Complexe functietheorie Fourier- en Laplacetransformaties : tentamenopgaven met uitwerkingen

84 Pages·1995·7.23 MB·Dutch; Flemish

by  Herman Bavinck

Delftse Universitaire Pers

Complexe functietheorie
Fourier- en Laplace-transformaties
Tentamenopgaven met uitwerkingen
H. Bavinck
libliotheek TU Delft
\\1\',lIl',I''11\,I\\'1'1'II\"1'1
C OOOJlS1J970
Delftse Universitaire Pers
2414
406
3
CIP-GEGEVENS KONINKLIJKEBIDLIOTHEEK, DEN HAAG
Bavinck, H.
Complexe functietheorieFourier-enLaplacetransformaties:tentamenopgaven met
uitwerkingenIH. Bavinck. -Delft:DelftseUniversitaire Pers.-IJl.
Uitg.inopdracht van:Vereniging voorStudie-enStudentenbelangenteDelft.-Oorspr.
uitg.:Delft: DelftseUitgeversMaatschappij, 1989
ISBN 90-407-1153-4
NUGI 811
Trefw.: functietheorie
©VSSD
Tweede druk 1995
Uitgegeven door:
DelftseUniversitaire Pers
Stevinweg 1,2628CNDelft
tel.[phone], telefax 015-781661.
Inopdracht van:
Vereniging voorStudie-enStudentenbelangenteDelft
Poortlandplein6,2628BMDelft
tel.[phone],telefax 015-(2)787585,[email protected]
Allerechten voorbehouden.Niets uitdezeuitgavemagworden verveelvoudigd,opgeslagen
ineen geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaargemaakt, inenige vorm of op enige
wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere
manier,zonder voorafgaande schriftelijketoestemmingvandeuitgever.
All rights reserved. No part ofthis publication may be reproduced, stored in a retrieval
system, ortransmitted, inanyform orbyanymeans,electronic, mechanical, photocopying,
recording,orotherwise, withoutthepriorwrittenpermissionofthepublisher.
ISBN 90-407-1153-4
3
Voorwoord
De vraagstukken in deze bundel zijn ontleend aan tentamens over Complexe
Functietheorie en Fourier- en Laplacetransformaties die in de jaren 1987
t/m 1989 aan de Technische Universiteit te Delft zijn gehouden. Het
betreft hier tentamens voor een aantal verschillende vakken bestemd voor
studenten van diverse faculteiten, nl.
a 14A Functietheorie TN
2
a 18 Functietheorie Et em Mk0
2 3 4
a 23B Functietheorie Wi en In0
2 3 4
a 180A Fourier- en Laplacetransformaties Mk: 4,LR: 4,Wb:,ST: 4,CT:,MT:
a 180B Complexe Analyse Mk: 4,LR: 4,Wb:,ST: 4,CT:,MT:
Ik ben me bewust van het gevaar dat studenten deze vraagstukkenbundel
wellicht verkeerd zullen gebruiken. Indien men enig profijt van dit
boekje wil hebben, zal men de opgaven eerst zelf moeten proberen te
maken alvorens naar de uitwerkingen achterin te gaan kijken.
Als gebruikers van dit boekje fouten of kleine slordigheden mochten
constateren, zou ik dat gaarne van hen vernemen.
Veel dank ben ik verschuldigd aan René Swarttouw die de tekst kritisch
heeft bekeken, waardoor verschillende fouten konden worden hersteld.
Delft, november 1989 H. Bavinck
Bij de tweede druk is een aantal correcties aangebracht.
Delft, april 1995 H. Bavinck
4
Inhoud
VRAAGSTUKKEN
1. Differentieerbaarheid 5 1.1
2. Functies. Conforme afbeeldingen 7
3. Singulariteiten. Laurentreeksen 10
4. Integratie. Residuenstelling 13
5. Nulpunten. Argumentenprincipe 19
6. Fourierreeksen 21
7. Fouriertransformatie 23
8. Laplacetransformatie 26 1.2
UITWERKINGEN
1.3
1. Differentieerbaarheid 29
2. Functies. Conforme afbeeldingen 32
3. Singulariteiten. Laurentreeksen 37
4. Integratie. Residuenstelling 41
5. Nulpunten. Argumentenprincipe 54
6. Fourierreeksen 59 1.4
7. Fouriertransformatie 65
8. Laplacetransformatie 73
1.5
5
Vraagstukken
1. Differentieerbaarheid
1.1 (16-6-87) a18
z is een complex getal. Men stelt Re z =x: lm z =y. f is een
analytische functie die aan het complexe getal z het complexe
getal w = f(z) toevoegt. Gegeven is:
Re w = log (x2 + y2) + Y en f(i) 1 + i.
Bereken lm w voor y ~ O.
1.2 (26-10-87) a18
z+z
