Classification des triples de Manin pour les algèbres de Lie réductives complexes: Avec un ...

78 Pages·2001·0.5 MB·French

by  Delorme, P.

JournalofAlgebra246,97(cid:1)174Ž2001.
doi:10.1006(cid:1)jabr.2001.8887,availableonlineathttp:(cid:1)(cid:1)www.idealibrary.comon
Classification des triples de Manin pour les alg`ebres de
Lie r´eductives complexes
Patrick Delorme
AvecunappendicedeGuillaume Macey
InstitutdeMath´ematiquesdeLuminy,U.P.R.9016duCNRS,Uni(cid:2)ersit´edela
M´editerrann´ee,163A(cid:2)enuedeLuminy,Case907,13288,MarseilleCedex09,France
E-mail:[email protected]
CommunicatedbyLaurentClozel
ReceivedFebruary5,2000
WestudyrealandcomplexManintriplesforacomplexreductiveLiealgebra (cid:1).
First, we generalize results of E. Karolinsky Ž1996, Math. Phys. Anal. Geom 3,
545(cid:1)563; 1999, Preprint math.QA.9901073. on the classification of Lagrangian
subalgebras. Then we showthat, if (cid:1) is noncommutative,one can attach to each
Manin triple in (cid:1) another one for a strictly smaller reductive complex Lie
subalgebraof (cid:1).Thisgivesapowerfultoolforinduction.Thenweclassifycomplex
Manin triples in terms of what we call generalized Belavin(cid:1)Drinfeld data. This
generalizes, byothermethods,the classification ofA.Belavin andV.G.Drinfeld
ofcertain r-matrices,i.e.,thesolutionsofmodifiedtriangleequationsforconstants
Žcf.A.BelavinandV.G.Drinfeld,‘‘TriangleEquationsandSimpleLieAlgebras,’’
Mathematical Physics Reviews, Vol. 4, pp. 93(cid:1)165, Harwood Academic, Chur,
1984, Theorem 6.1.. We get also results for real Manin triples. In passing, we
retrieve a result of A. Panov Ž1999, Preprint math.QA.9904156. which classifies
certainLiebialgebrastructuresonarealsimpleLiealgebra. (cid:1)2001AcademicPress
KeyWords: reductiveLiealgebra;Manintriple;Liebialgebra.
INTRODUCTION
Let (cid:1) be a finite-dimensional complex, reductive Lie algebra. One says
that a symmetric, (cid:1)-invariant, (cid:1) Žresp., (cid:2)-. bilinear form on (cid:1) is a Manin
formif andonlyif its signature is Ždim (cid:1),dim (cid:1).Žresp.,if it is nondegen-
(cid:2) (cid:2)
erate..
Recall that a real Žresp.,complex. Manin triplein (cid:1) is a triple ŽB,(cid:2),(cid:2)(cid:1).,
where B is a real Žresp., complex. Manin form and where (cid:2),(cid:2)(cid:1) are real
Žresp. complex. Lie subalgebras of (cid:1), isotropic for B, and such that
97
0021-8693(cid:1)01$35.00
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Allrightsreserved
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Allrightsreserved
98 PATRICK DELORME
(cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:1)(cid:4)(cid:1). Then this is a direct sum and (cid:2),(cid:2)(cid:1) are of real dimension equal
to the complex dimension of (cid:1).
Our goal is to classify all Manin triples of (cid:1), up to conjugacy under the
action on (cid:1) of the connected, simply connected Lie group G with Lie
algebra (cid:1), by induction on the rank of the derived algebra of (cid:1).
One calls af-involution (resp. f-involution) of a complex semisimple Lie
algebra (cid:3),an (cid:1)-Žresp.,(cid:2)-.linear involutiveautomorphismof (cid:3), (cid:2),such
that its restriction to every stable simple ideal of (cid:3) is antilinear Žresp.,
such that (cid:3) has no simple ideal left stable by (cid:2)..
The following theorem generalizes previous results of Karolinsky Žcf.
(cid:5)K2, Theorem 1Ži.(cid:6) and (cid:5)K1(cid:6) for the proof; see also (cid:5)K3, Proposition 3.1(cid:6).,
as we do not make any restriction on the Manin form. If we are dealing
with the (cid:1)- Žresp., (cid:2)-. bilinear Manin form, Manin triple will mean a real
Žresp., complex. Manin triple.
THEOREM1. LetBbean(cid:1)-Žresp.,(cid:2).-bilinearManinformandlet (cid:2) bea
Lagrangian subalgebra of (cid:1) for B, i.e., a real Žresp., complex. Lie
subalgebraof (cid:1) whoserealdimensionis equalto the complexdimensionof (cid:1)
and which is isotropic for B. Then:
Ža. Ifwedenoteby (cid:4) thenormalizerin (cid:1) ofthenilpotentradical, (cid:5), of
(cid:2), then (cid:4) is a parabolicsubalgebraof (cid:1), with nilpotentradical equal to (cid:5).
Žb. Let (cid:6) be a Le(cid:2)i subalgebra of (cid:4) Ži.e., (cid:6) is a reducti(cid:2)e Lie
subalgebraof (cid:4) with (cid:4)(cid:4)(cid:6)(cid:7)(cid:5)., anddenoteby (cid:3) itsderi(cid:2)edidealandby (cid:7)
its center. Then the intersection, (cid:8), of (cid:2) and (cid:3) is the fixed point set of an
af-in(cid:2)olution Žresp., an f-in(cid:2)olution. of (cid:3), which is isotropic for B.
Žc. The intersection of (cid:7) and (cid:2), (cid:2) , is isotropic for B, and its real
(cid:7)
dimension equals the complex dimension of (cid:7).
