Table Of ContentMaster Math(cid:19)ematiques 1(cid:18)ere ann(cid:19)ee
COURS DE THEORIE DES REPRE(cid:19)SENTATIONS
Nicolas JACON
Universit(cid:19)e de Reims
Table des mati(cid:18)eres
1 La notion de repr(cid:19)esentations de groupes 3
1.1 Premi(cid:18)eres d(cid:19)e(cid:12)nitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Sous-repr(cid:19)esentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Le cas des groupes ab(cid:19)eliens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Alg(cid:18)ebre de groupe et repr(cid:19)esentation r(cid:19)eguli(cid:18)ere . . . . . . . . . . . 11
1.5 Un exemple : le groupe sym(cid:19)etrique S . . . . . . . . . . . . . . . 12
3
1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Caract(cid:18)ere d’une repr(cid:19)esentation 16
2.1 D(cid:19)e(cid:12)nition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Orthogonalit(cid:19)e des caract(cid:18)eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Etude de la repr(cid:19)esentation r(cid:19)eguli(cid:18)ere . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Nombre et dimensions des repr(cid:19)esentations irr(cid:19)eductibles . . . . . . 23
2.5 Table de caract(cid:18)eres et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Groupe dual et transform(cid:19)ee de Fourier 30
3.1 D(cid:19)e(cid:12)nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Le cas ab(cid:19)elien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Un peu de th(cid:19)eorie du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4 Transform(cid:19)e de Fourier rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 Applications 37
4.1 Le th(cid:19)eor(cid:18)eme de Burnside. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Le th(cid:19)eor(cid:18)eme de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3 Le th(cid:19)eor(cid:18)eme de Molien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2
Chapitre 1
La notion de
repr(cid:19)esentations de groupes
La th(cid:19)eorie des repr(cid:19)esentationsest un prolongement naturel de la th(cid:19)eorie des
groupes. Il s’agit ici d’(cid:19)etudier tous les morphismes possibles d’un groupe donn(cid:19)e
G vers le groupe des matrices inversibles sur un corps quelconque. De fa(cid:24)con
(cid:19)equivalente, on cherche (cid:18)a comprendre les actions (lin(cid:19)eaires) de ces groupes sur
des espaces vectoriels. Gr^ace (cid:18)a ces (cid:19)etudes, on peut esp(cid:19)erer obtenir de nouvelles
propri(cid:19)et(cid:19)es sur nos objets de base. Il se trouve par exemple que cette th(cid:19)eorie est
fondamental dans la classi(cid:12)cation des groupes (cid:12)nis simples termin(cid:19)es dans les
ann(cid:19)ees80.Pluspr(cid:19)ecisemment,onlavoitappara^(cid:16)tredanslapreuveduth(cid:19)eor(cid:18)eme
de Feit-Thomson (1963) selon lequel tout groupe simple (cid:12)ni non ab(cid:19)elien est de
cardinal pair.
Historiquement, cette th(cid:19)eorie est apparue en r(cid:19)eponse (cid:18)a une question de
th(cid:19)eorie de Galois concernant les solutions d’(cid:19)equations polynomiales. C’est es-
sentiellement Frobenius au d(cid:19)ebut du XX(cid:18)eme si(cid:18)ecle qui l’a d(cid:19)evelopp(cid:19)e et a com-
pris sa profondeur. Aujourd’hui encore, des questions simples en apparence et
compl(cid:18)etementnaturellesrestentencoreouvertes.Signalonsen(cid:12)nler^oledecette
th(cid:19)eorie en Chimie ou en Physique : selon le mod(cid:18)ele de Wigner (1939) chaque
(cid:19)etat quantique d’une particule correspond notamment a une repr(cid:19)esentation du
groupe de Poincar(cid:19)e (un groupe de transformations de l’espace compatible avec
la th(cid:19)eorie de la relativit(cid:19)e restreinte).
