Construction automatique de figures géometriques et programmation logique avec contraintes

225 Pages·2016·1.43 MB·French

by  Denis Bouhineau

Construction automatique de figures géometriques et
programmation logique avec contraintes
Denis Bouhineau
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Denis Bouhineau. Construction automatique de figures géometriques et programmation logique avec
contraintes. Autre [cs.OH]. Université Joseph-Fourier - Grenoble I, 1997. Français. ￿NNT: ￿. ￿tel-
00004922￿
HAL Id: tel-00004922
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Pour obtenir le titre de Docteur
de l’Universit(cid:142) Joseph Fourier-Grenoble I
(sp(cid:142)cialit(cid:142) informatique)
(Arr(cid:144)t(cid:142) minist(cid:142)riel du 5 Juillet 1984 et du 30 Mars 1992)
Construction automatique
de figures g(cid:142)om(cid:142)triques
&
Programmation Logique avec Contraintes.
Th(cid:143)se soutenue par
Denis Bouhineau
le 17 Juin 1997
Composition du jury :
Jacques Cohen
Patrice Enjalbert
Paul Jacquet
Jean-Marie Laborde
Dominique Michelucci
Jean-Fran(cid:141)ois Nicaud
Laurent Trilling
Th(cid:143)se pr(cid:142)par(cid:142)e au sein du laboratoire Logiciels Syst(cid:143)mes R(cid:142)seaux
de l’institut d’Informatique et de Math(cid:142)matiques Appliqu(cid:142)es de Grenoble.

Table des mati(cid:143)res
I. Observations sur l’univers de la g(cid:142)om(cid:142)trie (cid:136) la r(cid:143)gle et au compas, en vue de sa
mise en ˇuvre automa tique..............................................................17
I-1. Preuves, transformations, constructions, et alg(cid:143)bre en g(cid:142)om(cid:142)trie˚: ˚Petite
histoire de quelques g(cid:142)om(cid:142) tries....................................................19
a) La g(cid:142)om(cid:142)trie qui d(cid:142)buta avec Euclide : Les g(cid:142)om(cid:142)tries synth(cid:142)tiques ......19
Euclid e...........................................................................19
Hilbert ...........................................................................21
Lobachevsk y....................................................................22
b) La g(cid:142)om(cid:142)trie avec et apr(cid:143)s Descartes˚: Les g(cid:142)om(cid:142)tries analytiques ........23
Descartes ........................................................................23
Klein .............................................................................23
Tarsky ...........................................................................24
Wu 24
c) La g(cid:142)om(cid:142)trie du jardinier et de l’astronome˚: g(cid:142)om(cid:142)tries des
constructions. ...................................................................26
d) La g(cid:142)om(cid:142)trie pour l’informaticien ? g(cid:142)om(cid:142)trie des nombres
constructibles. ..................................................................29
I-2. Les nombres constructibles: histoire et math(cid:142)matiques. .......................33
a) Section pr(cid:142)alable : d(cid:142)finitions et propri(cid:142)t(cid:142)s des points et nombres
constructibles (cid:136) la r(cid:143)gle et au compas. .......................................33
Constructibilit(cid:142) g(cid:142)om(cid:142)trique. .................................................33
Nombres constructibles. ......................................................34
b) Histoire et r(cid:142)sultats sur les nombres constructibles. .........................37
c) Introduction de la notion de complexit(cid:142) alg(cid:142)bri que...........................39
Constructions avec des droites. ..............................................40
Constructions avec des cercles. ..............................................41
Construction d’un triangle (cid:142)quilat (cid:142)ral........................................42
Les polygones r(cid:142)guliers. ......................................................43
I-3. Constructions g(cid:142)om(cid:142)triques (cid:142)l(cid:142)mentaires, nombres constructibles et
complexit(cid:142). ...........................................................................47
a) Constructions rationnelles. ......................................................48
D(cid:142)finitio n........................................................................48
Constructions rationne lles.....................................................49
Milieu. .....................................................................49
Autres constructions rationnelles .......................................51
b) Constructions g(cid:142)om(cid:142)triques non-rationne lles.................................52
c) R(cid:142)capitulatif des constructions rationnelles et non-rationnelles. ............55
d) Sp(cid:142)cifications g(cid:142)om(cid:142)triques et complexit(cid:142). ...................................56
I-4. (cid:131)tude pratique de la complexit(cid:142) de quelques situations g(cid:142)om(cid:142)triques
courantes, d’un ensemble de 512 th(cid:142)or(cid:143)mes de g(cid:142)om(cid:142)trie et de situations
arbitrairement complexes. ..........................................................59
a) (cid:131)tude de quelques situations particuli(cid:143)res. ....................................59
G(cid:142)om(cid:142)trie projective, affine ou (cid:136) la r(cid:143)gle et avec outils rationnels. ......59
