Classification des algèbres de Lie, Systèmes de Pfaff, et méthode d'équivalence d'Élie Cartan

21 Pages·2008·0.11 MB·French

Classification des algèbres de Lie,
Systèmes de Pfaff,
et méthode d’équivalence d’Élie Cartan :
ouvertures conceptuelles et obstacles techniques
Joël MERKER
I. Philosophie des mathématiques (généralités)
II. Groupes continus de transformation
III. Classification des algèbres de Lie
IV. Systèmes de Pfaff
V. Repère mobile et courbure de Gauss
VI. Méthode d’équivalence
1
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«Les» Mathématiques : (participationshumainesvariées)
Écoles, universités, exercices guidés, examens, etc.
•
Circulation, répétition, gymnastique, évaluation.
Ministères, Universités, Irems, Iufms, etc.
•
Téléphonie, cryptographie, etc.
•
Histoire ancienne, moderne, institutionnelle, etc.
•
Épistémologie, philosophie.
•
Recherche, spécialisation, compétition.
•
combats, gesticulations, erreurs, découvertes, publications
Questions : Qu’est-ceque«participer»auxmathématiques?A-t-onle
devoirde(re)penserconceptuellement,dialectiquement,philosophique-
mentethistoriquementcequ’ellesdéploient?
La philosophie des mathématiques est-elle possible?
Deux allégories élémentaires :
Gymnastique impensable; technification du concept; méditation ab-
•
sorbée, assimilée, involuée; automatismes spéculatifs.
Cerveau et combat; contingences du terrain; jungle; éloignement des
•
astres mathématiques; inexistence d’un seul grand cerveau unificateur
et réorganisateur.
3
Positions, principes, objectifs
Actes d’orientation. Goûts mathématiques, types de questions
•
impasses, échecs, rebondissements
nouveaux intérêts mathématiques
Écriture. Écrire pour (re)comprendre
•
Apparition et cristallisation de difficultés
Permanence du provisoire
Réécriture nécessitée par l’amélioration permanente
Exigence de construction et de (re)structuration.
•
synthèses, «surveys», monographies
unité (perdue?) des mathématique
Souplesse spéculative et variation thématique.
•
Changer volontairement de sujet : adapter son travail d’enseignement
à une conquête (sur un très long terme) de presque toutes les mathé-
matiques contemporaines. Exemples de mémoires de maîtrise : Théorie
des feuilletages, Classification de Darboux-Cartan des formes différen-
tielles, Homologie singulière, Applications de la topologie algébrique
à la physique mathématique, Unicité du tenseur d’Einstein, d’après
Élie Cartan, Convergence des séries de Fourier, d’après Carleson-Hunt,
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Théorèmedelacouronne,EstiméesL deHörmander,Classificationdes
tissus d’après leur groupede Lie, Théorème de Kolmogorov, Théorie de
Galois, etc.
Recherche. jeu supérieur, réservoir de nouveauté indéfini
•
libération et développement grâce à la spécialisation
Nul n’entre ici s’il n’est géomètre—
—s’il ne participe pas un peu à la recherche
4
Typologie (incomplète) de questions ouvertes
Généralisation. (simple ou subtile, prévue ou imprévue)
•
passage à plusieurs variables, combinatoire, etc.
Synthèses entre sujets. Singularités et géométrie CR
•
Algèbres de Lie et équations aux dérivées partielles
Hypoanalyticité et théorie de Cartan-Kähler
Applications d’outils puissants.
•
petits diviseurs (Brjuno) et théorème de Poincaré-Dulac.
Conditions nécessaires et suffisantes. T
• ∗ ∗
Phénomène de Hartogs et problème de Levi.
Résolution par radicaux des équations algébriques.
Convergence ponctuelle presque partout des séries de Fourier
Affaiblissement d’hypothèses. T
• ∗ ∗
Définitions de la pseudoconvexité.
Ouverture nouvelle et inattendue. T
• ∗ ∗
Topologie symplectique (Arnol’d, Gromov).
Conclusion. Existence, permanence, prégnance, et insistance
d’«opérateurs élémentaires et reproductibles de questionnement».
Ce qu’on dit de cet état de fait n’apporte (presque) rien quant à
l’effectivité.
Les questions simples et les désirs simples ne sont que des graines de
possibles.
Les difficultés conceptuelles et techniques sont innombrables.
Ouvertured’unsujet:philosophiedesmathématiquescontemporaines
comme dissertation générale.
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II. Groupes continus de transformation
Continuation de Gauss, Riemann, Christoffel.
•
Version continue de la théorie de Galois.
•
Résolution des équations différentielles.
•
Groupes continus de transformation.
•
Algèbres de Lie.
•
Potentialité géométrique et universalité.
•
Algèbre différentielle.
•
Systèmes différentiels extérieurs.
•
Classification des actions locales sur C2.
•
Actions primitives et actions imprimitives.
•
Paradoxe remarquable.
•
Cartan Gauss-Riemann Lie
≡ ⊕
6
III. Algèbres de Lie
Définition. K := R ou C. Une algèbredeLieg sur K est un K-espace
vectoriel muni d’un crochet bilinéaire g g (X,Y ) [X,Y ] g
× ∋ 7−→ ∈
qui satisfait :
0 = [X,Y ] + [Y,X] (antisymétrie)
0 = X,[Y,Z] + Z,[X,Y ] + Y,[Z,X] (Jacobi)
on supposera : dimension finie : r := dim g <
K
(cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3) (cid:2) (cid:3) ∞
Constantes de structure : dans toute base (X ,X ,...,X ) de g, il
1 2 r
existe Ck K
ij
∈
k
X ,X = C X .
i j ij k
16k6r
(cid:2) (cid:3) X
L’antisymétrie se lit Ck = Ck, et l’identité de Jacobi
ij ji
−
0 = CmCl + CmCl + CmCl .
