Table Of ContentCourbes Alge´briques Planes
Alain Chenciner
Courbes Alge´briques
Planes
AlainChenciner
UniversitéParisVII
DépartementdeMathématiques
2,PlaceJussieu
75251ParisCedex05
France
and
AstronomieetSyste`mesDynamiques,
IMCCE77,
avenueDenfertRochereau,
75014Paris,
France
[email protected]
LibraryofCongressControlNumber:2007931602
MSC(2000):14-01,14H50,14H20
Premie`republication:PublicationsMathe´matiquesdel’Universite´ParisVII,1978
Ledessindelacouvertureestinspire´parunechore´graphiedetroiscorpsde´couverteparCarlesSimo´
ISBN978-3-540-33707-2SpringerBerlinHeidelbergNewYork
Tous droits de traduction, de reproduction et d’adaptation réservés pour tous pays. La loi du Il mars
1957interditlescopiesoulesreproductionsdestinéesàuneutilisationcollective.Toutereprésentation,
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oudesesayantscause,estilliciteetconstitueunecontrefaçonsanctionnéeparlesarticles425etsuivants
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(cid:1)c Springer-VerlagBerlinHeidelberg2008
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Table des matières
Préface ........................................................ ix
Introduction ................................................... 1
0 Courbesalgébriquesplanes................................... 3
1 Ensemblesalgébriquesaffines................................. 9
1.1 Polynômesàplusieursindéterminées:
premièrespropriétés ....................................... 9
1.2 Ensemblesalgébriquesaffines:
lethéorèmedeszéros ...................................... 12
1.3 Composantesirréductiblesd’unensemblealgébriqueaffine ...... 18
1.4 Idéauxayantunnombrefinidezéros ......................... 20
1.5 Morphismesd’ensemblesalgébriquesaffines .................. 25
1.6 Ensemblesalgébriquesaffinesirréductibles:
fonctionsrationnellesetanneauxlocaux ...................... 28
1.7 Localisation .............................................. 31
2 Courbesplanesaffines ....................................... 33
2.1 Sous-ensemblesalgébriquesdeK2 ........................... 33
2.2 Propriétésinvariantesparchangement
decoordonnéesaffines ..................................... 34
2.3 Pointsréguliers,pointssinguliers,multiplicités................. 35
2.4 Nombresd’intersections.................................... 38
3 Ensemblesalgébriquesprojectifs .............................. 43
3.1 L’espaceprojectifP (K) ................................... 43
n
3.2 Topologiedesespacesprojectifsréelsetcomplexes
depetitedimension ........................................ 44
3.3 Ensemblesalgébriquesprojectifsetidéauxhomogènes .......... 47
3.4 Traductionaffine projectif:
↔
homogénéisationetdéhomogénéisation ....................... 49
vi Tabledesmatières
4 Courbesprojectivesplanes: lethéorèmedeBézout .............. 53
4.1 Quelquesexemples ........................................ 53
4.2 LethéorèmedeBézout(1èredémonstration)................... 57
5 Lerésultant ................................................ 59
5.1 Théorieélémentairedurésultant ............................. 59
5.2 Résultantetnombresd’intersection .......................... 62
5.3 RésultantetthéorèmedeBézout ............................. 65
6 Pointdevuelocal:anneauxdesériesformelles .................. 67
6.0 Introduction .............................................. 67
6.1 Sériesformellesàuneindéterminée:premièrespropriétés ....... 73
6.2 Sériesformellesàplusieurs
indéterminées:premièrespropriétés.......................... 76
6.3 LethéorèmedepréparationdeWeierstrasspour
lessériesformelles ........................................ 78
6.4 Passagedesfractionsrationnellesauxsériesformelles:
séparécomplétéd’unanneau................................ 89
7 Anneauxdesériesconvergentes ............................... 93
7.1 Sériesentièresconvergentesauneindéterminée................ 93
7.2 Sériesentièresconvergentesàplusieursindéterminées .......... 97
7.3 Laméthodedessériesmajorantes ............................ 101
7.4 Lethéorèmedesfonctionsimplicitesetlethéorème
depréparationpourlessériesconvergentes
àplusieursindéterminées ................................... 104
7.5 Thèmed’étude............................................ 107
