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BAYREUTHER MATHEMATISCHE SCHRIFFEN
ISSN0172—1062 Heft2,1979
Bernd Wagner:
Charaktere symmetrischer und
monomialer Gruppen als Polynomfunktionen
Selbstverlag der Universität Bayreuth
Schriftleitung: Prof. Dr. A. Kerber,Lehrstuhl II für Mathematik
Postfach 3008 - 8580 Bayreuth, W.-Deutschland
_v-
Einleitung und Inhaltsübersicht
Gegenstand dieser Arbeit ist die Beschreibung von Charakte-
ren der symmetrischen und monomialen Gruppen als Polynbm-
funktionen.
Für jede Permutation " einer endlichen Menge und jede posi-
tive ganze Zahl 5 sei aj(n) die Anzahl der j-Zyklen von n.
Schon Netto und Frobenius (Frobenius [l], 190H) gaben Zu-
sammenhänge zwischen der Transitivität ron Permutationsgrup-
pen P und dem arithmetischen Mittel über die Produkte
(al(u))' ‚(ak(n)
von Binomialkoeffizienten (ne?) an.
-\ b1 bk
Ferner zeigte Frohenius Formeln für die Werte der irredu—
ziblen Charaktere-der symmetrischen Gruppen als Polynom-
funktionen in den Zahlen aj(n). Andere Formeln dieser Art
gaben später Gamba [1] (1952) und Specht [2] (1960). Erst
Specht ([2]) bemühte sich ansatzweise um eine systematische
Untersuchung der Polynomfunktionen in den aj(“)°
Aufgabe der vorliegenden Arbeit ist die_konéequente Weiter-
führung solcher Überlegungen und ferner die Verallgemeine-
rung auf monomiale Gruppen, d.h.‘Kranzprodukte GWSn (S“ die
symmetrische Gruppe vom Grad n). Die Ergebnisse sind geeig-
net zur Untersuchung von inneren Tensorproduktefi (Kapitel 10)
und von Transitivitätsfragen (Kapitel 11).
Ich will nun das Vorgehen in dieser Arbeit genauer beschreiben.
'Vi'
Sei nes“. Die Folge (a1(n),a2(n)‚.„)=:A(n) heißt der 219
von n. Dann gilt ijuaj(n)=n. Zwei Elemente von S“ gehören
bekanntlich genau dann zu derselben Konjugiertenklasse, wenn
sie denselben Typ haben. In eine Funktion F in endlich vie-
len der Variablen xj (j=1,2,3,...) können wir Typen einset-
zen, indem wir für alle j aj(n) in xj einsetzen. Jedem nESn
wird dann der Funktionswert auf A(n) zugeordnet. (Unser
Wertebereich sei ein Körper K der Charakteristik 0.) Der
Funktionswert, der n zugeordnet wird, ist nur von der Konju-
giertenklasse von n abhängig; wir erhalten also aus einer
Funktion F in den xj eine Klassenfunktion mnüfi von Sn,und zwar
für jedes nem eine; also wird F abgebildet auf eine Folge
(QO(F),Q1(F),W2(F),...), wobei mn(F) eine Klassenfunktion
von Sn ist.
Als Funktionen F betrachten wir im folgenden stets Polynom-
funktionen. Wir haben also für.jede natürliche Zahl n eine
Abbildung an von der Polynomalgebra K[k1‚x2‚...] in die
Algebra CF(Sn) der Klassenfunktionen von Sn nach K; diese
Abbildung ist ein K-AIgebren—Homomorphismus.
Jedes einzelne Polynom liefert so eine Folge von Klassen-
funktionen; spezielle geeignete Polynome liefern Folgen,
wo fast alle Glieder irreduzible Charaktere sind. Die oben
erwähnten Charakterformeln von Probenius, Gamba und Specht
sind nun als verschiedene Formeln für diese Charakterpoly-
nome zu interpretieren.