Dans la suite, k est un corps de caract(cid:19)eristique nulle et les espaces vecto-
riels consid(cid:19)er(cid:19)es le sont sur k. Le plus souvent, on prendra k = C ou un corps
alg(cid:19)ebriquement clos. Pour tout k-espace vectoriel de dimension (cid:12)nie, on note
GL(V)legroupe desautomorphismeslin(cid:19)eairesde V,c’est-(cid:18)a-direlegroupes des
applications lin(cid:19)eaires u : V ! V bijectives. Si dim (V) = n, on peut identi(cid:12)er
k
GL(V) au groupe des matrices carr(cid:19)ees inversibles de taille n (cid:18)a coe(cid:14)cients dans
k (via le choix de bases) GL (k). On d(cid:19)esignera par G un groupe (cid:12)ni.
n
1.1 Premi(cid:18)eres d(cid:19)e(cid:12)nitions et exemples
D(cid:19)e(cid:12)nition 1.1.1 Une repr(cid:19)esentation du groupe G est la donn(cid:19)ee d’un couple
((cid:26);V) ou(cid:18) (cid:26) est un morphisme (cid:26) : G ! GL(V) de G vers le groupe des auto-
morphismesd’unk-espacevectorielV dedimension(cid:12)nie(nonnul).Onditalors
3
1.1.Premi(cid:18)eresd(cid:19)e(cid:12)nitionsetexemples
que dim (V) est le degr(cid:19)e ou la dimension de la repr(cid:19)esentation.
k
Par abus de langage on dit parfois que (cid:26) est une repr(cid:19)esentation (au lieu de
((cid:26);V)) ce qui ne porte pas (cid:18)a confusion.
Fixons nous une base de V. Une repr(cid:19)esentation de degr(cid:19)e n induit la donn(cid:19)ee,
pour chaque g 2 G, d’une matrice inversible R de taille n(cid:2)n, la famille des
g
matrices (Rg)g2G v(cid:19)eri(cid:12)ant les (cid:19)egalit(cid:19)es Rgg′ = RgRg′ pour tout g;g′ 2 G. On
obtient un morphisme :
G!GL (k)
n
Attention, ceci d(cid:19)epend du choix d’une base de V !
Donnons quelques exemples :
Exemple 1.1.2
1. PourtoutgroupeG,lemorphisme(cid:26):G!GL(k)quienvoietout(cid:19)el(cid:19)ement
de G sur Id est une repr(cid:19)esentation de degr(cid:19)e 1 dite repr(cid:19)esentation triviale.
2. Si G = Z=mZ, pour d(cid:19)e(cid:12)nir une repr(cid:19)esentation de degr(cid:19)e n, il su(cid:14)t de
pr(cid:19)eciser(cid:11)=(cid:26)((cid:22)1)2GL (C)detellesorteque(cid:11)m =I lamatriceidentit(cid:19)e.
n n
Par exemple pour n=1, toute racine m i(cid:18)eme de l’unit(cid:19)e convient.
3. On voit qu’une repr(cid:19)esentation de dimension 1 pour un groupe quelconque
G est simplement la donn(cid:19)ee d’un morphisme G ! GL (k) c’est (cid:18)a dire
1
d’un morphisme G!k(cid:3)
Comme nous avons maintenant l’habitude en Alg(cid:18)ebre, nous allons d(cid:19)e(cid:12)nir
une notion de \morphisme" pour ce nouvel objet alg(cid:19)ebrique.
D(cid:19)e(cid:12)nition 1.1.3 Soit ((cid:26) ;V ) et ((cid:26) ;V ) deux repr(cid:19)esentations de G. On dit
1 1 2 2
qu’une application lin(cid:19)eraire
f :V !V
1 2
est un op(cid:19)erateur d’entrelacement si pour g 2G, on a : f (cid:14)(cid:26) (g)=(cid:26) (g)(cid:14)f
1 2
Onpeut(cid:19)egalementreformulerlapropri(cid:19)et(cid:19)eci-dessus(cid:18)al’aidedudiagrammecom-
mutatif suivant :
V !f V
1 2
#(cid:26) (g) (cid:26) (g)# :
1 2
V !f V
1 2
On utilise divers expressions (cid:19)equivalentes (cid:18)a celle d’op(cid:19)erateur d’entrelacement.
Dans ce cours, nous dirons aussi que f est un morphisme de repr(cid:19)esentations.
D(cid:19)e(cid:12)nition 1.1.4 Deuxrepr(cid:19)esentations((cid:26) ;V )et((cid:26) ;V )sontdites(cid:19)equivalentes
1 1 2 2
ou isomorphes s’il existe un op(cid:19)erateur d’entrelacement bijectif entre elles.