Žd. One has (cid:2)(cid:4)(cid:8)(cid:7)(cid:2) (cid:7)(cid:5).
(cid:7)
Reciprocally, any real Žresp., complex. Lie subalgebra, (cid:2), of (cid:1) which is of
this form is Lagrangianfor B.
Then, one says that (cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2)(cid:2) is under (cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4)(cid:4).
One chooses a Cartan subalgebra (cid:9) of (cid:1) and a Borel subalgebra of (cid:1)
0
containing (cid:9) ,(cid:10) . Then, from Theorem 1 and the Bruhat decomposition,
0 0
onesees Žcf.Proposition1.that everyManintripleisconjugated,under G,
toaManintripleŽB,(cid:2),(cid:2)(cid:1).such that (cid:2) isunder (cid:4) and (cid:2)(cid:1) isunder (cid:4)(cid:1),with (cid:4)
containing (cid:10) and (cid:4)(cid:1) containing the oppositeBorel subalgebra to (cid:10) ,with
0 0
respect to (cid:9) . A Manin triple satisfying these conditions will be called
0
standard, under Ž(cid:4),(cid:4)(cid:1)..
Let (cid:4),(cid:4)(cid:1) be given as above, and let B be a Manin form on (cid:1).
THEOREM2. If (cid:1) isnonabelianandifthereexistsastandardManintriple
ŽB,(cid:2),(cid:2)(cid:1). under Ž(cid:4),(cid:4)(cid:1)., then (cid:4) or (cid:4)(cid:1) is different from (cid:1).
CLASSIFICATION DE TRIPLES DE MANIN 99
THEOREM 3. Let ŽB,(cid:2),(cid:2)(cid:1). be a real Žresp., complex. standard Manin
triple under Ž(cid:4),(cid:4)(cid:1).. Let p(cid:5)(cid:1) be the projection of (cid:1) on the (cid:9) -in(cid:2)ariant
supplementarysubspace of the nilpotent radical (cid:5)(cid:1) of (cid:4)(cid:1), with kern0el (cid:5)(cid:1). Let
(cid:6)(cid:7)(cid:5) be the Langlands decomposition of (cid:4), such that (cid:6) contains (cid:9) . Set
(cid:2) (cid:4)p(cid:5)(cid:1)Ž˜(cid:8)(cid:8)(cid:4)(cid:1)., where ˜(cid:8)(cid:4)(cid:2)(cid:8)(cid:6). One defines similarly (cid:2)(cid:1). 0
1Then (cid:2) ,(cid:2)(cid:1) are contained in (cid:6)(cid:8)(cid:6)(cid:1). Moreo(cid:2)er, if B deno1tes the restriction
1 1 1
of B to (cid:6)(cid:8)(cid:6)(cid:1), ŽB ,(cid:2) ,(cid:2)(cid:1). is a real Žresp., complex. Manin triple for (cid:6)(cid:8)(cid:6)(cid:1).
We set (cid:1) (cid:2)(cid:6)(cid:8)(cid:6)1(cid:1). 1 1
1
We willusefreelythenotationofTheorem1 for ŽB ,(cid:2) ,(cid:2)(cid:1)., whichiscalled
1 1 1
the predecessor of the standard Manin triple ŽB,(cid:2),(cid:2)(cid:1)..
If (cid:11) is a real subalgebra of (cid:1), we denote by R the analytic subgroup of
G with Lie algebra (cid:11).
THEOREM 4 Žcf. Th`eor`eme 4 et Proposition 6.. E(cid:2)ery real Žresp., com-
plex. Manin triple under Ž(cid:4),(cid:4)(cid:1). is conjugate, by an element of P(cid:8)P(cid:1), to a
real Žresp., complex. Manin triple under Ž(cid:4),(cid:4)(cid:1)., ŽB,(cid:2),(cid:2)(cid:1)., such that all the
successi(cid:2)e predecessors, ŽB ,(cid:2) ,(cid:2)(cid:1).,ŽB ,(cid:2) ,(cid:2)(cid:1) .,..., are standard Manin
triples in (cid:1) (cid:4)(cid:6)(cid:8)(cid:6)(cid:1),(cid:1) ,...1, w1ith1respe2ct t2o th2e intersection of (cid:10) ,(cid:10)(cid:1) , with
1 2 0 0
(cid:1) ,(cid:1) ,..., andsuchthattheintersection (cid:12) Žresp., (cid:12)(cid:1) . of (cid:9) with (cid:2) Žresp. (cid:2)(cid:1).
1 2 0 0 0
is a fundamental Cartan subalgebra of (cid:2) Žresp. (cid:2)(cid:1)., contained in (cid:2) ,(cid:2) ,...
1 2
Žresp., (cid:2)(cid:1),(cid:2)(cid:1) ,.....
1 2
Such a Manintriple will be called strongly standard. The smallest integer,
k, such that (cid:1) (cid:4)(cid:9) is called the height of the strongly standard Manin
k 0
triple. Two Manin triples which are conjugate under G ha(cid:2)e the same height.
