Cours algébre - I3S

61 Pages·2010·0.35 MB·French

Table des matiŁres
1 Calcul matriciel 3
1.1 DØ(cid:28)nitions et propriØtØs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 OpØrations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Multiplication par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Multiplication des matrices . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Matrices ØlØmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 OpØrations ØlØmentaires sur une matrice . . . . . . . . 7
1.3.2 Application pour dØterminer l’inverse d’une matrice
carrØe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 DØterminants 10
2.1 DØterminant d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 DØterminant d’ordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 DØterminant d’ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.1 Calcul de l’inverse d’une matrice carrØe d’ordre n . . . 15
2.4.2 RØsolution de systŁmes linØaires ( MØthode de Cramer ) 16
3 Espaces Vectoriels 17
3.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Sous-Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Famille GØnØratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 DØpendance et IndØpendance LinØaires - Bases . . . . . . . . 21
3.5 Existence de Bases ( en dimension (cid:28)nie ) . . . . . . . . . . . 23
3.6 Les ThØorŁmes Fondamentaux sur la Dimension . . . . . . . 24
1
2
3.7 Somme, Somme directe, Sous-Espaces SupplØmentaires . . . . 27
4 Les Applications LinØaires 31
4.1 Applications LinØaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Image et Noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.3 Matrices AssociØes aux Applications LinØaires . . . . . . . . . 35
4.4 Matrice d’un Vecteur. Calcul de l’Image d’un Vecteur . . . . 38
4.5 Matrice de l’Inverse d’une Application . . . . . . . . . . . . . 40
4.6 Changement de Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.7 Rang d’une Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.8 Matrices Remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.9 Application des DØterminants (cid:224) la ThØorie du Rang . . . . . 45
4.9.1 CaractØrisation des Bases . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.9.2 Comment reconna(cid:238)tre si une famille de vecteurs est libre 46
4.9.3 Comment reconna(cid:238)tre si un vecteur appartient (cid:224) l’es-
pace engendrØ par d’autres vecteurs . . . . . . . . . . 47
4.9.4 DØtermination du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5 Valeurs Propres et Vecteurs Propres 50
5.1 Valeurs Propres et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . 50
5.2 PropriØtØs des vecteurs propres et valeurs propres . . . . . . . 52
5.3 PropriØtØs du polyn(cid:244)me caractØristique . . . . . . . . . . . . 53
5.4 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Chapitre 1
Calcul matriciel
R C
Dans tout ce qui suit, K dØsigne ou .
1.1 DØ(cid:28)nitions et propriØtØs
Un tableau rectangulaire, de nombres ( ∈ K ), de la forme
 
a a ... a
11 12 1n
 
a a ... a
 21 22 2n 
 . .  (1.1)
 .. .. 
 
a a ... a
m1 m2 mn
est appelØ matrice. Les nombres a sont appelØs coe(cid:30)cients de la matrice.
ij
Les lignes horizontales sont appelØes rangØes ou vecteurs rangØes, et les lignes
verticales sont appelØes colonnes ou vecteurs colonnes de la matrice. Une
matrice (cid:224) m rangØes et n colonnes est appelØe matrice de type (m,n). On
note la matrice ( 1.1) par (a ).
ij
Exemple 1.1.1. :
 
0 0 ... 0
 
0 0 ... 0
 
1) La matrice nulle O =  . .  a tous ses coe(cid:30)cients nuls.
 .. .. 
 
0 0 ... 0
2) Une matrice (a ,...,a ) ayant une seule rangØe est appelØe matrice
1 n
uniligne.
3
4 Chapitre thechapter : Calcul matriciel
 
b
1
 
b
 2 
3) Une matrice  .  ayant une seule colonne est appelØe matrice uni-
 .. 
 
b
m
colonne.
1) Une matrice ayant le mŒme nombre de rangØes et de colonnes est ap-
pelØes matrice carrØe, et le nombre de rangØes est appelØ son ordre.
2) La matrice carrØe (a ) telle que a = 0 si i (cid:54)= j et a = 1 ∀i est
ij ij ii
appelØe matrice unitØ, notØe par I, elle vØri(cid:28)e AI = IA = A, ∀A matrice
carrØe du mŒme ordre que I.
3) Deux matrices (a ) et (b ) sont Øgales si et seulement si elles ont
ij ij
mŒme nombre de rangØes et le mŒme nombre de colonnes et les ØlØments
correspondants sont Øgaux; c’est (cid:224) dire a = b ∀i,j.
ij ij
1.2 OpØrations sur les matrices
1.2.1 Addition
La somme de deux matrices de type (m,n) (a ) et (b ) est la matrice
ij ij
(c ) de type (m,n) ayant pour ØlØments c = a + b pour i = 1,...,m et
ij ij ij ij
j = 1,...,n.
(cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33)
−4 6 3 5 −1 0
Exemple 1.2.1. : Si A = et B = , alors A +
0 1 2 3 1 0
(cid:32) (cid:33)
1 5 3
B =
3 2 2
L’addition des matrices satisfait les propriØtØs suivantes :
Pour A,B et C des matrices de type (m,n) on a :
1) A + B = B + A
2) (A + B) + C = A + (B + C)
3) A + O = O + A = A oø O est la matrice nulle
4) A + (−A) = O oø −A = (−a ).
ij
Chapitre1 : Calcul matriciel 5
1.2.2 Multiplication par un scalaire
Soit A = (a ) et λ ∈ K, on dØ(cid:28)nit
ij
 
λa λa ... λa
11 12 1n
 
λa λa ... λa
 21 22 2n 
λA =  ... ...  = (λaij).
 
