Conjuntos, lógica y funciones

236 Pages·2019·14.939 MB·Spanish

by  Manuel López Mateos

M M
L
EDITOR
2019
anuel ópez ateos
M L M
Matemáticas para Todo
anuel ópez ateos
M L M
CONJUNTOS,
y
LÓGICA
FUNCIONES
segunda edición
M M
L
EDITOR
2019
Matemáticas para Todo
1
. Conjuntos y lógica
1
b. Conjuntos, lógica y funciones
2
. Conjuntos, lógica y funciones (segunda edición)
Segundaedicióndigital,2019
(cid:13)c2019ManuelLópezMateos
Matamoross/n
PrimeraSección
Sta.Ma.Xadani,Oaxaca
C.P.70125
México
Informaciónparacatalogaciónbibliográfica:
LópezMateos,Manuel.
Conjuntos,lógicayfunciones/ManuelLópezMateos—2aede-book.
xiv–222p.cm.
1. Matemáticas 2. Resolución de problemas 3. Nivel básico 4. Análisis
matemático 5. Conjuntos 6. Lógica. 7. Funciones. López Mateos, Ma-
nuel,1945–II.Título.
Todoslosderechosreservados.Quedaprohibidoreproducirotransmitir
todoopartedeestelibro,encualquierformaoporcualquiermedio,elec-
trónicoomecánico,incluyendofotocopia,grabadoocualquiersistemade
almacenamientoyrecuperacióndeinformación,sinpermisodeManuel
LópezMateos.
ProducidoenMéxico
https://clf.mi-libro.club
aportación voluntaria
Índice general
Introducción viii
Matemáticas básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . viii
eorge ólya
El señor G P . . . . . . . . . . . . . . . . . x
¿Cómo está la cosa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
¿De qué se trata? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xii
1 El lenguaje de los conjuntos 1
11 1
. . Estar o no estar . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Descripción y listas . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Complemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12 12
. . Contención e igualdad . . . . . . . . . . . . . .
15
Propiedades de la contención . . . . . . . . . .
20
Propiedades de la igualdad . . . . . . . . . . .
13 23
. . Intersección y unión . . . . . . . . . . . . . . .
26
Propiedades de la intersección . . . . . . . . .
29
Propiedades de la unión . . . . . . . . . . . . .
31
Leyes distributivas . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Leyes de absorción . . . . . . . . . . . . . . . .
14 e organ 33
. . Leyes de D M . . . . . . . . . . . . . . .
15 35
. . Diferencia y diferencia simétrica . . . . . . . .
16 38
. . Álgebra de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . .
2 Elementos de lógica 44
21 44
. . Verdadero o falso . . . . . . . . . . . . . . . . .
22 47
. . Todo o nada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
ndice general
Í
23 50
. . Conjunción y disyunción . . . . . . . . . . . . .
24 57
. . Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
Propiedades de la conjunción . . . . . . . . . .
59
Propiedades de la disyunción . . . . . . . . . .
60
Leyes distributivas . . . . . . . . . . . . . . . .
61
Leyes de absorción . . . . . . . . . . . . . . . .
25 e organ 62
. . Leyes de D M . . . . . . . . . . . . . . .
26 64
. . Implicación y bicondicional . . . . . . . . . . .
27 72
. . Álgebra de proposiciones . . . . . . . . . . . .
3 ¿Cómo razonar? 79
31 79
. . Tautología y contradicción . . . . . . . . . . . .
32 84
. . Reglas de inferencia . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Lógica y conjuntos 92
41 92
. . Proposiciones abiertas . . . . . . . . . . . . . .
42 97
. . Para toda(o) y Existe . . . . . . . . . . . . . . . .
43 uler enn 103
. . Diagramas de E y de V . . . . . . . . .
eibniz 104
L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
uler 105
E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
enn 107
V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
uler enn 112
E y V . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44 122
. . Lógica, conjuntos y diagramas . . . . . . . . .
5 Relaciones 131
51 131
. . Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . .
52 135
. . Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53 146
. . Particiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Funciones 151
61 151
. . Definición de función . . . . . . . . . . . . . . .
62 160
. . Función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63 163
. . Composición de funciones . . . . . . . . . . . .
6.4. El conjunto vacío, ∅ . . . . . . . . . . . . . . . . 166
65 170
. . Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
Índice general
Solución a los problemas 176
Bibliografía 206
Índice alfabético 211
Símbolos y notación 218
vii
Introducción
Matemáticas básicas
La matemática, además de una muy compleja disciplina abs-