Now,we assume that B is (cid:2)-bilinear. One defines (cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:3)(cid:3)(cid:9)(cid:2)(cid:3)(cid:4)Re(cid:3)
(cid:5)0, or Re(cid:3)(cid:4)0 et Im(cid:3)(cid:6)04, (cid:2)(cid:10)(cid:4)(cid:2)(cid:3)(cid:11)(cid:2)(cid:3). If B is a complex Manin
form on (cid:1), one denotes by (cid:1) Žresp., (cid:1) . the sum of the simple ideals of
(cid:3) (cid:10)
(cid:1),(cid:1) , for which the restriction of B to (cid:1) is equal to (cid:3)K , where
(cid:3)(cid:9)i(cid:2)(cid:3) Žresp., (cid:2)(cid:10). and K is the Killing foirm of (cid:1) . Theni(cid:1) (cid:1)iand (cid:1)
arie commutingideals of (cid:1) a(cid:1)nid (cid:5)(cid:1),(cid:1)(cid:6)(cid:4)(cid:1) (cid:7)(cid:1) .Theni (cid:1) Žresp(cid:3)., (cid:1) . ha(cid:10)s
(cid:3) (cid:10) (cid:3) (cid:10)
(cid:9) (cid:8)(cid:1) Žresp., (cid:9) (cid:8)(cid:1) . as a Cartan subalgebra and (cid:10) (cid:8)(cid:1) Žresp.,
0 (cid:3) 0 (cid:10) 0 (cid:3)
(cid:10)(cid:1) (cid:8)(cid:1) : the use of (cid:10)(cid:1) instead of (cid:10) is important. as Borel subalgebras.
0 (cid:10) 0 0
Letusdenoteby (cid:4) Žresp., (cid:4) .thesetofsimplerootsof (cid:1) withrespect
(cid:3) (cid:10) (cid:7)
to these Borel and Cartan subalgebras. These roots can be viewedas roots
of (cid:9) in (cid:1).
0
For (cid:5)(cid:9)(cid:4)(cid:4)(cid:4) (cid:12)(cid:4) , let H (cid:9)(cid:9) be the coroot of (cid:5). Let WW(cid:4)
(cid:3) (cid:10) (cid:5) 0
ŽH , X ,Y . be a Weyl system of generators of (cid:5)(cid:1),(cid:1)(cid:6), where (cid:4)(cid:4)(cid:4)
(cid:5) (cid:5) (cid:5) (cid:5)(cid:9)(cid:4) (cid:3)
(cid:12)(cid:4) . More precisely, for all (cid:5),(cid:6)(cid:9)(cid:4), one has
(cid:10)
X ,Y (cid:4)(cid:7) H
(cid:5) (cid:6) (cid:5)(cid:6) (cid:6)
H , X (cid:4)N X
(cid:5) (cid:6) (cid:5)(cid:6) (cid:6)
H ,Y (cid:4)(cid:10)N Y
(cid:5) (cid:6) (cid:5)(cid:6) (cid:6)
100 PATRICK DELORME
where
N (cid:4)(cid:6)ŽH . (cid:4)2K ŽH , H .(cid:1)K ŽH , H ..
(cid:5)(cid:6) (cid:5) (cid:1) (cid:5) (cid:6) (cid:1) (cid:6) (cid:6)
Note that ŽH , X ,Y . is a Weyl system of generators of (cid:1) .
(cid:5) (cid:5) (cid:5) (cid:5)(cid:9)(cid:4) (cid:7)
Moreover, as (cid:1) and (cid:1) (cid:7)commute, if (cid:5)(cid:9)(cid:4) and (cid:6)(cid:9)(cid:4) one has
(cid:3) (cid:10) (cid:3) (cid:10)
N (cid:4)N (cid:4)0.
(cid:5)(cid:6) (cid:6)(cid:5)
DEFINITION. One calls ŽA, A(cid:1),(cid:2)(cid:7),(cid:2)(cid:7)(cid:1). generalized Belavin(cid:1)Drinfeld
data with respect to B when the following five conditions are satisfied:
Ž1. A is a bijection from a subset (cid:8) of (cid:4) on a subset (cid:8) of (cid:4) ,
(cid:3) (cid:3) (cid:10) (cid:10)
such that
BŽH , H .(cid:4)(cid:10)BŽH , H ., (cid:5),(cid:6)(cid:9)(cid:8) .
A(cid:5) A(cid:6) (cid:5) (cid:6) (cid:3)
Ž2. A(cid:1) is a bijection froma subset (cid:8)(cid:1) of (cid:4) on a subset (cid:8)(cid:1) of (cid:4) ,
(cid:3) (cid:3) (cid:10) (cid:10)
such that
BŽHA(cid:1)(cid:5), HA(cid:1)(cid:6).(cid:4)(cid:10)BŽH(cid:5), H(cid:6)., (cid:5),(cid:6)(cid:9)(cid:8)(cid:3)(cid:1) .
Ž3. If C(cid:4)(cid:8)A(cid:10)1A(cid:1)(cid:8) is the map defined on domC(cid:4)(cid:3)(cid:5)(cid:9)(cid:8)(cid:1) (cid:4)A(cid:1)(cid:5)(cid:9)
(cid:3)
(cid:8) 4 by C(cid:5)(cid:4)A(cid:10)1A(cid:1)(cid:5), (cid:5)(cid:9)domC, then C satisfies:
(cid:3)
For all (cid:5)(cid:9)domC, there exists n(cid:9)(cid:3)(cid:3) such that (cid:5),...,Cn(cid:10)1(cid:5)(cid:9)
domC and Cn(cid:5)(cid:1)domC.
Ž4. (cid:2)(cid:7) Žresp., (cid:2)(cid:7)(cid:1). is a complex vector subspace of (cid:9)0, included and
Lagrangian in the orthogonal, (cid:7) Žresp., (cid:7)(cid:1)., for the Killing form of (cid:1) Žor
for B. to the subspace generated by H , (cid:5)(cid:9)(cid:8)(cid:2)(cid:8) (cid:12)(cid:8) Žresp., (cid:8)(cid:1)(cid:2)
(cid:5) (cid:3) (cid:10)
(cid:8)(cid:1) (cid:12)(cid:8)(cid:1) ..
