Cours d'analyse

219 Pages·2003·1.227 MB·French

by  Queva J.-L.

Table des matiŁres
1 (cid:201)quations di(cid:27)Ørentielles linØaires 9
1 Le premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 RØsolution de l’Øquation homogŁne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 RØsolution de l’Øquation complŁte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Le deuxiŁme ordre (cid:224) coe(cid:30)cients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 RØsolution de l’Øquation homogŁne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 RØsolution de l’Øquation complŁte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Le deuxiŁme ordre (cid:224) coe(cid:30)cients non constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Le problŁme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 RØsolutionde( ) quandonconna(cid:238)tunesolutionde( )quine s’annulepas
E H
sur I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 Wronskien de deux applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5 RØsolution de ( ) quand on conna(cid:238)t une base de ; mØthode de variation
E SH
des constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Espace vectoriel normØ 21
1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1 Norme et distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2 Boules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Norme euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1 Produit scalaire rØel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Norme associØe (cid:224) un produit scalaire rØel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Expression du produit scalaire en fonction de la norme . . . . . . . . . . . . 25
2.4 InØgalitØ de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5 InØgalitØ de Minkowski, ou inØgalitØ triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Produit scalaire sur un espace vectoriel complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1 Norme et distance associØes (cid:224) un produit scalaire hermitien . . . . . . . . . 28
3.2 Expression du produit scalaire en fonction de la norme . . . . . . . . . . . . 29
3.3 InØgalitØ de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4 InØgalitØ de Minkowski, ou inØgalitØ triangulaire . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 Les normes fondamentales sur Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.1 La norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1
N
4.2 La norme euclidienne ou norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2
N
4.3 La norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
N1
5 Les normes fondamentales sur ([a;b]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
C
5.1 La norme de la convergenceen moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.2 La norme de la convergenceen moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . 32
5.3 La norme de la convergenceuniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6 Les normes fondamentales sur (K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
n;p
M
2 TABLE DES MATI¨RES
7 Les suites dans un espace vectoriel normØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7.1 Suites convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7.2 RŁgles de calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8 Applications lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8.3 OpØrations algØbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
9 Comparaison des normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9.1 Comparaisonde normes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9.2 Normes Øquivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
9.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
9.4 (cid:201)quivalence des normes en dimension (cid:28)nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Suites dans un espace vectoriel normØ de dimension (cid:28)nie 39
1 Parties bornØes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.2 Espace vectoriel des applications bornØes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.1 Suites convergenteset coordonnØes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2 Cas des suites complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Convergencedes suites de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 Relations de comparaisonentre suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1 Domination, notation O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 NØgligeabilitØ, notation o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3 (cid:201)quivalence, notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
(cid:24)n
4.4 Comparaisonlogarithmique de deux suites de ]0;+ [ . . . . . . . . . . . . 46
1
5 Suites rØelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.1 Les grands thØorŁmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.2 Suites dØ(cid:28)nies (cid:224) l’aide d’une relation de rØcurrence . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3 Suites classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 SØries numØriques 51
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2 GØnØralitØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2 Condition N(cid:201)CESSAIRE de convergence,divergence grossiŁre . . . . . . . 53
2.3 Convergencedes sØries (cid:224) termes complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4 CritŁre de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.5 Combinaison linØaire de sØries convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3 Les exemples de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.1 La sØrie gØomØtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2 SØrie (cid:224) destruction de termes ou sØrie tØlescopique . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 La sØrie du logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4 La sØrie de l’arctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5 La sØrie de l’exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.6 La sØrie du bin(cid:244)me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 Les sØries (cid:224) termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1 La situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 Le thØorŁme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3 SØrie majorante, sØrie minorante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 RŁgle des Øquivalents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5 Comparaisonlogarithmique, rŁgle de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . 60
TABLE DES MATI¨RES 3
4.6 Comparaison(cid:224) une sØrie de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5 SØrie absolument convergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.1 L’absolue convergence,qu’est-ce?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2 Utilisation de O et o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3 RŁgle des Øquivalents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.4 RŁgle de D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.5 Produit de Cauchy de deux sØries absolument convergentes . . . . . . . . . 63
