Table Of ContentА. В. КОВАЛЕНКО,
А. М. УЗДЕНОВА,
М. Х. УРТЕНОВ,
В. В. НИКОНЕНКО
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
ФИЗИКОХИМИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ В СРЕДЕ
COMSOL MULTIPHYSICS
5.2
Допущено
НМС по математике Министерства образования
и науки РФ в качестве учебного пособия
по направлениям подготовки:
«Прикладная математика и информатика»
по программе 02 — «Математическое моделирование»,
«Информатика и вычислительная техника»,
профиль подготовки «Математическое моделирование,
численные методы и комплексы программ»
САНКТПЕТЕРБУРГ
МОСКВА
КРАСНОДАР
2022
ББК 30в6я73
К 56
Коваленко А. В., Узденова А. М.,
Уртенов М. Х., Никоненко В. В.
К56 Математическое моделирование физикохимических
процессов в среде COMSOL Multiphysics 5.2: Учебное пособие.—
СПб.: Издательство «Лань», 2022.— 228с.: ил.— (Учебники
для вузов. Специальная литература).
ISBN 9785811425129
Изложены основы математического моделирования физикохимиче
ских процессов с использованием программной среды моделирования
научнотехнических задач COMSOL Multiphysics 5.2. Рассмотрено
моделирование таких сложных и актуальных явлений, как электро
конвекция, гравитационная конвекция и др. Проводится исследование как
известных, так и новых моделей, разработанных авторами пособия.
Книга предназначена для студентов вузов, обучающихся по
направлениям подготовки «Прикладная математика и информатика»,
«Информатика и вычислительная техника», а также для аспирантов,
преподавателей и научных сотрудников, занимающихся математическим
моделированием и мембранной электрохимией.
ББК 30в6я73
Рецензенты:
А. В. ПАВЛОВА — доктор физикоматематических наук, доцент, профессор
кафедры математического моделирования Кубанского государственного
университета;
А. А. ХАЛАФЯН — доктор технических наук, доцент, профессор кафедры
прикладной математики Кубанского государственного университета.
Îáëîæêà
Е. А. ВЛАСОВА
Охраняется Законом РФ об авторском праве.
Воспроизведение всей книги или любой ее части
запрещается без письменного разрешения издателя.
Любые попытки нарушения закона
будут преследоваться в судебном порядке.
© Издательство «Лань», 2022
© Коллектив авторов, 2022
© Издательство «Лань»,
художественное оформление, 2022
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное учебное пособие используется в учебном процессе в
соответствии с ФГОС ВО по направлению подготовки 01.04.02 «При-
кладная математика и информатика» по программе 02 «Математиче-
ское моделирование», утвержденному приказом Минобрнауки России
от 22.12.2009 № 780, и примерной ООП на следующих дисциплинах:
«Математические модели мембранной электрохимии», «Электро-
химическая гидродинамика», «Математические модели тепломас-
сопереноса» первого и второго курса магистратуры, а также по
направлению подготовки кадров высшей школы 09.06.01 «Информа-
тика и вычислительная техника», профиль подготовки 05.13.18
«Математическое моделирование, численные методы и комплексы
программ», на дисциплинах: «Математические методы и модели
нанотехнологий», «Компьютерное моделирование в задачах гидроди-
намики» второго и третьего курса аспирантуры. Обеспечивает
способность у обучающихся к теоретико-методологическому анализу
проблем моделирования сложных систем физико-химических процес-
сов; формирование компетенций при разработке моделей различных
физико-химических процессов.
Использование данного учебного пособия базируется на
математической подготовке студентов, полученной при прохождении
ООП бакалавриата по направлению подготовки 01.03.02 «Прикладная
математика и информатика», а также на знаниях, полученных в
рамках дисциплин математического и естественнонаучного цикла
ООП бакалавриата по направлению подготовки 01.03.02 «Прикладная
математика и информатика».
