Table Of Content,A DNARUD
SEUQLEUQ STCEPSA
ED AL
EIROEHT EUQITYLANA
SED
SEMONYLOP
U,E,R. SED SECNEICS
TNEMETRAP~D S EEUDQITAM~HTAM
321 EUR TREBLA SAMOHT
06078 SEGOMIL XEDEC
SIVA UA RUETCEL
Si c'e~t ~t~ pour rechercher la faveur
du monde, je me fusse mieux par@ et me
pr~senterais en une marche ~tudi@e.
Montaigne
II est une situation pour un auteur qui peut entrainer, selon le
moment, un sentiment de contralnte ou de libert@ : c'est celle de faire
sulvre le titre d'une publication d'un num~ro d'ordre. La contrainte
r~sulte de l'engagement que l'auteur prend ainsi de continuer dans une
vole dont ii ignore bien souvent l'exact trac@, mais qu'il devine suf-
fisamment sinueuse pour que, tSt ou tard, lui vienne l'envie d'arpenter
des axes beaucoup mieux balis@s. Cette contrainte est somme toute bien
faible en eomparaison de l'immense confort intelleetuel que procure une
telle situation qui permet, ipso facto, de mettre en exergue le postulat
qu'un sujet non ahord~ est en fait un sujet non encore abord~. Outre
qu'il est s/ors possible ~ l'auteur de r@parer des omissions invo-
lontaires et de mieux tenir compte de l'@volution du su~et trait~ et
des r@actions suscit@es par son travail (~ supposer qu'il yen ait, ce
qui ne fait aucun doute ~ ses yeux), cela permet @galement de rendre
caduque toute critique essentiellement n@gative dont le but principal
est de prouver le caraet~re non exhaustif du travail en question, si
rant est que l'auteur ait formul~ ce dessein.
Ainsi donc, cher lecteur, c'est par touches successives que je
vais tenter d'appr~hender un sujet auxmultiples facettes et de rendre
compte ~ la mani~re des impressionnistes de certains aspects qu'il
peut rev~tir ; je ne caresse cependant pas l'espoir de d~pelndre ainsi
son enti~re r~alit~ et ne puis en cela que reconna~tre la subjectivit@
de mon regard.
Je serais aid~ dans cette t~che par ~ne Guerletin qui s'est charg6e de
tout ce qui concerne l'~dition de ce premier volume ; je tiens ~ l'en
remercier ici.
A. DURAND.
i- ESTIMATION DES ~.-NORMES
I§ PRELIMINAIRES.
2§ POLYNOMES P, P, et P .
I-2 PolynSmes ~et .P
2-2 PolynSme P*.
2-3 PolynSme P~.
§3 MODULE MAXIMUM DANS LE DISQUE UNITE
I-3 Les points maximaux.
3-2 Au voisinage d'un point maximal.
3-3 Racines et points maximaux.
3-4 Module maximum sur un compact du disque unit6.
3-5 Preuves des th6or~mes 3.5, 3.8 et 3.10.
3-6 Un th6or~me de d6composition.
11PII
V
§4 ESTIMATION DU RAPPORT II P fI
11Pll
4-I Sur le rapport ~ .
[IPII
4-2 Sur le rapport l J IIP
M
llPli
4-3 Sur le rapport I IIPI
§5 HAUTEUR ET p-NORME.
REFERENCES.
§1 PRELIMINAI ;C.ER
Si W est un r@el strictement positif, on d6finit la w-norme
d'un polynSme P ~ coefficients complexes par
IIPII (1 r 2w IF( eiS) I~ae) 1/"
:= 2~ 30 @
A proprement parler, l'application P~-->llPrl est une norme sur le ¢-
espace vectoriel ¢[z] que dans le cas o~ ~ ~ .I On d6finit 6galement
la norme et la mesure de P respectivement par
:= IIPII max IP(z)I
0 12
et Izl=1
M(P) := exp(~ loglP(eie)Ide),
(avec la convention M(P) =0 si P =0).
Comme cas particulier de r@sultats classiques en Analyse complexe (voir
par exemple G.H. Hardy et al. [1952] p. 136-146), notons que pour tout
polynSme P non nul, l'application U~-->u loglIPll est eonvexe sur
]0,+~[ et que l'application ~--> u fI JIP est une fonction croissante
(au sens large) de v6rifiant
lira IIPIJ = M(P)
u+O
et
lira IIPII = IIPII .
oc++_u u
Dans certains cas, pour unifier la notation, on @crira done [[PI] et IIPII
o
au lieu de M(P) et IIPII (I). Nous utiliserons en outre les deux notations
suivantes, ~ savoir
• i(p) pour d6signer la hauteur d'un polynSme P, i.e.
