Cap´ıtulo 7 Dinámica Anal´ıtica

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Cap´ıtulo 7
Din´amica Anal´ıtica
La din´amica anal´ıtica comprende una serie de m´etodos cuya caracter´ısti-
ca principal es el tratamiento puramente abstracto, anal´ıtico, de los sistemas
mec´anicos. De esta forma, se separan al m´aximo las consideraciones f´ısicas y
geom´etricas necesarias para definir el movimiento, de las puramente matema´-
ticas para plantear y solucionar las ecuaciones. Las primeras son necesarias
para formular las coordenadas, enlaces y magnitudes cin´eticas de un siste-
ma dado; una vez realizada definicio´n de un sistema mediante la adecuada
selecci´on de las magnitudes anteriores, los m´etodos de la mec´anica anal´ıti-
ca permiten obtener las ecuaciones de la din´amica (o las condiciones de la
est´atica en su caso) de forma casi automa´tica.
El iniciador de estas t´ecnicas fue Joseph Louis Lagrange, a partir de la
publicacio´n de su obra M´ecanique Analytique1 en 1788. Lagrange introdujo
numerososconceptosempleadoshoyd´ıaenlamec´anicayenlasmatema´ticas:
formulo´ las ecuaciones que llevan su nombre para la din´amica; coloc´o sobre
bases s´olidas el c´alculo de variaciones; fue el inventor de las palabras derivada
y potencial; etc.
Otra figura clave en la meca´nica anal´ıtica fue William Rowan Hamilton,
ya en el siglo XIX (1805-1865). En su obra busco´ una gran generalidad,
desarrollando una teor´ıa por la que el movimiento se puede reducir a la
bu´squeda y diferenciacio´n de una s´ola funcio´n (la integral de la accio´n S).
(cid:19) (cid:20)
ElpuntodevistadeHamiltonresult´omuyf´ertil,resultandoba´sicoparaotros
campos como la meca´nica cua´ntica, desarrollada posteriormente en el siglo
XX.
7.1. Coordenadas Generalizadas
Un planteamiento b´asico de la meca´nica anal´ıtica es la descripcio´n de los
sistemas mediante coordenadas generalizadas .
(cid:19) (cid:20)
1En ella, Lagrange se vanagloriaba de que no hab´ıa ninguna figura, como bot´on de
muestradequelosm´etodospropuestosestabanlibresdecasu´ısticageom´etricaotopol´ogica.
7.1
7.2 Cap´ıtulo 7. DINA´MICA ANAL´ıTICA
Definicio´n.- Se denominan coordenadas generalizadas a un conjunto
cualquiera de para´metros {q , i = 1,2,...,n}, que sirven para determinar de
i
manera un´ıvoca la configuracio´n del sistema.
Estos para´metros en principio pueden ser cualesquiera, sin necesitar ser
homog´eneos en cuanto a dimensiones. Por ejemplo, se pueden mezclar longi-
tudes, ´angulos, etc. Una idea clave, subyacente en la eleccio´n de coordenadas
generalizadas, es que ´estas pueden englobar en su propia eleccio´n los enlaces
del sistema (todos o al menos una parte de ellos). De esta forma se consigue
una doble ventaja: por una parte, el nu´mero de par´ametros es menor que el
correspondiente directamente a las coordenadas de todas las part´ıculas. Por
otra, el nu´mero de ecuaciones de enlace se ve igualmente reducido.
Un conjunto de coordenadas {q } se denomina libre cuando se pueden
i (cid:19) (cid:20)
variar de forma independiente entre s´ı; es decir, si las variaciones de las
mismas, {δq }, se pueden escoger de forma arbitraria. Caso de que no sea as´ı,
i
sera´ porque existe alguna ligadura que relacione dichas coordenadas, bien de
tipo holo´nomo o no holo´nomo.
Cuando las coordenadas generalizadas no sean libres, se debera´ a que
subsisten condiciones de enlace formuladas de manera expl´ıcita. Estas se
traducira´n en relaciones entre las q (y tambi´en sus derivadas q˙ para enlaces
i i
no holo´nomos). Debido a estas ligaduras el nu´mero de grados de libertad es
en realidad menor que n. Por el contrario, si las coordenadas son libres, su
nu´mero es precisamente el nu´mero de grados de libertad del sistema.
Por ejemplo, en el sistema plano r´ıgido de la figura 7.1, al tener una
articulaci´on,bastaconunau´nicacoordenadaangular(n = 1;q ≡ θ).Enesta
1
eleccio´n ya quedan englobados impl´ıcitamente los enlaces, tanto los internos
(ligaduras de s´olido r´ıgido) como los externos (articulaci´on). El sistema tiene
un grado de libertad.
Figura 7.1: El movimiento del s´olido arti-
culado de la figura queda descrito por una
u´nica coordenada generalizada, el ´angu-
G
(cid:98) lo θ. De esta forma se engloban todos los
enlaces, tanto internos (ligaduras de s´oli-
(cid:105) θ = q
1 do r´ıgido) como externos (r´otula cil´ındri-
(cid:101)
ca en O).
Supongamos ahora el caso general de un sistema con un nu´mero finito
de part´ıculas (N), sujeto a m ligaduras holo´nomas y k anholo´nomas. Ser´a
posible su descripcio´n mediante un conjunto ma´s reducido de n = 3N −m
Aptdo. 7.1. Coordenadas Generalizadas 7.3
par´ametros o coordenadas generalizadas. Esquem´aticamente:

