CAPÍTULO 6 Modelos ARMA para la Componente Aleatoria 6.1

22 Pages·2011·0.17 MB·Spanish

6
CAP´ITULO
Modelos ARMA para la Componente Aleatoria
6.1. Introduccio´n
En los modelos de descomposicio´n Y = T + S + ε , t = 1,2,... se estima εˆ y se
t t t t t
determina si es o no´ ruido blanco mediante las pruebas Ljung Box y Durbin Watson. En
casode encontrarque εˆ noesruidoblanco,el siguientepasoes modelaresta componente
t
mediantetresposiblesmodelos
1. MediasMo´vilesdeordenq,MA(q).
2. Autoregresivosdeordenq,AR(p).
3. MediasMo´vilesAutoregresivos,ARMA(p,q).
“Los tres modelos var´ıan en su capacidad de capturar distintos tipos de
comportamientodeautoregresio´n.”“Comenzaremosdandolascaracter´ısticas
de las funciones de autocorrelacio´n y cantidadades relacionadads con cada
modelos, esta´s no tiene nada que ver con datos ni estimacio´n pero son fun
damentales para desarrollar una comprensio´n ba´sica de las propiedades de
los modelos necesarios para llevar a cabo prono´sticosinteligentes.” Diebold
[1999,pa´g.129]
89
90
6.2. Procesos de Medias Mo´viles de orden q
Definicio´n 6.2.1 (El Operador de Rezago). Se denotapor L (lag,en ingle´s)y es tal que
L(Y ) = Y . Es decir, L opera sobre una serie rezaga´ndolaun per´ıodohacia atra´s. De
t t−1
igualmanera L(Y ) = Y , luego L(L(Y )) = L2(Y ) = Y y en general Lp(Y ) =
t−1 t−2 t t t−2 t
Y .Sedefinetambie´nL0 = I,eloperadoridentidad.
t−p
Un polinomio de grado p en el operador L se define como el operador formado por una
combinacio´nlinealdepotenciasdeL
B (L)= β +β L+β L2+ +β Lp, (6.1)
P 0 1 2 p
···
talque
B (L)(Y )= (β +β L+β L2+ +β Lp)Y ,
P t 0 1 2 p t
···
p
= β LjY ,
j t
j=0
X
p
= β Y ,
j t−j
j=0
X
= β Y +β Y +β Y + +β Y .
0 t 1 t−1 2 t−2 p t−p
···
Definicio´n6.2.2(ProcesoMA(q)). SedicequeunaserieY sigueunprocesoMA(q), q =
t
1,2,... demediamo´vildeordenq,sisecumpleque
Y = ε +θ ε + +θ ε , t Z, (6.2)
t t 1 t−1 q t−q
··· ∈
dondeε RB(0,σ2).Laexpresio´nconeloperadorLes,sisedefineelpolinomio
t
∼
θ (L)= 1+θ L+ +θ Lq, (6.3)
q 1 q
···
entonceslaecuacio´n(6.2)seexpresa
Y = θ (L)(ε ). (6.4)
t q t
6.2.1. Propiedades
1. E(Y )= 0
t
2. Var(Y )= (1+θ2 + +θ2)σ2
t 1 ··· q
91
luegoVar(Y ) > Var(ε ),engeneral.
t t
3. Cov(Y ,Y )= R(k),donde
t t+k
q−k
σ2 θ θ , k < q+1
j j+k
R(K)=  (6.5)
j=0
 X

0, k q+1
≥



conθ = 1.
0
4. UnMA(q)siempreesunprocesoestacionarioconfac,ρ(k)= R(k).
R(0)
Interpretacio´n de 3. Un MA(q) es un proceso de´bilmente correlacionado. Se puede ver
comounaalternativaaunRuidoBlancocompletamenteincorrelacionado.