(cid:3) (cid:10)
Ž5. If (cid:12) is the subspace of (cid:9) generated by the family H (cid:3)H ,
(cid:5)(cid:9)(cid:8) , and (cid:12)(cid:1) is defined similarly,0then (cid:5) A(cid:5)
(cid:3)
Ž(cid:12)(cid:7)(cid:2)(cid:7). (cid:8)Ž(cid:12)(cid:1)(cid:7)(cid:2)(cid:7)(cid:1). (cid:4)(cid:3)04.
We will denote by R the set of roots of (cid:9) in (cid:1), which are a linear
combinationofelements(cid:3)of (cid:8) .Onedefinessim0ilarly R , R(cid:1) , R(cid:1) .Wewill
(cid:3) (cid:10) (cid:3) (cid:10)
denote also by A Žresp. A(cid:1). the (cid:1)-linear extension of A Žresp. A(cid:1)., which
defines a bijection from R on R Žresp. R(cid:1) on R(cid:1) .. If A satisfies the
(cid:3) (cid:10) (cid:3) (cid:10)
conditionŽ1.above,there exists auniqueisomorphism(cid:9)fromthesubalge-
bra (cid:3) of (cid:1),generated by X , H ,Y , (cid:5)(cid:9)(cid:8) ,onthe subalgebra (cid:3) of
(cid:3) (cid:5) (cid:5) (cid:5) (cid:3) (cid:10)
(cid:1), generated by X , H ,Y , (cid:5)(cid:9)(cid:8) , such that
(cid:5) (cid:5) (cid:5) (cid:10)
(cid:9)ŽH . (cid:4)H , (cid:9)ŽX . (cid:4)X , (cid:9)ŽY . (cid:4)Y , (cid:5)(cid:9)(cid:8) .
(cid:5) A(cid:5) (cid:5) A(cid:5) (cid:5) A(cid:5) (cid:3)
THEOREM Žcf. Proposition 8 and Th´eor`em 5.. Ži. Let BBDD(cid:4)ŽA, A(cid:1),
(cid:2)(cid:7),(cid:2)(cid:7)(cid:1). be generalizedBela(cid:2)in(cid:1)Drinfeld data, with respect to B. Let (cid:5) be the
sum of the root spaces relati(cid:2)e to roots (cid:5) of (cid:9) in (cid:10) , which are not in
0 0
CLASSIFICATION DE TRIPLES DE MANIN 101
R (cid:12)R . Let (cid:2) be equal to (cid:8)(cid:7)(cid:2) (cid:7)(cid:5), where (cid:9) is as abo(cid:2)e, (cid:8)(cid:2)(cid:3)X(cid:3)
(cid:3) (cid:10) (cid:7)
(cid:9)ŽX.(cid:4)X(cid:9)(cid:3) 4, and (cid:2)(cid:1) is defined similarly; then ŽB,(cid:2),(cid:2)(cid:1). is a strongly
(cid:3)
standard Manintriple.
Žii. E(cid:2)ery Manin triple is conjugate by an element of G to a unique
Manin triple of this type. If the original triple is moreo(cid:2)er strongly standard,
the element of G can be taken in J ; or, in other words, e(cid:2)ery strongly
0
standard Manintriple is of the preceeding type, if one allows WW to change.
Let (cid:1) be a complex simple Lie algebra, and set (cid:1)(cid:4)(cid:1) (cid:9)(cid:1) . One
1 1 1
shows easily that the preceeding theorem implies the classification of
Manin triples in (cid:1), with (cid:2) equal to the diagonal, up to conjugacy by the
diagonal. But there is a bijection between such triples and certain r-
matrices Žsee the appendix by Macey here for a proof and references..
Hence, our result gives a classification of these r-matrices, the original
classification, known as the classification of solutions of modified triangle
(cid:5)
equations for constants, being due to Belavin and Drinfeld BD, Theorem
(cid:6)
6.1. The two classifications are in terms of the same parameters. The
appendix by Macey shows that they coincide.
One proves also results for real Manin triples. One retrieves a result of
(cid:5) (cid:6)
Panov P1 which classifies certain Lie bialgebra structures on a real
simple Lie algebra.
1. SOUS-ALG`EBRES DE LIE LAGRANGIENNES
Dans tout l’article, alg`ebre de Lie voudra dire alg`ebre de Lie de
dimension finie.
Si (cid:1) est une alg`ebre de Lie on notera souvent (cid:1)der son id´eal d´eriv´e.
Soit (cid:7) est une alg`ebre de Lie ab´elienne sur (cid:4)(cid:4)(cid:1) ou (cid:2), V un
(cid:7)-module complexe. Pour (cid:3)(cid:9)Hom Ž(cid:7),(cid:2)., on note V(cid:3)(cid:2)(cid:3)(cid:2)(cid:9)V(cid:4)X(cid:2)(cid:4)
(cid:4)
(cid:3)ŽX.(cid:2), X(cid:9)(cid:7)4, qui est appel´e le sous-espace de poids (cid:3)de V. On dit que
(cid:3)estunpoidsde (cid:7) dans V si V(cid:3)estnonnuletonnote (cid:10)ŽV,(cid:7).l’ensemble
des poids non nuls de (cid:7) dans V.
Si G est un groupe de Lie, on notera G0 sa composante neutre.
LEMME 1. Ži. Soit (cid:1) unealg`ebrede Lie semi-simplecomplexe, (cid:1) ,...,(cid:1)
1 n
ses id´eaux simples. Toute forme (cid:1) Žresp. (cid:2).-bilin´eaire (cid:1)-in(cid:2)ariante sur (cid:1) est
du type B ou B(cid:1) Žresp. K ou K(cid:1)., ou` (cid:3)(cid:4)Ž(cid:3),...,(cid:3).(cid:9)(cid:2)n et
(cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) 1 n
B ŽX (cid:3)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:3)X ,Y (cid:3)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:3)Y . (cid:4) Ý ImŽ(cid:3)K ŽX ,Y..