6 SØrie alternØe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.1 L’alternance, qu’est-ce? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.2 CritŁre spØcial de convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.3 Les sØries alternØes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7 Transformation suite-sØrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.1 Le principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.2 La constante d’Euler (cid:13) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.3 La formule de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8 DØveloppement dØcimal d’un nombre rØel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5 ContinuitØ en dimension (cid:28)nie 69
1 Topologie d’un espace vectoriel normØ de dimension (cid:28)nie . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.1 Parties ouvertes, parties fermØes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.2 RØunion et intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.3 Points adhØrents, points intØrieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.4 CaractØrisationsØquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2 Limite d’une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.1 Limite d’une application en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.2 Limite et coordonnØes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.3 Limite et suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.4 Extension de la notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.5 OpØrations algØbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.6 Relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3 ContinuitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.1 GØnØralitØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2 CaractØrisationde la continuitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3 ContinuitØ et applications lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.4 OpØrations algØbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.5 Image rØciproque de parties ouverte et fermØe . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4 CompacitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.1 GØnØralitØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2 CompacitØ et application continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5 ContinuitØ des applications linØaires et bilinØaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6 Suite et sØrie de fonctions 81
1 Convergence simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2 Convergence uniforme des suites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.1 GØnØralitØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.2 Norme de la convergenceuniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.3 InterprØtation gØomØtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.4 Convergenceuniforme sur tout segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3 Convergence uniforme des sØries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.1 GØnØralitØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2 Convergencenormale d’une sØrie de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3 Convergencesnormale et uniforme sur tout segment . . . . . . . . . . . . . 87
4 ContinuitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.1 ContinuitØ de la limite uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4 TABLE DES MATI¨RES
4.2 Permutation de deux limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3 Applications aux sØries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5 Quelques espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.1 Subdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.2 Fonctions en escalier sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5.3 Fonction en escalier sur R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.4 Fonctions continues par morceaux sur un segment . . . . . . . . . . . . . . 91
5.5 Fonctions continues par morceaux sur un intervalle quelconque . . . . . . . 92
5.6 Polyn(cid:244)mes trigonomØtriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6 Approximation des fonctions d’une variable rØelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.1 Approximation uniforme par des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . 95
6.2 Approximation uniforme par des polyn(cid:244)mes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3 Approximation uniforme par des polyn(cid:244)mes trigonomØtriques . . . . . . . . 96
7 DØrivation des fonctions vectorielles 97
1 DØrivØe, fonction dØrivØe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
1.1 DØrivØe en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
1.2 DØrivØe et dØveloppement limitØ d’ordre un . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
1.3 DØrivØes (cid:224) droite, (cid:224) gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
1.4 Fonction dØrivØe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2 OpØrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.1 LinØaritØ de la dØrivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.2 Composantes d’une dØrivØe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.3 Composition avec une application numØrique . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.4 Composition avec une application linØaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.5 Composition avec une application bilinØaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3 DØrivØes d’ordre supØrieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.1 GØnØralitØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.3 OpØrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.4 Di(cid:27)Øomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.5 Fonction de classe k par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
C
8 SØrie de Fourier 109
1 SØrie trigonomØtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
1.1 Qu’est-ce qu’une sØrie trigonomØtrique? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
1.2 CaractØrisationdessØriestrigonomØtriquesquiconvergentnormalementsur
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
1.3 Calcul des coe(cid:30)cients c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
k
2 Coe(cid:30)cients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.1 Fonctions complexes 2(cid:25)-pØriodiques et continues par morceaux . . . . . . . 111
2.2 Coe(cid:30)cients de Fourier d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.3 PropriØtØs des coe(cid:30)cients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.4 Ordre de grandeur des coe(cid:30)cients de Fourier et rØgularitØ de la fonction . . 115