 {m , r , i = 1,...,N}
 i i

 +
m Enlaces holo´nomos

 +


k Enlaces anhol´onomos
(cid:109)

 {m , i = 1,...,N}, {q , j = 1,...,n}.
i j
+

k Enlaces anhol´onomos
Esta reducci´on en el nu´mero de coordenadas se efectu´a gracias a la elimina-
cio´n de los m enlaces holo´nomos, que quedara´n impl´ıcitos en la eleccio´n de
las coordenadas generalizadas. Por el contrario, los k enlaces anhol´onomos
no es posible eliminarlos, debiendo quedar planteados de forma expresa.
Uncasoextremodereducci´onenelnu´merodecoordenadaseseldels´olido
r´ıgido. Considerado como un medio continuo, es infinitamente subdivisible,
teniendo por tanto un nu´mero infinito de part´ıculas y por tanto de coor-
denadas. Sin embargo, recordemos (apartado 6.1) que los enlaces internos
del s´olido (distancia constante entre dos part´ıculas cualesquiera) permiten
reducir el nu´mero de coordenadas generalizadas del s´olido a 6.
Engeneral,existira´nunasrelacionesentrelosvectoresdeposicio´ndecada
part´ıcula y las coordenadas generalizadas del tipo:
r = r (q ,t) (i = 1,...,N; j = 1,...,n) (7.1)
i i j
A los vectores de posicio´n de cada part´ıcula {r } los denominaremos, por
i
extensi´on, coordenadas vectoriales . Esta´ claro que ´estas son equivalentes
(cid:19) (cid:20)
a definir las 3N coordenadas cartesianas correspondientes. Por otra parte,
´estas s´olo sera´n libres para un sistema sin ligadura ninguna; en cualquier
otro caso, no formara´n un conjunto libre.
Podr´a existir dependencia del tiempo en la definicio´n de las coordenadas
generalizadas(7.1)cuandosehayantomadosistemasdecoordenadasm´oviles,
o bien cuando haya enlaces m´oviles.
A partir de las relaciones (7.1), las velocidades se obtienen derivando:
(cid:88)n
d ∂r dq ∂r
i j i
v = r = + , (7.2)
i i
dt ∂q dt ∂t
j
j=1
dq
j
llam´andose por extensi´on velocidades generalizadas a los t´erminos =
(cid:19) (cid:20)
dt
q˙ .
j
7.4 Cap´ıtulo 7. DINA´MICA ANAL´ıTICA
Ejemplo 7.1: Un sistema est´a formado por dos part´ıculas A y B unidas por
una varilla r´ıgida sin masa, de longitud l. Las part´ıculas se mueven sobre un
plano horizontal liso, existiendo en A un cuchillo que obliga a que ese punto
se mueva segu´n la direccio´n de la varilla (figura 7.2).
y B
G
Figura7.2:Sistema de dos part´ıculas A y B, uni-
θ
das r´ıgidamente, con cuchillo en el apoyo de A
A que materializa un enlace anhol´onomo.
x
Solucio´n: Al estar en un plano, se precisan 4 coordenadas cartesianas para
definir la configuraci´on, {x ,y ,x ,y }. Estas se hallan sujetas a 2 condicio-
A A B B
nes de enlace. Primeramente, el enlace holo´nomo correspondiente a la varilla
r´ıgida entre A y B
(x −x )2 +(y −y )2 = l2.
B A B A
Por otra parte, la condicio´n de apoyo mediante el cuchillo de cargas en A
resulta en imponer que la velocidad de este punto lleve la direccio´n de la
