Chapitre 4 Algèbre linéaire en dimension finie

120 Pages·2002·0.61 MB·French

Les Mathématiques pour
l’Agrégation
C.Antonini
J.-F.Quint
P.Borgnat
J.Bérard
E.Lebeau
E.Souche
A.Chateau
O.Teytaud
24avril2002
Table des matières
1 Algèbrelinéaire 2
1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Applicationslinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Sommedesous-espacesvectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Espacessupplémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Espacevectorielquotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.2 Applicationauxapplicationslinéaires . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Translations-espacesaffines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Familleslibres.Famillesgénératrices.Bases . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6.2 Applicationsauxapplicationslinéaires . . . . . . . . . . . . 14
1.6.3 Applicationsauxsous-espacesvectoriels . . . . . . . . . . . 14
1.7 Dualité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7.1 Définitionsetpremièrespropriétés.Ledualetlebidual . . . . 15
1.7.2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.8 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.9 K-algèbres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.9.1 Définitionsetgénéralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.10 Résultatsd’algèbrelinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.11 Exercicesd’algèbrelinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Algèbremultilinéaire 18
2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Algèbremultilinéaireettopologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.1 Déterminantd’unefamilledevecteurs . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.2 Déterminantd’unendomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.3 Déterminantd’unematrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.4 Pratique du calcul d’un déterminant; développement suivant
uneligneouunecolonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Algèbrebilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.1 Formesbilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.4.2 Formesquadratiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.3 Formesquadratiquesréelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.4 Formesquadratiquescomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5 Zoologiedesdéterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1
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2.5.1 Déterminantd’ordre2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.2 Déterminantd’ordre3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.3 DéterminantdeVandermonde . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.4 Déterminantd’unematricedepermutation . . . . . . . . . . 44
2.5.5 Déterminantcirculantdroit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5.6 DéterminantdeM =inf{i,j} . . . . . . . . . . . . . . . 45
i,j
2.6 Zoologiedel’algèbrebilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6.1 Procédéd’orthogonalisationdeGauss . . . . . . . . . . . . . 46
3 EspacespréhilbertiensetespacesdeHilbert 47
3.1 Espacespréhilbertiensréels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Espacespréhilbertienscomplexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.3 Espacespréhilbertiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.4 EspacesdeHilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4.1 ProjectiondansunespacedeHilbert . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4.2 Baseshilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4.3 QuelquesutilisationsdesespacesdeHilbert . . . . . . . . . . 60
3.5 Espaceseuclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5.1 Lesbases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5.2 Endomorphismeadjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.5.3 Orientationd’unespaceeuclidien . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.5.4 Formesquadratiquessurunespaceeuclidien . . . . . . . . . 70
3.6 Espaceshermitiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.6.1 Définitionetpremièrespropriétés . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.6.2 Adjointd’unendomorphismed’unespacehermitien . . . . . 71
3.6.3 FormesquadratiquessurunespacehermitienE . . . . . . . . 73
4 Algèbrelinéaireendimensionfinie 74
4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2 Dualitéendimensionfinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.1 Dualitésimple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.2 Bidual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.3 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.3 Calculmatriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3.1 Basessurlesmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.3.2 EspacevectorielM (K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
n,p
4.3.3 Transpositiondematrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.3.4 Lecasdesmatricescarrées:laK-algèbreM (K) . . . . . 85
n,p
4.3.5 Changementdebases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3.6 Groupelinéaireetgroupespéciallinéaire . . . . . . . . . . . 86
4.3.7 Groupeorthogonalréeletgroupespécialorthogonalréel . . . 86
4.3.8 Rangd’unematrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3.9 Matriceséquivalentes,matricessemblables . . . . . . . . . . 88
4.3.10 Cofacteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.4 Opérationssurleslignesetlescolonnes . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.5 Matricesparblocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.5.1 Produitparblocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.5.2 Inverseparblocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.5.3 Déterminantparblocs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.6 Exercicessurlesmatrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2
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4.7 Zoologiesurlesmatricesetleursdéterminants. . . . . . . . . . . . . 96
4.8 Zoologiedeladualitéendimensionfinie . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.8.1 PolynômesdeLagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.8.2 Définitiond’unsous-espacevectorielparunefamilled’équations 98
4.9 Approximationdefonctionsholomorphespardesfractionsrationnelles 98
4.10 Endomorphismessemi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5 Réductiondesendomorphismes 105
5.1 Lecasgénéral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2 Lecasdeladimensionfinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.3 Applicationsdelaréductiond’unendomorphisme . . . . . . . . . . . 114
5.3.1 Applicationaucalculd’unpolynômed’endomorphisme . . . 114
5.3.2 Applicationauxsuitesrécurrenteslinéaires . . . . . . . . . . 115
5.3.3 Calculd’exponentielledematrice . . . . . . . . . . . . . . . 116
3
Chapitre 1
Algèbre linéaire
1.1 Généralités
Définition1(Espacevectoriel) (E,+,.)estunK-espacevectorielsi
•(E,+)estungroupeabélien
•.estuneapplicationdeK×E dansE
•∀(λ,µ,x,y)(λ+µ)x = λ.x+µ.x∧λ.(x+y) = λ.x+λ.y∧(λ.µ).x =
λ.(µ.x)∧1.x=x
LesélémentsdeE sontappelésvecteurs,lesélémentsdeKsontappelésopé-
rateurs ou scalaires. Le neutre pour + est noté 0. « . » est appelé produit
externe.
