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OSNABRUCKER SCHRIFTEN
ZUR MATHEMATIK
Reihe V Vorlesungsskripten
EHeft 9 Wintersemester 2001/02
Codierungstheorie und Kryptographie
W. Bruns
Fachbereich Mathematik/Informatik
Universita¨t Osnabru¨ck
OSM Osnabru¨cker Schriften zur Mathematik
Ma¨rz 2002
Herausgeber Selbstverlag der Universita¨t Osnabru¨ck
Fachbereich Mathematik/Informatik
49069 Osnabru¨ck
Gescha¨ftsfu¨hrer Prof. Dr. W. Bruns
Berater: Prof. Dr. P. Brucker (Angew. Mathematik)
Prof. Dr. E. Cohors-Fresenborg
(Didaktik der Mathematik)
Prof. Dr. V. Sperschneider (Informatik)
Prof. Dr. R. Vogt (Reine Mathematik)
Druck Hausdruckerei der Universita¨t Osnabru¨ck
Copyright bei den Autoren
Weitere Reihen der OSM:
Reihe D Mathematisch-didaktische Manuskripte
Reihe I Manuskripte der Informatik
Reihe M Mathematische Manuskripte
Reihe P Preprints
Reihe U Materialien zum Mathematikunterricht
Codierungstheorie und Kryptographie
Winfried Bruns
Skript zur Vorlesung WS 2001/2002
Das Skript ist nur zum perso¨nlichen Gebrauch der Ho¨rer bestimmt.
Inhaltsverzeichnis
Vorwort 1
1. Nachrichtenu¨bertragungssysteme 3
2. Entropie endlicher Wahrscheinlichkeitsra¨ume 6
3. Diskrete endliche Informationsquellen und Kana¨le ohne Geda¨chtnis 19
4. Codes mit variabler Wortla¨nge 24
5. Codierung von Quellen 28
6. Fehlerkorrigierende Codes 36
7. Der Fundamentalsatz der Informationstheorie 46
8. Lineare Codes 52
9. Zyklische Codes 62
10. Beispiele zyklischer Codes 70
11. Kryptosysteme 79
12. Klassische Chiffren 84
13. Perfekte Sicherheit 105
14. DES 109
15. Betriebsmodi fu¨r Blockchiffren 121
16. RSA 127
17. Diskrete Logarithmen 138
18. Hash-Funktionen 147
19. Signaturen 154
20. Zero-Knowledge-Beweise und Oblivious Transfer 159
Literaturverzeichnis 165
Vorwort
Der vorliegende Text ist die Niederschrift einer Vorlesung im WS 2001/02 an
der Universita¨t Osnabru¨ck. Sie geht davon aus, daß die Ho¨rer neben der Vorlesung
Lineare Algebra“ auch eine Einfu¨hrung in die Algebra“ absolviert haben, in der
” ”
die wichtigsten Sa¨tze und Methoden der elementaren Zahlentheorie, wie die Exi-
stenz und Bestimmung des gro¨ßten gemeinsamen Teilers, der chinesische Restsatz
und die Existenz von Primitivwurzeln modulo Primzahlen diskutiert worden sind.
EbensowerdenKenntnisseu¨berPolynomeundendlicheKo¨rpervorausgesetzt.Die
wichtigsten Sa¨tze werden aber zumindestzitiert, wenn sie wirklich gebrauchtwer-
den.
Einige U¨bungsaufgaben verlangen die Implementation von Algorithmen in
Aribas, das von Otto Forster geschaffen wurde und per
http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~forster/sw/aribas.html
erha¨ltlich ist.
Ich danke Anja Kipp fu¨r ihre engagierte Mithilfe bei der Erstellung der LATEX-
Version des Manuskripts.
Osnabru¨ck, Februar 2002 Winfried Bruns
Nachtrag April und August 2004. Die erste Fassung vom Februar 2002, die simul-
tan zur Vorlesung entstanden ist, hatte leider zahlreiche kleine Fehler. Auf viele
davon hat mich Dorin Popescu hingewiesen, dem ich dafu¨r herzlich danke. We-
sentliche inhaltliche A¨nderungen habe ich nicht vorgenommen, das Literaturver-
zeichnis wurde aber etwas erweitert.
ABSCHNITT 1
Nachrichtenu¨bertragungssysteme
Beispielefu¨rNachrichtenu¨bertragungssystemesindunsallenausdemta¨glichen
Leben vertraut:
Rundfunk, Fernsehen, Telefon, ...,
Datenspeichersysteme, Computer-Netzwerke, ...,
Nervensysteme in Lebewesen.
Aufgabe der Codierungstheorie ist es herauszufinden, wie Nachrichten mo¨glichst
effizient und mo¨glichst fehlerfrei u¨bertragen (oder gespeichert) werden ko¨nnen.
Effizienz und Fehlerfreiheit sind dabei einander widersprechende Ziele, so daß
raffinierte mathematische Methoden erforderlich sind, um sie dennoch so gut wie
mo¨glich gleichzeitig zu erreichen. Spektakula¨re Anwendungen der Codierungs-
theorie sind die Datenspeicherung auf CDs und die Bilder der Planeten, die von
Satelliten zur Erde u¨bermittelt worden sind.