Supposons que l’on dispose d’un tel op(cid:19)erateur d’entrelacement bijectif entre
((cid:26) ;V ) et ((cid:26) ;V ). On voit alors que V et V sont isomorphes et donc sont de
1 1 2 2 1 2
m^emes dimensions. On a aussi pour tout g 2G
(cid:26) (g)=f(cid:0)1(cid:14)(cid:26) (g)(cid:14)f
1 2
4
1.1.Premi(cid:18)eresd(cid:19)e(cid:12)nitionsetexemples
Maintenant,(cid:12)xonsunebaseB =(e ;:::;e )deV etconsid(cid:19)eronslarepr(cid:19)esentation
1 1 n 1
matriciellede(cid:26)1(g)danscettebaseMatB1;B1((cid:26)1(g)).L’(cid:19)egalit(cid:19)eci-dessusnousdit
simplement que :
MatB1;B1((cid:26)1(g))=MatB2;B2((cid:26)2(g))
le morphisme f :V !V envoyant B sur B . R(cid:19)eciproquement si il existe une
1 2 1 2
base B de V et une base B de V tel que pour tout g 2G, on a cette (cid:19)egalit(cid:19)e
1 1 2 2
alors (cid:26) et (cid:26) sont (cid:19)equivalentes. Bref, deux repr(cid:19)esentations sont (cid:19)equivalentes si
1 2
et seulement si il existe des bases des espaces vectoriels associ(cid:19)es dans lesquels
les matrices des images des (cid:19)el(cid:19)ements de G sont les m^emes.
Remarquons ainsi que nous pouvons(cid:19)eto(cid:11)er les remarques donn(cid:19)ees au d(cid:19)ebut
de la section. Etant donn(cid:19)e une repe(cid:19)esentation (cid:26):G!GL(V), si on se (cid:12)xe une
base B de (cid:26), on obtient un morphisme
G!GL (k):
n
R(cid:19)eciproquement, pour tout nouveau choix de base de V, la donn(cid:19)ee d’un tel
morphisme, nous donne une nouvelle repr(cid:19)esentation
G!GL(V)
qui est (cid:19)equivalente (cid:18)a (cid:26). Ainsi, on pourra par la suite parfois consid(cid:19)erer simple-
ment qu’une repr(cid:19)esentation est simplement la donn(cid:19)ee d’un morphisme
G!GL (k):
n
En e(cid:11)et, le choix de base ci-dessus ne modi(cid:12)e pas la classe d’(cid:19)equivalence de la
repr(cid:19)esentation(deschoixdebasesdi(cid:11)(cid:19)erentesnousam(cid:18)ene(cid:18)adesrepr(cid:19)esentations
(cid:19)equivalentes.)
En g(cid:19)en(cid:19)eral, lorsque le morphisme (cid:26) est injectif, on dit que la repr(cid:19)esentation
est (cid:12)d(cid:18)ele. Dans ce cas, (cid:26)(G) est isomorphe (cid:18)a G et si V =kn, on voit que l’on a
\r(cid:19)ealis(cid:19)e" G comme un groupe de matrices.
fexrepg
Exemple 1.1.5
1. Consid(cid:19)erons G = S le groupe sym(cid:19)etrique d’ordre n. Pour tout (cid:27) 2
n
S , on pose (cid:26)((cid:27)) = M ou(cid:18) M est la matrice de permutation associ(cid:19)ee
n (cid:27) (cid:27)
(cid:18)a (cid:27); c’est (cid:18)a dire la matrice de l’application lin(cid:19)eaire qui envoie la base
standard(e ;:::;e )deCnsur(e ;:::;e ):Onv(cid:19)eri(cid:12)efacilementque
1 n (cid:27)(1) (cid:27)(n)
(cid:26) d(cid:19)e(cid:12)nit une repr(cid:19)esentation (cid:12)d(cid:18)ele de S sur Cn appel(cid:19)ee repr(cid:19)esentation de
n
permutation.
2. Si G est un sous-groupe de GL (C) le groupe des matrices inversibles
n
carr(cid:19)ees d’ordre n, l’application (cid:26) : G ! C d(cid:19)e(cid:12)nie par (cid:26)(M) = det(M)
est une repr(cid:19)esentation de G. Dans le cas particulier ou(cid:18) G est le groupe
des matrices de permutation d(cid:19)e(cid:12)ni dans 1, det(M ) = "((cid:27)) ou(cid:18) " est la
(cid:27)
signature de la permutation (cid:27). Cela revient (cid:18)a dire que la signature " :
S !C est une repr(cid:19)esentation de degr(cid:19)e 1.
n
3. Soit G=Z=2Z et soit V =C2. On consid(cid:18)ere la repr(cid:19)esentation (cid:26) envoyant
0 sur l’identit(cid:19)e et 1 sur le morphisme repr(cid:19)esent(cid:19)e par la matrice
( )
1 0
A=
0 (cid:0)1
5
1.1.Premi(cid:18)eresd(cid:19)e(cid:12)nitionsetexemples
dans la base canonique (e ;e ). Ceci d(cid:19)e(cid:12)nit bien une repr(cid:19)esentation de
1 2
degr(cid:19)e 2 de G. Or cette matrice et M sont clairement semblables. On
(1;2)
en d(cid:19)enduit que cette repr(cid:19)esentation est(cid:19)equivalente (cid:18)a la repr(cid:19)esentation de
permutation de S ≃Z=2Z.