Die sjstematische Untersuchung des Polynomrings mit den
-vii—
Homomorphismen an gibt nun einen Einblick in die Struktur
der CF(Sn): Alle CF(Sn) (nem) sind Bilder eines Poly-
nomrings; es ergibt sich eine Erklärung für die ”Verwandt—
schaft" von Charakteren verschiedener Sn's dadurch, daß
diese Charaktere mn-Bilder von ein- und demselben Charakter-
polynom sind. Ferner wird in Kapitel H_gezeigt, daß die Ska-
larprodukte auf den einzelnen CF(Sn) via an ein gemeinsames
Skalarprodukt auf dem Polynomring liefern. Der systematische
Gebrauch dieser Fakten führt zu einheitlichen Methoden zur
Bearbeitung von Aufgaben, zu deren Lösung sonst mehr problem-
abhängige Mittel verwendet werden. Mit Hilfe der Rekursions-
formel 10.5 für den Zerfall des inneren Tensorprodukts irre-
duzibler Charaktere in Irredüzible können so in Kapitel 11
Sätze über mehrfach transitive Permutationsgruppen gezeigt
werden.
Das folgende Schema zeigt, wie die Kapitel dieser Arbeit.
aufeinander aufbauen:
Kapitel 1
‘———4Kapitel ?] {Kapitel 6[
Kapitel 10
Ka-itel 11.
-viii-
In den Kapiteln 1 bis 5 werden grundlegende Strukturen auf
dem Polynomring und auf der Algebra der Klassenfunktionen
‘und Zusammenhänge dazwischen untersucht, und zwar gleich
in voller Allgemeinheit für (endliche) monomiale Gruppen
Gwfin. In Kapitel 6 wird das Skalarprodukt auf dem Polynom-
ring wahrscheinlichkeitstheoretisch interpretiert, was eine
Erklärung für das Auftreten der Charlier-Poisson—Polynome
in Kapitel 5 liefert. Kapitel 6 ist ohne Auswirkung auf die
folgenden Kapitel und kann daher beim Lesen auch übergangen
werden. in Kapitel 7 werden für den (wichtigsten) Spezial-
fall G=(1}, Gwenasn,_die Polynome betrachtet, die Charak-
tere von irreduziblen Darstellungen'liefern. Mit den Metho-
. den, die dann in Kapitel 8 bereitgestellt werden, können in
Kapitel ? die Ergebnisse von Kapitel 7 auf beliebige ®a
übertragen werden. Kapitel 10 ist dann der Untersuchung von
“inneren Tensorprodukten irreduzibler Charaktere gewidmet;
es kann auch_gelesen werden, ohne Kapitel 8 und 9 zu kennen,
wenn man sich auf den Spezialfäll r=1, G=(1} beschränkt.
.Kapitel 11 baut nur auf diesem Spezialfall auf.
An dieser Stelle möchte ich Herrn Prof. Dr. Kerber für die
Betreuung dieser Arbeit und wichtige Anregungen und Diskussio-
4 nen dazu danken. Mein Dank gilt ferner dem Cusanuswerk für
seine Förderung_während der Zeit, in der ein Teil der Arbeit
entstanden ist.
Bernd Wagner
Pix-
Inhaltsverzeichnis
Einleitung und Inhaltsübersicht v
Inhaltsverzeichnis ' i;
Generalvoraussetzungen _ _ > x
Bezeichnungen x
1. Grundlagen . 1
2. Die Algebra HCF{GWGn) und die an 5
}. Homomorphismen L=$Ö'F(Ga) >K[X] 15
h. Shalarprodukt auf K[X1 22
5. Eine Bäsis mit Orthogonalitätsrelationen auf K[X1 28
6. Beziehung der Linearform 1 zur Poisson—Verteilung H3
7. Die Charakterpolynome für die symmetrischen Gruppen "7
8. Homomorrihismeri o:G°‘>H und „wsn:cvrsn-—“—>sn 65
9. Die Charakterpolynome für GwrSn 77
10.Das innere Ténsorprodukt - . ‘ 86
11.Mehrfache Transitivität 99
12.Schlußbemerkung ’ 111
Literaturverzeichnis 1 ‘ I
Register der Bezeichnungen V
-x—
GENERALVORAUSSETZUNGEN:
K sei ein Körper, der die rationalen Zahlen ent-
hält; zusätzlich sei K von der Mitte von Kap. 9
an ein Zerfällungskörper der Gruppe G.
