alt (V), donnØe par gψ(v,w) := ψ(g−1v,g−1w). Le
K
stabilisateur de ψ pour cette action est donc fermØ dans GL(V), donc un sous-groupe de
Lie. On le note
Sp(ψ) := {g ∈ GL(V), ψ(gv,gw) = ψ(v,w),∀v,w ∈ V}.
Si ψ est non-dØgØnØrØe (on parle alors de forme symplectique), on l’appelle groupe symplec-
tique de ψ. La dimension de V est alors nØcessairement paire, et on change la notation en
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dim (V) = 2n. Comme plus haut, ce groupe ne dØpend, (cid:224) isomorphisme prŁs, que de la
K
classe d’Øquivalence de ψ. Or, on sait que toutes les formes symplectiques sont Øquivalentes.
En particulier, il existe une base e ,···,e de V dans laquelle on a
1 2n
(cid:32) (cid:33)
n n n
(cid:88) (cid:88) (cid:88)
ψ x e , y e = (x y −x y ).
i i i i i n+i n+i i
i=1 i=1 i=1
En d’autres termes, la matrice de ψ dans cette base est la matrice antisymØtrique J =
(cid:18) (cid:19)
0 I
J = n n . On voit alors que Sp(ψ) est isomorphe au groupe symplectique
2n −I 0
n n
Sp (K) = {M ∈ GL (K),tMJM = J}.
2n 2n
Ainsi,Sp (K) = SL (K).PlusgØnØralement,ondØmontrequeledØterminantd’unematrice
2 2
symplectique vaut toujours 1, de sorte que pour tout n, Sp (K) est un sous-groupe fermØ,
2n
non compact, de SL (K).
2n
Exercice. (cid:21) Montrer que la partie rØelle (resp. imaginaire) d’une forme hermitienne sur
un espace vectoriel V/C est une forme R-bilinØaire symØtrique (resp. alternØe) sur le R-
espace vectoriel sous-jacent V˜. En dØduire que dans GL (C) (cid:39) {P ∈ GL (R),P−1J P =
n 2n 2n
J } ⊂ GL (R), on a U(n) = O(2n)∩Sp (R).
2n 2n 2n
1.2.5 Groupes quaternioniques. Rappelons que le corps des quaternions de Hamilton
H est une algŁbre (cid:224) division de centre R qui admet une R-base 1,i,j,k dans laquelle la
multiplication est donnØe par ij = k,jk = i,ki = j,i2 = j2 = k2 = 1. En envoyant C
dans H via i (cid:55)→ i, on peut aussi voir H = C⊕Cj (cid:39) C2 comme un C-espace vectoriel de
C
dimension 2, mais la multiplication n’est pas -linØaire.
ConsidØrons Hn comme un espace vectoriel (cid:224) droite sur H, et soit GL (H) le groupe des
n
automorphismes H-linØaires de Hn. Avec l’identi(cid:28)cation Hn = Cn +jCn, on a GL (H) =
n
{P ∈ GL (C),PJ = J P}. C’est donc un sous-groupe fermØ de GL (C) et par l(cid:224) un
2n 2n 2n 2n
groupe de Lie.
On peut aussi munir H de l’anti-involution σ telle que σ(i) = −i,σ(j) = −j,σ(k) = −k,
et Hn de la forme σ-hermitienne canonique. Le sous-groupe d’isotropie U (H) ⊂ GL (H)
n n
de cette forme est encore un groupe de Lie, et comme dans l’exercice ci-dessus, on peut
l’identi(cid:28)er (cid:224) U(2n)∩Sp (C).
2n
1.2.6 Importance des groupes classiques. Ils interviennent dans des domaines assez
variØs.
GØomØtrie. C’est leur domaine de prØdilection. Ces groupes sont souvent des groupes
de symØtries d’espaces remarquables (sphŁres, hyperbolo(cid:239)des...), et en tant que tels sont
des modŁles pour des gØomØtries non-euclidiennes.