2
4. Consid(cid:19)erons G = Z=3Z et (cid:26);(cid:26)′ les deux(rep)r(cid:19)esentations de Z=3Z d(cid:19)e(cid:12)nies
par (cid:26)((cid:22)1) = j et (cid:26)′((cid:22)1) = j2 ou(cid:18) j = exp 2i(cid:25) . Elles sont non isomorphes.
3
En e(cid:11)et si il existe f 2 L(C;C) tel que f (cid:14)(cid:26)(g) = (cid:26)′(g)(cid:14)f pour tout
g 2 Z=3Z, on obtient avec g = (cid:22)1 l’(cid:19)egalit(cid:19)e jf = j2f (en dimension 1 la
composition des application se r(cid:19)eduit (cid:18)a la multiplication). Donc f =0 ce
qui est absurde.
5. Plus g(cid:19)en(cid:19)eralement, supposons (cid:26) et (cid:26)′ que soient deux repr(cid:19)esentations de
dimension1d’unm^emegroupe.Supposonslesisomorphes.Alors,onaun
op(cid:19)erateur d’entrelacement f 2 L(C;C) tel que f (cid:14)(cid:26)(g) = (cid:26)′(g)(cid:14)f pour
tout g 2 G. Comme f est lin(cid:19)eaire, il existe (cid:21) 2 C(cid:3) tel que f = (cid:21)Id et on
obtient (cid:26)=(cid:26)′.
Remarque 1.1.6 Attention,ilyaunepetitesubtilit(cid:19)eimportante(cid:18)acomprendre.
Du point de vue matricielle, deux repr(cid:19)esentations
(cid:26) :G!GL (k) et (cid:26) :G!GL (k)
1 n 2 n
sont (cid:19)equivalentes si et seulement si il existe V 2GL (k) tel que
n
(cid:26) (g)=V(cid:26) (g)V(cid:0)1
1 2
Ceci implique que (cid:26) (g) et (cid:26) (g) sont semblables mais la r(cid:19)eciproque est fausse
1 1
car V ne doit pas d(cid:19)ependre du choix de g 2G!!
Si (cid:26) : G ! GL(V) est une repr(cid:19)esentation de G, elle d(cid:19)e(cid:12)nit une action de
G sur V. Il su(cid:14)t en e(cid:11)et de poser g(cid:1)v = (cid:26)(g)(v) pour tout g 2 G et v 2 V.
Par rapport (cid:18)a une action quelconque de G sur V, l’action d(cid:19)e(cid:12)nie (cid:18)a partir d’une
repr(cid:19)esentation est lin(cid:19)eaire, c’est (cid:18)a dire que l’on a en plus
g(cid:1)((cid:21)v+(cid:22)v′)=(cid:21)g(cid:1)v+(cid:22)g(cid:1)v′ (1.1)
pour tout g 2 G; v;v′ 2 V et (cid:21);(cid:22) 2 k. Il arrive ainsi que l’on confonde la
repr(cid:19)esentation ((cid:26);V) avec l’espace vectoriel V muni de cette action. On dit
alors simplement que V est une repr(cid:19)esentation (en supposant l’action de G sur
V donn(cid:19)ee).
R(cid:19)eciproquement une action de groupe qui v(cid:19)eri(cid:12)e en plus (1.1) d(cid:19)e(cid:12)nit une
repr(cid:19)esentation (cid:26) en posant (cid:26)(g)v = g (cid:1)v pour tout v 2 V et g 2 G comme
pr(cid:19)ec(cid:19)edemment. Dans cette perspective, une repr(cid:19)esentation du groupe G sur le
k-espacevectorielV n’estriend’autrequ’uneactiondeGsurV compatible avec
sa structure lin(cid:19)eaire.
A l’inverse, si G agit sur l’ensemble (cid:12)ni E = fe ;:::;e g, il existe une
1 n
repr(cid:19)esentation associ(cid:19)ee. Il su(cid:14)t de consid(cid:19)erer l’espace vectoriel V := (cid:8)n ke
E i=1 i
et de d(cid:19)e(cid:12)nir pour tout g; (cid:26)(g)2GL(V ) comme l’application lin(cid:19)eaire envoyant
E
la base canonique V sur la base fg(cid:1)e ;:::;g(cid:1)e g.
