Comprimento de Arco

28 Pages·2009·0.49 MB·Portuguese

MAIS APLICAÇÕES DE INTEGRAÇÃO
8.1
Comprimento de Arco

Nesta seção, nós aprenderemos sobre:

Comprimento de Arco e suas funções.

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COMPRIMENTO DE ARCO
Podemos pensar em colocar um pedaço de

barbante sobre a curva, como na figura, e

então medir o comprimento do barbante com

uma régua.

Mas isso pode ser difícil de fazer com muita

precisão se tivermos uma curva complicada.

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COMPRIMENTO DE ARCO
Esse processo é familiar para o caso de

um círculo, onde a circunferência é o

limite dos comprimentos dos polígonos

inscritos.
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COMPRIMENTO DE ARCO
Agora, suponha que uma curva C seja

definida pela equação y = f (x), onde f é

≤ ≤
contínua e a x b.

Obtemos uma poligonal de aproximação

para C dividindo o intervalo [a, b] em n

subintervalos com extremidades x , x ,…, x
0 1 n

e com larguras iguais a Δx.

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COMPRIMENTO DE ARCO
Se y = f (x ), então o ponto P (x , y ) está em
i i i i i

C e a poligonal com vértices P , P , . . . , P ,

0 1 n

ilustrada abaixo, é uma aproximação para C.

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COMPRIMENTO DE ARCO
O comprimento L de C é aproximadamente o

mesmo dessa poligonal e a aproximação fica

melhor quando n aumenta.
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COMPRIMENTO DE ARCO Definição 1
Portanto, definimos o comprimento L da

curva C com a equação y = f (x), a ≤ x ≤ b,

como o limite dos comprimentos dessas

poligonais inscritas (se o limite existir):
n
∑
L = P P
lim
i−1 i
n→∞
i=1
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FUNÇÃO LISA
Essa função f é chamada lisa, porque uma

pequena mudança em x produz uma

pequena mudança em f’ (x).
Se tomarmos Δy = y – y , então
i i i–1
P P = x − x 2 + y − y 2
( ) ( )
i−1 i i i−1 i i−1
= Δx 2 + Δy 2
( ) ( )
i
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FUNÇÃO LISA
Aplicando o Teorema do Valor Médio para f

no intervalo [x , x ], descobrimos que existe
i–1 i

um número x * entre x e x tal que
i i–1 i

f x − f x = f x * x − x
( ) ( ) '( )( )
i i−1 i i i−1
Δy = f x * Δx
isto é, '( )
i i

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FUNÇÃO LISA
Então, temos:
P P = (Δx)2 + (Δy )2
i−1 i i
2
= (Δx)2 + ⎡ f '(x *)Δx⎤
⎣ ⎦
i
2
= 1+ ⎡ f '(x *)⎤ (Δx)2
⎣ ⎦
i
2
= 1+ ⎡ f '(x *)⎤ Δx (
porque Δx > 0)
⎣ ⎦
i

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