Desexemplesclassiquessont:lesvecteursdansleplanoul’espaceusuel,lecorps
K lui-même avec pour produit externe le produit usuel, les polynômes sur K, éven-
tuellement à plusieurs indéterminées ou de degré borné; comme on le verra un peu
plus loin avec les espaces produits, Kn muni des lois que l’on verra est un K-espace
vectoriel;l’ensembleRNdessuitesréelles(resp.complexes)aussi.
Lespropriétéssuivantessontimportantes:
•0.x=0
•λ.0=0
•λ.x=0→λ=0∨x=0
•(−λ).x=λ.(−x)=−(λ.x)
•λ.(x−y)=λ.x−λ.y
•(λ−µ)x=λ.x−µ.x
4
Définition2(Différentesnotionsdansunespacevectoriel) Onappelleseg-
ment d’extrémités x et y dans un R-espace vectoriel l’ensemble des t.x+
(1−t).ypourt ∈[0,1].(ladéfinitions’étendaucasd’unC-espacevectoriel
enutilisanttréeldans[0,1]).
Une partie A d’un K-espace vectoriel (avec K = R ou K = C) est dite
convexesitoutsegmentd’extrémitésdansAestinclusdansA.
EtantdonnéeAunepartieconvexed’unK-espacevectorieluneapplicationf
deAdansRestditeconvexesiétantdonnésxety dansAettdans[0,1]on
af(t.x+(1−t).y)≤t.f(x).(1−t).f(y).−f estalorsditeconcave.
Propriétés:
•L’intersectiondedeuxconvexesestunconvexe.
•Unebouleouverteestconvexe.
•Unebouleferméeestconvexe.
•Unsegmentestconvexe.
•Uneapplicationf estconvexesil’ensembledes(x,f(x))estconvexedansleproduit
A×R.
•Uneapplicationconvexesurunintervalle]a,b[estcontinue
•x(cid:55)→ex,x(cid:55)→xnsontconvexes.
•x(cid:55)→ln(x)estconcave.
Lanotiondepartieconvexeestnécéssairepourdéfinirlesfonctionsconvexes,
dontonverraunefoultituded’applicationsenpartie??.Celaserviraaussiparexemple
pour les résultats ?? (théorème de Cauchy), et surtout pour les théorème de Hahn-
Banach(??) (aux multiples applications!). Une utilisation amusante de la convexité
stricteseradonnéeaveclerésultat??.
Proposition3(ConnexitédansunR-espacevectorielnormé) Une partie
ouverte d’un R-espace vectoriel normé est connexe si et seulement si elle est
connexepararcssietseulementsientretoutxettoutydecettepartieilexiste
unelignebrisée.
Démonstration: Ilestclairquel’existenced’unelignebriséeimpliquel’existence
d’unchemin(donclaconnexitépararcs)quiimpliqueàsontourlaconnexité.Ilsuffit
doncdemontrerquelaconnexitéimpliquel’existenced’unelignebrisée.
•OnsedonneU unetellepartie,connexe,supposéenonvide(sinonleproblèmeest
trivial)
•Onsedonnex dansU
0
•OnnoteV l’ensembledesxquel’onpeutjoindreàx parunelignebrisée.