ThØorie des Nombres. Voil(cid:224) une application un peu plus surprenante, mais depuis une
centaine d’annØes, on Øtudie des espaces de fonctions, formes di(cid:27)Ørentielles etc sur des
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espaces de la forme G(Z)\G(R)/K oø G est un groupe classique rØel et K un sous-
groupe compact maximal de G. Par exemple pour G = GL , on obtient les fonctions
1
trigonomØtriques, pour G = GL les formes modulaires, pour G gØnØral on parle de (cid:16)formes
2
automorphes(cid:17). Ces objets interviennent de maniŁre cruciale dans la preuve du thØorŁme de
Fermat, par exemple.
Physique.
(cid:21) Le groupe de Lorentz de la relativitØ gØnØrale est O(1,3). C’est le groupe (cid:16)associØ (cid:224)
la gØomØtrie de l’espace-temps(cid:17).
(cid:21) CertainesparticulesØlØmentairessontclassi(cid:28)ØespardesreprØsentations(cid:16)irrØductibles(cid:17)
de SU(3).
(cid:21) Les niveaux d’Ønergie d’un atome d’hydrogŁne sont donnØs par les valeurs propres
du Laplacien sphØrique sur la sphŁre S2, que l’on calculera plus tard en utilisant la
(cid:16)dØcomposition spectrale(cid:17) de C∞(S2) sous l’action de SO (R).
3
1.3 PropriØtØs topologiques
1.3.1 Composante neutre. Soit G un groupe de Lie (ou plus gØnØralement un groupe
topologique). La composante connexe de G qui contient l’ØlØment neutre e est souvent
notØe G0 et appelØe (cid:16)composante neutre(cid:17).
Proposition. (cid:21) Soit G un groupe de Lie (ou plus gØnØralement un groupe localement
connexe). Alors G0 est un sous-groupe distinguØ ouvert et fermØ dans G, et engendrØ par
tout voisinage connexe de e.
DØmonstration. G0 est fermØ comme toute composante connexe, et ouvert car G est lo-
calement connexe. L’application x (cid:55)→ x−1 est continue et envoie e sur e, donc envoie G0
dans G0. De mŒme l’application (x,y) (cid:55)→ xy envoie G0 × G0 dans G0. Il s’ensuit que G0
est un groupe. Toujours par le mŒme argument, pour tout g ∈ G, l’application x (cid:55)→ gxg−1
envoie G0 dans G0, donc G0 est distinguØ.
Soit maintenant U un voisinage connexe de e dans G, et posons V := (cid:83)∞ Un, oø
n=1
Un = U·Un−1. C’est une union de connexes d’intersection non vide, donc c’est un voisinage
connexe de e, donc V ⊂ G0. Posons W := U ∩U−1 qui est un voisinage symØtrique de e.
Alors V contient (cid:83)∞ Wn qui est un sous-groupe ouvert de G et donc contient G0. Puisque
n=1
V = G0, U engendre bien G0.
Le quotient G/G0 est donc un groupe discret, notØ souvent π (G) et appelØ (cid:16)groupe des
0
composantes connexes de G(cid:17).
(cid:192) ce propos, il est utile de faire ou refaire l’exercice suivant :
Exercice. (cid:21) Rappelonsquesionaunesurjectionπ : X (cid:16) Y avecX espacetopologique,
on dØ(cid:28)nit la topologie quotient de Y comme la plus (cid:28)ne topologie de Y pour laquelle π est
continue. Ceci permet de topologiser les espaces quotients G/H pour H sous-groupe d’un
groupe topologique G. VØri(cid:28)er alors que
(cid:21) π est une application ouverte.
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UniversitØ Pierre et Marie Curie Master de MathØmatiques
(cid:21) G/H est sØparØ si et seulement si H est fermØ dans G.
(cid:21) G/H est discret si et seulement si H est ouvert dans G.