Das einfachste Modell eines Nachrichtenu¨bertragungssystems unterscheidet
die Nachrichtenquelle, den U¨bertragungskanal und den Empfa¨nger:
Quelle ! Kanal ! Empfa¨nger
Beispiele fu¨rQuellen sind die menschlicheStimme, einSpeichermedium mitdigi-
talen Daten, Meßinstrumente in einem Satelliten oder Sensoren in Sinnesorganen.
Beispielefu¨rKana¨lesindTelefonverbindungen,Richtfunkstrecken,Nervenbahnen
und Datenleitungen in Computern oder Netzwerken. Es ist ha¨ufig aber nicht ein-
fach, Quelle und Kanal gegeneinander abzugrenzen.
FastalleKana¨leunterliegenSto¨rungen,diemanu¨blicherweisealsRauschenbe-
zeichnet. Diese Bezeichnung erkla¨rt sich von selbst, wenn man einmal alte Schall-
plattenho¨rtoderversucht,RadiosenderaufderKurzwellezuempfangen.DasRau-
schensto¨rtdieU¨bertragungderInformationundverfa¨lschtdiese.Ha¨ufigstelltman
die Sto¨rungen als zusa¨tzliche Quelle dar, die das Rauschen in den (zuna¨chst idea-
len) Kanal einspeist.
Viele Quellen besitzen Redundanz, d. h. eine gewisse Weitschweifigkeit oder
U¨berbestimmtheit. Ein einfaches Beispiel sind Datumsangaben wie Montag, der
”
15.10.2001“.WennkeineZweifelu¨berdenverwendetenKalenderbestehen,istder
Zusatz Montag“ u¨berflu¨ssig. Er ist aber dennoch sinnvoll, weil er die Datumsan-
”
gabe absichert und verla¨ßlicher macht. Redundanz in der menschlichen Sprache
4 Abschnitt1
entstehtauchdaraus,daßnureinextremgeringerAnteilderallermo¨glichenBuch-
stabenfolgen Wo¨rter der deutschen (oder einer anderen) Sprache sind, und wie-
derum nur ein geringer Anteil der Folgen von Wo¨rtern syntaktisch korrekte und
semantischsinnvolleSa¨tzeergeben.Deshalbko¨nnenwirTextetrotzgelegentlicher
Dreckfehler einwandfrei lesen. Kurzum, Redundanz sichert vor U¨bertragungsfeh-
lern.
Die Redundanz vieler Quellen la¨ßt sich technisch schwer nutzen. Darum ist
es ha¨ufig sinnvoll, die Redundanz der Quelle durch eine Datenkompression oder
Quellencodierungzueliminieren.DatenkompressionistunsausderComputerwelt
durch Programme wie zip bekannt, mit deren Hilfe redundante Daten auf kleinem
Raum gespeichert werden ko¨nnen.
In einem zweiten Schritt, der Kanalcodierung, wird gezielt Redundanz hinzu-
gefu¨gt, um die Datenu¨bertragung gegen Sto¨rungen zu sichern. Die Kanalcodie-
rung ist der eigentliche Gegenstand der Codierungstheorie. Wir werden uns aber
zuna¨chst mit den Grundbegriffen der Informationstheorie und der Quellencodie-
rung befassen.
Natu¨rlich mu¨ssen Kanal- und Quellencodierung nach der U¨bertragung wieder
ru¨ckga¨ngig gemacht werden, wobei die Kanaldecodierung ein schwieriges Pro-
blem ist.
Wir ko¨nnen nun das obige Modell folgendermaßen verfeinern:
Quelle ! Quellencodierung ! Kanalcodierung
#
Kanal Sto¨rquelle
#
Empfa¨nger Quellendecod. Kanaldecod.
Man kann die Quellen nach der Art der von ihnen erzeugten Signale einteilen
in kontinuierliche und diskrete. Wir werden uns nur fu¨r diskrete Quellen mit end-
lichem Alphabet interessieren. Beschrieben werden diese Quellen allein durch die
statistischen Eigenschaften der von ihnen erzeugten Signalfolgen.
Ein Kanal wird beschrieben durch sein Eingangs- und sein Ausgangsalphabet
– diese stimmen sehr ha¨ufig u¨berein – und die statistischen Zusammenha¨nge zwi-
schen den eingegebenen und ausgegebenen Zeichenreihen. Wie die Alphabete der
Quellen werden auch die Kanalalphabete im folgenden stets endlich sein.
Der Begriff der Information hat A¨hnlichkeit zu dem der Energie. Genau so
wenig wie die Physik versucht, das Wesen“ der Energie zu beschreiben, versucht
”
die Informationstheorie zu erkla¨ren, was Information eigentlich ist. Man kann in
beidenFa¨llenaberdieTransformationzwischenverschiedenenFormenquantitativ