Для успешного использования данного учебного пособия
необходимы знания, умения и компетенции, приобретаемые при
изучении следующих дисциплин: математический анализ, дифферен-
циальные уравнения, функциональный анализ, языки программи-
рования, уравнения математической физики, численные методы и
пакеты прикладных программ в рамках дисциплин математического и
естественнонаучного цикла ООП бакалавриата по направлению
подготовки 01.03.02 «Прикладная математика и информатика».
Целью данного учебного пособия является развитие профес-
сиональных компетентностей приобретения практических навыков в
моделировании задач физико-химических процессов, реализующих
инновационный характер в высшем образовании.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты 13-08-96519,
13-08-96525, 13-08-93105, 13-08-93106, 13-08-00464, 16-08-00128 А).
3
ВВЕДЕНИЕ
Неотъемлемой частью современных физико-химических исследо-
ваний является математическое моделирование. К математическому
моделированию прибегают в тех случаях, когда явление или объект
таковы, что их натурное исследование невозможно, и реальное иссле-
дование слишком дорого и трудоемко. Кроме того, во многих случаях
методы математического моделирования позволяют получить
значительно больше информации о поведении системы и механизмах
процессов, чем этого можно достичь в реальном эксперименте.
Под математическим моделированием будем понимать процесс
установления соответствия данному реальному объекту некоторого
математического объекта, называемого математической моделью,
и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики
рассматриваемого реального объекта [14]. Математическая модель
преобразуется в алгоритм, затем воплощается в программу, с
помощью которой проводятся численные эксперименты. В данном
учебном пособии рассматривается реализация этих процессов с
помощью среды COMSOL Multiphysics 5.2.
Математическое моделирование физико-химических процессов
рассмотрим на примере процессов, протекающих в мембранных
системах.
Мембранные системы применяются во многих отраслях
народного хозяйства (химическая, нефтехимическая, пищевая
промышленности, биотехнологии, медицина и др.) для разделения,
очистки, концентрирования жидких и газовых смесей. Мембранные
процессы классифицируются по виду основной движущей силы.
В предлагаемом учебном пособии рассматриваются электро-
мембранные процессы, обусловленные градиентом электро-
химического потенциала. Среди электромембранных методов наи-
большее практическое применение нашел электродиализ –
разделение растворов под действием электродвижущей силы,
создаваемой в растворе по обе стороны разделяющей его
перегородки – мембраны.
Электромембранные системы применяются для опреснения,
очистки вод, выделения из загрязненных вод определенных видов
ионов. Для определенности в дальнейшем в качестве
электромембранной системы рассматривается или электродиализный
аппарат (когда речь идет о процессах обессоливания), или
4
электромембранная ячейка (когда речь идет об экспериментальных
исследованиях и сравнении теоретических и экспериментальных
данных), хотя они могут существенно отличаться размерами, числом
камер, гидродинамикой (например, электромембранная ячейка может
быть непроточной, в отличие от электродиализного аппарата,
применяемого для обессоливания воды).
На рисунке 1 приведены принципиальные схемы 7-камерного
электродиализного аппарата (ЭДА) и 5-камерной ячейки. Рассмотрим
вкратце электродиализные аппараты водоподготовки.
а) б)
Рис. 1. Принципиальная схема: а – электродиализного аппарата,
б – ячейки. К – катионообменные, А – анионообменные мембраны,
КО – камеры обессоливания, КК – камеры концентрирования
Электродиализный аппарат имеет периодическую структуру,
состоящую из чередующихся катионообменных и анионообменных
мембран, двух электродов (рис. 1, а). С использованием электродов
через электродиализатор пропускается ток. Катионообменные и
анионообменные мембраны обладают способностью селективно
проводить катионы и анионы соответственно. Электролит подается с
некоторой скоростью v1. Под действием электрического поля
1 В формулах полужирным шрифтом обозначены векторные величины.
5
образуются камеры обессоливания и концентрирования, возникает
градиент концентрации электролита.