Comme on l’a dØj(cid:224) remarquØ, la classe des groupes de Lie contient celle des groupes
discrets et en particulier celle des groupes (cid:28)nis. Les techniques di(cid:27)Ørentielles n’apporteront
Øvidemmentrien(cid:224)l’Øtudedecesgroupes,etnedonnerontdoncgØnØralementquedesinfor-
mations sur les composantes neutres des groupes de Lie ØtudiØs. Par exemple la proposition
ci-dessus implique :
Corollaire. (cid:21) Soit ϕ : G −→ H un morphisme lisse avec H connexe. Si d ϕ :
e
T G −→ T H est surjective, alors ϕ est surjective.
e e
DØmonstration. Par le thØorŁme du rang, Im(ϕ) contient un voisinage de e. Comme c’est
un groupe et H est connexe, la proposition donne Im(ϕ) = H.
Rappelons que la rØciproque est vraie : ϕ surjective ⇒ d ϕ surjective, cf remarque
e
1.1.10.
1.3.2 ConnexitØ des groupes classiques.
Groupes linØaires. GL (C), SL (C) et SL (R) sont connexes. Par contre, GL (R)0 =
n n n n
{g ∈ GL (R),det(g) > 0} et π (GL (R)) = Z/2Z.
n 0 n
Groupes orthogonaux. Pour K = R ou C, on a O(n,K)0 = SO(n,K) et π (O(n,K)) =
0
Z/2Z. Sur K = R et pour pq (cid:54)= 0, on a π (SO(p,q)) = Z/2Z et π (O(p,q)) (cid:39) Z/2Z×Z/2Z.
0 0
Groupes unitaires et symplectiques. Ils sont tous connexes.
Voici un exercice pour montrer la connexitØ de SO(n,R).
Exercice. (cid:21) On considŁre l’action naturelle de SO(n,R) sur la sphŁre Sn−1 ⊂ Rn.
(cid:21) VØri(cid:28)er que le (cid:28)xateur du vecteur (0,···,0,1) s’identi(cid:28)e (cid:224) SO(n−1,R).
(cid:21) Montrer que l’application SO(n,R)/SO(n−1,R) −→ S1 ainsi obtenue est un homØo-
morphisme (utiliser la compacitØ de SO(n,R) et Sn−1).
(cid:21) Montrer que si H est un sous-groupe fermØ connexe de G, l’application quotient
induit une bijection π (G) (cid:39) π (G/H). En dØduire la connexitØ de SO(n,R) par
0 0
rØcurrence.
On peut procØder de la mŒme maniŁre pour U(n) (agissant sur S2n−1) ou GL (agissant
n
sur Kn). Dans ce dernier cas, le troisiŁme point est plus dØlicat par manque de compacitØ,
cf notes de M1, Thm 1.1.10.
1.3.3 Simple connexitØ. Rappelons quelques dØ(cid:28)nitions de topologie algØbrique. Soit
X un espace topologique.
(cid:21) Un revŒtement trivial de X est une application de la forme Y = X ×I −p→r1 X avec
I un ensemble discret.
(cid:21) Un revŒtement (localement trivial) de X est une application Y −→π X telle que tout
point x ∈ X admet un voisinage U tel que π soit un revŒtement trivial de U.
|π−1(U)
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(cid:21) Si X est connexe, il est dit simplement connexe si tout revŒtement de X est trivial.
(cid:21) SiX estconnexepararcsetlocalementsimplementconnexe (parexempleunevariØtØ
topologique), il existe un revŒtement X(cid:101) −→π X de source X(cid:101) simplement connexe.
On l’appelle abusivement revŒtement universel de X bien qu’il ne soit unique qu’(cid:224)
isomorphisme non-unique prŁs (cf ci-dessous). Le groupe Aut (X(cid:101)) (qui n’est donc
X
dØ(cid:28)ni qu’(cid:224) isomorphisme prŁs) est le groupe fondamental de X.