E 1 n
6
1.2.Sous-repr(cid:19)esentations
1.2 Sous-repr(cid:19)esentations
Apr(cid:18)es la d(cid:19)e(cid:12)nition de morphismes, nous nous int(cid:19)eressons naturellement (cid:18)a la
d(cid:19)e(cid:12)nitiondessous-objetsdenotreconceptprincipal.Celle-ciestasseznaturelle:
D(cid:19)e(cid:12)nition 1.2.1 Soit ((cid:26);V) une repr(cid:19)esentation de G. Soit W un sous-espace
vectorielde V. Supposons que pour tout g 2G,on a (cid:26)(g)(W)(cid:26)W. On obtient
alors un morphisme
(cid:26) :G!GL(W)
W
tel que pour tout g 2 G, (cid:26) (g) est le morphisme (cid:26)(g) restreint (cid:18)a W. L’ap-
W
plication (cid:26) est une repr(cid:19)esentation de G. On dit que ((cid:26) ;W) est une sous-
W W
repr(cid:19)esentation.Lorsquelarepr(cid:19)esentation((cid:26);V)n’admetaucunesous-repr(cid:19)esentation
propre(c’est(cid:18)adireautrequ’ellem^eme),onditque((cid:26);V)estunerepr(cid:19)esentation
irr(cid:19)eductible.
Lorsque ((cid:26) ;W) est une sous-repr(cid:19)esentation de ((cid:26);V) , on dit que W est
W
un sous-espace (cid:26)-invariant de V (ou simplement invariant si il n’y a as d’am-
biguit(cid:19)e). D(cid:18)es que l’on dispose d’un sous-espace invariant non trivial, on a ainsi
une repr(cid:19)esentation non irr(cid:19)eductible que l’on dit r(cid:19)eductible.
fredg
Exemple 1.2.2 1. Onv(cid:19)eri(cid:12)efacilementquetouterepr(cid:19)esentationdedimen-
sion 1 est n(cid:19)ecessairement irr(cid:19)eductible.
2. Consid(cid:19)erons la repr(cid:19)esentation de permutation de l’exemple 1.1.5, on voit
qu’il y a un sous-espace invariant :
⟨(x ;:::;x )2Cn j x +:::+x =0⟩
1 n 1 n
qui est de dimension n(cid:0)1. Une repr(cid:19)esentation de permutation est donc
toujours r(cid:19)eductible.
Al’inverse,apartirdeladonn(cid:19)eededeuxrepr(cid:19)esentationsd’unm^emegroupe,
on peut tr(cid:18)es facilement construire une nouvelle repr(cid:19)esentation gr^ace (cid:18)a la notion
suivante de somme directe.
fsommedirg
D(cid:19)e(cid:12)nition 1.2.3 Soient ((cid:26) ;V ) et ((cid:26) ;V ) deux repr(cid:19)esentations d’un groupe
1 1 2 2
(cid:12)ni G. On d(cid:19)e(cid:12)nit le morphisme
(cid:26) (cid:8)(cid:26) :G!GL(V (cid:8)V )
1 2 1 2
tel que pour tout g 2G et (v ;v )2V (cid:8)V on a
1 2 1 2
((cid:26) (cid:8)(cid:26) )(v ;v )=((cid:26) (v );(cid:26) (v ))
1 2 1 2 1 1 2 2
Alors (((cid:26) (cid:8)(cid:26) );V (cid:8)V ) est une repr(cid:19)esentation de G appel(cid:19)ee somme directe
1 2 1 2
des repr(cid:19)esentations ((cid:26) ;V ) et ((cid:26) ;V ).
1 1 2 2
Bien su^r, une somme directe de repr(cid:19)esentations n’est jamais irr(cid:19)eductible. En
e(cid:11)et, la repr(cid:19)esentation(((cid:26) (cid:8)(cid:26) );V (cid:8)V ) admet toujours ((cid:26) ;V ) comme sous-
1 2 1 2 1 1
repr(cid:19)esentation.Du pointde vue matricielle, si on consid(cid:18)ereles repr(cid:19)esentations:
(cid:26) :G!GL (k)
1 n1
7
1.2.Sous-repr(cid:19)esentations
et
(cid:26) :G!GL (k)
2 n2
alors la somme directe (cid:26) (cid:8)(cid:26) n’est autre que la repr(cid:19)esentation
1 2
(cid:26) (cid:8)(cid:26) :G!GL (k)
1 2 n1+n2
telle que pour tout g 2G, ((cid:26) (cid:8)(cid:26) )(g) est la matrice diagonale par blocs :
1 2
( )
(cid:26) (g) 0
1
0 (cid:26) (g)
2
On d(cid:19)e(cid:12)nit de m^eme la somme directe de n repr(cid:19)esentations.
