Cayley-Hamiltons sætning

2 Pages·2002·0.064 MB·Danish

by  Ian Kiming

CAYLEY-HAMILTONS SÆTNING.
IANKIMING
Lad A være en n×n matrix, og lad
g(λ)=b λm+b λm−1+...+b λ+b
m m−1 1 0
være et polynomium. Vi kan da definere:
g(A)=b ·Am+b ·Am−1+...+b ·A+b ·I ;
m m−1 1 0
s˚aledes er g(A) en n×n matrix.
Sætning. (Cayley-Hamilton). Lad A være en n×n matrix med karakteristisk
polynomium f(λ). Da er
f(A)=0.
Bevis nedenfor.
Meregenereltiovenst˚aendesituation: HvisB ,...,B ern×nmatricer,kunne
0 m
vi betragte et ‘polynomium med matrixkoefficienter’:
G(λ)=B ·λm+B ·λm−1+...+B ·λ+B ,
m m−1 1 0
og sætte:
G(A):=B ·Am+B ·Am−1+...+B ·A+B .
m m−1 1 0
Dererenoplagtm˚adeatmultipliceres˚adannepolynomiermedmatrixkoefficien-
ter med hinanden p˚a.
Advarsel: Lad A,B,C være n×n matricer, og betragt følgende polynomier med
matrixkoefficienter:
F(λ):=λ+B, G(λ):=λ+C,
og
H(λ):=F(λ)·G(λ)=λ2+(B+C)·λ+BC.
Vi finder da:
F(A)G(A)=(A+B)·(A+C)=A2+AC+BA+BC,
H(A)=A2+BA+CA+BC,
alts˚a
F(A)G(A)=H(A)⇔AC =CA.
Det er alts˚a ikke nødvendigvis tilfældet, at F(A)G(A)=H(A).
1
2 IANKIMING
Lemma: LadG(λ)væreetpolynomiummedn×nmatrixkoefficienter,ogdefiner:
H(λ)=G(λ)·(Iλ−A).
Da er:
H(A)=0.
Bevis: Skrives G(λ)=B ·λm+B ·λm−1+...+B ·λ+B , f˚as
m m−1 1 0
H(λ) = B λn+1+...B λ2+B λ
m 1 0
−B Aλn−...−B Aλ−B A
m 1 0
hvorfor
H(A) = B An+1+...B A2+B A
m 1 0
−B AAn−...−B AA−B A
m 1 0
= 0
q.e.d.
Bevis for Cayley-Hamilton: Lad f(λ) = λn +α λn−1 +...+α være det
n−1 0
karakteristiske polynomium for A.
Vi har identiteten:
adj(Iλ−A)·(Iλ−A)=det(Iλ−A)·I =I·λn+α I·λn−1+...+α I =:H(λ)
n−1 0
som vi opfatter som et polynomium med n×n matrixkoefficienter.
Nueradj(Iλ−A)enn×nmatrixhviselementeralleerpolynomieriλ(overveje).
Vi kan følgelig p˚a oplagt vis opfatte adj(Iλ−A) som et polynomium G(λ) med
n×n matrixkoefficienter. Ifølge lemmaet har vi da H(A)=0, dvs.
An+α An−1+...+α I =0
n−1 0
som p˚ast˚aet.
Dept. of math., Univ. of Copenhagen, Universitetsparken 5, 2100 Copenhagen Ø,
Denmark.
E-mail address: [email protected]