2.5 SØrie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3 Convergence en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.1 InØgalitØ de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.2 Convergenceen moyenne quadratique de la suite S (f) vers f . . . . . . 117
n n
3.3 Les coe(cid:30)cients de Fourier dØterminent la fonction . . . . . . . . . . . . . . 119
(cid:0) (cid:1)
4 Convergence ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.1 Cas des fonctions de classe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
C
4.2 Cas des fonctions de classe 1 par morceaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
C
TABLE DES MATI¨RES 5
9 IntØgrale des fonctions vectorielles sur un segment 123
1 IntØgrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
1.1 GØnØralitØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
1.2 LinØaritØ par rapport (cid:224) la fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
1.3 Image de l’intØgrale par une application linØaire. . . . . . . . . . . . . . . . 126
1.4 InØgalitØ de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2 IntØgrale des fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.1 DØ(cid:28)nition de l’intØgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.2 LinØaritØ par rapport (cid:224) la fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.3 IntØgralededeuxfonctionsquico(cid:239)cidentsaufsurunepartie(cid:28)nied’unsegment128
2.4 Image de l’intØgrale par une application linØaire. . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.5 InØgalitØ de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.6 PositivitØ et croissance de l’intØgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.7 AdditivitØ de l’intØgrale par rapport (cid:224) l’intervalle d’intØgration . . . . . . . 131
b
2.8 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
a
3 Convergencesen moyenne et en moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . 132
R
3.1 Norme de la convergenceen moyenne sur ([a;b]) . . . . . . . . . . . . . . . 132
C
3.2 Produit scalaire sur ([a;b]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
C
3.3 Norme de la convergenceen moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . 133
4 IntØgration des suites de fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.1 Convergenceuniforme et convergenceen moyenne . . . . . . . . . . . . . . 134
4.2 IntØgration terme (cid:224) terme d’une sØrie de fonctions continues . . . . . . . . . 134
4.3 Convergencesimple et convergenceen moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5 Primitives et intØgrale d’une fonction continue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.1 Primitive d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5.2 ThØorŁme fondamental du calcul intØgral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6 Calcul intØgral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.1 Formule d’intØgration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7 Accroissements (cid:28)nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.1 Cas des fonctions rØelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
7.2 InØgalitØ des accroissements (cid:28)nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.3 Prologement des fonctions de classe k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
C
7.4 CaractØrisationdes fonctions de classe k par morceaux sur un segment . . 142
C
8 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.1 (cid:201)galitØ de Taylor (cid:224) l’ordre k. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.2 Majoration du reste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.3 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
9 Suites et sØries de fonctions de classe k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
C
9.1 DØrivation de la limite d’une suite de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.2 DØrivation terme (cid:224) terme d’une sØrie de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.3 DØrivØe de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10 IntØgrales dØpendant de ses bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.1 IntØgrale du type x x f(t)dt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7! t=a
10.2 IntØgrale du type x Rv(x) f(t)dt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7! t=u(x)
11 IntØgrales dØpendant d’un paramŁtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
R
11.1 ContinuitØ sous le signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
11.2 DØrivation sous le signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
R
11.3 IntØgration sous le signe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
R
R
6 TABLE DES MATI¨RES
10 IntØgrale des fonctions numØriques sur un intervalle 153
1 IntØgrale des fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
1.1 IntØgrale d’une fonction sommable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
1.2 SommabilitØ par rØunion croissante de segments . . . . . . . . . . . . . . . 155
1.3 IntØgrabilitØ sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
1.4 IntØgrabilitØ par intersection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
1.5 SommabilitØ sur [a;b[ (cid:224) l’aide d’une primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
1.6 Les rØfØrences fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
2 OpØrations sur les fonctions intØgrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
2.1 SommabilitØ par combinaison linØaire (cid:224) coe(cid:30)cients positifs . . . . . . . . . 161
2.2 SommabilitØ par comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
2.3 IntØgrabilitØ sur [a;+ [ (cid:224) l’aide d’une sØrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
1
3 Fonctions sommables (cid:224) valeurs rØelles ou complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.1 Fonction intØgrable, sommable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.2 IntØgrale d’une fonction intØgrable (ou sommable) . . . . . . . . . . . . . . 167
3.3 Outils d’intØgration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4 SommabilitØ et intØgrale impropre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.1 SommabilitØ sur [a;b[ et accroissementd’une primitive . . . . . . . . . . . . 171
!+1 sint
4.2 L’exemple dt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
t
Z0
4.3 IntØgrale impropre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5 Espaces de fonctions sommables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.1 Norme de la convergenceen moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.2 Fonction de carrØ intØgrable (ou sommable) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5.3 Norme de la convergenceen moyenne quadratique . . . . . . . . . . . . . . 175
6 Les thØorŁmes de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.1 Le thØorŁme de convergencemonotone de Beppo Levi . . . . . . . . . . . . 176