Ejemplo6.2.1. SeaY MA(2)dadopor
t
∼
y = ε θ ε +θ ε , ε i.i.d.N(0,9), t Z,
t t 1 t−1 2 t−2 t
− ∼ ∈
con
θ = 0.4, θ = 0.4, σ = 9,
1 2 2
−
entonces
R(0)= 1+0.42+0.42 9= 11.88
2−1
(cid:0) (cid:1)
R(1)= 9 θ θ = 9(θ θ +θ θ )
j j+1 0 1 1 2
j=0
X
= 9 0.4+( 0.4)(0.4) = 5.04
− − −
2−2
(cid:0) (cid:1)
R(2)= 9 θ θ = 9(θ θ )= 9(0.4)= 3.6.
j j+2 0 2
j=0
X
EntonceslaFACes
5.04 3.6
ρ(0)= 1, ρ(1)= = 0.42, ρ(2)=
−11.88 − 11.88
ρ(3)= ρ(4)= = 0
···
92
True ACF
1.0
0.8
0.6
True ACF 0.20.4
0.0
−0.2
−0.4
0 1 2 3 4
Lag
Figura6.1:Funcio´ndeAutocorrelacio´n.
Ejercicio6.2.1. EncuentrelaFACde
1. Y = ε 0.5ε 0.5ε .
t t t−1 t−2
− −
2. Y = ε +0.6ε 0.3ε 0.1ε .
t t t−1 t−2 t−3
− −
Conclusio´n De acuerdo con (6.5), sila fac muestralde una serie Y termina abruptamente
t
puedetratarsedeunMA(q).Porejemplo,enlasiguientegra´fica6.2ser´ıafactibleunmodelo
MA(3).
Series MA.3
0.8
F
AC 0.4
0.0
0 5 10 15
Lag
Figura6.2:FACmuestraldeunMA(3).
Definicio´n 6.2.3(Funcio´n de Autocorrelacio´nParcial(facp)). Supongaque(Y , t Z)
t
∈
esestacionaria.Lafacpesunafuncio´ndek,α(k), k = 1,2,... definidapor
1. α(1)= ρ(1)
2. α(k)= Corr(ε ,ε )donde
1 k
ε = Y E(Y Y ,...,Y )
1 1 1 2 k−1
− |
ε = Y E(Y Y ,...,Y ), k = 2,...
k k k 2 k−1
− |
93
Ylafacpmuestralsedefineporαˆ(k)
1. αˆ(1)= ρˆ(1)
2. αˆ(2):seregresaY sobreY yY talqueY = φ Y +φ Y +ε entonces
t t−1 t−2 t 21 t−1 22 t−2 t
αˆ(2)= φˆ
22
3. αˆ(k):seregresaY sobreY ,...,Y talqueY = φ Y + +φ Y +ε
t t−1 t−k t k1 t−1 kk t−k t
···
entoncesαˆ(k)= φˆ
kk
La facp de un proceso Y MA(q) se puede encontrar si se asume la condicio´n de
t
∼
invertibilidadparaunMA(q)
6.2.2. Condicio´ndeInvertibilidaddelProceso MA(q)
Definicio´n6.2.4. DadounprocesoMA(q),Y = θ (L)(ε )dondeθ (L)= 1+θ L+θ L2+
t q t q 1 2
+θ Lq,entoncesconsiderandoelpolinomioenz C,θ (z)= 1+θ z + +θ zq y
q q 1 q
··· ∈ ···
susq ra´ıces(z ,z ,...,z ) C,esdecir,valoresz Ctalesqueθ (z)= 0,sedicequeel
1 2 q q
∈ ∈
procesoY esinvertiblesisecumple
t
z > 1, j = 1,...,q, (6.6)
j
| | ∀
otambie´n,siθ (z)= 0, z, z 1.Noteque(6.6)esequivalentea
q
6 ∀ | |≤
1
< 1, j = 1,...,q
z ∀
j
| |
esdecir,losinversosdelasra´ıcesdebencaerdentrodelc´ırculounitariocomplejo.
Ejemplo6.2.2. SeaY MA(a)talque
t
∼
Y = ε 0.4ε +0.4ε , (6.7)
t t t−1 t−2
−
veamossiY esinvertible.Hallamoslasra´ıcesdelpolinomioθ (z)
t q
θ (z)= 1 0.4z+0.4z2 = 0,
2
−
0.4 0.42 4(0.4)(1)
z = ± −
2(0.4)
p
1 110 4 4 1 1√10 36
= 4=
2 ± 2 4 10 10 − 2 ± 2 2 −10
r r r
1 1√10 36 1 3
= i = i
2 ± 2 2 10 2 ± 2
r
94
portanto
2 2
1 3 1
z = + = +9 > 1,
| | s 2 ±2 4
(cid:18) (cid:19) (cid:18) (cid:19) r
luegoY esinvertible.