(cid:3) 1 n 1 n i (cid:1)i i i
i(cid:4)1,...,n
K ŽX (cid:3)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:3)X ,Y (cid:3)(cid:11)(cid:11)(cid:11)(cid:3)Y . (cid:4) Ý (cid:3)K ŽX ,Y.,
(cid:3) 1 n 1 n i (cid:1)i i i
i(cid:4)1,...,n
siles X,Y sontdes´el´ementsde (cid:1) . Ici K d´esignelaforme de Killingde (cid:1) .
i i i (cid:1)i i
102 PATRICK DELORME
En particulier, unetelleformeestsym´etriqueetlesid´eauxsimplessontdeux
a`deux orthogonauxpour une telle forme.
Žii. LaformeB Žresp. K . estnond´eg´en´er´eesietseulementsichacun
(cid:3) (cid:3)
des (cid:3), est non nul. La forme B est alors de signature Ždim (cid:1),dim (cid:1)..
i (cid:3) (cid:2) (cid:2)
Žiii. La restriction de B(cid:1) a`une sous-alg`ebre complexe et simple, (cid:13), de
(cid:3)
(cid:1), est de la forme B(cid:13), ou` (cid:12)(cid:4)Ý q (cid:3) et pour chaque i, q est un
(cid:12) i(cid:4)1,...,n i i i
nombre rationnel positif. De plus q est non nul si et seulement si (cid:13) a un
i
crochet non nul a(cid:2)ec (cid:1) .
i
D´emonstration. Le point Ži. ram`ene ais´ement au cas o`u (cid:1) est simple,
qui se traite en´etudiant les entrelacements (cid:1)Žresp.(cid:2).-lin´eaire du (cid:1)-mod-
ule (cid:1) avec lui mˆeme.
Pour Žii., l’assertion sur la non nullit´e des (cid:3) est claire. Pour l’´etude de
i
la signature, on se ram`ene au cas o`u (cid:1) est simple. Supposons (cid:3)(cid:9)(cid:2), non
nul. Soit (cid:14) une forme r´eelle compacte de (cid:1). On fixe une base X ,..., X
1 l
de (cid:14), orthonorm´ee pour l’oppos´e de la forme de Killing de (cid:14). On choisit
une racine carr´ee (cid:12) de (cid:10)i(cid:3)(cid:10)1. On pose Y (cid:4)(cid:12)X, Z (cid:4)i(cid:12)X. Alors
i i i i
B ŽY, Z .(cid:4)0, B ŽY,Y.(cid:4)(cid:7) , B ŽZ, Z .(cid:4)(cid:10)(cid:7) . D’o`u l’on d´eduit
(cid:3) i j (cid:3) i j i,j (cid:3) i j i,j
l’assertion voulue sur la signature.
Pour Žiii., on utilise le fait suivant Žcf. (cid:5)OV, Chap. 3, Proposition 2.5(cid:6).:
Si (cid:13)est unerepr´esentationcomplexed’unealg`ebrede Lie simplecomplexe,
(cid:13), dans un espace de dimension finie, V, on a: trŽ(cid:13)ŽX.(cid:13)ŽY..(cid:4)qK ŽX,Y.
(cid:13)
ou` q est un nombre entier positif, appel´e indice de Dynkin, qui est nul si et
seulement si (cid:13)est tri(cid:2)iale.
D´EFINITION 1. Si (cid:1) est une alg`ebre de Lie r´eductive complexe, une
forme (cid:1) Žresp. (cid:2).-bilin´eaire sym´etrique sur (cid:1) et invariante par (cid:1) est dite
forme de Manin si et seulement si elle est de signature Ždim (cid:1),dim (cid:1).
(cid:2) (cid:2)
Žresp. si et seulement si elle est non d´eg´en´er´ee.. Une forme de Manin est
dite forme sp´eciale si sa restriction `a toute sous-alg`ebre de Lie complexe
semi-simple est non d´eg´en´er´ee.
LEMME 2. Ži.Uneforme(cid:1)Žresp.(cid:2).-bilin´eairesym´etrique (cid:1)-in(cid:2)ariantesur
(cid:1) est sp´eciale si et seulement si sa restriction a` (cid:1)der est sp´eciale et si sa
restriction au centre, (cid:15), de (cid:1) est de signature Ždim (cid:15),dim (cid:15). Žresp. est non
(cid:2) (cid:2)
d´eg´en´er´ee..
Žii. La restriction d’une forme sp´eciale a` une sous-alg`ebre de Lie
semi-simplecomplexede (cid:1) est sp´eciale.
Žiii. La restriction d’une forme sp´eciale au centralisateur d’un ´el´ement
semi-simplede (cid:1), dontl’imageparlarepr´esentationadjointede (cid:1) n’aquedes
(cid:2)aleurs propres r´eelles, est sp´eciale.
CLASSIFICATION DE TRIPLES DE MANIN 103
Živ. Si (cid:1) est semi-simple, et B(cid:4)B(cid:1) Žresp. K(cid:4)K(cid:1)., ou` (cid:3)(cid:4)Ž(cid:3),
(cid:3) (cid:3) i 1
...,(cid:3).(cid:9)(cid:2)n (cid:2)´erifie
n
Si Ý q (cid:3)(cid:4)0 a(cid:2)ecq (cid:9)(cid:5)(cid:3), alorslesq sonttousnuls Ž1.1.
i i i i
i(cid:4)1,...,n
alors B Žresp. K. est sp´eciale. On note que Ž1.1. est satisfait d`es que les (cid:3)
i
sont ind´ependantssur (cid:5), ou bien tous strictement positifs.
