Table Of ContentThŁse de doctorat
pour l’obtention du grade de
Docteur de l’universitØ Paris-Est
SpØcialitØ Informatique
au titre de l’(cid:201)cole Doctorale de MathØmatiques
et des Sciences et Techniques de l’Information et de la Communication
PrØsentØe et soutenue publiquement par
Marc Sage
le vendredi 22 juin 2012
Combinatoire
algØbrique et gØomØtrique
Hurwitz
des nombres d’
Devant le jury composØ par
Philippe Biane Examinateur
Sylvie Corteel Examinatrice
Jean-Christophe Novelli Directeur de thŁse
Vlady Ravelomanana Examinateur
Gilles Schaeffer Rapporteur
Dimitri Zvonkine Rapporteur
Laboratoired’informatiqueGaspardMonge
UMR8049LIGM
5,bdDescartes,Champs-sur-Marne,77454Marne-la-VallØeCedex2,France
ii
Table des matiŁres
Remerciements vii
0 Introduction 1
0.1 ProblØmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.1.1 Au commencement Øtaient les graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.1.2 Des graphes aux cartes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.1.3 Des cartes aux revŒtements rami(cid:28)Øs de la sphŁre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
0.1.4 Des revŒtements rami(cid:28)Øs de la sphŁre au problŁme originel d’Hurwitz . . . . . . . . . . . 3
0.1.5 Du problŁme originel au problŁme actuel d’Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.1.6 Du problŁme d’HURWITZ (cid:224) une incursion en gØomØtrie algØbrique . . . . . . . . . . . . . 6
0.2 Contexte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
g
0.2.1 IntØgrales de HODGE sur les espaces des modules des courbes . . . . . . . . . . . . . 7
(cid:104) M(cid:105)n
0.2.2 L’algŁbre Q (cid:80) nn−1tn,(cid:80) nntn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
n≥1 n! n≥1 n!
0.2.3 Permutations et partitions scindØes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.3 RØsultats et plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
0.3.1 Ce qui Øtait connu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
0.3.2 Notre contribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
0.3.3 Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1 PrØliminaires, partitions et permutations, partitions ensemblistes, permutations scindØes
et multipartitions 15
1.1 PrØliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.1 Conventions typographiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.2 AbrØviations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.3 Sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.4 Sur les actions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.5 Sur les ordres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.6 Puissances monotones et coe(cid:30)cients multinomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.7 Fonction Γ d’EULER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.8 Fonctions symØtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1.9 CoordonnØes et coe(cid:30)cients de structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 Groupes symØtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1 Groupe symØtrique d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2 SymØtries d’une famille et multi-ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.3 Support, orbites et cycles d’une permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.4 Sous-groupe de Young d’une famille d’ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 AlgŁbre des invariants d’un mono(cid:239)de sous l’action d’un groupe (cid:28)ni . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.1 AlgŁbre d’un mono(cid:239)de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.2 Sous-algŁbre des invariants et classes de conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.3 ReprØsentations de groupes (cid:28)nis, formule de FROBENIUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4 Partitions d’un entier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.1 Partitions d’un entier et diagrammes de YOUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.2 RØsumØ des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
√
1.4.3 Nombre de partitions, l’estimation Y A n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
n
| |(cid:39)
1.4.4 Structure des algŁbres Q[S ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
n
1.4.5 (cid:201)lØments de YOUNG-JUCYS-MURPHY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.5 Multipartitions d’un entier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
iii
iv TABLE DES MATI¨RES
1.5.1 Partitions scindØes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.2 Entiers et partitions associØs (cid:224) une multipartition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.3 RØcapitulatif des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5.4 Nombre de multipartitions, l’estimation CardYs Bn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
n (cid:39)
1.5.5 Les multipartitions de taille 5, les contenus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
≤
1.6 Partitions ensemblistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6.1 DØ(cid:28)nitions sur P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
E
1.6.2 Ordre de ra(cid:30)nement sur P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
E
1.6.3 Entrelacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.6.4 Fonction de M(cid:214)BIUS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.6.5 Structure des algŁbres Q[S ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
π
1.7 Permutations scindØes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.7.1 Le mono(cid:239)de Ss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
n
1.7.2 L’algŁbre des invariants : classes de conjugaison et multipartitions . . . . . . . . . . . 44
n
A
1.7.3 Hauteur d’une partition scindØe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.7.4 L’isomorphisme o:Q[Ss]=(cid:76) Q[S ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.7.5 La structure de l’algŁbrenQ∼[Ss]π∈.P.n. . . π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
n
1.7.6 L’exemple de Q[Ss] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4
(cid:104) (cid:105)
2 Vers les nombres d’Hurwitz : l’algŁbre =Q (cid:80) nn−1tn,(cid:80) nntn et l’intØgration sur
A n≥1 n! n≥1 n!