В работе [4] показано, что при математическом моделировании
процесса обессоливания во многих случаях достаточно рассмотреть
электромассоперенос только в камере обессоливания, считая
концентрацию в камерах концентрирования постоянной и учитывая
влияние катионообменной и анионообменной мембран в виде
граничных условий.
При использовании интенсивных токовых режимов в камере
обессоливания наряду с процессами переноса, диффузии,
электромиграции возникают вторичные или сопряженные явления
концентрационной поляризации:
− вблизи мембран нарушается электронейтральность
раствора, и возникший пространственный электрический заряд
занимает макроскопическую область, меньшую, но уже
сопоставимую с толщиной диффузионного слоя;
− когда концентрации ионов соли на межфазной границе у
поверхности мембраны становятся близкими к нулю, возрастают
локальное сопротивление и напряженность электрического поля, что
приводит к джоулевому разогреву электролита, и если ширина
камеры обессоливания достаточно большая, то и к гравитационной
конвекции;
− вблизи границы «мембрана – раствор» интенсивно
протекает реакция диссоциации – рекомбинации воды, и продукты
диссоциации (Н+ и ОН– – ионы) участвуют в переносе заряда;
− возникают конвективные течения разной природы,
интенсифицирующие массоперенос.
Таким образом, процессы мембранной электрохимии имеют
сложную природу. Их изучение требует учета гидродинамических,
термодинамических, электродиффузионных закономерностей и др.
Математические модели мембранной электрохимии строятся на
основе уравнений Навье – Стокса, Нернста – Планка, Пуассона,
теплопереноса.
Данное учебное пособие является развитием работы [1], она
дополнена новыми моделями мембранных процессов, а также
описанием новых возможностей пакета COMSOL Multiphysics 5.2.
В первой главе описаны основные возможности и приемы
работы с пакетом COMSOL Multiphysics, этапы моделирования.
6
Во второй главе рассмотрены математические и физические
интерфейсы моделирования мембранных процессов: уравнения
Навье – Стокса, уравнения конвективной диффузии (с предполо-
жением о локальной электронейтральности среды и без), уравнения с
частными производными.
В третьей главе описаны одномерные и в четвертой главе –
двумерные модели мембранной электрохимии.
В пятой главе описана разработка приложений с дружественным
графическим интерфейсом пользователя.
Отметим также, что предварительные знания о пакетах
компьютерной математики, таких как Matlab и COMSOL,
обучающиеся получают при изучении дисцилины «Пакеты
прикладных программ» на червертом курсе бакалавриата по
направлению подготовки 01.03.02 «Прикладная математика и
информатика» Кубанского государственного университета.
Целью использования данного учебного пособия является
развитие профессиональных компетентностей приобретения
практических навыков в моделировании задач физико-химических
процессов, реализующих инновационный характер в высшем
образовании.
С вопросами, предложениями и замечаниями обращайтесь к
авторам по следующим адресам электронной почты: savanna-
[email protected], [email protected], [email protected].
7
1. МОДЕЛИРОВАНИЕ В СРЕДЕ COMSOL MULTIPHYSICS
1.1. ВОЗМОЖНОСТИ COMSOL MULTIPHYSICS
COMSOL Multiphysics – диалоговая среда для моделирования
широкого круга проблем, основанных на системах уравнений
с частными производными, которая использует метод конечных
элементов. COMSOL Multiphysics содержит набор модулей со
стандартными шаблонами и пользовательскими интерфейсами для
специфических областей физики (гидродинамики, электро-
магнетизма, акустики, теплопереноса и др.). Комбинируя различные
прикладные модули, можно строить мультифизические модели.
COMSOL Multiphysics предлагает пользователям интегри-
рованную рабочую область с построителем модели Model Builder,
который обеспечивает полный обзор модели и доступ ко всей
функциональности.