Autour du cercle des neufs points. ...........................................60
Autour du probl(cid:143)me de Napol(cid:142)on. ...........................................61
b) (cid:131)tude de 512 th(cid:142)or(cid:143)mes. ........................................................63
La source : les 512 th(cid:142)or(cid:143)mes regroup(cid:142)s par Shang-Ching Chou ........63
Complexit(cid:142) alg(cid:142)brique de 512 th(cid:142)or(cid:143)mes. ..................................64
Analyse des r(cid:142)sul tats...........................................................66
(cid:131)l(cid:142)ments d’explica tion.........................................................68
c) Quelques cas de figures complexes, et arbitrairement complexes d’un
point de vue alg(cid:142)brique, Spirales. ............................................69
Spirales Rationnelles ..........................................................70
Spirales irrationne lles..........................................................71
II. Le paradigme CLP(G(cid:142)om(cid:142) trie)...........................................................77
II-1. CLP - d(cid:142)finition d’un paradigme de programmat ion...........................79
a) Contraintes et Programmation Logique˚: petite histoire des
contributions (cid:136) la Programmation Logique avec Contraintes. ............79
Programmation Logique (Prol og)............................................80
Programmation par contraintes. ..............................................82
Pr(cid:142)misses de la programmation logique avec contraintes. ................82
b) Le paradigme de programmation˚: CLP. .....................................83
Histoire contempora ine........................................................83
Programmation C LP...........................................................84
Contraintes num(cid:142)riques. ......................................................85
Environnement. ................................................................85
Exemple. ........................................................................87
c) Quelques exemples de langages CLP. .........................................87
II-2. CLP (G(cid:142)om(cid:142)trie) : d(cid:142)finition du domaine. ......................................89
a) D(cid:142)finition d’un domaine et tentative de repr(cid:142)sentat ion.......................89
b) Repr(cid:142)sentation (cid:136) l’aide d’une structure na(cid:149)ve. ................................90
Notation. ........................................................................92
Addition et soustraction. ......................................................92
Multiplication et division. .....................................................93
Extraction d’une racine carr(cid:142)e (provisoire). ................................94
Ordre et (cid:142)galit(cid:142). ................................................................94
Commentaires. .................................................................94
c) Repr(cid:142)sentation normale du domaine et arithm(cid:142)tique associ(cid:142) e...............96
Repr(cid:142)sentation normale. ......................................................96
Arithm(cid:142)tique. ..................................................................100
d) Extensibilit(cid:142) du domaine. ......................................................101
Propositions ...................................................................101
Mise en place. .................................................................101
Exemple. .......................................................................102
e) Complexit(cid:142) de la repr(cid:142)sentation et de l’arithm(cid:142)tique associ(cid:142) e..............103
Conclusion de ce chap itre :........................................................104
II-3. CLP (G(cid:142)om(cid:142)trie) : algorithme de satisfaction de syst(cid:143)mes de contraintes. .107
a) Algorithme na(cid:149)f de r(cid:142)solution de syst(cid:143)mes d’(cid:142)quations non-lin(cid:142)aires. ...108
Exemples .......................................................................109
Commentaires. ................................................................110
b) Algorithme de r(cid:142)solution de syst(cid:143)mes de contraintes quadratiques. ......110
Algorithme .....................................................................112
Complexit(cid:142), correction et compl(cid:142)tude. .....................................112
c) Recherche de relations lin(cid:142)aires. ..............................................113
d) Algorithme d’(cid:142)limination de Gauss et nombres constructibles. ...........115
R(cid:142)solution d’un syst(cid:143)me lin(cid:142)aire sur les nombres constructibles. ......115
Correction et compl(cid:142)t ude.....................................................117
e) Compl(cid:142)tude g(cid:142)om(cid:142)trique. ......................................................118
Compl(cid:142)tude pour les sp(cid:142)cifications construct ives.........................118
Compl(cid:142)tude pour les constructions sans ajouts. ..........................120
II-4. R(cid:142)sulta ts............................................................................123
a) Repr(cid:142)sentation des figures g(cid:142)om(cid:142)triq ues.....................................123