varilla, lo que constituye un enlace anhol´onomo:
−x˙ (y −y )+y˙ (x −x ) = 0.
A B A A B A
El sistema posee por tanto 2 grados de libertad. Podr´ıan escogerse coorde-
nadas generalizadas que eliminen el enlace hol´onomo (aunque no el anhol´o-
nomo). Tomaremos para ello las coordenadas del centro de masas (x,y) y el
´angulo θ formado con el eje x, un total de tres coordenadas. En funci´on de
´estas, la velocidad deA se expresa comov = (x˙+lθ˙senθ)i+(y˙−lθ˙cosθ)j,
A 2 2
y la normal a la varilla es n = −senθi+cosθj. La condici´on del enlace es
v ·n = 0, resultando
a
l
˙
−x˙ senθ+y˙cosθ− θ = 0. (7.3)
2
De esta forma, el sistema queda definido por tres coordenadas generalizadas
sujetas a una ecuacio´n de enlace anohlo´nomo.
Aptdo. 7.2. Ecuaciones de Lagrange 7.5
7.2. Ecuaciones de Lagrange
7.2.1. El Principio de D’Alembert en Coordenadas Ge-
neralizadas
Sea un sistema sometido a enlaces lisos. El principio de D’Alembert (6.31)
expresa:
(cid:88)N
(f −m r¨ )·δr = 0, ∀{δr } compatibles. (7.4)
i i i i i
i=1
En esta expresi´on f incluyen s´olo las fuerzas activas, excluyendo las reac-
i
ciones de los enlaces lisos.
Considerando una variacio´n δ (es decir, infinitesimal y a tiempo cons-
(cid:19) (cid:20)
tante) de las coordenadas en (7.1), se obtienen los desplazamientos virtuales:
(cid:88)n
∂r
i
δr = δq , i = 1,...,N. (7.5)
i j
∂q
j
j=1
∂r
i
N´otese que en esta expresio´n no existe t´ermino δt, ya que δt = 0 para
∂t
un desplazamiento virtual. La variacio´n δ se realiza en un instante fijo de
tiempo, no a lo largo del movimiento. En esto difiere de los desplazamientos
infinitesimales reales a lo largo del movimiento, que ser´ıan
(cid:88)n
∂r ∂r
i i
dr = dq + dt.
i j
∂q ∂t
j
j=1
Sustituyendo (7.5) en (7.4) y reorganizando el orden de las sumas i,j:
(cid:34) (cid:35)
(cid:88)n (cid:88)N (cid:88)N
∂r ∂r
f · i − m r¨ · i δq = 0, ∀{δq } compatibles. (7.6)
i ∂q i i ∂q j j
j j
j=1 i=1 i=1
Analicemos con mayor detalle cada uno de los dos t´erminos dentro del
corchete en esta expresio´n. El primero define unos coeficientes escalares que
llamaremos Fuerzas generalizadas :
(cid:19) (cid:20)
(cid:88)N
∂r
def i
Q = f · j = 1,...,n. (7.7)
j i ∂q
j
i=1
Es inmediato comprobar que Q son precisamente los coeficientes de δq en
j j
la expresi´on del trabajo virtual δW:
(cid:160) (cid:33)
(cid:88)N (cid:88)N (cid:88)n (cid:88)n (cid:88)N
∂r ∂r
i i
δW = f ·δr = f · δq = f · δq . (7.8)
i i i ∂q j i ∂q j
j j
i=1 i=1 j j=1 i=1
7.6 Cap´ıtulo 7. DINA´MICA ANAL´ıTICA
El segundo t´ermino de (7.6) se puede expresar como:
(cid:160) (cid:33)
(cid:146) (cid:147)
(cid:88)N (cid:88)N (cid:88)N
∂r d ∂r d ∂r
m r¨ · i = m r˙ · i − m r˙ · i (7.9)
i i i i i i
∂q dt ∂q dt ∂q
j j j
i=1 i=1 i=1
Para lo que sigue, debemos precisar que consideraremos la dependencia fun-
