Table Of ContentCodierungstheorie
Springer
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Anton Betten • Harald Fripertinger
Adalbert Kerber· Alfred Wassermann
Karl-Heinz Zimmermann
Codierungstheorie
Konstruktion und Anwendung
linearer Codes
Mit 21 Abbildungen und 39 Tabellen
Springer
Oipl.-Math.Anton Betten
MoritzhOfen 1,0-95447 Bayreuth
Dr. Harald Fripertinger
Hohenstr. 8,A-8570 Voitsberg
Prof. Dr.Adalbert Kerber
Schlo6hofBirken 21,0-95447 Bayreuth
Dr.Alfred Wassermann
Steinwaldstr. 8,0-95448 Bayreuth
Prof. Dr. Karl-Heinz Zimmermann
Preuschwitzer Str. 165,0-95445 Bayreuth
ISBN 3-540-64502-0Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork
DieDeutscheBibliothek- Einheitsaufnahme
Codierungstheorie:Konstruktion undAnwendungIinearerCodes/vonAnton
Betten...-Berlin;Heidelberg;NewYork;Barcelona;Budapest;Hongkong;
London;Mailand;Paris;Singapur;Tokio:Springer,1998
ISBN3-540-64502-0
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©Springer-VerlagBerlinHeidelberg1998
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SPIN10673203 33/3142-5432I0- GedrucktaufsaurefreiemPapier
Vorwort
DieAlgebraischeCodierungstheorieisteinenochjungeTeildisziplinderDiskreten
Mathematik. IhreErgebnisse finden imZugedes sich rasch vollziehenden techno
logischenWandelsimmerhaufigerdortAnwendung,wosichereDateniibermittlung
notwendig ist. Mittlerweile benutzt oderkenntjederCDs und weiB von der Uber
tragungderSatellitenaufnahmenvomMondoderden Planetendes Sonnensystems
zurErde. Hierbei werdenzurSicherungderKommunikationundzurKorrekturvon
Ubermittlungsfehlem mit groBem Erfolg lineare Codes verwendet, das sind endli
cheVektorraumemitHammingmetrik.DenReizihrerTheoriemacht- nebenihrer
technischenVerwendbarkeit-auchdieVielseitigkeitderhieranwendbarenmathe
matischen Methoden aus: sie kommen aus der Linearen Algebra, der Algebra, der
DarstellungstheorieundderKombinatorik.
WirgebenindemvorliegendenBucheineEinfiihrungindieseTheorie.Dartiber
hinaus werden spezielle Serien linearerCodes genauerdiskutiert, namlichdie zyk
lischen und einigedaraus abgeleiteteCodes. Besonderes Gewicht haben wirdabei
auf die Frage nach der Konstruktion aller zyklischen Codes zu gegebener Lange
gelegt. Auch die Betonung des darstellungstheoretischen Aspekts der Theorie der
zyklischen und der Reed-Muller Codes unterscheidet den vorliegenden Text von
den allermeisten anderenPublikationenaufdiesemGebiet.
Danachklassijizieren wirdielinearenCodesnach ihrenmetrischenEigenschaf
ten, denn dieseentscheidentiberdie QualitatbeiderFehlerkorrektur.MethodenfUr
dieAbziihlungdieserlsometrieklassen werden hergeleitet, und AlgorithmenfUrdie
Konstruktion vonRepriisentantendieserKlassenwerdenbeschrieben.Insbesondere
kann man damit die besten linearen Codes systematisch und (fUr kleine Paramter)
vollstandig ermitteln. Dies wird abgerundet durch die Angabe von Verfahren, Re
prasentanten der Isometrieklassen von linearen Codes und von Blockcodesgleich
verteilt und zufiillig zu erzeugen und aus einem gegebenen Reprasentantensystem
derIsometrieklassenvon linearen CodeskleinerBlocklangendurchexperimentelle
SuchverfahrenCodesgrOl3ererBlocklangenzu generieren.
AuchindereingehendenSchilderungvonVerfahrenzurKlassifizierung,Abzah
lung, KonstruktionundZufallserzeugungvonCodesdifferiertdasvorliegendeBuch
von den bisher publizierten Werken zurCodierungstheorie, wir haben besonderen
Wertaufdiese Aspektegelegt.Esgingunsdarumzu zeigen, wie man- zumindest
im Prinzip- systematischeine vollstiindige Obersichttiberdie linearenCodesge
winnenkann,soweitComputerdiesheuteermoglichen.Wirhabenunsdeshalbnicht
gescheut,die in unserenComputerprogrammenverwandten MethodenimDetailzu
schildem, zumal sich diese als in der konstruktiven Theorie diskreter Strukturen
VI Vorwort
ganz allgemein verwendbarerwiesenhaben. Derinteressierte Leser soIl indie La
ge versetzt werden, die Algorithmen zur Abzahlung, Konstruktion und zuHilligen
Generierungvon linearenCodeseigenstandigzu implementieren.