t
6.2.3. Funcio´nfacpdeunProceso MA(q)invertible
SupongaunprocesoY MA(q)invertible,
t
∼
Y = θ (L)(ε ). (6.8)
t q t
Considereθ (z)= 1+θ z+ +θ zq entoncesθ (z) = 0, z 1,luegolafuncio´n 1
q 1 ··· q q 6 | |≤ θq(z)
tienedesarrolloesseriedeTayloralrededordez = 0,dadopor
∞
1
= 1+ψ z +ψ z2+... = ψ zj, ψ = 1, (6.9)
1 2 j 0
θ (z)
q
j=0
X
con ∞ ψ2 < ,dondeψ 0sij .Multiplicandoambosmiembrosde(6.8)por
j=0 ∞ j → → ∞
1 seobtiene
θq(LP)
1
ε = Y = ψ(L)(Y )= Y +ψ Y +ψ Y +... (6.10)
t t t t 1 t−1 2 t−2
θ (L)
q
YdespejandoY
t
Y = ψ Y ψ Y +ε , (6.11)
t 1 t−1 2 t−2 t
− − −···
dedondeconclu´ımosquesihacelaregresio´ndeY sobrelosprimerosk rezagosY ,j =
t t−j
1,...,k, entonces el k e´simo coeficiente es α(k) = ψ(k) = 0, k y como ψ(k) 0
6 ∀ →
entoncesα(k) 0 cuandok . Portanto,la facpdeunMA(q) decrece a cero. Enlas
→ → ∞
Figurassiguientes6.3seobservalafacylafacpdeunMA(3).
95
True ACF True PACF
0
1.
8
True ACF 0.40. True PACF 0.20.6
2
0.0 −0.
0 5 10 15 20 5 10 15 20
Lag Lag
(a)FAC (b)FACP
Figura6.3:FAC yFACP deunMA(3).
6.2.4. Implementacio´nenR
EnRparaidentificarseusanlasfuncionesacfypacfyparaestimarunadelasfunciones
usadasesarma delalibrer´ıatseries.
Ejemplo6.2.3. library(forecast,tseries)
n = 300
theta = c( 1, 0.4, 0.4)
(Mod(polyroot(theta)))
y = arima.sim(list(order=c(0,0,2), ma=theta[2:3]), n=n, sd=sqrt(2.3))
layout(1:3)
ts.plot(y)
acf(y,30)
pacf(y,30)
# Estimacio´n: Funcio´n arma librerı´a tseries
modelo.y = arma(x=y, order=c(0,2))
summary(modelo.y)
96
Series y Series y
4
F 0.
ACF 0.00.6 Partial AC 0.10.2
−
0 5 10 15 20 25 30 5 10 15 20
Lag Lag
(a)FAC (b)FACP
Figura6.4:FAC yFACP delEjemplo.
pred.y = predict(modelo.y, n.ahead=2)
plot(seq(1,9,1), c(tail(y), pred.y$pred), type=’b’)
points(seq(7,9,1), pred.y$pred, type=’b’, col=’red’)
6.3. Procesos Autoregresivos de Orden p, AR(p)
Definicio´n6.3.1(ProcesoAR(p)). SedicequeY ,n ZsigueunprocesoAR(p)si
n
∈
Y = ϕ Y +ϕ Y + +ϕ Y +ε , (6.12)
n 1 n−1 2 n−2 p n−p n
···
dondeε RB(0,σ2).UsandoeloperadorderezagoLsepuedeescribir(6.12)como
n
∼
ϕ (L)(Y ) = ε , (6.13)
p n n
conϕ (z)= 1 ϕ z+ϕ z2+ +ϕ zp,z C,elpolinomioautorregresivo.