Langage g(cid:142)om(cid:142)trique. ........................................................124
Repr(cid:142)sentation alg(cid:142)bri que....................................................124
Choix de la grille. .............................................................125
Sp(cid:142)cification d’une fig ure....................................................125
b) Figures g(cid:142)om(cid:142)triques o(cid:157) l’algorithme est complet. ........................126
Probl(cid:143)mes lin(cid:142)aires. .........................................................127
Sp(cid:142)cifications constructi ves................................................. 128
c) R(cid:142)sultats positifs. ..............................................................130
Segment port(cid:142) par deux droites connaissant son milieu. ................130
Cercle passant par 3 points donn(cid:142)s. .......................................130
Triangle (cid:142)quilat(cid:142)ral (cid:136) partir d’un sommet et de son centre de gravit(cid:142) g. 131
Cas 1. ....................................................................131
Cas 2. ....................................................................132
Triangle insc rit................................................................ 132
d) R(cid:142)sultats n(cid:142)ga tifs............................................................... 133
Probl(cid:143)mes ard us.............................................................. 133
Probl(cid:143)mes "faciles" ..........................................................133
Triangle rectangle isoc(cid:143)le .............................................. 134
e) R(cid:142)capitulatif pour le triangle et ses (cid:142)l(cid:142)ments caract(cid:142)ristiques. ............134
Triangle et orthocentre. ......................................................135
Triangle et centre de gravit(cid:142). ................................................ 135
Triangle et cercle circonscrit. ............................................... 136
Une (cid:142)tude plus large. ........................................................137
III. Applicatio ns.............................................................................. 141
III-1. Simplification d’expressions arithm(cid:142)tiques avec racines carr(cid:142)es pour le
calcul formel. ...................................................................... 143
a) Repr(cid:142)sentation d’expressions avec racines carr(cid:142)es en calcul formel ..... 143
Modes de repr(cid:142)sentation d’une suite. ......................................143
(cid:131)valuation d’une formule bool(cid:142)e nne.......................................145
b) Algorithme de simplification, exemples. ....................................146
c) Comparaison avec l’algorithme de simplification de Borodin, Fagin,
Hopcroft et Tompa. ..........................................................147
III-2. V(cid:142)rification de contraintes redondantes en g(cid:142)om(cid:142)trie. ...................... 149
a) Aspect alg(cid:142)bri que...............................................................149
Arithm(cid:142)tique exacte. .........................................................149
Arithm(cid:142)tique usuelle. ........................................................150
Arithm(cid:142)tiques (cid:142)volu(cid:142)es. .....................................................150
b) Aspect g(cid:142)om(cid:142)trique : Recherche d’une construction rationnelle. .........151
Point sur cercle. ..............................................................152
Inverse par rapport au cercle. ............................................... 153
Bissectric e..................................................................... 154
Intersection avec un cercle. ................................................. 155
R(cid:142)sultats .......................................................................156
III-3. D(cid:142)monstration num(cid:142)rique exacte de th(cid:142)or(cid:143)mes de g(cid:142)om(cid:142)trie. ............. 159
a) M(cid:142)thodes de d(cid:142)monstrations automatiq ues..................................160
D(cid:142)monstrations automatiques alg(cid:142)briques : Wentsun W u...............160
D(cid:142)monstrations automatiques num(cid:142)riques : Hong. ...................... 162
b) M(cid:142)thodologie de d(cid:142)monstration automatique par (cid:142)valuation num(cid:142)rique
exacte. ......................................................................... 165
Majoration de la forme du reste R((cid:201)). ....................................165
Choix d’un cas particulier unique pour effectuer la transposition de la
preuve alg(cid:142)brique (cid:136) une (cid:142)valuation num(cid:142)riq ue...................... 167
c)V(cid:142)rification de contraintes num(cid:142)riques redondantes. ....................... 168
d) D(cid:142)monstration de th(cid:142)or(cid:143)mes significatifs. ..................................168
Th(cid:142)or(cid:143)me de l’orthocentre .................................................. 168
Th(cid:142)or(cid:143)me du centro(cid:149)de. .....................................................169
Th(cid:142)or(cid:143)me de Pap pus......................................................... 170