7.6 Envolée.................................................. 107
7.7 Lecture .................................................. 107
8 LethéorèmedePuiseux ...................................... 109
8.1 ParamétragesetpolygonedeNewton(casformel) .............. 109
8.2 FormulationduthéorèmedePuiseuxcomme
unthéorèmedeclôturealgébrique............................ 114
8.3 Application à l’étude des éléments irréductibles de
K((X)) Y , K X Y , K X,Y ............................ 116
[ ] [[ ]][ ] [[ ]]
8.4 Décompositiond’unpolynômedistinguéP K X Y
∈ [[ ]][ ]
suivantlescôtésdesonpolygonedeNewton .................. 120
8.5 Détectionlocaledesfacteursmultiples
d’unélémentdeK X,Y .................................... 123
[ ]
8.6 Résolutiondesproblèmesdeconvergence..................... 124
8.7 InterprétationtopologiqueduthéorèmedePuiseuxdans
lecadredelathéoriedesfonctionsanalytiquescomplexes ....... 128
Tabledesmatières vii
9 Théorielocaledesintersectionsdecourbes ...................... 133
9.1 Branches=places(oùonfaitlepointsurcequiaprécédé)....... 133
9.2 Intersectiond’unebrancheetd’unedroitepassantparl’origine ... 136
9.3 Intersectiondedeuxcourbesformelles........................ 138
Appendice Un critère de rationalité pour les séries formelles
àcoefficientsdansuncorps(d’aprèsBourbaki) .................. 143
Listed’exercicesetproblèmes..................................... 149
Problème1..................................................... 155
Problème2..................................................... 157
Index.......................................................... 159
Préface
Issud’uncoursdemaîtrisedel’UniversitéParis7,celivreestrepubliételqu’il
était paru en 1978, à la correction près de quelques phrases trop peu écrites dans
l’original.Ilétait,m’a-t-ondit,utileauxétudiantspréparantl’agrégationetc’estce
quim’adécidéàenproposerlarepublication.( ) JeremercieCatrionaByrned’avoir
∗
accueillicettepropositionavecsasourianteefficacité,SusanneDenskusd’enavoir
suivilaréalisationavecbonnehumeuretJainendraKJaind’enavoirassurélacom-
positionavecpatience.MerciàK.Venkatasubramanian(SPi,Inde)etEllenKattner
pour la dernière étape. Merci enfin à Carles Simó qui m’a autorisé à transformer
l’unedeses«chorégraphies»detroiscorpsenlepaisibleanimalquiveillesurla
couverture.
ÀParis
le29août2006
A.Chenciner
( )avecunclind’œilamicalàRaymondeLombardoqui,ilyapasmald’années,m’avait
∗
donné“ledernierexemplaire”agrémentéd’unejoliefleur.
Introduction
CesnotescorrespondentàuncoursdeC4quej’aienseignéàParisVIIetàNice
àpeudechosesprèscesontlesnotesquiontétédistribuéesauxétudiantsaujour
lejour.J’aipréféré(pourdebonnesetdemoinsbonnesraisons)conserverl’aspect
informeldutexteplutôtqu’écrireunmilleetunièmelivresurcesujet(cepourquoi
jenesuispascompétent).
L’idée du cours était de traiter un problème particulier (le théorème de Bézout
pour les courbes) et d’introduire à son propos certains outils permettant l’étude
globale et locale d’une courbe (par exemple : notions projectives, théorème de
préparationdeWeierstrass,théorèmedePuiseux,places,etc.).Lesseulesoriginalités
sontlesfiguresduchapitreIV(oùl’on“voit”queX3 Y3 Z3 0estuntore)et
+ + =
lepassagedePuiseuxformelàPuiseuxconvergent(oùleséclatementsapparaissent
naturellement). Les manques sont innombrables, ce qui n’empêche pas l’ensemble
d’êtretroplongpouruncoursd’1h30annuelle.
Trèsignorantaudépartencesmatières,j’ailargementprofitédelasciencede
mescollèguesetamis,enparticulierJ.Briançon,Y.Colombé,J.Emsalem,G.Jacob,
LêDu˜ngTráng1,M.LejeuneetB.Teissier.
AusoleilàNice
le25Mai1978
A.Chenciner
1quiadepluslemérite(!)denepasm’avoirlaisséenpaixjusqu’àcequej’aiefourni
lesdernièrescorrectionsdecetexte(auxquellesilad’ailleursparticipé).Sonefficaciténe
laissepasdem’inquiéter.
0
Courbes algébriques planes
Sous-ensemblesalgébriquesdeC
Danstoutcecours,lesanneauxconsidéréssontcommutatifsavecunité.
SoitK uncorps,I unensemble,etpourchaquei I,φ K X unpolynôme
i
∈ ∈ [ ]
àuneindéterminéeàcoefficientsdansK.Quepeut-ondiredel’ensemble
V((φ ) ) x K i I,φ (x) 0 ?
i i I i
∈ ={ ∈ |∀ ∈ = }
Toutd’abord,ona
V((φ ) ) V(J) x K f J,f(x) 0 ,
i i I
∈ = ={ ∈ |∀ ∈ = }
oùJ estl’idéaldeK X engendréparlesφ ,c’est-à-dire
i
[ ]
J f K X p N, i1,...,ip I, g1,...,gp K X ,
={ ∈ [ ]|∃ ∈ ∃ ∈ ∃ ∈ [ ]
f g φ g φ .