0
•V estnonvide(ilcontientx )
0
•V estouvert(sixestdansV,alorsB(x,(cid:15))⊂U pour(cid:15)assezpetit,etdoncB(x,(cid:15))⊂
V -cardanstoutebouleestconvexe).
• V est fermé; en effet soit x dans U adhérent à V, alors il existe une boule ouverte
centréesurxintersectantV,doncxestdansV -cartoutebouleestconvexe.
•V,fermé,ouvert,nonvided’unconnexeU,estégalàU.(cid:117)(cid:116)
5
Lafigure1.1illustrecettedémonstration.
U
x
0
x
y
FIG.1.1–Illustrationdelaproposition3.xestsupposédansV,ydansl’adhérencede
V.
Proposition4(Distancedansunconnexeouvertd’unR-espacevectorielnormé)
SoitU unouvertconnexed’unR-espacevectorielnormé.Sionnoted(x,y)
l’infdeslongueursdeslignesbriséesjoignantxày,alorsdestunedistance
etdéfinitlamêmetopologiequelanorme.
Démonstration: pasdifficiledutout!(cid:117)(cid:116)
Définition5(Espacevectorielproduit) Le produit de n espaces vectoriels,
munidel’additiontermeàtermeetavecpourmultiplicationλ.(x ,...,x ) =
1 n
(λ.x ,...,λ.x ) est un espace vectoriel. On l’appelle espace vectoriel pro-
1 n
duit.
Théorème6 L’ensemble des fonctions de A dans E, noté EA, avec E K-
espacevectoriel,estunK-espacevectoriel.Lasommededeuxfonctionsestla
fonctionquiàunélémentassocielasommedesdeuximages,etleproduitd’un
scalaireparunefonctionestlafonctionquiàunvecteurassocieleproduitdu
scalaireparl’imagedecevecteur.
Démonstration: Lapreuveestpasbiendifficile...(cid:117)(cid:116)
6
Définition7(Sous-espacesvectoriels) Une partie d’un espace vectoriel est
un sous-espace vectoriel de cet espace lorsqu’elle est non vide, stable par
additionetstableparmultiplicationparunscalaire.
On note qu’on peut se contenter de vérifier que la partie est non vide et que si λ
etµsontdesscalairesetsixety luiappartiennent,alorsλ.x+µ.y appartientaussià
l’ensemble.
Proposition8 Unsous-espacevectorielestunespacevectoriel,etunespace
vectorielinclusdansunespacevectoriel(etmunidesloisinduitesbiensûr)est
unsous-espacevectoriel.
Les polynômes de degré plus petit que n sont un sous-espace de l’ensemble des
polynômes. L’espace des fonctions bornées sont un sous-espace vectoriel de l’espace
desfonctionsdeAdansR.L’ensembledessuitesbornéesdeKestunsous-espacede
l’espacedessuitesdeK.L’ensembledessuitespresquenullesdeKestaussiunsous-
espacevectorieldel’espacedessuitesdeK.
Proposition9 Uneintersectionquelconquedesous-espacesvectorielsestun
espacevectoriel.
Celapermetd’introduireladéfinitionsuivante:
Définition10(Sous-espacevectorielengendré) On appelle sous-espace
vectoriel engendré par une partie A l’intersection de tous les sous-espaces
vectorielscontenantA.OnlanoteVect(A).
7
1.2 Applications linéaires
Définition11(Applicationlinéaire) Uneapplicationf d’unK-espacevecto-
rielversunautreestuneapplicationlinéairesi:
•f(x+y)=f(x)+f(y)
•f(λ.x)=λ.f(x)
Une application linéaire est aussi appelée morphisme d’espaces vectoriels,
ou morphisme algébrique. C’est en particulier un morphisme de groupes.
Uneapplicationlinéairebijectiveestappeléeisomorphisme,uneapplication
linéaire de E dans E est appelée endomorphisme. Un endomorphisme qui
estaussiunisomorphismeestappeléautomorphisme.L’inversed’unisomor-
phismeestunisomorphisme,appeléisomorphismeréciproque.
On note L(E,F) l’ensemble des morphismes de E dans F ; c’est un sous-
espacevectorieldeFE.OnnoteL(E)l’ensembledesendomorphismesdeE.
On note Isom(E,F) l’ensemble des isomorphismes de E dans F. On note
Aut(E) l’ensemble des automorphismes de E; il est noté GL(E) une fois
qu’on l’a muni de la composition. GL(E) est un groupe, appelé groupe li-
néaire.