При построении модели можно комбинировать следующие типы
интерфейсов:
1. Физические интерфейсы, которые используются для доступа
к шаблонам специфических прикладных областей (акустика,
биология, химические реакции, диффузия, электрохимия,
электромагнетизм, гидродинамика, топливные элементы и электро-
химия, геофизика, теплопередача, микроэлектромеханические
системы, микрофлюидика, микроволновая инженерия, оптика,
фотоника, физика плазмы, квантовая механика, полупроводниковые
приборы, структурная механика, явления переноса, распространение
волн и др.).
2. Математические интерфейсы. Задача в этом случае
определяется в терминах математических выражений и коэффи-
циентов. Математические интерфейсы обычно применяются в
случаях, когда не находится подходящего физического прикладного
режима для модели. Уравнение с частными производными может
быть задано четырьмя способами:
– коэффициентная форма (Coefficient form), применяется для
решения линейных или квазилинейных задач, использующих
уравнения в частных производных;
8
∂2u ∂u ( )
ea ∂t2 +da ∂t +∇⋅ −c∇u−αu+γ +β⋅∇u+αu= f наΩ,
( )
n⋅ c∇u+αu−γ +qu= g−hTμ на∂Ω, (1.1.1)
u=r на∂Ω.
Коэффициентная форма позволяет моделировать различные за-
дачи, однако используемые обозначения имен коэффициентов свя-
заны с механикой сплошных сред и массопереноса: е – масса; d –
а a
коэффициент дампирования, или масса; c – коэффициент диффузии;
α – коэффициент консервативного потока конвекции; β – коэффици-
ент конвекции; a – коэффициент поглощения; γ – источник консерва-
тивного потока; f – источник; q – граничный коэффициент поглоще-
ния; g – граничный член источника; Ω (область вычислений) – объе-
динение всех областей; ∂Ω – граница области; n – внешний единич-
ный нормальный вектор к ∂Ω.
Первое уравнение (1.1.1) – это уравнение в частных производ-
ных, которое должно выполняться в области Ω, второе и третье –
граничные условия, которые должны выполняться на границе ∂Ω.
Коэффициенты c, α, γ, β, a, q, h и члены f, g, r могут быть
любыми функциями пространственных координат. Если
коэффициенты зависят только от пространственных координат (или
константы), то уравнение линейно. Если коэффициенты зависят от
зависимой переменной u или её производных, то уравнение
нелинейно. Все коэффициенты уравнения (1.1.1) скаляры, за
исключением α, β, γ, которые являются n-мерными координатами:
– генеральная форма (General form) – вычислительный шаблон
для нелинейных задач;
∂2u ∂u
ea ∂t2 +da ∂t +∇⋅Г=F на Ω,
−n⋅Г=G+∂RTμ на∂Ω, (1.1.2)
∂u
0=R на∂Ω.
– слабая форма (Weak form) применяется для моделей
с уравнениями с частными производными на границах, гранях или
точках или моделей, использующих члены со смешанными
пространственно-временными производными;
9
– классические уравнения в частных производных (Convection-
Diffusion Equation, Heat Equation, Helmholtz Equation, Laplace’s
Equation, Poisson’s Equation, Schrodinger Equation, Wave Equation)
описывают набор известных уравнений в частных производных.
При моделировании реальных систем обычно необходимо со-
прячь различные типы интерфейсов. Стратегия процесса мультифи-
зического моделирования: поиск физических интерфейсов, подходя-
щих для рассматриваемого явления; если такие не найдены, то добав-
ляется один или несколько математических интерфейсов. Для сопря-
жения различных интерфейсов используются зависимые переменные,
их производные или выражения, содержащие зависимые переменные.
Сопряжение может производиться в области и на границах.
Рассмотрим рабочую среду COMSOL Desktop (рис. 1.1.1), она
состоит из меню File, панели инструментов быстрого доступа
к командам, группы ленточных вкладок (Home, Definitions, Materials,
Physics, Mesh, Study, Result) и набора окон (Model Builder, Settings,
Graphics, Messages, Progress, Log, Results, Help).
Рис. 1.1.1. Рабочая среда COMSOL Multiphysics
10