Žv. Si (cid:1) est simple, toute forme (cid:1) Žresp. (cid:2).-bilin´eaire sym´etrique
(cid:1)-in(cid:2)ariantesur (cid:1) est sp´eciale.
D´emonstration. On traite le cas des formes (cid:1)-bilin´eaires, celui des
formes (cid:2)-bilin´eaires ´etant semblable. Ži. r´esulte du fait que pour toute
forme (cid:1)-bilin´eaire sym´etrique (cid:1)-invariante sur (cid:1), le centre de (cid:1) et (cid:1)der
sont orthogonaux.
Žii. est clair.
MontronsŽiii..Commelecentralisateur d’un´el´ement de (cid:1) estlasomme
de son intersection avec (cid:1)der et du centre, on se r´eduit ais´ement, grˆace`a
Ži., au cas o`u (cid:1) est semi-simple, ce que l’on suppose dans la suite. Soit X
un ´el´ement semi-simple de (cid:1) tel que adX n’a que des valeurs propres
r´eelles, soit (cid:6) son centralisateur et (cid:16) le centre de (cid:6). D’apr`es Ži. et Žii., il
suffit de voir que la restriction d’une forme sp´eciale `a (cid:16) est de signature
Ždim (cid:16),dim (cid:16).. Soit (cid:9) une sous-alg`ebre de Cartan de (cid:1) contenant X.
(cid:2) (cid:2)
Alors (cid:16) est ´egal `a l’intersection des noyaux des racines de (cid:9) dans (cid:1)
s’annulant sur X. Cela montre que (cid:16) est la somme de ses intersections
avec les id´eaux simples de (cid:1). Il suffit alors de prouver notre assertion sur
la signature dans le cas o`u (cid:1) est simple. Alors B(cid:4)B , avec (cid:3)non nul.
(cid:3)
Soit (cid:9) l’espace form´e des´el´ements de (cid:9) sur lesquels toutes les racines de
(cid:1)
(cid:9) dans (cid:1) sont r´eelles, qui est une former´eelle de (cid:9).Il est clair que (cid:16) est la
somme directe de (cid:16) (cid:2)(cid:16)(cid:8)(cid:9) avec i(cid:16) . On fixe une base orthonorm´ee,
(cid:1) (cid:1) (cid:1)
X ,..., X, de (cid:16) , pour la forme de Killing de (cid:1). Celle-ci existe car la
1 l (cid:1)
formedeKilling est d´efinie positivesur (cid:9) .Onchoisit une racine carr´ee (cid:12)
(cid:1)
de i(cid:3)(cid:10)1. On pose Y (cid:4)(cid:12)X, Z (cid:4)i(cid:12)X. Alors B ŽY,Z .(cid:4)0, B ŽY,Y.(cid:4)
i i i i (cid:3) i j (cid:3) i j
(cid:7) , B ŽZ,Z .(cid:4)(cid:10)(cid:7) . D’o`u l’on d´eduit l’assertion voulue sur la signa-
i,j (cid:3) i j i,j
ture, ce qui prouve Žiii..
Živ. est une cons´equence imm´ediate du Lemme 1 et Žv. est un cas
particulier de Živ..
COROLLAIRE 1. Ži. La restriction d’une forme (cid:1) Žresp. (cid:2).-bilin´eaire,
sym´etrique, (cid:1)-in(cid:2)ariantesur (cid:1), et nond´eg´en´er´ee, B, aucentralisateur, (cid:6) d’un
´el´ement semi-simple de (cid:1), dont l’image par la repr´esentation adjointe de (cid:1)
n’aquedes(cid:2)aleurspropresr´eelles, est nond´eg´en´er´ee. Il en(cid:2)a de mˆemede sa
restriction a`(cid:6)der et au centre (cid:7) de (cid:6).
Žii. SiBestuneformedeManinsur (cid:1), sarestrictiona`(cid:6) Žresp. (cid:6)der, (cid:7).
est une forme de Maninsur (cid:6) Žresp. (cid:6)der, (cid:7)..
104 PATRICK DELORME
Žiii. Une forme bilin´eaire sym´etrique, (cid:1)-in(cid:2)ariante est une forme de
Manin si et seulement si sa restriction a` (cid:1)der et sa restriction au centre de (cid:1)
sont des formes de Manin.
On rappelle que le radical d’une alg`ebre de Lie, (cid:1), est son plus grand
id´eal r´esoluble, et que son radical nilpotent, est le plus grand id´eal, dont
les ´el´ements sont repr´esent´es par des endomorphismes nilpotents dans
chaque repr´esentation de dimension finie de (cid:1). Suivant Bourbaki, on
appelle sous-alg`ebre de Levi d’une alg`ebre de Lie, toute sous-alg`ebre
semi-simple suppl´ementaire du radical. Si (cid:1) est une alg`ebre de Lie
semi-simple complexe on appelle d´ecompositionde Langlands d’une sous-
alg`ebre parabolique (cid:4) de (cid:1) une d´ecompositiondela forme (cid:4)(cid:4)(cid:6)(cid:7)(cid:5),o`u
(cid:5) est le radical nilpotent et (cid:6) est une sous-alg`ebre de Lie complexe de (cid:1),
r´eductive dans (cid:1).
Rassemblons dans un Lemme quelques propri´et´es ´el´ementaires des
d´ecompositions de Langlands d’une sous-alg`ebre parabolique.
LEMME 3. Soit (cid:4) une sous-alg`ebre parabolique de (cid:1), (cid:5) son radical
nilpotent.