g
l’espace des modules des courbes 51
Mn (cid:104) (cid:105)
2.1 L’algŁbre =Q (cid:80) nn−1tn,(cid:80) nntn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
A n≥1 n! n≥1 n!
2.1.1 IdentitØs basiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.1.2 La sous-algŁbre Q[Y] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.1.3 La sous-algŁbre Q[Z] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.1.4 Un lemme de compacitØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.1.5 Asymptotique dans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
A
2.1.6 La Z-ØgalitØ dans la partie Z := Q[Y] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
(cid:104) A A\ (cid:105)
2.1.7 L’algŁbre dØformØe Q (cid:80) (n+λ)n−1tn,(cid:80) (n+µ)ntn . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
n≥1 n! n≥1 n!
λ,µ
2.2 Le problŁme d’HURWITZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.2.1 Cartes et caractØristique d’EULER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.2.2 RevŒtements rami(cid:28)Øs de la sphŁre et formule de RIEMANN-HURWITZ . . . . . . . . . . . 65
2.2.3 Monodromie et constellations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.2.4 Cartes, 3-constellations, hypercartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2.5 Nombres et sØries d’HURWITZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
g
2.3 IntØgration sur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.3.1 L’espaceMdens modules g et son compacti(cid:28)Ø de DELIGNE-MUMFORD g . . . . . . . . 73
Mn Mn
2.3.2 IntØgration des classes de cohomologie sur un orbifold compact . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.3.3 Les classes de CHERN ψi et λi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.3.4 Les chevrons de WITTEN (cid:104)τd1,...,τdn(cid:105) et les intØgrales de HODGE . . . . . . . . . . . . . 74
2.3.5 Relations des cordes et du dilaton, chevrons sphØriques et toriques . . . . . . . . . . . . . 75
2.3.6 Un thØorŁme de KONSEVITCH dØterminant tous les chevrons de WITTEN . . . . . . . . 78
2.3.7 La formule d’EKEDAHL-LANDO-SHAPIRO-VAINSHTEIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.3.8 Un thØorŁme de KAZARIAN donnant les sØries Hg(λ) dans l’algŁbre . . . . . . . . . . 80
A
3 Asymptotique des nombres d’Hurwitz (cid:224) plusieurs partitions, nombres d’Hurwitz (cid:224) deux
partitions en genre nul 85
3.1 Asymptotique des nombres d’Hurwitz (cid:224) une partition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.1.1 Nombres d’Hurwitz (cid:224) une partition en genres sphØrique et torique . . . . . . . . . . . . . 86
3.1.2 Les sØries d’Hurwitz dans l’algŁbre en genres sphØrique et torique . . . . . . . . . . . 89
3.1.3 Les sØries d’Hurwitz dans l’algŁbre A en genre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.1.4 Asymptotique des nombres d’HurwitAz (cid:224) une pa≥rtition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.2 Le lien entre les constantes c de l’asymptotique d’Hurwitz et les constantes t de Bender-
g g
Gao-Richmond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2.1 Une relation rØcursive pour calculer les chevrons (cid:10)τ3k(cid:11) et les constantes c . . . . . . . . . 96
2 g
g−3
3.2.2 L’ØgalitØ c =√2 t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
g g
3.3 Asymptotique des nombres d’Hurwitz (cid:224) plusieurs partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
TABLE DES MATI¨RES v
3.3.1 La formule de rØduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.3.2 Preuve du Z-lemme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.4 La formule de rØduction pour H0( a , b ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.4.1 Les nombres f( c1 , c2 ,..., c2(cid:72))(cid:73).(cid:72).(cid:73). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
a(cid:72) ,(cid:73)b(cid:72) (cid:73) (cid:72) (cid:73)