= 1 i1 +···+ p ip}
Contrairementauxapparences,nousavonsbeaucoupgagnéàaugmenterainsile
nombredeséquations.RappelonseneffetquesiK estuncorps,K X estunanneau
[ ]
principal : tout idéal J de K X est principal, c’est-à-dire engendré par un seul
[ ]
élément(ilsuffitdeprendreunélémentf J dedegréminimumetd’effectuerla
∈
divisioneuclidienneparf detouslesélémentsdeJ ; onnotealorsJ (f)).
=
Sif estungénérateurdel’idéalengendréparles(φ ) ,onobtient
i i I
∈
V((φ ) ) V(f) x K f(x) 0 .
i i I
∈ = ={ ∈ | = }
PourétudierV(f)ilfautmaintenantcomprendrelastructuredef ; commençons
parrappelerdeuxdéfinitions:
Définition0.0.1 –SoitAunanneauintègre(i.e.sansdiviseurdezéro); unélément
a Aestditirréductible(oupremier)sia 0,an’estpasuneunité(i.e.unélément
∈ (cid:6)=
inversible),etsichaquefoisquea bcavecb,c A,ouboucestuneunité.
= ∈
4 0 Courbesalgébriquesplanes
Définition0.0.2 –UnanneauAestditfactoriels’ilestintègreetsitoutélémenta
0 Aadmetuneunique1 factorisationenélémentsirréductibles: celasignifiequ’(cid:6)=il
∈
existeuneunitéuetdesélémentsirréductiblesp ,...,p telsquea up ,...,p ,
1 r 1 r
=
etquesia vq ,...,q estuneautrefactorisation,onar set,aprèspermutation
1 s
= =
éventuelledesindices,p u q oùlesu sontdesunités.
i i i i
=
Théorème0.0.3 –Unanneauintègreetprincipalestfactoriel.
Parexemple,Zestfactoriel.
Démonstration: Soit a 0 A n’admettant pas de factorisation en éléments
0
(cid:6)= ∈
irréductibles; enparticulier,a n’estpasirréductible,ets’écritdonca a a ,
0 0 1 ′1
= ·
oùnia nia n’estuneunitéetoùl’unaumoins,parexemplea ,n’admetpasde
1 ′1 1
factorisationenélémentsirréductibles; onconstruitainsiunesuiteinfinied’idéaux
distincts
(a0) (cid:1) (a1) (cid:1) (a2) (cid:1) ...
((a )désignel’idéaldeAengendrépara ).
0 0
Maisilestfaciledevoirqu’unetellesuitedevientstationnaireàuncranfinisiA
estprincipal,cequiestunecontradiction.
L’unicitévientd’unargumentbienconnudedivisibilité.(VoirLangp.71,72).
Corollaire0.0.4 –SiK estuncorps,K X estfactoriel
Sif u k fmi estunefactorisat[ion] enélémentsirréductibles,onvoitque
= i=1 i
(cid:1) k k
V(f) V(fmi) V(f ).
= i = i
i 1 i 1
(cid:2)= (cid:2)=
IlestenparticulierclairqueladonnéedeV(f)nepermetpasderetrouverf.Si
K R,l’exemplef(X) X2 1 R X montrequelasituationestdésespérée.
= = + ∈ [ ]
SurC,toutsepasselemieuxpossiblegrâceauthéorèmeded’Alembert–Gauss.Avant
d’énoncercedernier,énonçonsuneproposition(dontladémonstrationestlaisséeen
exercice).
Proposition0.0.5 –SoitKuncorps,lestroisassertionssuivantessontéquivalentes.
(a) ToutpolynômeF,dedegrésupérieurouégalà1,deK X admetuneracine
[ ]
dansK.
(b) ToutpolynômeirréductibledeK X estdedegré1.
[ ]
(c) Tout polynôme non constant de K X se décompose en un produit de-
[ ]
polynômesdedegré1.
Définition0.0.6 – On dit qu’un corps K est algébriquement clos s’il vérifie l’une
destroispropriétéséquivalentesci-dessus.
1Ilpeutyavoirexistencesansqu’ilyaitunicité: dansZ√ 5,onalesdeuxdécompo-
[ − ]
sitions6 2.3 (1 √ 5)(1 √ 5); cegenred’exempleestàlabasedelathéorie
= = + − − −
desidéauxdeKummer.