•
H(P) = max la.l si P(z) = a.z J .
p<.j<O J j=0 J
• C -polyn~me pour d@signer un polynSme non constant dent toutes les
racines sent sur le cercle lzI =I.
(1)
Le mot de "mesure" (et la notation M(P) ) pour d6signer la moyenne g6om6-
trique d'un polynSme a @t6 semble-t-il introduit par K. Mahler dans les ann6es
solxante et est ~ pr6sent d'un usage courant en Th6orie des nombres.
Les r@sultats qui seront obtenus strad ies paragraphes suivants
peuvent @tre, pour certains d'entr~ eux, 6nonc6s en termes de polynSmes
trigonom6triques, puisqu'un polynSme trigonom6trique f de degr6 p
peut s'6crire sous la forme
f(8) = e-iPOp(eie), 8 ~¢
o~ P(z) = akzk v6rifie laol +la2p[ ~ .O Ii est ~ noter que lorsque
k=O
f est r6el, c'est-~-dire lorsque f(e) est r6el pour 8 r6el, on peut
alors 6galement 6crire
f(e) = Re(q(eie)), e E]R
o~ Q £¢[z] est un polynSme de degr6 .p
--, "-" p, @
S 2§EMONYLOP P, P, ET P
Dans tout ce qui suit, on consid~re un polynSme P de degr@ p>.1
. p
P(z) = a.z a = a • n (z-~.).
j=0 a Pj=I J
2.1 POLYNOMES Pet P.
On d@finit P par
H .).~-z( H (1-Zz).
~(z) = ap j,l%l.< I 3 J'l% I>I a
Le polynSme ~ est donc de degr@ p eta toutes ses racines dans le
disque lz[ <. .I En outre
[P(z)[ >.l~(z)l pour lzI 1<.
et
l)z(~l<.l)z(PI pour lzI ,I.>
la seconde in@galitg grant stricte pour lzI >I si P n'a pas toutes ses
racines darts le disque lzI <. I (darts le cas contraire, P=~).
On d@finit de m~me P par
~(z)--ap H (z-~.)- H (1-~:z).
1.>ljal,j J j,1%1<I J
Le polyn6me P est de degr~ au plus ~gal ~ p (et de degr@ p si
P(0) #0)p ne s'annulant pas dans le disque lzI <I. En outre
IP(z)l >.[P(z)l pour [z[ 1.>
et
l)z(~[<.l)z(PI pour Izl.<1,
la seconde in@galit@ @tant stricte pour lzI <I si P s'annule dans le
disque I lz I < (dans le cas contraire, P =P).
Re~arque 2. ]. - Notons que si P n'est pas un C-polynSme, on a
l~(z) < I ]P(z)l pour lzI <t
et
IP(z)I >IP(z)I pour lzI >I.
7
Ii en r6sulte donc que pour tout nombre complexe ~, lsI =] et tout
entier j ~0, le polynSme
Y(z) +~ sJ~(s)
est un C-polynSme de degr6 p+~.
2.2 POLYNOME P*.
On d6finit P* par
.)z~-1(
P*(z) = ~ a.z p-~ =a _ • P
~=0 O P j=1
Le polynSme P* est de degr6 au plus @gal p (et de degr~ p si
P(O) #0). Si P(O) #0, alors (P*)* =P.
Pour [z[ =1, i! vient
P*(z) =Z p ~ ,
d'o~
IP*(z)I =[P(z)[ .
Notons d'autre part que
z P*'(Z) = pP*(z) -P'*(z),
ce qui implique en particulier
IP*'(z)l = lpP(z)- zP'(z)l pour [zI =I.
On dira que P est r6ciproque s'il existe a £¢ tel que
P* =a P (d'o~ [al =I), autrement dit si pour route racine ~ d'ordre r
de P, ~ est @galement racine d'ordre r de P. Un C-polynSme est donc
r@ciproque.
Th@or~me 2.1. - Soit P un polynSme ne s lannulant pas dane le
disq~e ]zI <I. Alors pour tout ~ (~,j) xl~ avec ~c[ =1, el polyn@me
P(z) +c zJ P* )z(
est 8oit nul, soit un C-polynSme.
Preuve : On a par hypoth~se P =P, d'o~ =a P avec ]al = .I Si P
n'est pas un C-polynSme, le r@sultat est obtenu compte-tenu de la remarque
2.1 • Si P est un C-polynSme, alors P* =a P avec la[ =I et doric
P(z) +~ zJP*(z) = P(z) (I+c azJ), d'o~ le r@sultat, m
R6f6rence : G. Polya et G. Szeg8 [1976] (I, p. 108).