3.4.2 Un test de sßre(cid:72)t(cid:73)Ø(cid:72):(cid:73)H0( a , 2 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.4.3 Le calcul gØnØral de H0(cid:72)( (cid:73)a (cid:72), (cid:73)b ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
(cid:72) (cid:73) (cid:72) (cid:73)
4 Calcul des nombres d’Hurwitz (cid:224) une partition 117
4.1 Nombres d’Hurwitz et coe(cid:30)cients de structure de l’algŁbre des invariants . . . . . . . . . . 117
n
A
4.1.1 Les puissances de la classe des transpositions totalement scindØes . . . . . . . . . . . . . . 118
4.1.2 Cas gØnØral et exemple de Q[Ss] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3
4.1.3 DiagonalisabilitØ de la classe C(2)s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.1.4 La formule de FROBENIUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.1.5 Asymptotique de hg (λ) lorsque le genre g devient in(cid:28)niment grand. . . . . . . . . . . . . 123
n
4.2 Comment calculer les nombres hg (λ)? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
n
4.2.1 Algorithme pour calculer tous les hg (λ n) en complexitØ uniforme O(Cn) . . . . . . . . 124
n (cid:96)
4.2.2 Exemples des partitions de taille 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.2.3 Table de valeurs des hg (λ) pour≤λ 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
|λ| | |≤
4.3 SØries d’HURWITZ (cid:224) plusieurs partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.3.1 Lemmes prØliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
4.3.2 Nombres et sØries de KAZARIAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.3.3 RØduction des sØries d’HURWITZ via les sØries de KAZARIAN. . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.3.4 Une approche pour calculer tous les nombres d’HURWITZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.3.5 Une conjecture de KAZARIAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5 Conclusion 141
vi TABLE DES MATI¨RES
Remerciements
J’ai rencontrØ Jean-Christophe Novelli en (cid:28)n de premiŁre lors d’un stage Animaths (cid:224) LabŁge. L’une de
choses que je retiens de son intervention (cid:224) l’Øpoque est la nØcessitØ, dans la recherche, de l’acte de sØcher.
Je constate, quelque dix annØes passØes, que cet aspect m’a rassurØ et portØ dans la suite de mon parcours
mathØmatique. Il en va de mŒme pour l’indØpendance et l’initiative laissØ au chercheur, tant dans des exercices
d’Olympiades ou de prØpa que dans mon travail de doctorat. Je suis heureux de pouvoir ici lui tØmoigner mes
remerciements pour ces guides prØcieux dans mon travail de mathØmaticien (cid:21) comme dans celui d’enseignant.
Mon premier contact avec les cartes se (cid:28)t lors d’un autre stage en (cid:28)n de terminale avec Dimitri Zvonkine.
Je lui dois de m’avoir guidØ vers le seul travail mathØmatique qui m’aura jamais passionØ : un TIPE sur la
combinatoire des cartes et l’intØgration matricielle. C’est dans la tra(cid:238)nØe de cet enthousiasme (cid:224) jamais rØvolu
que je pus Œtre initiØ aux nombres d’Hurwitz par les bons soins de Gilles Schaeffer, trouvant ainsi un travail
de recherche pour quelques annØes. Ma dette envers tous deux est grande : m’avoir permis de dØpasser la
dØsillusion d’une passion perdue pour la mathØmatique. Je suis Øgalement touchØ qu’ils aient acceptØ, au terme
de ce dØpassement, d’Œtre les rapporteurs de ce mØmoire.
Que dire d’un travail d’Øquipe sinon, suivant Stella Baruk, que le produit de ses individus ne se rØduit pas
(cid:224) leur somme? Les Øchanges dans mon laboratoire d’accueil avaient chacun un sens, participant ainsi de la vie
d’un organisme. Il m’est impossible de diriger ma gratitude vers une cellule particuliŁre : elle n’en demeurera
pas moindre pour ces moments partagØs (cid:224) tous Øgards.
Comme tout domaine (cid:19) (cid:28)nitiste (cid:20), la combinatoire a cela d’avantageux qu’elle permet l’expØrimentation.