(cid:21) Fixons un point x ∈ X et choisissons un relŁvement x ∈ X(cid:101) de x. Le revŒtement
(cid:101)
(cid:16)pointØ(cid:17) (X(cid:101),x) de (X,x) possŁde alors la propriØtØ universelle suivante : pour tout
(cid:101)
revŒtement pointØ (Y,y) −→p (X,x) il existe un unique revŒtement pointØ (X(cid:101),x) −→q
(cid:101)
(Y,y) tel que π = p◦q. Ainsi la paire (X(cid:101),x) est unique (cid:224) isomorphisme unique prŁs.
(cid:101)
(cid:21) Par la propriØtØ universelle, l’application Aut (X(cid:101)) −→ π−1(x),ϕ (cid:55)→ ϕ(x) est bijec-
X (cid:101)
tive et munit donc π−1(x) d’une structure de groupe. Le groupe ainsi obtenu est notØ
π (X,x) et est bien dØ(cid:28)ni (cid:224) isomorphisme unique prŁs.
1
Lorsque X est une variØtØ lisse, tout revŒtement de X est canoniquement une applica-
tion lisse entre variØtØs lisses. En particulier le revŒtement universel de X est une variØtØ
lisse.
Exemples. (cid:21) (cid:21) Pour n entier non nul, C× −→ C×,z (cid:55)→ zn est un revŒtement.
(cid:21) L’exponentielle C −e→xp C× est un revŒtement universel de C×.
(cid:21) Si un groupe (cid:28)ni Γ agit librement sur un espace topologique, le quotient π : X −→
X/Γ est un revŒtement (exemple : X = SL (C), Γ = Z(SL (C)) = µ , X/Γ =
n n n
PSL (C)). Si X est simplement connexe, alors π (X/Γ) (cid:39) Γ.
n 1
(cid:21) Si X et Y sont simplement connexes, alors X ×Y l’est aussi.
Remarque. (cid:21) Le groupe fondamental π (X,x) peut aussi Œtre dØ(cid:28)ni comme l’ensemble
1
des classes d’homotopie de lacets basØs en x, muni de la loi induite par la concatØnation des
lacets. On pourra le vØri(cid:28)er (cid:224) titre d’exercice ou consulter un livre de topologie algØbrique.
1.3.4 Proposition.(cid:21) Soit G un groupe de Lie connexe et G(cid:101) −→π G un revŒtement
universel de G. Choisissons un ØlØment e dans la (cid:28)bre π−1(e). Alors il existe une unique
(cid:101)
structure de groupe de Lie sur G(cid:101) ayant e pour ØlØment neutre, et faisant de π un morphisme
(cid:101)
de groupes de Lie. De plus Ker(π) (cid:39) π (G) est un sous-groupe discret et central de G(cid:101).
1
DØmonstration. Choisissons un ØlØment e ∈ π−1(e) dans la (cid:28)bre de e, et remarquons que
(cid:101)
G(cid:101)×G(cid:101) est simplement connexe. Il existe donc un unique relŁvement m de m, i.e. une unique
(cid:101)
application continue m rendant commutatif le diagramme
(cid:101)
G(cid:101)×G(cid:101) m(cid:101) (cid:47)(cid:47)G(cid:101) ,
π×π π
(cid:15)(cid:15) (cid:15)(cid:15)
m (cid:47)(cid:47)
G×G G
qui envoie (e,e) sur e. On constate que m◦(id ×m) : G(cid:101)×G(cid:101)×G(cid:101) −→ G(cid:101) est un relŁvement
(cid:101) (cid:101) (cid:101) (cid:101) G(cid:101) (cid:101)
de m ◦ (id ×m) qui envoie (e,e,e) sur e. De mŒme m ◦ (m × id ) est un relŁvement de
G (cid:101) (cid:101) (cid:101) (cid:101) (cid:101) (cid:101) G(cid:101)
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