Unequestionnaturelleconcernemaintenantlad(cid:19)ecompositionderepr(cid:19)esentation.
Est-ilpossiblede\d(cid:19)ecomposer"touterepr(cid:19)esentationensommedirectederepr(cid:19)e-
sentationsirr(cid:19)eductibles?lar(cid:19)eponseestoui,ceciprovientdur(cid:19)esultatfondamen-
tal suivant (voir l’exercice 1.6.8).
fmasg
Th(cid:19)eor(cid:18)eme 1.2.4 (Th(cid:19)eor(cid:18)eme de Maschke) Soit ((cid:26);V) une repr(cid:19)esentation
du groupe G et ((cid:26) ;V ) une sous-repr(cid:19)esentation de ((cid:26);V). Alors, il existe une
1 1
sous-repr(cid:19)esentation ((cid:26) ;V ) de ((cid:26);V) telle que (((cid:26) (cid:8)(cid:26) );V (cid:8)V )=((cid:26);V) (que
2 2 1 2 1 2
l’on abr(cid:18)ege souvent en V =V (cid:8)V , mais attention aux risques de confusion).
1 2
Preuve. On supposera que k = C, la preuve dans le cas d’un corps de ca-
ract(cid:19)eristique nulle est analogue. Consid(cid:19)erons une base de V et notons ((cid:1)j(cid:1)) le
produit scalaire hermitien usuel sur V relatif (cid:18)a cette base.
Apriorilesapplicationslin(cid:19)eaires(cid:26)(g)avecg 2Gneconserventpasleproduit
scalaire. Comme G est (cid:12)ni, on peut cependant d(cid:19)e(cid:12)nir une forme sesquilin(cid:19)eaire
sym(cid:19)etrique d(cid:19)e(cid:12)nie positive (donc un produit scalaire) ((cid:1)j(cid:1)) sur V en posant
G
∑
(v jv ) := (g(cid:1)v jg(cid:1)v ):
1 2 G 1 2
g2G
On v(cid:19)eri(cid:12)e imm(cid:19)ediatement que (g (cid:1)v ;g (cid:1)v ) = (v jv ) pour tout g 2 G et
1 2 G 1 2 G
v ;v 2V. Prenons pour V l’orthogonal de V
1 2 2 1
fv 2V j 8v 2V ; (v jv )=0g
2 1 1 1 2
par rapport (cid:18)a ((cid:1)j(cid:1)) . On sait que l’on a alors :
G
V =V (cid:8)V
1 2
et V est stable sous l’action de G d’ou(cid:18) le r(cid:19)esultat.
2
Remarque 1.2.5 Lorsquel’onregardedesrepr(cid:19)esentationsassoci(cid:19)ees(cid:18)auncorps
de caract(cid:19)eristique p, le th(cid:19)eor(cid:18)eme de Maschke devient faux! on peut en fait
montrer que celui-ci est vrai seulement si le cardinal du corps ne divise pas
l’ordre du groupe (ou si la caract(cid:19)eristique est nulle). De m^eme, si le groupe est
d’ordre in(cid:12)ni, un analogue au r(cid:19)esultat ci-dessus est faux (voir l’exercice 1.6.5).
fcomasg
Corollaire 1.2.6 Touterepr(cid:19)esentation((cid:26);V)deGsuruncorpsdecaract(cid:19)eristique
nulle se d(cid:19)ecompose sous la forme
((cid:26);V)=((cid:26) ;V )(cid:8)m1 (cid:8)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:8)((cid:26) ;V )(cid:8)mr
1 1 r r
8
1.2.Sous-repr(cid:19)esentations
ou(cid:18) les ((cid:26) ;V ) sous des repr(cid:19)esentations irr(cid:19)eductibles non isomorphes, chacune
i i
d’entre elles apparaissant avec la multiplicit(cid:19)e m . On dit alors que la th(cid:19)eorie des
i
repr(cid:19)esentation de G sur k est semisimple.