Si j’ai appris une chose pendant mon travail de doctorat, c’est bien (cid:224) commencer par ouvrir les yeux (cid:21) et (cid:224)
transmettre (cid:224) mes ØlŁves tant la simplicitØ que l’importance de cette action. La con(cid:28)ance qu’elle permet de
retrouver, le contact de la rØalitØ (ici mathØmatique) avec lequel elle permet de renouer, l’humilitØ face (cid:224) cette
derniŁre ((cid:19) avant d’ouvrir le troisiŁme oeil, commence par ouvrir les deux premiers (cid:20)) : tous participent d’un
bon sens et d’une dØmarche saine qui m’ont portØ pour agir dans la vie.
Il m’est impossible de parler de ce travail d’Øquipe et de ce bon sens sans mentionner ce dont ils ne sont
qu’une rØalisation : ma pratique d’aikido sur les tatamis. Ma reconnaissance reste profonde (cid:224) l’Øgard de ceux
qui m’y ont initiØ (cid:21) Romaric, Manon, RØgis (cid:21) et vient se nourir de tout ce qu’ils m’ont fait dØcouvrir pendant
le chantier de ma thŁse.
Deuxamisen(cid:28)ndoiventŒtredßmentremericØs.Toutd’abordPierre-Lo(cid:239)c,pourm’avoiraccompagnØdurant
ma thŁse et en avoir dØfrichØ plusieurs pans. Et Laurent qui, conjointement au service Google Traduction, m’a
permis de rendre accessible (cid:224) la communautØ francophone le contenu d’un article non publiØ Øcrit en russe.
Je terminerai par le commencement : lors du stage de LabŁge, a(cid:28)n sans doute de nous rassurer face aux
doutessoulevØsparlesmathsmerveilleusesquenousdØcouvrions,Jean-Christophenousaa(cid:30)rmØquelaquestion
des fondements de la mathØmatique Øtait rØglØe depuis plus d’un siŁcle et que nous pouvions avancer tranquille
sans nous en soucier. J’ai dß chercher plus d’une douzaine d’annØes avant de pouvoir commencer (cid:224) trouver
des ØlØments de rØponse, maudissant (cid:224) de nombreuses reprises l’auteur de cette a(cid:30)rmation pour le temps qu’il
m’avaitfaitperdreenjetantenl’aircettepropositionqueriendansmesrecherchesneparaissaitpouvoircerti(cid:28)er.
En (cid:28)n de compte, c’est sans doute mieux ainsi : certes, le chemin parcouru et le moteur (l’insatisfaction) sont
miens mais je ne peux oublier les ØlØments dØclencheurs, ceux qui donnent l’implusion et la direction initiales.
Si un voyage de mille lieues commence par un pas, alors n’oublions pas ceux qui ont suscitØ ce premier pas.
Montreuil, le 31 aoßt 2011.
vii
viii REMERCIEMENTS
Chapitre 0
Introduction
(cid:19) Nous sentons que, (cid:224) supposer que toutes les questions scienti(cid:28)ques possibles soient rØsolues, les
problŁmes de notre vie demeurent encore intacts. (cid:192) vrai dire, il ne reste plus alors aucune question,
et cela mŒme est la rØponse. (cid:20) (L. Wittgenstein, Tractacus Logicus-philosophicus, 6.42)
0.1 ProblØmatique
0.1.1 Au commencement Øtaient les graphes
Les graphes sont parmi les objets mathØmatiques les plus simples aprŁs les nombres entiers. Tout comme
ces derniers, leur simplicitØ n’a d’Øgale que la di(cid:30)cultØ des problŁmes qu’ils posent aux mathØmaticiens. Tout
comme les nombres entiers, les graphes sont apparus et ØtudiØs dans des communautØs diverses, aux intØrŒts et
langages divers... parfois divergents. Il su(cid:30)rait d’Øvoquer les diagrammes de Feynman en physique, les arbres
et rØseaux en informatique, les dessins d’enfants de Grothendieck en gØomØtrie algØbrique, les carquois en
algŁbre linØaire, l’homologie simpliciale en topologie algØbrique, les cartes en matrices alØatoires, en thØorie des
n(cid:247)uds, le langage sagittal des catØgories...