6.2 Application (cid:224) l’intØgration terme (cid:224) terme d’une sØrie de fonctions . . . . . . 177
6.3 Le thØorŁme de convergencedominØe d’Henri Lebesgue . . . . . . . . . . . 179
7 IntØgrale dØpendant d’un paramŁtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.1 ContinuitØ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
7.2 DØrivation sous le signe , formule de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . 182
I
R
11 SØrie entiŁre 185
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
2 Rayon de convergenced’une sØrie entiŁre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
2.1 GØnØralitØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
2.2 Calcul du rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
2.3 OpØrations algØbriques et rayonde convergence . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3 PropriØtØs de la somme d’une sØrie entiŁre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
3.1 ContinuitØ de la somme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
3.2 IntØgration terme (cid:224) terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.3 DØrivation terme (cid:224) terme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.4 Sommation de sØries entiŁres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
4 Fonction dØveloppable en sØrie entiŁre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
4.1 Un peu de vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
4.2 Analyse de la situation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
4.3 Exemples de fonctions de classe non dØveloppables en sØrie entiŁre . . . 195
1
C
4.4 SynthŁse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
4.5 Exemples de dØveloppement en sØrie entiŁre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
TABLE DES MATI¨RES 7
12 Calcul di(cid:27)Ørentiel en plusieurs variables 201
1 Limite, continuitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
1.1 Rappel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
1.2 Limite suivant un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
2 Applications continßment di(cid:27)Ørentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
2.1 DØrivØe suivant un vecteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
2.2 Fonctions de classe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
C
2.3 DØrivØe suivant un vecteur pour les fonctions de classe 1 . . . . . . . . . . 205
C
2.4 DØveloppement limitØ (cid:224) l’ordre un des fonctions de classe 1 . . . . . . . . 206
C
3 Di(cid:27)Ørentielle d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
4 Composition des applications de classe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
C
4.1 La situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
4.2 Un cas particulier q =1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
4.3 Le cas gØnØral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.4 Une application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5 CoordonnØes polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.1 Argument d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.2 RepŁre polaire du plan euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.3 Changement de variables en coordonnØs polaires . . . . . . . . . . . . . . . 213
6 Di(cid:27)Øomorphismes de classe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
C
6.1 GØnØralitØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.2 CaractØrisationdes di(cid:27)Øomorphismes (cid:224) l’aide du jacobien . . . . . . . . . . 215
6.3 (cid:201)quations aux dØrivØes partielles et changement de variables . . . . . . . . 215
7 Fonctions numØriques de classe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
C
7.1 L’algŁbre 1(U). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
C
7.2 Gradient d’une fonction numØrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.3 Extrema d’une fonction numØrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.4 Point critique d’une fonction numØrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.5 InØgalitØ des accroissements (cid:28)nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
8 DØrivØes partielles d’ordre supØrieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
8 TABLE DES MATI¨RES
Chapitre 1
(cid:201)quations di(cid:27)Ørentielles linØaires
Sommaire
1 Le premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1 Unpeudevocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 RØsolution del’Øquation homogŁne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Le rØsultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2 Le problŁme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 RØsolution del’Øquation complŁte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.1 Le principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 MØthode de la variation de la constante . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.3 Le problŁme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.4 Principe desuperposition des solutions . . . . . . . . . . . . . 12
2 Le deuxiŁme ordre (cid:224) coe(cid:30)cients constants . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1 Unpeudevocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 RØsolution del’Øquation homogŁne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 (cid:201)quation caractØristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2 Dimension de l’espace des solutions . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.3 Le cas complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.4 Le cas rØel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 RØsolution del’Øquation complŁte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1 Le principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.2 Principe desuperposition des solutions . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.3 Passage ducomplexe aurØel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.4 Recherche d’une solution particuliŁre dans le cas d’un second
membre dela forme P(t)exp((cid:22)t);P 2K[X];(cid:22)2K. . . . . . . 15
3 Le deuxiŁme ordre (cid:224) coe(cid:30)cients non constants . . . . . . . . . . . . 15
3.1 Unpeudevocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 LeproblŁme de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 RØsolutionde(E)quandonconna(cid:238)tunesolutionde(H)quines’annule
pas surI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.4 Wronskiendedeuxapplications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5 RØsolutionde(E)quandonconna(cid:238)tunebasedeSH;mØthodedevaria-
tion des constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10 (cid:201)quations di(cid:27)Ørentielles linØaires
1 Le premier ordre
1.1 Un peu de vocabulaire
DØ(cid:28)nition 1.1 ((cid:201)quation di(cid:27)Ørentielle linØaire du premier ordre).