Th(cid:142)or(cid:143)me de Simson. .......................................................172
III-4. Environnements informatis(cid:142)s d’apprentissage humain de la g(cid:142)om(cid:142)trie ....175
a) Environnements informatis(cid:142)s imp(cid:142)ratifs ou d(cid:142)claratifs d’apprentissage
humain de la g(cid:142)om(cid:142)trie. ......................................................176
Exemples .......................................................................177
R(cid:142)solution d’un probl(cid:143)me de construction en utilisant la m(cid:142)thode
des lieux. ............................................................177
Autour de la d(cid:142)monstration d’un th(cid:142)or(cid:143)me, illustration d’une
notion de hi(cid:142)rarchie de classes de figures .......................179
Transformations du plan, invariants et boites noires. ...............181
Vers une approche d(cid:142)clarative. ..............................................182
G(cid:142)om(cid:142)trie des animations et g(cid:142)om(cid:142)trie d(cid:142)clarative. .................182
Statut d’un objet dans une figure dynamique ........................183
Description du syst(cid:143)me. ................................................184
b) G(cid:142)n(cid:142)ration d’exemples et de contre-exemples g(cid:142)om(cid:142)triques dans un
"pr(cid:142)ceptoriel". .................................................................185
Production de contre-exem ples..............................................186
Exemples .......................................................................189
c) R(cid:142)alisation d’un environnement de dessin g(cid:142)om(cid:142)trique (cid:136) main lev(cid:142)e .....192
Acquisition d’un dessin r(cid:142)alis(cid:142) interactivement par l’utilisateur. ........193
Inf(cid:142)rence automatique d’une sp(cid:142)cification logique (cid:136) partir du dessin
propos(cid:142). ..................................................................193
Conclusion g(cid:142)n(cid:142)rale du manuscrit ..........................................................197
Bibliographi es.................................................................................201
Bibliographie personn elle:..............................................................201
Bibliographie internationale: ...........................................................202
Bibliographie loca le :....................................................................211
Annexe s........................................................................................212
- Annexe 1-...............................................................................212
- Annexe 2-...............................................................................213
- Annexe 3-...............................................................................213
- Annexe 4-...............................................................................217
- Annexe 5-...............................................................................218
- Annexe 6-...............................................................................219
Remerciements
Les quelques ann(cid:142)es pass(cid:142)es au sein de l’(cid:142)quipe PLIAGE ont (cid:142)t(cid:142) plac(cid:142)es sous le signe de
l’enthousiasme, celui de Laurent Trilling, bien s(cid:158)r, et sous le signe de la bonne humeur qui
r(cid:143)gne autour de lui. C’est donc en premier (cid:136) lui et (cid:136) tous ceux que j’ai fr(cid:142)quent(cid:142) ces derni(cid:143)res
ann(cid:142)es que j’adresse mes remerciements les plus sinc(cid:143)res. C’est avec confiance que je leur
transmet mon travail et les encourage (cid:136) continuer dans la r(cid:142)alisation d’environnements
d’enseignement de la g(cid:142)om(cid:142)trie et la promotion de la programmation logique : St(cid:142)phane
Channac, Pierre Ostier, Edmundo Palacios, Pascal Coste, Paul Amblard, Michel Levy, Jeanne
Paumier-Idt, G(cid:142)rard Vivier.
Je n’oublie pas les stagiaires avec qui j’ai travaill(cid:142), ceux qui ont quitt(cid:142) l’(cid:142)quipe PLIAGE
et plus g(cid:142)n(cid:142)ralement tous ceux, en commen(cid:141)ant par Paul Jacquet, directeur du LSR, l’(cid:142)quipe
administrative et technique, auxquels mon travail est redevable : Cyrille Desmoulins, Pierre
Bourgeois, B(cid:142)atrice Poyet, Christophe Garcia, Florence N(cid:142)bon, Patrick Lixi, Lilianne Di
Giacomo, Martine Pernice, Fran(cid:141)ois Challier, Bernard Martinet.
Je remercie (cid:142)galement les membres de mon jury d’avoir accept(cid:142) d’(cid:142)valuer mon travail et
de leur indulgence quant (cid:136) ses faiblesses. En particulier, je remercie Jacques Cohen,
Dominique Michelucci et Patrice Enjalbert pour leur lecture critique du manuscrit et les
nombreux commentaires qu’ils en ont tir(cid:142), me permettant ainsi d’en am(cid:142)liorer autant la forme
que le fond.
Enfin, je remercie la communaut(cid:142) Cabri et au del(cid:136) les membres du groupe EIAO du PRC-
IA, dont Jean-Fran(cid:141)ois Nicaud, Martial Vivet et Nicolas Balacheff, pour leur d(cid:142)vouement dans
un domaine important (cid:136) mes yeux. Et, finalement je tiens (cid:136) remercier (cid:142)nergiquement Jean-Marie
Laborde sans qui Cabri et, accessoirement, la quasi-totalit(cid:142) des dessins de ce manuscrit ne
seraient pas.