Pour autant ØlØmentaires qu’ils soient, les graphes possŁdent selon nous un atout sur les nombres entiers :
lesdessiner permetdefaireappel(cid:224)notreintuition spatiale et combinatoire,laquellenousdØsespØronsd’utiliser
dansdescontrØesplusabstraites.Commentnepassaisirl’occasiondepro(cid:28)terd’unguideintuitif aussipuissant?
0.1.2 Des graphes aux cartes
C’est ce qui nous a amenØ, suivant les conseils avisØs de D. Zvonkine, (cid:224) travailler sur les cartes pour notre
TIPE en classes prØparatoires.
Pour visualiser une carte, prenons un globe terrestre, repassons les frontiŁres au feutre noir et dessinons des
points aux croisements de ces derniŁres : nous avons dessinØ un graphe sur la sphŁre dont les composantes sont
polygonales. Nous pouvons aussi partir des pays (des polygones) et les recoller selon leur frontiŁres (arbitrai-
rement choisies) : nous obtiendrons alors une carte dessinØe sur une surface qui peut Œtre sphØrique, torique
(visualiser un doughnut), ou avec encore plus de trous (penser (cid:224) une bouØe familiale). Le nombre de trous
s’appelle le genre de la surface (la sphŁre est ainsi de genre nul). On s’autorisera (cid:224) dØformer ces surfaces en les
Øtirant sans les percer ni les dØchirer, ce que notre guide intuitif visualisera aisØment comme une gØomØtrie du
caoutchouc.
DØj(cid:224),desproblŁmesseposent:partantd’unseulpays,combiendecartessphØriquesdi(cid:27)Ørentespouvons-nous
obtenir (cid:21) aux dØformations sus-autorisØes prŁs? Combien de cartes toriques? Combien (cid:224) genre (cid:28)xØ?
L’article [27] nous a servi d’introduction (cid:224) la combinatoire des cartes, Ølevant un pont vers un domaine
beaucoup moins immØdiatement accessible (cid:224) l’intuition : l’intØgration matricielle. On trouvera par exemple
dans [10] la rØponse (cid:224) la question ci-dessus via un calcul de telles intØgrales, tØmoignant au passage de la
di(cid:30)cultØ de cette question simple. Pour un Øclairage combinatoire de ce rØsultat (cid:21) et plus gØnØralement de la
combinatoire des cartes en genre supØrieur (cid:21), on consultera la thŁse [4] et ses rØfØrences.
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2 CHAPITRE 0. INTRODUCTION
Cette incursion au pays des cartes nous a introduits (cid:224) la diversitØ des sources abreuvant le con(cid:29)uent com-
binatoire. Nous avons ensuite remontØ l’a(cid:31)uent topologique pour dØcouvrir, guidØs par G. Schaeffer, les
revŒtements rami(cid:28)Øs de la sphŁre.
0.1.3 Des cartes aux revŒtements rami(cid:28)Øs de la sphŁre
UnedØmarchegØnØralementfructueuse,a(cid:28)nd’Øtudierdesobjets,consiste(cid:224)Øtudierlesmorphismes entreces
objets. Cela nous mŁne (cid:224) l’Øtude des applications continues entre surfaces sous-jacentes (cid:224) des cartes (sphŁres,
tores, bouØes familiales...). TØmoin de la richesse de cette approche : le livre [15] Graphs on Surfaces and Their
Applications dont le titre est Øvocateur.
LesrevŒtementsrami(cid:28)ØsnereprØsententqu’ungenreparticulierparmilafaunesus-mentionnØe.Nousregar-
derons plus spØci(cid:28)quement l’espŁce qui rami(cid:28)e la sphŁre.
Suivantl’adage(cid:19)apictureisworthathousandwords(cid:20),nousproposonsdedØcouvrirlesrevŒtementsrami(cid:28)Øs
(cid:224) travers le dessin suivant.
z z3
!→
(Pour le lecteur monochrome, nous prØcisons que quatre couleurs ont ØtØ utilisØes dans le dessin prØcØdent.
Chaque colonne de disques et petits points reliØs par une mŒme ligne en pointillØ ((cid:224) l’exception de la colonne
centralecoloriØeennoir)ainsiquelesarŒtesenpartancedeleurscentressontainsicoloriØes(cid:224)l’aided’unemŒme
couleur. De gauche (cid:224) droite : bleu, rouge, vert, mauve.)
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