VielederhieraufgeftihrtenMethodenundResultate zurAbzahlungvon Isome
trieklassen und zur Konstruktion von Reprasentanten sind neu. Sie erweitem die
Ergebnisse von Slepian, auch aufnicht binare Codes, stellenweise korrigieren sie
diese.
Abzahlungund Konstruktiongehorenzusammen,denndie gefundenenAnzah
len verschaffen zunachsteinen Dberblick tiber den Umfang der Konstruktionsauf
gabe, und sie dienen auch der Kontrolle tiber die Transversalenkonstruktion: Die
ermitteltenAnzahlenbestatigendie LangenderkonstruiertenReprasentantensyste
me.
Mitden vorgelegtenMethodenzur Konstruktion von solchen Transversalenist
esnichtnurmoglich,zuvorgegebenenDimensionenundLangenGeneratormatrizen
von Codes mit der maximal erzielbaren Minimaldistanz anzugeben, sondem auch
aufzuzeigen,wie viele wesentlich verschiedenelineareCodesmitdieseroptimalen
Minimaldistanzes wirklichgibt.
Essollteebenfallsnichtunerwahntbleiben,daBdiebenutztenKonstruktionsver
fahren auch invielenanderenFallendieBerechnungunnumerierterStrukturenwie
Graphen,molekulareGraphenundDesignsermoglichen. Sie sinddeshalbin voller
Allgemeinheit beschrieben, weil sie die konstruktiveTheorie diskreter Strukturen
inbishernichterreichteGebiete voranzutreibenerlauben.
Auch die hier beschriebene verbesserte Version des LLL-Algorithmus hat in
teressante neue Resultate gebracht, zum Beispiel gelang hiermit eine verbesserte
Abschatzung der Minimaldistanz eines quadratische Reste-Codes, die bisher noch
nichtbekanntwar.
Beim Leser setzen wir Grundkenntnisse der Linearen Algebra und der Alge
bravocaus. VieleGrundbegriffewerdeninden zahlreichenObungsaufgabenaufge
frischt.
Es soiljetztnochein kurzerLeitfaden durchdas Buch angegeben werden. Das
Buch gliedert sich in drei Kapitel, die im wesentlichen unabhangig voneinander
gelesen werdenkonnen:
- Daserste Kapitel dientderEinfiihrungin dieAlgebraischenCodierungstheorie.
- 1mzweitenKapitelwerdenzyklische Codesunddarausabgeleiteteweitere Klas-
senlinearerCodesbehandelt.
- Das dritte Kapitel ist den Isometrieklassen linearer Codes gewidmet, vor allem
der computeruntersttitzten Abzahlung und der Berechnung von Reprasentanten
dieserKlassen.
Zur Schilderung der gegenseitigen Abhangigkeiten soli der Inhalt dieser Kapitel
nochetwasausftihrlicherangegebenwerden:
Dieerstendrei Abschnittedes einftihrendenKapitels zurAlgebraischenCodie
rungstheorieenthaltendie wichtigstenGrundbegriffedieserTheorieundderTheo
rieendlicherKorper,diefolgendenAbschnittekonnenimwesentlichenunabhangig
Vorwort VII
voneinandergelesen werden. 1m weiteren Veriaufvon Kapitel 1lerntderLeserei
nerseitswichtigeKlassen linearerCodeskennenundandererseitselementareWerk
zeugedieserTheone.
FtirdasKapitel2tiberzyklischeCodessindnurdieAbschnitte1.1,1.2sowie 1.3
Voraussetzung,allerdingswirdin2.1 eineGruppenaktionderGaloisgruppebenutzt,
sodaB GrundkenntnissetiberGruppenoperationen,die in 3.1 detailliertgeschildert
werden, ntitzlich sind. Die in diesem Kapitel benotigte Polynomarithmetik ist in
den Abschnitten 2.1 bis 2.4 zusammengefaBt. Sie ist grundlegendftir den Aufbau
derTheoriezyklischerCodes. JedochwirdderAbschnitt2.2 tiberdie Summenzer
legung nurin2.15, inden auch noch2.14einflieBt,benotigt.lnden Abschnitt2.16
tiberReed-Muller-Codesgehtsowohl2.13 und2.14alsauch 1.8ein.