λa λa ... λa
m1 m2 mn
Exemple 1.2.2. :
Si A = (2 7 8), alors 3A = (6 21 24)
Cette multiplication vØri(cid:28)e :
Pour A,B des matrices de type (m,n)
1) λ(A + B) = λA + λB
2) (λ + µ)A = λA + µA
3) λ(µA) = (λµ)A
4) 1A = A
1.2.3 Multiplication des matrices
Soit A = (a ) une matrice de type (m,n) et B = (b ) une matrice de
ij kl
type (r,p), alors le produit AB ( dans cet ordre ) n’est dØ(cid:28)ni que si n = r,
j=n
(cid:88)
et est la matrice C = (c ) de type (m,p) dont les ØlØments c = a b .
il il ij jl
j=1
Exemple 1.2.3. :
 
(cid:32) (cid:33) 1 0 2
3 2 −1
A = et B =  5 3 1 , alors
 
0 4 6
6 4 2
(cid:32) (cid:33)
3(1)+2(5)+(−1)(6) 3(0)+2(3)+(−1)(4) 3(2)+2(1)+(−1)(2)
AB =
0(1)+4(5)+6(6) 0(0)+4(3)+6(4) 0(2)+4(1)+6(2)
(cid:32) (cid:33)
7 2 6
=
56 36 16
Le produit matriciel vØri(cid:28)e les propriØtØs suivantes :
1) λ(AB) = (λA)B, λ ∈ K
2) A(BC) = (AB)C
3) (A + B)C = AC + BC
6 Chapitre thechapter : Calcul matriciel
4) C(A + B) = CA + CB
Pour vu que les produits qui (cid:28)gurent dans les expressions soient dØ(cid:28)nis.
Remarque 1.2.1. :
1) La multiplication matricielle n’est pas en gØnØral commutative, c.(cid:224).d
AB (cid:54)= BA.
2) La simpli(cid:28)cation n’est pas vraie en gØnØral, c.(cid:224).d AB = O n’entra(cid:238)ne
pas, nØcessairement A = O ou B = O.
3) Une matrice carrØe A est inversible s’il existe B telle que AB = BA =
I.
Exemple 1.2.4. :
(cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33)
1 0 0 1 0 1
1) A = , B = , alors AB = et
0 0 1 0 0 0
(cid:32) (cid:33)
0 0
BA =
1 0
(cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33)
1 1 −1 1
2) A = (cid:54)= O, B = (cid:54)= O et pourtant
2 2 1 −1
(cid:32) (cid:33)
0 0
AB = = O
0 0
 
a 0 ... 0
11
 .. 
 0 a22 0... . 
1) Une matrice du type  ... ... 0  c’est (cid:224) dire aij = 0 pour
 
0 ... 0 a
nn
i (cid:54)= j est appelØe matrice diagonale.
 
a
11
 
0 a
 22 
2) Une matrice du type  ... ... ...  ou
 
0 ... 0 a
nn
 
a 0 ... 0
11
 a22 ... ... 
  est appelØe matrice triangulaire.
 ... 0 
 
a
nn
La premiŁre vØri(cid:28)e a = 0 pour i > j et la seconde a = 0 pour i < j.
ij ij
Chapitre1 : Calcul matriciel 7
3) Au lieu de AA on Øcrit tout simplement A2, de mŒme A3 = A2A ....
4) Si les lignes et les colonnes d’une matrice sont ØchangØes, la matrice
obtenue est appelØe transposØe de la matrice d’origine; la transposØe de A
est notØe tA.
5) Si A = (a ), alors tA = (b ) avec b = a , on a t(tA) = A.
ij ij ij ji
Exemple 1.2.5. :
 
1 4 (cid:32) (cid:33)
1 2 3
Si A =  2 5 ; alors tA =
 
4 5 6
3 6
1.3 Matrices ØlØmentaires
1.3.1 OpØrations ØlØmentaires sur une matrice
Soit A une matrice, on appelle opØration ØlØmentaire sur A l’une des
transformations suivantes :
1) Ajouter (cid:224) une ligne ( resp (cid:224) une colonne ) de A une autre ligne ( resp
colonne ) multipliØe par un scalaire. (R ←− R + kR )
j j i
2) Multiplier une ligne ( resp une colonne ) de A par un scalaire non nul.
(R ←− kR )
i i
3) Permuter les lignes ( resp les colonnes ) de A. (R ←→ R )
i j
Soit e une opØration ØlØmentaire sur les lignes et e(A) dØsigne les rØsultats
obtenus aprŁs l’application de l’opØration e sur une matrice A.
Soit E la matrice obtenue aprŁs l’application de e sur la matrice unitØ I,
c’est (cid:224) dire E = e(I). E est alors appelØe la matrice ØlØmentaire correspon-
dant (cid:224) l’opØration ØlØmentaire e.
Exemple 1.3.1. :
ConsidØrons la matrice unitØ d’ordre 3.
1) Permuter les lignes L et L .
2 3
2) Remplacer ligne L par −6L .
2 2
3) Remplacer ligne L par −4L + L .
3 1 3
     