16l6r il jk kl ij jl ki
DéfinPition. D(cid:0)eux algèbres de Lie g et g so(cid:1)nt isomorphess’il existe une
′
application linéaire inversible φ : g g qui respecte les crochets :
′
→
φ [X,Y ] = φ(X),φ(Y ) .
g g′
(cid:0) (cid:1) (cid:2) iso(cid:3)morphe «le même».
≡
Question. Comment reconnaître le «même et l’autre», puisque
ce qui se présente comme un donné n’est jamais saisi immédia-
tement, ni comme «le même», ni comme «un autre»?
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Exemple. Soient g et g de dimension 5, de bases X ,X ,X ,X ,X
′ 1 2 3 4 5
et X ,X ,X ,X ,X ayant pour structure :
1′ 2′ 3′ 4′ 5′
(cid:8) (cid:9)
[X ,X ] = X , [X ,X ] = cX , [X ,X ] = (c 1)X ,
(cid:8) 2 3 1 (cid:9) 1 5 1 2 5 2
−
[X ,X ] = X + X , [X ,X ] = X
3 5 3 4 4 5 4
et
[X ,X ] = X /2, [X ,X ] = X /2, [X ,X ] = X .
1′ 2′ 2′ 1′ 3′ 3′ 3′ 4′ 2′
−
[X ,X ] = X X , [X ,X ] = X .
1′ 4′ 4′ 5′ 1′ 5′ 5′
− − −
les crochets non écrits étant nuls. Existe-t-il des valeurs de c pour les-
quels g g ?
′
≃
Comparaison des centres et des nilradicaux; c = 0.
• 6
Recherche d’un isomorphisme sous la forme :
•
φ(X ) = a X ,
1 12 2′
φ(X ) = a X + a X + a X + a X ,
2 22 2′ 23 3′ 24 4′ 25 5′
φ(X ) = a X + a X + a X + a X ,
3 32 2′ 33 3′ 34 4′ 35 5′
φ(X ) = a X + a X ,
4 42 2′ 45 5′
φ(X ) = a X .
5 51 1′
Idéal I K[a , d , d , d , d , c] engendré par :
ij 1 2 3 4
⊂
ca a a /2, ca a a , etc.
52 12 12 42 51 42
− −
17 variables, 16 équations; base de Gröbner; solution si et seulement
•
si c = 1/2.
Sans normalisation : 27 variables, 46 équations.
•
Thèse. Poser des axiomes ou des définitions comme fondements d’ob-
jets mathématiques implique des recherches spécifiques, centrales sur le
plan historique et séduisantes sur le plan philosophique.
Cependant,au-delàdesconceptsdebase,démonstrations,techniques,
organisations, structurations et architectures rationnelles dominent les
contenus. Les ouvertures sont intrinsèques au formalisme, mais il ne les
capture (presque) jamais en totalité.
Problème. Classifier les algèbres de Lie à isomorphisme près.
Indéfini.
•
Ouvert.
•
Babélisé. (on y reviendra)
•
Démultiplication des tâches et des possibles :
travailler sur un corps quelconque; (pas nous!)
•
8
traiter les dimension 1, 2, 3, 4, ... ;
•
classifier les isomorphismes et les dérivations;
•
(re)construire des démonstrations architecturées;
•
contempler le caractère exponentiel de la progression en fonction de
•
la dimension.
9
Thèse. Danstoutproblèmed’équivalenceconcernantuntypebiendéfini
d’objets algébrico-géométriques X, X , X , X ,... (pouvant être très
′ ′′ ′′′
divers), on doit, dans l’absolu :
(i) élaborer des algorithmes qui testent l’équivalence entre deux tels ob-
jets X et X donnés explicitement;
′
(ii) adapter les algorithmes au type de donation;
(iii) classifier, i.e. établir une liste de toutes les formes possibles de X;
(iv)comparer,amélioreretraffinerleslistesobtenuespardiversauteurs;
(v) posséder des algorithmes efficients pour déterminer à coup sûr la
place d’un X donné dans sa liste.
Incomplétude
Petitesse
Insatisfaction
Remarque. Chacun de ces objectifs correspond à une problématique
quel’onpeutexprimerendestermes“philosophiques”et“conceptuels”.
Question. S’agirait-il d’une paraphrase?
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Observations
Thèse. L’écriture du matériau mathématique (dans les monographies
et dans les articles de synthèse) doit respecter des tensions dialectiques
universelles qui sont antérieures à toute réalisation technique.
Exemple : Sophus Lie affirmant l’importance d’une classification com-
plète des actions locales de groupes continus de transformation.
réalisation ultérieure dans toutes les géométries possibles.
⇒
Constatation : Or, (presque) aucune monographie contemporaine de
géométrie différentielle ou de théorie des représentations n’architecture
son discours rationnellement et systématiquement. Les classifications,
lorsqu’elles apparaissent, ne sont (presque) jamais présentées dans leur
dialectique intrinsèque. L’ouverture ment par omission. Les orientations
les plus simples sont occultées. L’effort formel épuise. le penseur
⇒
doit (presque) tout reconstituer.
chacun est invité à (re)construire sa (une) maison
⇒
Pensée «apparaissante» et «disparaissante».
•
Formulation implicite des questions ouvertes.
•
Exigence de systématicité perdue.
•