Onderzoek voor welke waarde(n) van z de functie g(z) e
analytisch is.
1.3 (14-6-88) a18
De functie f is analytisch. We schrijven z =x + iy en
f(z) =u(x,y) + i v(x,y). Er is gegeven dat
u(x,y) =sin x cosh y en f(O) = i.
Bereken vIx,y).
1.4 (12-6-89) a14A
De functie f is analytisch in het gehele complexe vlak. Men stelt
f(z) =u(x,y) + i v(x,y), waarbij u en v reële functies zijn en
x =Re z; y = lm z. Bereken u(x,y) en v(x,y) als nog gegeven is
av
ax = 12xy + 4x - Y en f(O) =3 - 2i; feil =3~ - i.
2
1.5 (15-6-87) a14A
z is een complex getal. Men stelt Re z =x: lm z =y.
f is een analytische functie die aan het complexe getal z het
complexe getal w·=fez) toevoegt. Gegeven is:
2 2
Re w eX -y sin 2xy + y en f(O) = o.
Bereken lm w.
6 vraagstukken
1.6 (Z5-8-87) aZ3B
Onderzoek voor welke zee de functie f: C ~ C gegeven door
fez) =sin z differentieerbaar is. (2 is de complex geconjugeerde Z.l
van z),
1.7 (13-6-88) aZ3B
Zij z =x + iy, x,y E ~. f is een analytische functie en
w = fez). Gegeven is:
Im w =Z sin x cosh y + xy en f(O) =-Z.
Druk w uit in x en y en druk w ook alleen uit in z..
1.8 (14-8-89) a14A
Men definieert de complexe logarithme voor alle complexe getallen
met uitzondering van die op de negatieve reële as en de oorsprong.
z1)
Voor welke waarden van z is log (z + analytisch?
(Vermijd het gebruik van het kenmerk van Cauchy-Riemann).
2.;;
2.:
vraagstukken 7
2. Functies. Conforme afbeeldingen
2.1 (16-6-87) a18
Men stelt z = x + iy met reële x en reële y. In het z-vlak is
gegeven de hyperbool H bepaald door:
H = {z I x2 - y2 =1}.
Hiervan beschouwt men de tak T die in het rechterhalfvlak ligt.
a. Geef een parametervoorstelling van T, alsook een parameter
interval.
Men beeldt ·het complexe z-vlak af in het complexe w-vlak door
te stellen
w
b. Bepaal het beeld van T onder deze afbeelding en geef daarbij
aan in welke richting dit beeld doorlopen wordt, wanneer T in
een door u te kiezen richting wordt doorlopen.
Aanwijzing: voer de afbeelding in twee stappen uit.
2.2 (16-6-87) a18
De complexe variabele z loopt langs
de geschetste kro~e van 0 naar 2.
(zie figuur). Men stelt
I
f Iz) = (z2 + 4) (Z2 - 1)
2
~.
en spreekt af : f(O) =-
Welke waarde heeft deze functie
aangenomen als z de kromme heeft
doorlopen van 0 naar 2?
2.3 (26-10-87) a18
Het gebied G is gegeven door
G = {z E IC I IzI < 1 en 0 < arg z < ;}.
Bepaal het beeld H van G onder de transformatie
1 - z3
f'{z) =--
1 + z3
Aanwijzing: voer de afbeelding in twee stappen uit.
B vraagstukken
2.9
2.4 (14-6-88) a18
Het gebied G is gegeven door
G = {z E ij; (Re z)'(Im z) > 1 en Im z > Ol.
Bepaal het beeld van G onder de transformatie
f Cz) =!.-+ i. 2.10
2
Z
2. 5 (14-6-88) a18
Men brengt in het complexe vlak een coupure aan en beschouwt
D =ij; , {z I Im z =0 en Re < Ol.
w(z) =vz is de tak van de wortelfunctie op D bepaald door
V+T =-1. Bepaal het beeld wel) van de rechte lijn
L = {z I Im z = 2}. 2.11
2.6 (15-4-88) a180B
Men beschouwt de transformatie
z - 1
w = log Z"""+1 '
waarbij de hoofdwaarde van de logarithme wordt bedoeld.
a) Voor welke waarden van z is deze transformatie niet conform?
2.12
b) Bepaal het beeld van het reële interval
-1 < Re z < I, Im z =O.
c) Bepaal het beeld van het bovenhalfvlak Im z > O.
2.7 (14-8-89) a14A
Los z op uit: cos z i sinh 1.
2.8 (29-1-88) a180B
zZ-=+-r1
Men beschouwt de transformatie w =
a) Voor welke waarden van z is deze transformatie niet conform?
b) Toon aan dat deze transformatie de cirkel Iz - 1\ = V2 in
zichzelf overvoert (d.w.z. in de cirkel Iw - 11 =V2 ).
Bepaal de punten z die onveranderd gelaten worden (d.w.z.
waarvoor geldt w z).
c) Waar gaat het gebied Iz - 11 < V2 in over?
d) Bepaal de beeldfiguur van de cirkel Iz + 11 = V2