Courbes et Fibrés Vectoriels en Théorie de Hodge p-Adique

400 Pages·2018·3.916 MB·French

by  Pierre Colmez, Laurent Fargues, Jean-Marc Fontaine

406 ASTÉRISQUE
2018
COURBES ET FIBRÉS VECTORIELS
EN THÉORIE DE HODGE p-ADIQUE
Laurent FARGUES & Jean-Marc FONTAINE
Préface de Pierre COLMEZ
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
Astérisque est un périodique de la Société Mathématique de France.
Numéro 406, 2018
Comitéderédaction
Marie-Claude Arnaud Fanny Kassel
Christophe Breuil Alexandru Oancea
Damien Calaque Nicolas Ressayre
Philippe Eyssidieux Sylvia Serfaty
Nicolas Burq (dir.)
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ISSN : 0303-1179 (print) 2492-5926 (electronic)
ISBN 978-2-85629-896-1
Directeur de la publication : Stéphane Seuret
406 ASTÉRISQUE
2018
COURBES ET FIBRÉS VECTORIELS
EN THÉORIE DE HODGE p-ADIQUE
Laurent FARGUES & Jean-Marc FONTAINE
Préface de Pierre COLMEZ
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
Laurent Fargues
Institut de Mathématiques de Jussieu 4, place Jussieu 75252 Paris cedex 05
[email protected]
Jean-Marc Fontaine
Université de Paris-Sud, Mathématique, Bâtiment 307, 91405 Orsay Cedex, France
[email protected]
Pierre Colmez
CNRS, IMJ-PRG, Sorbonne Université, 4 place Jussieu, 75005 Paris, France
[email protected]
MathematicalSubjectClassification(2010).—11G25,11F80,14G20,14G22,14H60.
Mots-clefs. — Théorie de Hodge p-adique, représentations galoisiennes, fibrés vectoriels, courbes
algébriques.
Keywords.— p-adicHodgetheory,GaloisRepresentations,VectorBundles,AlgebraicCurves.
COURBESETFIBRÉSVECTORIELS
ENTHÉORIEDEHODGEp-ADIQUE
parLaurentFARGUES&Jean-MarcFONTAINE
PréfaceparPierreCOLMEZ
Résumé. — Ce travail est consacré à la découverte, la définition et l’étude de la
courbe fondamentale en théorie de Hodge p-adique. On prend pour cela le point de
vuededéfiniretd’étudierlesdifférentsanneauxdepériodesp-adiquescommeanneaux
de fonctions holomorphes de la variable p. L’étude de ces anneaux nous permet de
définir la courbe. On classifie ensuite les fibrés vectoriels sur celle-ci, un théorème
qui généralise en quelque sortes le théorème de classification des fibrés vectoriels sur
la droite projective. Comme application on redémontre géométriquement les deux
théorèmesprincipauxdelathéoriedeHodgep-adique:faiblementadmissibleimplique
admissible et de Rham implique potentiellement semi-stable.
Abstract.(Curvesandvectorbundlesinp-adicHodgetheory)—Thisworkisdedicated
tothediscovery,thedefinition,andthestudyofthefundamentalcurveinp-adicHodge
theory. For this we take the point of view to define and study the p-adic period rings
asringsofholomorphicfunctionsofthevariablep.Wethenclassifythevectorbundles
on the curve, a theorem that generalizes in some sense the classification theorem of
vector bundles on the projective line. As an application we give geometric proofs of
thetwomaintheoremsinp-adicHodgetheory:weaklyadmissibleimpliesadmissible,
and de Rham implies potentially semi-stable.