Preuve.Onobtientl’existencedelad(cid:19)ecompositionenraisonnantparr(cid:19)ecurrence
sur la dimension de V en utilisant le th(cid:19)eor(cid:18)eme 1.2.4 de Maschke .
Le lemme suivant est un lemme fondamental en th(cid:19)eorie des repr(cid:19)esentations.
La preuve relativement simple contraste avec la puissance de celui-ci.
fschurg
Lemme 1.2.7 (Lemme de Schur) Soient ((cid:26) ;V ) et ((cid:26) ;V ) deux repr(cid:19)esen-
1 1 2 2
tations complexes (i.e. sur C) irr(cid:19)eductibles du groupe G et f : V ! V un
1 2
morphisme de repr(cid:19)esentations. Alors
1. Soit f est un isomorphisme, soit f est l’application nulle,
2. Si (cid:26) =(cid:26) alors il existe (cid:21)2C tel que f =(cid:21)I .
1 2 d
Preuve. Comme kerf et Imf sont invariants sous l’action de G et que (cid:26) et
1
(cid:26) sont des repr(cid:19)esentations irr(cid:19)eductibles, on a kerf =f0g ou V et, Imf =f0g
2 1
ou V .
2
CommeCestalg(cid:19)ebriquementclos,f poss(cid:18)edeunevaleurpropre(cid:21).Maisalors
ker(f (cid:0)(cid:21)I ) n’est pas r(cid:19)eduit (cid:18)a f0g. Comme, il est stable sous l’action de G, on
d
a ker(f (cid:0)(cid:21)I )=V et donc f =(cid:21)I .
d 1 d
Remarque 1.2.8 ?? L’ensemble des endomorphismes f : V ! V qui com-
mutentavecl’actiondeGestunesous-alg(cid:18)ebredeEnd (V)desendomorphismes
G
lin(cid:19)eaires de V. Lorsque k n’est pas alg(cid:19)ebriquement clos, on obtient d’apr(cid:18)es le
point 1 du lemme, que cette sous-alg(cid:18)ebre est un corps gauche (c’est (cid:18)a dire un
corps non n(cid:19)ecessairement commutatif). Lorsque k est alg(cid:19)ebriquement clos, ce
corps n’est autre que k lui-m^eme, en particulier, il est commutatif.
Lesdeuxprobl(cid:18)emesquisuiventsontfondamentauxenth(cid:19)eoriedesrepr(cid:19)esentations.
1. D(cid:19)eterminer les repr(cid:19)esentations irr(cid:19)eductibles, leur nombre, leur degr(cid:19)e.
2. D(cid:19)ecomposerunerepr(cid:19)esentationenunesommedesesrepr(cid:19)esentationsirr(cid:19)e-
ductibles.
Donnonsmaintenantquelquesliensnaturelsentrerepr(cid:19)esentationsd’ungroupe
etceuxd’unsous-groupeoud’undecesquotient.SoitGungroupe(cid:12)nietH un
de ses sous-groupes. Supposons que ((cid:26);V) est une repr(cid:19)esentation de G. Alors il
estclairquelarestrictionde(cid:26)(cid:18)aH permetded(cid:19)e(cid:12)nirunerepr(cid:19)esentation((cid:26)jH;V)
du groupe H de m^eme dimension.
Supposons maintenant H distingu(cid:19)e, on peut alors consid(cid:19)erer le groupe quo-
tientG=H.Supposonsquel’ondisposed’unerepr(cid:19)esentation((cid:26);V)deG=H.En
consid(cid:19)erant la surjection canonique
(cid:25) :G!G=H
et en posant (cid:26)′ := (cid:26)(cid:14)(cid:25), on obtient une repr(cid:19)esentation ((cid:26)′;V) de G de m^eme
dimension que ((cid:26);V). Notons de plus que si ((cid:26);V) est irr(cid:19)eductible alors ((cid:26)′;V)
(cid:19)egalement,unsous-espaceinvariantpourlaseconderepr(cid:19)esentationl’(cid:19)etant(cid:19)egalement
pourlapremi(cid:18)ere.Ceciestdoncunmoyennatureldeconstruiredesrepr(cid:19)esentations
9
1.3.Lecasdesgroupesab(cid:19)eliens
irr(cid:19)eductibles pour le groupe G. Plus g(cid:19)en(cid:19)eralement, si on a un morphisme d’un
groupe G dans un groupe G surjectif alors les repr(cid:19)esentations irr(cid:19)eductibles
1 2
de G induisent des repr(cid:19)esentations irr(cid:19)eductibles de G par composition avec le
2 1
morphisme.