2.3 POLYNOME Pt
On d6finit le polynSme P par
P z" j
P (z)= b +2 ~ b
o j=1 J
O~ b. = ~ a . (j =0,1 ..,p).
J k=0 k k+J "'
Le polynSme P est de degr6 au plus 6gal ~ p (et de degr6 p si
P(0) #0) et v6rifie
P (0) = IfPIl~ o
Re(P (z))= IP(z)l 2 pour Izl =1.
Par cons6quent, P est @16ment de l'ensemble
= {Q~[z] : Re(Q(z)) 90 pour ]zl=l et Q(0) >0} .
Si Q ~, on obtient Re(Q(z)) >0 pour IzI <I, donc en particulier
Q(z) #0 pour lzI <I. Autrement dit
O~ ~ = {Q~¢[z] : Q(z) #0 pour Izl<l et Q(0) >0} .
Th6or~me 2.2. - L 'application Q ~->Q est une bijection de
sur~ .
On en d@duit en particulier
Th6or~me 2.3. - Soit P un polyn~me de degr~ p 91 tel que
Re(P(z)) 90 pour JzI =I. I1 existe alors un unique polyn~me Q E~
(de degr@ p) tel que
Re(P(z)) 2 l = IQ(z) pour lzI =1.
Preuve du th6or~me 2.2. : Pour prouver l'injectivit6 de l'application
Qt--->Qt il suffit de remarquer que si P$ = Q~ avec P¢~ et Q~ ,
alors la fonction z~-->Q--~ • P(z) est unitaire et ne s'annule pas dans le
disque lzI < ,I donc est constante, et cette constante est @gale ~ ]
P(0)
puisque ~ est un r@el positif.
Soit P e~ • Le polynSme H(z) = I (zpp(z) +P*(z)) (o~ p est le
degr@ de P) v@rifie
H(z) = zPIH(z)I pour lzI =I.
Iien r~sulte que les racines de H situ~es sur le cercle unit~ sont
d'ordre pair. Comme H =H*, on peut donc ~crire H sous la forme
H = Q Q*
°eva Q ~.
On obtient par suite
Re(P(z)) = Re(Q (z)) pour lzI =I.
On en d~duit que Re(P(z) -~(z)) =0 pour tout z eomplexe, d'oG
P(z)-~(z) = P(0)-Q~(0) = o
puisque P(O)-Q )0( est un nombre r~el.
Ainsi P =Q~ avec ~ Q et la surjectivit~ de l'application
Q-->Q~ est donc d@montr~e. |
R@f@rence : .G Polya et .G Szeg8 [1976] (II, p. 77).
10
3§ ELUDOM MUMIXAM SNAD EL EUQSID ETINU
3.1 LES POINTS MAXIMAUX.
Etant donn~ nut polynSme F, notons
~(P) = {zE¢ : Izl=1 et IP(z)l =JlPll}.
Un glgment de ~(P) sera dit point maximal de P (dans le disque unit~).
Si P est un monSme (i.e. P(z) =a z p, a E¢, p ~0), ~(P) est le cercle
unit~. Par contre, si P n'est pas un monSme, ~(P) est un ensemble
fini non vide. D'une mani~re plus precise
Th~or~me 3.1. - Soit P un polynSme de degr~ .p Si P n'est
pas un monBme, alors
1 ~Card ~(P) ~p.
Inversement, ~tant donn68 des points distincts ..... ~I ~k k( 31) du
cercle unit~, il existe pour tout entier p ~k un polyndme P de
degr~ p tel que
I~{
~(P) = .... "~k } "
Pour d~montrer ce th~or~me, nous aurons besoin du lemme suivant :
Lemme 3.1. - Soit P un polyndme (non mon~me) de degr@ p ~I
et soit ~ un r$el v@rifiant IJPII. ~ ~ Il existe alors un polyn~me non
constant Q de degr$ au plus ~gal d p tel que
ip(z) 2j +IQ(z) 2I = ~2 pour Izl=l.
Preuve : Comme P n'est pas un monSme, le polynSme
2~ )z(~P-
T(z) =
est non constant et v6rifie
Re(T(z)) ~0 pour .1=lzI
D'apr~s le th~or~me 2.3, il existe donc un polynSme Q (non constant)
de degr~ au plus ~gal ~ p tel que
Re(T(z)) = 2 IQ(z)I pour ,1=IzI
d'o~ le r~sultat. |