Kapitel3istweitgehendunabhangigvon Kapitel 2undbeschaftigtsichintensiv
mitderAbzahlungundderKonstruktionderAquivalenzklassenlinearerCodes.Die
AbzahlungerfolgtindenAbschnitten3.1 bis3.4mitalgebraisch-kombinatorischen
Hilfsmitteln,diederTheonederendlichenGruppenoperationenentstammen. In3.5
bis3.9wendenwirunsderKonstruktionlinearerCodeszu,auchhierftirspielenend
licheGruppenoperationeneinewichtigeRolle.DieAbschnitte3.10bis3.12bringen
ErganzungenundAnwendungen.ZunachstwirdeinverfeinerterAnsatzzurBestim
mung der Minimaldistanz linearer Codes geschildert. Dann wird in 3.11 gezeigt,
wie man lineare (n,k)-Codes zufallig und auf die Isometrieklassen gleichverteilt
generieren kann. In 3.12 wird dies auf die Abzahlung und Zufallserzeugung von
Blockcodes verallgemeinert. In 3.13 wird abschlieBend ein kurzer Blick auf den
ZusammenhangzwischenMatroiden undlinearenCodesgeworfen.
Wir mochtenan dieserStelleinsbesondereden folgenden Kollegendanken,de
nendiesesBuchwertvolleAnregungenundDiskussionsbeitrageverdankt:E.F.Ass
mus Jr., T. Beth, I. Blake, M. de Boer, U. Eidt, A. Kohnert, W. Knapp, W. Mtiller,
R. Laue,1. H. van Lint, A. Niemeyer,T. Scharf,D. Zerfowski.
BesondererDank der Autorengiltder Deutschen Forschungsgemeinschaftund
dem Osterreichischen Fonds zur Forderung der wissenschaftlichen Forschung ftir
hilfreiche finanzielle Untersttitzung begleitender Forschungsprojekte. Die Durch
ftihrung dieser Projekte hat viel zur Vertiefungder Theorie beigetragen, sie hat zu
ImplementierungenentsprechenderProgramme und zum Sammeln umfangreichen
Datenmaterials geftihrt. Viele dieser Daten und Programme sind mittlerweile auch
den Interessenten viaemailoderInternetzuganglich.
Bayreuth,Graz, Hamburg-Harburg,imJuli 1998
A. Betten, H. Fnpertinger,A. Kerber, A. Wassermann, K.-H. Zimmermann
Inhaltsverzeichnis
v
Vorwort
Symbolverzeichnis XI
1. LineareCodes .............................................. I
1.1 LineareCodes, ihreCodierungundDecodierung ................ 4
1.2 EndlicheKorper 12
1.3 Aquivalenz,InformationsmengenundBerechnungderMinimaldi-
stanz 26
1.4 SchrankenfUrdie Parameter 34
1.5 Gewichtsverteilung......................................... 40
1.6 Hamming-Codes........................................... 46
1.7 ModifizierungenvonCodes .................................. 48
1.8 Reed-Muller-Codes 61
1.9 MDS-Codes 65
1.10 MLD-Codes 71
2. ZyklischeCodes 77
2.1 PolynomialeReprasentierung 77
2.2 DieSummenzerlegung ...................................... 88
2.3 IdempotenteErzeuger....................................... 96
2.4 DerVarietlitenverband 100
2.5 BCH-Codes 104
2.6 Reed-Solomon-Codes 112
2.7 QuadratischeReste-Codes 114
2.8 Codierung 127
2.9 Decodierung 131
2.10 VerallgemeinerteReed-Solomon-Codes 139
2.11 Altemant-Codes 143
2.12 VerallgemeinerteJustesen-Codes 147
2.13 GruppenalgebraischeReprlisentierung ISO
2.14 Zyklische p-modulareCodes 154
2.15 AbschlitzungderMinimaldistanz 160
2.16 Reed-Muller-Codes 166
X Inhaltsverzeichnis
3. AnzahIenundReprasentantenvonIsometriekIassen .............. 175
3.1 Die metrischeKlassifizierung linearerCodes 176
3.2 DieAbzahlunglinearerCodes 187
3.3 UnzerlegbarelineareCodes 203
3.4 ZyklenzeigerderprojektivenlinearenGruppen 214
3.5 Die KonstruktionlinearerCodes 233
3.6 OrdnungstreuesErzeugen 239
3.7 EineDatenstrukturfUrPermutationsgruppen 249
3.8 NormalformenIinearerCodes 255
3.9 NichtinjektiveCodes 265
3.10 BerechnungderMinimaldistanzfUrbinareundtemareCodes 276
3.11 ZufalligeErzeugunglinearerCodes 304
3.12 Blockcodes 310
3.13 LineareCodesundMatroide 319
Literaturverzeichnis ............................................. 327
Index 332