Exemple 1.2.9 Prenons le groupe sym(cid:19)etrique S et son groupe altern(cid:19)e A .
3 3
Ce dernier groupe est isomorphe (cid:18)a Z=3Z. Si on prend les deux repr(cid:19)esentations
de dimension 1 d(cid:19)ej(cid:18)a construite pour S , on voit qu’elles induisent la m^eme
3
repr(cid:19)esentation sur A qui est la repr(cid:19)esentation triviale.
3
\R(cid:19)eciproquement", consid(cid:19)erons le quotient S =A , ce groupe est isomorphe
3 3
(cid:18)a Z=2Z et on sait que ce groupe admet 2 repr(cid:19)esentations (irr(cid:19)eductibles) de
dimension 1 :
1. la repr(cid:19)esentation triviale, celle-ci se rel(cid:18)eve en la repr(cid:19)esentation triviale de
S
3
2. la repr(cid:19)esentation envoyant tout (cid:19)el(cid:19)ement sur 12C(cid:3). La repr(cid:19)esentation de
S obtenueenvoieles(cid:19)el(cid:19)ementsdeA sur1etlesautressur(cid:0)1,onobtient
3 3
donc la repr(cid:19)esentation signe.
1.3 Le cas des groupes ab(cid:19)eliens
fabeg
Observons tout d’abord que pour toute repr(cid:19)esentation irr(cid:19)eductible (V;(cid:26))
d’un groupe G et tout g 2 G, l’action de g donne une application lin(cid:19)eaire
bijective de V ! V mais celle-ci n’est en g(cid:19)en(cid:19)eral pas un isomorphisme de
repr(cid:19)esentations car on n’a pas n(cid:19)ecessairement (cid:26)(h)(cid:14)(cid:26)(g)(v) = (cid:26)(g)(cid:14)(cid:26)(h)(v)
pour tout h2G et tout v 2V. C’est n(cid:19)eanmoins le cas si g 2Z(G) le centre de
G. Dans ce cas, (cid:26)(g) est un op(cid:19)erateur d’entrelacement de V dans V. D’apr(cid:18)es le
lemme de Schur (cid:26)(g)= (cid:21)I est un multiple de I . Il s’ensuite que g agit sur V
d d
en multipliant les vecteurs par une constante d(cid:18)es lors que g 2Z(G).
Dans le cas ou(cid:18) G est abelien, G = Z(G) et tout espace est n(cid:19)ecssairement
stable car (cid:26)(g)=(cid:21)I pour tout g 2G (notons qu’a priori le (cid:21) d(cid:19)epend de g). Il
d
s’ensuite qu’une repr(cid:19)esentation irr(cid:19)eductible est n(cid:19)ecessairement de dimension 1.
On a donc la proposition suivante :
fProp_Irrabelieng
Proposition 1.3.1 Soit G un groupe ab(cid:19)elien (cid:12)ni. Alors ses repr(cid:19)esentations
irr(cid:19)eductibles sont de degr(cid:19)e 1.
On rappelle que tout groupe ab(cid:19)elien (cid:12)ni G est isomorphe (cid:18)a un produit de
groupes cycliques. Plus pr(cid:19)ecis(cid:19)ement, on a
G≃Z=a Z(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)Z=a Z (1.2)
1 r
et si on impose la condition a divise a pour tout i = 1;:::;r (cid:0) 1, la
i+1 i
suite (a ;:::;a ) est unique. On peut alors choisir un ensemble (g ;:::;g ) de
1 r 1 r
g(cid:19)en(cid:19)erateurs ou(cid:18), pour tout i = 1;:::;r, g est d’ordre a . Tout (cid:19)el(cid:19)ement g 2 G
i i
s’(cid:19)ecrit alors de mani(cid:18)ere unique sous la forme g = g1(cid:11)1(cid:1)(cid:1)(cid:1)gr(cid:11)r ou(cid:18) 0 (cid:20) (cid:11)i (cid:20)
a (cid:0) 1: Pour obtenir une repr(cid:19)esentation irr(cid:19)eductible de G, il su(cid:14)t donc de
i
d(cid:19)eterminer l’image de chaque g par (cid:26). Comme gai = 1, (cid:26)(g ) doit ^etre une
i i i
racine a -i(cid:18)eme de l’unit(cid:19)e.On a donc a possibilit(cid:19)es pour le choix de l’image de
i i
chaque g . Ceci nous donne donc a :::a = jGj possibilit(cid:19)es pour le choix de
i 1 r
10