Ži. Si (cid:9) est unesous-alg`ebrede Cartande (cid:4), c’est unesous-alg`ebrede
Cartan de (cid:1), et il existe une seule d´ecomposition de Langlands de (cid:4),
(cid:4)(cid:4)(cid:6)(cid:7)(cid:5), telle que (cid:9) soit contenue dans (cid:6).
Žii. Si (cid:9),(cid:9)(cid:1) sontdeux sous-alg`ebresde Cartande (cid:1), contenuesdans (cid:4),
elles sont conjugu´ees par un ´el´ement de P, qui conjugue les alg`ebres (cid:6) et (cid:6)(cid:1)
correspondantes.
Žiii. Si (cid:4)(cid:4)(cid:6)(cid:7)(cid:5) est une d´ecomposition de Langlands de (cid:4), toute
sous-alg`ebrede Cartan de (cid:6) est une sous-alg`ebrede Cartan de (cid:1).
D´emonstration. Revenant`alad´efinitiondessous-alg`ebres paraboliques
Žcf. (cid:5)Bou, Chap. VIII, Paragraphe 3.4, D´efinition 2(cid:6), par exemple., on voit
qu’il existe une sous-alg`ebre de Cartan de (cid:1), (cid:9) , et une d´ecomposition de
1
Langlands de (cid:4), (cid:4)(cid:4)(cid:6) (cid:7)(cid:5), avec (cid:9) contenue dans (cid:6) , telle que (cid:6) soit la
1 1 1 1
somme des sous-espaces poidsde (cid:9) dans (cid:4), d’intersection avec (cid:5) reduite
1
`a z´ero.En particulier les poidsde (cid:9) dans (cid:6) (cid:13)(cid:4)(cid:1)(cid:5) sont distincts de ceux
dans (cid:5). Si (cid:4)(cid:4)(cid:6)(cid:1) (cid:7)(cid:5) est une d´eco1mpositio1n de Langlands de (cid:4), avec (cid:9)
contenue dans (cid:6)(cid:1)1,(cid:6)(cid:1) est somme des sous-espaces poids de (cid:9) dans (cid:1) pour1
des poids de (cid:9) d1an1s (cid:6)(cid:1) (cid:13)(cid:4)(cid:1)(cid:5) dans (cid:6)(cid:1) (cid:13)(cid:1)(cid:1)(cid:5). D’o`u l’´egali1t´e de (cid:6) et (cid:6)(cid:1).
1 1 1 1 1
Ceci assure l’unicit´e de (cid:6) pour (cid:9)(cid:4)(cid:9) . Maintenant toutes les sous-alg`ebres
1
deCartan de (cid:4) sontconjugu´ees`a (cid:9) ,parun´el´ement de P Žcf.(cid:5)Bou,Chap.
1
VII, Paragraphe 3.3, Th´eor`eme 1(cid:6).. On en d´eduit Ži. par transport de
structure, et Žii. r´esulte de la preuve de Ži..
Montrons Žiii.. Si (cid:4)(cid:4)(cid:6)(cid:7)(cid:5) est une d´ecomposition de Langlands de (cid:4),
l’action du centre de (cid:6) sur (cid:1) est semi-simple, puisque (cid:6) est r´eductive dans
(cid:1). Cela implique que, si (cid:9) une une sous-alg`ebre de Cartan de (cid:6),(cid:9) est
CLASSIFICATION DE TRIPLES DE MANIN 105
ab´elienne et form´eed’´el´ementssemi-simples de (cid:1).Mais (cid:6) est isomorphe`a
(cid:4)(cid:1)(cid:5), qui est une alg`ebre r´eductive de mˆeme rang que (cid:1). Pour des raisons
de dimension, on voit que (cid:9) est une sous-alg`ebre de Cartan de (cid:1).
D´EFINITION 2. On appelle af-involution Žresp. f-involution., o`u a vaut
pourantilin´eaire et f pourflip,d’unealg`ebre deLie semi-simple complexe
(cid:3),toutautomorphismeinvolutif,(cid:1)-lin´eaire Žresp.(cid:2)-lin´eaire. (cid:2),de (cid:3),tel
que sa restriction `a tout id´eal simple de (cid:1) qu’il laisse invariant est
antilin´eaire Žresp. qui ne laisse aucun id´eal simple invariant..
Ceci ´equivaut au fait qu’il existe:
Ž1. un id´eal (cid:3)˜ de (cid:3), qui est en outre est r´eduit `a z´ero pour les
0
f-involutions, et une forme r´eelle, ˜(cid:8) , de (cid:3)˜ ;
0 0
Ž2. des id´eaux simples de (cid:3),(cid:3)(cid:1),(cid:3)(cid:8), j(cid:4)1,..., p;
j j
Ž3. un isomorphisme d’alg`ebres de Lie complexes, (cid:9), entre (cid:3)(cid:1) et
(cid:3)(cid:8), j(cid:4)1,..., p; j j
j
tel que, notant (cid:8) (cid:2)(cid:3)X(cid:3)(cid:9)ŽX.(cid:4)X(cid:9)(cid:3)(cid:1)4, et notant (cid:8), l’ensemble des
j j j
points fixes de (cid:2), on ait
(cid:3)(cid:4)(cid:3)˜ (cid:7) ž(cid:7) Ž(cid:3)(cid:1) (cid:7)(cid:3)(cid:8)./
0 j(cid:4)1,...,p j j
(cid:8)(cid:4)˜(cid:8) (cid:7)ž(cid:7) (cid:8) /.