On appelle Øquation di(cid:27)Ørentielle linØaire du premier ordre, une Øquation du type :
x =a(t)x+b(t) ( )
0
E
oø a et b sont des fonctions continues d’un intervalle I (cid:224) valeurs dans K, K Øtant l’un des corps
R ou C.
DØ(cid:28)nition 1.2 ((cid:201)quation homogŁne).
On appelle Øquation homogŁne ou encore Øquation sans second membre associØe (cid:224) ( ), l’Øqua-
E
tion :
x =a(t)x ( )
0
H
Remarque. Dans cesdØ(cid:28)nitions,le coe(cid:30)cientde x vaut 1:ondit alorsque l’Øquationest norma-
0
lisØe ou encore rØsolue en x .
0
Si ce n’est pas le cas, on divise l’Øquation par le coe(cid:30)cient de x . Par exemple, tx +x = 1
0 0
doit s’Øcrire x = t 1x+t 1 et l’intervalle I considØrØ est l’un des deux intervalles ] ;0[ et
0 (cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:0)1
]0;+ [.
1
Tous les thØorŁmes de cette section sont relatifs (cid:224) des Øquations normalisØes.
DØ(cid:28)nition 1.3 (J-solution).
Si J est un sous-intervallede I, une J-solution de ( ) (resp. ( ), est une fonction x de classe
E H
1 sur J telle que :
C
t J; x0(t)=a(t)x(t)+b(t) resp. x0(t)=x(t)
8 2
Remarque. Si J1 est un sous-intervalle de J, la restrict(cid:0)ion (cid:224) J1 de toute(cid:1)J-solution de ( ) (resp.
E
( )), est une J -solution de ( ) (resp. ( )).
1
H E H
1.2 RØsolution de l’Øquation homogŁne
1.2.1 Le rØsultat
ThØorŁme 1.1 (fondamental).
Toutes les solutions de ( ) sont dØ(cid:28)nies sur I, ce sont des I-solutions.
H
L’ensemble des I-solutions de ( ) constituent une droite vectorielle sur K dirigØe par la fonc-
H
tion
t I exp A(t)
2 7!
oø A est une primitive de a sur I.
(cid:0) (cid:1)
x est une I-solution de ( ) k K; t I; x(t)=k exp A(t)
H () 9 2 8 2
(cid:0) (cid:1)
Preuve. Il su(cid:30)t de dØmontrer que t I x(t) exp A(t) est une fonction constante, si, et
2 7! (cid:0)
seulement si, x est solution de ( ). Or
H (cid:0) (cid:1)
d
t I; x(t) exp A(t) =x(t) exp A(t) x(t)A(t) exp A(t)
0 0
8 2 dt (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(cid:16) (cid:0) (cid:1)(cid:17)= x0(t) a(cid:0)(t)x(t)(cid:1) exp A(t) (cid:0) (cid:1)
(cid:0) (cid:0)
(cid:0) (cid:1) (cid:0) (cid:1)
x est solution de x =a(t)x
0
H ()
d
x(t) exp A(t) =0 (exp A(t) ne s’annule pas)
() dt (cid:0) (cid:0)
k(cid:16) K; t (cid:0)I;x(t)(cid:1)e(cid:17)xp A(t) =k(cid:0) (cid:1)
() 9 2 8 2 (cid:0)
car une fonction dont la dØrivØe est nulle sur un interv(cid:0)alle est(cid:1)constante. cqfd