p 1 2 p
− ··· ∈
Condicio´nSuficienteparaqueunAR(p)sea Estacionario
La condicio´n suficiente para que Y AR(p) sea estacionarioen covarianza es que las p
t
∼
ra´ıcesdellaecuacio´nϕ (z)= 0,z ,z ,...,z cumplan
p 1 2 p
z > 1 (6.14)
i
| |
dondeϕ (z)eselpolinomiocaracter´ısticodelAR(p)definidopor
p
97
ϕ (z)= 1 ϕ z ϕ z2 ϕ zp, z C, (6.15)
p 1 2 p
− − −···− ∈
No´tese que si z = a ib entonces z = a2+b2. La condicio´n (6.14) no es, sin
j j ± j | j| j j
embargo,necesaria.Enpalabras,lacondicio´n(6.q14)sedescribecomo“paraqueunproceso
autoregresivo de orden p sea estacionario en covarianza, es suficiente que las ra´ıces del
polinomioautorregresivoeste´nporfueradelc´ırculounitario”.Elc´ırculounitarioapareceen
laFigura6.5.Enestafiguraseobservalaposicio´ndelara´ızz ysuconjugadoz¯ .
j j
(cid:5)(cid:6)
(cid:2)
(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:9)(cid:11)(cid:8)(cid:12)(cid:9)(cid:13)(cid:8)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:9)
(cid:1) (cid:2) (cid:3)(cid:4)
(cid:7)(cid:8)(cid:9)(cid:10)(cid:9)(cid:11)(cid:8)(cid:15)(cid:9)(cid:13)(cid:8)(cid:9)(cid:14)(cid:9)(cid:9)
Figura6.5:C´ırculoUnitario
6.3.1. AlgunasPropiedades delos Procesos AR(p)Estacionarios
Proposicio´n6.3.1. ParaunprocesoY AR(p),definidoen(6.12),setieneE(Y ) = 0.
t t
∼
Demostracio´n. SiY esestacionarioencovarianzaentoncesE(Y )= µ.Adema´s,
t t
E(Y )= ϕ E(Y )+ϕ E(Y )+ +ϕ E(Y )+0,
t 1 t−1 2 t−2 p t−p
···
perotodaslasesperanzassonµluego
µ = ϕ µ+ϕ µ+ +ϕ µ.
1 2 p
···
Siµ = 0entonces
6
1= ϕ + +ϕ
1 p
···
portanto
ϕ (1)= 0
p
98
locualesunacontradiccio´n( ), yaque z C, z 1entonces
→← ∀ ∈ | |≤
ϕ (z)= 0.
p
6
luegodebetenersequeµ = 0,esdecir,elprocesodefinidoen(6.12)esdemediacero.
UnprocesoY AR(p)conE(Y ) = µ = 0sedefinecomo
t t
∼ 6
ϕ (L)(Y )= ϕ +ε , (6.16)
p t 0 t
donde
ϕ = ϕ (L)(µ)
0 p
= (1 ϕ ϕ ϕ )µ.
1 2 p
− − −···−
No´tesequetambie´nsepuedeescribirY = (1 ϕ ϕ )µ+ϕ Y + +ϕ Y +ε ,
t 1 p 1 t−1 p t−p t
− −···− ···
dedondeY µ =ϕ (Y µ)+ +ϕ (Y µ)+ε .Esdecir,elproceso(Y µ)
t 1 t−1 p t−p t t
− − ··· − −
esAR(p)demediacero.
La Funcio´ndeAutocovarianzade losProcesos AR(p)
Lafuncio´ndeautocovarianzadeunprocesoY AR(p)estacionarioencovarianza,R(k)
t
∼
se puede calcular resolviendo una ecuacio´n recursiva lineal denominada, en plural, las
ecuacionesdeYule–Walker.
Proposicio´n6.3.2. Supongaun procesoAR(p), Y = p ϕ Y +ε , quesatisfacela
n j=1 j n−j t
condicio´ndeestacionarioencovarianza((6.14)).Sufuncio´nfacR(k)satisfacelaecuacio´n
P
recursiva
p
R(k)= ϕ R(k j), k = 1,2,.... (6.17)
j
−
j=1
X
denominada,enplural,EcuacionesdeYule–Walker.
Demostracio´n. Colocandoµ = E(Y ),comoY = p ϕ Y +ε ,altomaresperanza
n n j=1 j n−j n
enambosmiembrosseobtieneµ = p ϕ µ+0.Restandolasexpresionesanterioresse
j=1 j P
obtieneY µ = p ϕ (Y µ)+ε .Multiplicandoambosmiembrosdelaidentidad
n− j=1 j n−j− P n
anteriorporY µ,conk n,ytomandovaloresperadoE(.)seobtiene
n−kP− ≤
R(k) = E((Y µ)(Y µ))
n n−k
− −