0 j(cid:4)1,...,p j
Il est bon de remarquer qu’un automorphisme involutif de (cid:3) est
caract´erise´ par son espace de points fixes, car l’espace des ´el´ements
anti-invariants est juste l’orthogonal de celui-ci, pour la forme de Killing
de (cid:3) regard´ee comme r´eelle.
On remarque qu’une f-involution est en particulier une af-involution.
D´ebutons par quelques propri´et´es´el´ementaires.
LEMME 4. Soit (cid:8) une forme r´eelle simple d’une alg`ebre de Lie semi-
simple complexe (cid:13).
Ži. L’alg`ebre (cid:13) n’est pas simple, si et seulement si (cid:8) admet une
structure complexe.
Žii. Dans ce cas, (cid:13) est le produit de deux id´eaux simples, (cid:13) ,(cid:13) ,
1 2
isomorphesa`(cid:8).
Žiii. Toujours dans ce cas, il existe un isomorphisme antilin´eaire, (cid:9),
entre les alg`ebres de Lie (cid:13) ,(cid:13) , regard´ees comme r´eelles, tel que
1 2
(cid:8)(cid:4)(cid:3)X(cid:3)(cid:9)ŽX. (cid:4)X(cid:9)(cid:13) 4.
1
D´emonstration. Les points Ži. et Žii. sont bien connus. Montons Žiii..
Comme (cid:8) est une forme r´eelle de (cid:13) (cid:7)(cid:13) , la projection de (cid:8) sur chacun
1 2
106 PATRICK DELORME
desdeuxfacteurs estnonnulle,doncinduitunisomorphisme(cid:1)-lin´eaire de
(cid:8) avec chacun de ces facteurs. Il en r´esulte que (cid:8) a la forme indiqu´ee,
mais on sait seulement que (cid:9)est (cid:1)-lin´eaire. Mais alors (cid:8) apparaˆıt comme
l’ensemble des points fixes de l’automorphisme involutif (cid:1)-lin´eaire de (cid:13)
d´efini par
X(cid:3)Y(cid:1)(cid:9)(cid:10)1ŽY. (cid:3)(cid:9)ŽX., X(cid:9)(cid:13) ,Y(cid:9)(cid:13) .
1 2
D’apr`es la remarque qui pr´ec`ede le Lemme, cette involution doit ˆetre
´egale `a la conjugaison par rapport `a (cid:8), donc elle est antilin´eaire. Ceci
implique l’antilin´earite´de (cid:9).
LEMME 5. On se donne une af-in(cid:2)olution, (cid:2), d’une alg`ebre de Lie
semi-simplecomplexe (cid:3). Les id´eaux simples de (cid:3) sont permut´es par (cid:2). On
note (cid:3) , j(cid:4)1,...,r, les id´eaux simples de (cid:3). On d´efinit une in(cid:2)olution (cid:14)
j
de(cid:3)1,...,r4 caract´eris´eepar: (cid:2)Ž(cid:3) .(cid:4)(cid:3) , j(cid:4)1,...,r. Pourj(cid:4)1,...,r,
j (cid:14)Žj.
l’une des propri´et´essui(cid:2)antes est(cid:2)´erifi´ee:
Ž1. (cid:14)Žj.(cid:4)j et la restriction de (cid:2) a` (cid:3) est un automorphisme
j
antilin´eairede (cid:3) .
j
Ž2. (cid:14)Žj.(cid:10)jetlarestrictionde (cid:2)a`(cid:3) estunisomorphismeantilin´eaire
j
de (cid:3) sur (cid:3) .
j (cid:14)Žj.
Ž3. (cid:14)Žj.(cid:10)j et la restrictionde (cid:2)a`(cid:3) est un isomorphisme (cid:2)-lin´eaire
j
de (cid:3) sur (cid:3) .
j (cid:14)Žj.
Si on est dans le cas Ž1. ou Ž2., (cid:3) est contenu dans l’id´eal (cid:3)˜ de la
j 0
d´efinition des af-in(cid:2)olutions. En particulier si (cid:2) est une f-in(cid:2)olution, on est
toujours dans le cas Ž3..
D´emonstration. En effet, soit (cid:8) , l(cid:4)1,...,q, les id´eaux simples de
p(cid:3)l
˜(cid:8) . Comme ˜(cid:8) est une forme r´eelle de (cid:3)˜ , (cid:3)˜ est la somme directe des
0 0 0 0
(cid:8) (cid:3)i(cid:8) , qui sont en outre des id´eaux. Si (cid:8) (cid:3)i(cid:8) est simple,
p(cid:3)l p(cid:3)l p(cid:3)l p(cid:3)l
c’estunid´ealsimplede (cid:3) etonestdanslecasŽ1..Sinon (cid:8) (cid:3)i(cid:8) est
p(cid:3)l p(cid:3)l
le produit de deux id´eaux simples et l’on est dans le cas Ž2., d’apr`es le
Lemme pr´ec´edent.
Ontraite demˆemelecaso`u (cid:3) est´egal`al’undes (cid:3)(cid:1),(cid:3)(cid:8), j(cid:4)1,..., p,
l j j
en remarquant que (cid:8) est l’ensemble des points fixes de l’involution
(cid:2)-lin´eaire de (cid:3)(cid:1) (cid:7)(cid:3)(cid:8)jdonn´ee par
j j
X(cid:3)Y(cid:1)(cid:9)(cid:10)1ŽY. (cid:3)(cid:9)ŽX., X(cid:9)(cid:3)(cid:1),Y(cid:9)(cid:3)(cid:8). Ž1.2.
j j
LEMME 6. Tout isomorphisme (cid:1)-lin´eaire entre deux alg`ebres de Lie sim-
ples complexesest soit (cid:2)-lin´eaire, soit antilin´eaire.