¸ ma famille et (cid:136) Evelyne je t(cid:142)moigne tout mon attachement.

Introduction g(cid:142)n(cid:142)rale du manuscrit.
Cadre
˚
Le travail que nous pr(cid:142)sentons se situe (cid:136) l’intersection de trois domaines au moins˚: la
g(cid:142)om(cid:142)trie, l’enseignement et l’informatique.
Le premier remonte (cid:136) la Gr(cid:143)ce antique, c’est la g(cid:142)om(cid:142)trie. Elle suscite (cid:136) nouveau un
int(cid:142)r(cid:144)t d(cid:158) (cid:136) des consid(cid:142)rations informatiques. Le renouveau de la g(cid:142)om(cid:142)trie nous int(cid:142)resse sur
deux points. Le premier point est l’av(cid:143)nement des premiers d(cid:142)monstrateurs automatiques de
th(cid:142)or(cid:143)mes utilisables en g(cid:142)om(cid:142)trie. Depuis 1988, avec la d(cid:142)monstration par Chang-Shing Chou
de 512 th(cid:142)or(cid:143)mes de g(cid:142)om(cid:142)trie, le domaine de la d(cid:142)monstration automatique propose des outils
r(cid:142)alistes et efficaces. Le second point est li(cid:142) (cid:136) l’enseignement de la g(cid:142)om(cid:142)trie, ce qui permet un
encha(cid:148)nement vers le second domaine qui nous int(cid:142)resse.
Depuis 1986, des projets, tels que le projet IMAG1 CABRI-G(cid:142)om(cid:143)tre initi(cid:142) par Jean-
Marie Laborde, ont d(cid:142)fini ce que pourrait (cid:144)tre un CAhier de BRouillon Informatique pour
l’enseignement de la g(cid:142)om(cid:142)trie. Ce "Brouillon" se r(cid:142)v(cid:143)le (cid:144)tre un v(cid:142)ritable succ(cid:143)s. L’apport de
CABRI-G(cid:142)om(cid:143)tre est double. D’une part, il introduit la notion de manipulation directe pour les
figures g(cid:142)om(cid:142)triques. Une figure construite avec CABRI-G(cid:142)om(cid:143)tre peut (cid:144)tre anim(cid:142)e en "tirant"
sur les points caract(cid:142)ristiques de la construction. L’ensemble de la figure est reconstruit en
temps r(cid:142)el en respectant la sp(cid:142)cification initiale de la construction. D’autre part, pour
l’enseignement, CABRI-G(cid:142)om(cid:143)tre d(cid:142)finit un nouveau paradigme, la "g(cid:142)om(cid:142)trie dynamique".
Cette nouvelle g(cid:142)om(cid:142)trie qui s’int(cid:142)resse aux animations des figures g(cid:142)om(cid:142)triques, nous semble
d’une tr(cid:143)s grande richesse p(cid:142)dagogique. Elle permet la d(cid:142)finition, l’observation et l’utilisation
des notions g(cid:142)om(cid:142)triques d(cid:142)licates d’invariant, de classe de figures et de lieu de points.
Le sujet concern(cid:142) par l’informatique c’est la Programmation Logique avec Contraintes
telle que l’ont d(cid:142)finie Jean-Louis Lassez, Jaxon Joffar, Alain Colmerauer, Jacques Cohen,
William Older et d’autres encore(cid:201)(PLC ou CLP, acronyme pour Constraints Logic
Programming). Issue de travaux r(cid:142)cents des ann(cid:142)es 1980, la programmation logique avec
contraintes apporte (cid:136) la programmation logique (Prolog) la puissance qui lui manquait pour les
traitements num(cid:142)riques. L’ambition de ce nouveau paradigme de programmation est la
d(cid:142)finition d’un cadre de programmation le plus d(cid:142)claratif possible. Notons (cid:142)galement que c’est
l’un des environnements de programmation qui comporte le plus d’intelligence, ce qui laisse la
libert(cid:142) au programmeur d’exercer son intelligence ailleurs. Ainsi, la gestion de la m(cid:142)moire lui
est (cid:142)pargn(cid:142)e et il peut se consacrer, dans certains cas, (cid:136) l’(cid:142)tude d’heuristiques.
Le cadre de notre travail est constitu(cid:142) par l’intersection de ces trois domaines. Cette
intersection n’est pas vide. CABRI-G(cid:142)om(cid:143)tre en fait d(cid:142)j(cid:136) partie.
1 IMAG = Informatique et Math(cid:142)matiques Appliqu(cid:142)es de Grenoble