Darstellungen seien stets endlichdimensional.
Bezeichnungen:
m:=(0,1‚2‚...) Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen
N*:=(1',2,3‚...} Menge der positiven ganzen Zahlen
Menge der ganzen Zahlen
G) Menge der rationalen Zahlen
n = {152,...,n} für nE]N
X kartesisches Produkt von Mengen
MN
Menge der Abbildungen von der Menge N.in
die Menge M, z.B.:
M£""+ Menge der gxiN+-Matrizenüber M
(bn)n€M N-Tupel (N Menge)
IM! Anzahl der Elemente der endlichen Menge M‘
Kronecker-Symbol:
ij
_: 1, falls i=j -
6ij"{0, falls i#j’ “°bel
i,j aus irgendeiner Menge
” Ende eines Befieises
fast alle alle bis auf endlich viele
min(.„}‘(max(„.}) kleinstes (größtes) Element von („f)
exp(...) Exponentialfunktion zur Basis e '
0 Hintereinanderausführung von Abbildungen
..xi-
f:M———9N f ist Abbildung von M nach N.
f:M——e»N f ist surjektive Abbildung von M naeh N.
f:M>——9N f ist injektive Abbildung von M nach N.
r:n»—>u f ist_bijektive Abbildung von M nach N.
flM Einschränkung der Abbildung f auf die
Teilmenge M des Definitionsbereiches
f[M] ' Bild der Teilmenge M des Definitionsbe-
' _ vreiches unter f
f”1 [N] Urbild der Teilmenge N des Wertebereiches
.von f
aF—-—>bl ' 'Das Element a wird abgebildet auf das Ele-
ment b. (auch: Die Operation a wird durch
die Abbildung in die Operation b überführt.)
a+--+b wie "ahäb"‚ wenn die Abbildung bijektiv ist "
(a+———>b) _ die Abbildung, die das Element & auf das.
Element b abbildet .
— zeigt über einem Pfeil Gruppenhomomorphie
(meist bezüglich "+") an.
a ’ ‘ ' _ Gruppenisomorphie
—>AK‚.. °‘K Index K zeigt K--Linearität an.
Multiplikationszeichen unter "——ä " oder "=" zeigt Homomor—
phie bezüglich der betreffenden Multipli—
kation an. ' '
USV, U<V bei Mengen U und V, die mit Strukturen
} versehen sind. U Unterstruktur von V bzw.
'U echte Unterstruktur von V
USKV‚ U<KY wie USV, U<V‚ wenn U,V K-Vektorräume_sind
-xii-
lnduzieren von Charakteren (siehe S.6/7,2.ü)
Einschränken von Charakteren (Moduln) auf
Untergruppen
äußeres Tensorprodukt von Charakteren von
(möglicherWeise verschiedenen) Gruppen
direktes Produkt von Gruppen (Einbettung
in größere Gruppen ggf. gemäß 3.6, 2.3)
_<...>K K-Vektorraum-Erzeugnis von ...
<°'k K-Vektorraum-Erzeugnis der linear unab-
hängigen Elemente ...
. P|xz=a Wert der Polynomfunktion tum Polynom P
an der Stelle &. ‘
det(*)(nij) : Determinante der 1xl-Matrix (n.
ij)i,j=1,...‚l
1% (*)‘ bezüglich der Multiplikation "*"
i,j=1,...,1
m...)- volle lineare Gruppe von .J.
Algebra hier: K—Algebra, assoziativ, kommutativ,
mit 1
(x,#):=(x‚Ü)e'=TÖT':E; x(s) W(81)‚ wenn G endliche Gruppe,
x‚$ Klassenfunktionén von G
CF(6l ‘Algébra der Klassenfunktionen von G (näch K)-