1 0 0 1 0 0 1 0 0
E =  0 0 1 , E =  0 −6 0  et E =  0 1 0  sont les
1   2   3  
0 1 0 0 0 1 −4 0 1
8 Chapitre thechapter : Calcul matriciel
matrices ØlØmentaires correspondantes.
ThØorŁme 1.3.1. :
Soit e une opØration ØlØmentaire sur les lignes et E la matrice ØlØmentaire
correspondante d’ordre m, alors e(A) = EA pour toute matrice A de type
(m,n).
Les opØrations ØlØmentaires ont des opØrations inverses du mŒme type
1) Permuter R et R est son propre inverse.
i j
2) Remplacer R par kR et remplacer R par 1R sont inverses
i i i k i
3) Remplacer R par kR +R et remplacer R par −kR +R sont inverses.
j i j j i j
Supposons que e(cid:48) est l’inverse d’une opØration ØlØmentaire sur les lignes
e, et soit E(cid:48) et E les matrices correspondantes. Alors E est inversible et
son inverse est E(cid:48). En particulier un produit de matrices ØlØmentaires est
inversible.
ThØorŁme 1.3.2. :
Soit A une matrice carrØe, alors A est inversible si et seulement si A est
un produit de matrices ØlØmentaires.
1.3.2 Application pour dØterminer l’inverse d’une matrice carrØe
Exemple 1.3.2. :
 
1 0 2
Trouver l’inverse de la matrice A =  2 −1 3  si elle existe.
 
4 1 8
Pour ce faire nous Øcrivons la matrice unitØ (cid:224) la droite de A et nous ap-
pliquons les mŒmes opØrations (cid:224) cette matrice que celles e(cid:27)ectuØes sur A.
   
1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 0 0
L −2L
−−−2−−−→1
 2 −1 3 0 1 0  L − 4L  0 −1 −1 −2 1 0 
  3 1  
4 1 8 0 0 1 0 1 0 −4 0 1
 
1 0 2 1 0 0
L +2L
−−−1 −−→3
−−−L3−+−L−2→  0 −1 −1 −2 1 0  L − L
  2 3
0 0 −1 −6 1 1
Chapitre1 : Calcul matriciel 9
   
1 0 0 −11 2 2 1 0 0 −11 2 2
−L
−−→2
 0 −1 0 4 0 −1  −L  0 1 0 −4 0 1 
  3  
0 0 −1 −6 1 1 0 0 1 6 −1 −1
 
−11 2 2
d’oø A−1 =  −4 0 1 
 
6 −1 −1
Ecrivons cette inverse sous forme de produit de matrices ØlØmentaires :
   
1 0 0 1 0 0 1 0 2
A−1 = BC avec B =  0 −1 0  0 1 0  0 1 0  et
   
0 0 1 0 0 −1 0 0 1
    
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0
C =  0 1 −1  0 1 0  −2 1 0  0 1 0 
    
0 0 0 0 1 1 0 0 1 −4 0 1
Chapitre 2
DØterminants
2.1 DØterminant d’ordre 2
(cid:12) (cid:12)
(cid:12)a a (cid:12)
Le symbole (cid:12) 11 12(cid:12) est appelØ dØterminant d’ordre 2 de la matrice A =
(cid:12) (cid:12)
a a
(cid:12) 21 22(cid:12)
(cid:32) (cid:33) (cid:12) (cid:12)
a a (cid:12)a a (cid:12)
11 12 et est dØ(cid:28)ni par detA = (cid:12) 11 12(cid:12) = a a − a a .
(cid:12) (cid:12) 11 22 12 21
a a a a
21 22 (cid:12) 21 22(cid:12)
Exemple 2.1.1. :
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
(cid:12)1 3(cid:12) (cid:12)2 4(cid:12) (cid:12)3 1(cid:12)
(cid:12) (cid:12) = 4 − 6 = −2, (cid:12) (cid:12) = 6 − 4 = 2, (cid:12) (cid:12) = 6 − 4 = 2
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
2 4 1 3 4 2
(cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12) (cid:12)
On constate alors que :
1) Si deux rangØes ( ou deux colonnes ) d’un dØterminant sont permutØes
la valeur d’un dØterminant est multipliØe par −1.
(cid:32) (cid:33) (cid:32) (cid:33)
1 3 1 2
2) Si on pose A = , tA = . On constate que detA =
2 4 3 4
dettA, d’oø la valeur d’un dØterminant est conservØe lorsque l’on Øchange les
colonnes et les lignes ( dans le mŒme ordre ).
2.2 DØterminant d’ordre 3
 
a a a
11 12 13
Soit A =  a a a , on dØ(cid:28)nit
 21 22 23 
a a a
31 32 33
10