©Astérisque406,SMF2018

TABLE DES MATIÈRES
PréfaceparPierreColmez:LacourbedeFarguesetFontaine ................ 1
1. L’anneau B .......................................................... 1
e
1.1. B est principal! ................................................. 1
e
1.2. Anneaux de Fontaine ............................................. 2
1.3. Questions sur B ................................................. 3
e
1.4. La courbe ........................................................ 5
2. Représentations de G et objets dérivés .............................. 8
K
2.1. Les conjectures ................................................... 8
2.2. Le lemme fondamental ........................................... 11
2.3. Les Espaces de Banach de Dimension finie ....................... 14
2.4. Les presque C-représentations .................................... 19
2.5. Les (ϕ,Γ)-modules sur l’anneau de Robba ........................ 22
3. Les courbes X , Y et les espaces analytiques associés ............... 29
E E
3.1. L’anneau A ..................................................... 30
E
3.2. La courbe algébrique X ......................................... 33
E
3.3. La courbe analytique Yad et son quotient Xad ................... 35
E E
4. Fibrés sur X ........................................................ 37
E
4.1. Modifications de fibrés ........................................... 37
4.2. Le fibré (λ) .................................................. 37
OXE
4.3. Classification des fibrés sur X .................................. 38
E
4.4. Fibrés et ϕ-modules .............................................. 38
5. Fibrés G -équivariants et représentations de G ..................... 40
K K
5.1. Fibrés G -équivariants et (G ,B)-paires ........................ 40
K K
5.2. (ϕ,N)-modules et fibrés G -équivariants ........................ 41
K
5.3. Le théorème de monodromie p-adique ............................ 43
5.4. Descente à une extension de type de Lie ......................... 44
Bibliographiedelapréface .................................................. 47
CourbesetfibrésvectorielsenthéoriedeHodgep-adique ..................... 51
Leitfaden ................................................................... 53
1. Fonctionsholomorphesdelavariablepetanneauxdepériodes ............ 55
Introduction ............................................................. 55
SOCIÉTÉMATHÉMATIQUEDEFRANCE2018
viii TABLE DES MATIÈRES
1.1. Hypothèses et notations ............................................. 56
1.2. -vecteurs de Witt ................................................. 56
OE
1.2.1. Le cas «classique» ([16]) ...................................... 57
1.2.2. Le cas «tordu» : déformation du relèvement de Teichmüller ... 60
1.3. Les anneaux E, Bb et Bb,+ ......................................... 62
1.4. Normes de Gauss ................................................... 64
1.4.1. Définition et premières propriétés .............................. 64
1.4.2. Multiplicativité ................................................. 67
1.4.3. Topologie définie par les normes de Gauss sur A ............... 68
1.5. Polygones de Newton des éléments de Bb ........................... 69
1.5.1. Transformée de Legendre ....................................... 69
1.5.2. Polygone de Newton ............................................ 70
1.6. Les algèbres de Fréchet B .......................................... 71
I
1.6.1. Définition et premières propriétés .............................. 71
1.6.2. Changement du corps E ........................................ 74
1.6.3. Polygone de Newton des éléments de B ....................... 74
I
1.6.4. Le cas particulier où 0∈I ...................................... 78
1.6.5. Caractérisation des éléments inversibles de B en termes de
I
polygone de Newton ........................................... 79
1.7. Les cas F =k((π1/p∞)) et F maximalement complet ............... 81
F
1.7.1. Le cas F =k((π1/p∞)) ......................................... 81
F
1.7.2. Interprétationcommeperfectiséd’anneauxdefonctionsholomorphes
de la variable [π ], le cas ϕ(X)=Xq ......................... 83
F
1.7.3. Interprétationcommeperfectiséd’anneauxdefonctionsholomorphes
de la variable [π ], le cas ϕ(X)=(1+X)q−1 ................ 85
F
1.7.4. Interprétation de la symétrie entre E et F ..................... 85
1.7.5. Le cas maximalement complet .................................. 87
1.8. Le corps valué hensélien E† et l’anneau de Robba ................... 87
1.9. Extension des fonctions holomorphes au bord ....................... 89
1.10. L’anneau B+ ...................................................... 92
1.10.1. Définition et premières propriétés ............................. 92
1.10.2. Les bivecteurs ................................................. 94
1.10.3. Lien avec les anneaux de périodes cristallines ................. 96
1.10.4. L’anneau B ................................................... 97
2. Zérosdesfonctionsholomorphes:lecasF algébriquementclos ............ 99
Introduction ............................................................. 99
2.1. L’anneau A(cid:91) et le morphisme θ ..................................... 100
2.1.1. Généralités ..................................................... 100
2.1.2. Le morphisme θ ................................................ 102
2.1.3. Le cas de l’anneau des entiers d’un corps p-adique .............. 105
2.2. Étude de certains idéaux et valuations des vecteurs de Witt ........ 106
2.2.1. Élements primitifs .............................................. 106
ASTÉRISQUE406
TABLE DES MATIÈRES ix
2.2.2. Idéaux de A engendrés par un élément de degré 1 .............. 106
2.3. L’espace Y des idéaux de degré 1 des vecteurs de Witt ............. 116
2.3.1. Définition et structure métrique ................................ 116
2.3.2. Paramétrisation par les points d’un groupe de Lubin-Tate à
valeurs dans ............................................... 118