LanotationE (cid:39)F signifiequ’ilexisteunisomorphismedeE dansF.
L’imageréciproqued’unsous-espacevectorielparuneapplicationlinéaireest
unsous-espacevectoriel.OnnoteKerf etonappellenoyaudef l’imageré-
ciproque de {0}, c’est un sous-espace vectoriel. Une application linéaire est
injective si et seulement si son noyau est {0}. On notera que le noyau d’une
applicationlinéaireestlenoyaudumorphismedegroupescorrespondant.
On note Id la fonction identité de E; c’est une application linéaire et un
isomorphisme. On note Invf l’ ensembles des invariants de f; Invf =
Kerf − Id. On note Oppf l’ensemble des vecteurs changés en leur op-
posé;Oppf =Kerf +Id.
On appelle homothétie de rapport λ d’un espace vectoriel E l’application
x(cid:55)→λ.x.
Quelquespropriétés:
•Onpeutsecontenterpourvérifierlalinéaritéd’uneapplicationd’assurerquef(λ.x+
µ.y)=λ.f(x)+µ.f(y)
•L’imagede0paruneapplicationlinéaireest0.
•L’identitéestunautomorphisme.
• L’image d’un sous-espace vectoriel par une application linéaire est un sous-espace
vectoriel.OnnoteImf l’imagedef,c’estunsous-espacevectoriel.
•Lacomposéededeuxapplicationslinéairesestuneapplicationlinéaire.
•L’applicationquiàf associeg◦f (resp.f◦g)estunmorphismed’espacesvectoriels.
•Kerf ⊂Kerg◦f
•Img◦f =Img
•g◦f =0sietseulementsiImf ⊂Kerg
•L’applicationquiàunpolynômeassociesonpolynômedérivéestunendomorphisme.
8
Définition12 On appelle n-ième itérée de f la fonction fn. f est dit nil-
potent si il existe n tel que fn = 0. Le plus petit n convenable est appelé
indicedenilpotencedef.Onconvientquel’indicedenilpotenced’unefonc-
tionnonnilpotenteest+∞.
Propriétés:
Sif estunendomorphismenilpotent,alorsf−Idetf+Idsontdesautomorphismes.
Définition13(Définitionsdanslecasd’unespacevectorielproduit)
On appelle k-ième projection canonique d’un espace vectoriel produit
E × ... × E l’application qui à x dans le produit associe sa composante
1 n
dansE .
k
On appelle k-ième injection canonique d’un espace vectoriel produit
E ×...×E l’applicationquiàxdansE associe(0,...,0,x,0,...0).
1 n k
Onnoteraquesif estlinéairedeE dansF ,alors(x ,...,x )→(f (x ),...,f (x ))
i i i 1 n 1 1 n n
estuneapplicationlinéaire;sonnoyauestleproduitdesnoyaux.
1.3 Somme de sous-espaces vectoriels
1.3.1 Généralités
Définition14(Sommedesous-espacesvectoriels) On se donne F ,...,F
1 n
des sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel E. L’application φ qui à
(x ,...,x )associe(x +x +...+x )estuneapplicationlinéairesurl’es-
1 n 1 2 n
paceproduitF ×...×F .L’imagedeφestappeléesommedessous-espaces
1 n
vectorielsF ,...,F ,etestnotéeF +...+F ou F .
1 n 1 n (cid:80)i∈[1,n] i
Propriétés:
•LasommedesF contienttouslesF .
i i
•L’espacevectorielengendréparl’uniondesF estleursomme.
i
Définition15(Sommedirectedesous-espacesvectoriels) On dit que la
somme de F ,...,F est une somme directe lorsque la fonction φ est injec-
1 n
tive.Aulieudenoter F onpeutalorsnoter F
i i
(cid:80) (cid:76)
Propriétés:
• Cela revient à dire que tout vecteur de l’espace vectoriel somme s’écrit comme
somme d’un élément de F , d’un élément de F , ... , d’un élément de F , cette dé-
1 2 n
compositionétantunique.
•Lasommeestdirectesietseulementsipourtoutj F ∩ F ={0}.
•Onpeutencoresimplifiercecritère;lasommeestdirjecte(cid:80)siie(cid:54)=tjseuilementsipourtout
9