tracta con gran impacto en las ciencias y la tecnología, es una
gran herramienta para resolver los problemas que se presen-
tan en nuestra vida cotidiana, ya sea en el ámbito profesional
o en el doméstico, ya sea en el ámbito personal o de alguna
comunidad, ya sea participando en la planificación y optimi-
zación de recursos o participando en la toma de decisiones.
Conforme nos familiarizamos con los aspectos básicos de
las matemáticas mejoramos la educación de nuestro sentido
común,locualsignificaquecuandosenosocurrealgoseaalgo
sensato. Así, en lugar de actuar a lo loco o decir cualquier cosa
ante una situación problemática, en la toma de una decisión,
al opinar sobre una acción o al estimar sobre un costo, nues-
tra opinión sea una opinión educada, una opinión autorizada
por el hecho de que sopesamos la situación sobre la que opi-
namos. Es decir, nos vamos entrenando para visualizar una
situación y emitir nuestra opinión tomando en cuenta sus
diversos aspectos.
Naturalmente, mientras más complejas sean las situacio-
nes en que nos veamos involucrados, requeriremos de fami-
liarizarnos con aspectos más avanzados de las matemáticas.
Con las matemáticas básicas, las que forman parte de los
planes y programas de estudio de la escuela primaria, la se-
viii
Matemáticas básicas
cundaria y el bachillerato, podemos atacar multitud de pro-
blemas de las más diversas áreas.
ceneval
Si examinamos, por ejemplo, la , Guía del examen
nacionaldeingresoalposgrado2016(EXANI-III)paraelexamen
utilizado en procesos de admisión de aspirantes a cursar es-
tudios de especialidad, maestría o doctorado en la Repúbli-
1
ca Mexicana , veremos que las matemáticas requeridas son
prácticamente las de la escuela primaria y secundaria, aun-
que usadas de diferente manera a como se enseñan.
Aunque las matemáticas requeridas en el Exani-III son las
quecualquierprofesionistadeberíasaber,esdecir,lasdebería
dominar cualquier egresado de una licenciatura, cualquiera
que ésta sea, sucede que no es así. Multitud de personas van
eligiendo su camino académico esquivando las matemáticas,
terminan su licenciatura y ¡oh sorpresa! para entrar al pos-
grado se exige que dominen todo aquello que han tratado de
olvidar.
Capacitarse para hacer de las matemáticas una herra-
mienta práctica y usarla como si fuera un lápiz no es
difícil, se requieren dos cosas, la primera es de carác-
ter técnico: hay que manejar las operaciones elemen-
tales, es decir la suma, resta, multiplicación y división
de enteros, quebrados y decimales, y la segunda es de
actitud: abrir la mente, darse a entender y entender al
otro, escuchar la crítica y saber opinar de manera críti-
ca. Con estas dos condiciones estaremos en capacidad
de iniciar el estudio de los aspectos de las matemáticas
que usamos para resolver problemas. Ahora bien, hay
unaterceracondición,comoentodaactividad,parado-
minarla hay que practicar.
1 Guía del examen nacional de ingreso al posgrado 2016 (EXANI-III). 13a
edición.México.Ceneval,2015.p.5.
ix
ntroducción
I
El señor George Pólya
eorge ólya
¿Qué significa resolver un problema? Según G P ,
“resolverunproblemasignificahallarunamaneradesuperar
una dificultad, o rodear un obstáculo, para lograr un objetivo
2
que no podía obtenerse de inmediato” .
¿Cómo resolver problemas? En su popular obra How to
eorge olya
Solve It (Cómo resolverlo), G P propone un méto-
do, llamado de los cuatro pasos, para resolver problemas:
1
. Comprender el problema: ¿Qué nos están preguntan-
do?, ¿Cuál es la incógnita? ¿A qué pregunta debemos
responder? ¿Podemos expresar el problema con nues-
tras propias palabras?
2
. Trazar un plan: Escoger una estrategia, hay multitud:
Buscar un patrón, resolver una ecuación, trazar un dia-
grama,hacerunatablaounalista,analizaruncasomás
sencillo, hacer un modelo algebraico, proponer y recti-
ficar (ir atinándole), o alguna otra.
3
. Llevar a cabo el plan: Una vez decidida la estrategia
hay que realizarla, que llevarla a cabo, es importante
actuar conforme lo hayamos planeado.
4
. Revisarelresultado:¿Seguimoselplan,realizamosbien
las cuentas?, ¿La respuesta es sensata, cumple todas las
condiciones solicitadas?, ¿No hay otros resultados po-
sibles?, ¿El método de solución se aplica a otros casos
parecidos o más generales?
Hay muchas recomendaciones a partir de los famosos
cuatro pasos. Una recopilación importante la pueden encon-
illstein ibeskind ott
trar en B , L y L , MATEMÁTICAS: Un
2
Pólya, G. Mathematical Discovery, Combined Edition. New York. John
Wiley&Sons,Inc.,1981.p.ix
x