OF
2.3.3. Point de vue de Berkovich ...................................... 121
2.3.4. Effet d’un changement du corps E .............................. 122
2.4. Factorisation de Weierstrass des éléments primitifs de degré >1 .... 123
2.4.1. Zéros des éléments de B ....................................... 126
I
2.5. Les B sont principaux pour une couronne compacte ............... 128
I
2.6. Factorisation de Weierstrass au voisinage de 0 ...................... 129
2.7. Diviseur d’une fonction holomorphe ................................. 130
2.7.1. L’anneau B+ associés à un point de Y ........................ 130
dR
2.7.2. L’application diviseur .......................................... 131
3. Zérosdesfonctionsholomorphes:lecasF parfaitquelconque ............. 133
Introduction ............................................................. 133
3.1. Étude de l’ensemble |Y | par descente galoisienne ................... 133
F
3.1.1. Un calcul de cohomologie galoisienne ........................... 133
3.1.2. Description de l’ensemble |Y | par descente galoisienne ......... 135
F
3.1.3. Corps résiduels ................................................. 136
3.2. Le théorème de presque pureté ...................................... 139
3.3. En résumé .......................................................... 140
3.4. Zéros des fonctions holomorphes .................................... 141
3.4.1. Extension à B de l’application d’évaluation en un point ....... 141
I
3.4.2. Zéros et polygones de Newton .................................. 142
3.4.3. Produits de Weierstrass ........................................ 143
3.5. Diviseurs et idéaux .................................................. 144
3.5.1. Les B sont principaux pour I compact ........................ 144
I
3.5.2. Diviseurs positifs et idéaux fermés .............................. 145
3.5.3. L’anneau de Robba est de Bezout .............................. 146
3.5.4. Fonctions méromorphes et leurs diviseurs ....................... 146
3.6. Calcul des invariants sous Galois de B ............................ 147
F(cid:98)
4. Q -espacesvectorielsformelsetpériodesdesgroupesp-divisibles .......... 149
p
Introduction ............................................................. 149
4.1. Les E-espaces de Banach Bϕh=πd ................................... 150
4.1.1. Quelques calculs préliminaires .................................. 150
4.1.2. Structure d’espace de Banach sur Bϕh=πd ...................... 151
4.1.3. Description via l’anneau B ..................................... 152
4.1.4. Changement d’uniformisante ................................... 152
4.1.5. Changement de corps E ........................................ 152
4.2. L’espace de Banach Bϕh=πd vit dans les bivecteurs lorsque d≤h ... 153
SOCIÉTÉMATHÉMATIQUEDEFRANCE2018
x TABLE DES MATIÈRES
4.3. -modules π-divisibles ............................................... 155
O
4.3.1. Généralités et théorie de Dieudonné ............................ 155
4.3.2. Exemple ........................................................ 156
4.3.3. Quasi-logarithmes et leur interprétation rigide analytique ...... 160
4.4. Description de Bϕh=πd en termes de -modules π-divisibles lorsque
O
d≤h .............................................................. 163
4.5. Lien avec l’application des périodes d’un groupe p-divisible ......... 168
4.5.1. Un résultat de relèvement ...................................... 168
4.5.2. Interprétation de l’isomorphisme ( )−−∼→Bϕh=πd en termes
Gd,h OF
de quasi-logarithmes .......................................... 169
4.5.3. Application des périodes ........................................ 174
4.6. Espaces vectoriels formels et spectraux ............................. 178
4.6.1. E-espaces vectoriels formels .................................... 178
4.6.2. E-espacevectorielformelassociéàun -moduleformelπ-divisible
O
en caractéristique positive ..................................... 179
4.6.3. Relèvement canonique en caractéristique 0 ..................... 180
4.6.4. Espace vectoriel formel associé à un -module formel π-divisible
O
en inégales caractéristiques .................................... 181
4.6.5. Espaces spectraux .............................................. 183
4.6.6. Espaces de Banach spectraux associés aux espaces vectoriels
formels ........................................................ 192
4.6.7. Interprétation géométrique de l’application des périodes ........ 193
5. Courbes .................................................................. 197
Introduction ............................................................. 197
5.1. Généralités .......................................................... 197
5.2. Construction de courbes ............................................ 199
5.2.1. Anneaux presque euclidiens .................................... 199
5.2.2. Construction de courbes affines ................................. 200
5.2.3. Construction de courbes complètes ............................. 201
5.3. Fibrés vectoriels sur les courbes ..................................... 204
5.3.1. Classification par recollement ................................... 204
5.3.2. Opérations sur les fibrés en termes de données de recollement .. 205
5.4. Sur quelques courbes particulières ................................... 205
5.5. Filtrations de Harder-Narasimhan .................................. 207
5.5.1. Formalisme général ............................................. 207
5.5.2. Exemples ....................................................... 209
5.6. Classification de fibrés .............................................. 215
5.6.1. Classification des fibrés sur les sphères de Riemann ............ 215
5.6.2. Une remarque sur les fibrés de rang 2 .......................... 217
5.6.3. Opérations sur les fibrés ........................................ 219
5.6.4. Classification des fibrés sur les sphères de Riemann généralisées 224
ASTÉRISQUE406