cional de todas las magnitudes cin´eticas sobre el conjunto de variables in-
dependientes (q ,q˙ ,t). Esta aclaraci´on precisa el significado de las derivadas
j j
parciales. As´ı, ∂/∂q (·) indicara´ la derivada parcial respecto de la coordenada
j
q , manteni´endose constantes el resto de coordenadas q (k =(cid:54) j) as´ı como las
j k
velocidades q˙ y el tiempo t.
j
Para continuar el desarrollo de la expresio´n (7.9), establezcamos antes dos
igualdades que sera´ necesario emplear:
∂r˙ ∂r
i i
1. = . En efecto, desarrollando el primer t´ermino,
∂q˙ ∂q
j j
r˙
(cid:122) (cid:125)(cid:124)i (cid:123)
(cid:34) (cid:35)
(cid:88)n (cid:88)n
∂r˙ ∂ ∂r ∂r ∂r ∂r
i i i i i
= q˙ + = δ = .
k kj
∂q˙ ∂q˙ ∂q ∂t ∂q ∂q
j j k k j
k=1 k=1
(cid:131)
(cid:146) (cid:147)
d ∂r ∂r˙
i i
2. = . En efecto, desarrollando ambos t´erminos por sepa-
dt ∂q ∂q
j j
rado:
(cid:146) (cid:147)
d ∂r (cid:88)n ∂2r ∂2r
i i i
= q˙ + ;
k
dt ∂q ∂q ∂q ∂q ∂t
j j k j
k=1 (cid:34) (cid:35)
∂r˙ ∂ (cid:88)n ∂r ∂r (cid:88)n ∂2r ∂2r
i i i i i
= q˙ + = q˙ + ,
k k
∂q ∂q ∂q ∂t ∂q ∂q ∂t∂q
j j k k j j
k=1 k=1
siendo ambas expresiones iguales, por la igualdad de las derivadas cru-
zadas. (cid:131)
def
Empleando estos dos resultados y la definicio´n de energ´ıa cin´etica, T =
(cid:80)
N 1m r˙2, la ecuaci´on (7.9) resulta:
i=1 2 i i
(cid:160) (cid:33)
(cid:88)N (cid:88)N (cid:88)N
∂r d ∂r˙ ∂r˙
m r¨ · i = m r˙ · i − m r˙ · i
i i i i i i
∂q dt ∂q˙ ∂q
j j j
i=1 (cid:146)i=1(cid:147) i=1
d ∂T ∂T
= − , (7.10)
dt ∂q˙ ∂q
j j
Aptdo. 7.2. Ecuaciones de Lagrange 7.7
Finalmente, empleando (7.7) y (7.10), el principio de D’Alembert (7.4) queda
expresado en coordenadas generalizadas como:
(cid:148) (cid:146) (cid:147) (cid:149)
(cid:88)n
d ∂T ∂T
− −Q δq = 0, ∀{δq } compatibles (7.11)
j j j
dt ∂q˙ ∂q
j j
j=1
Estaexpresio´n,altratarse delprincipiode D’alembert,puede serconsiderada
por tanto como ecuaci´on fundamental de la din´amica.
Conviene notar que en (7.11) no se emplean fuerzas f´ısicas en ningu´n
t´ermino. Tan s´olo entran los coeficientesQ , fuerzas generalizadas, calculadas
j
directamente a partir de la expresio´n (7.7) o como coeficientes del trabajo
virtualδW (7.8)segu´nsehadicho.AligualqueenelprincipiodeD’Alembert,
en la definicio´n de Q tampoco intervienen las fuerzas de reacci´on de los
j
enlaces lisos, que no realizan trabajo virtual.
7.2.2. Forma b´asica de las Ecuaciones de Lagrange
La expresio´n (7.11) es completamente general por lo que se puede aplicar
a cualquier sistema, tanto con enlaces holo´nomos como no hol´onomos. En el
caso en que todos los enlaces sean hol´onomos, ser´a posible siempre establecer
un conjunto de coordenadas libres {q }, en el que las variaciones {δq } se
j j
puedan escoger de manera arbitraria, manteniendo la compatibilidad con
los enlaces. En este caso, (7.11) equivale a enunciar que cada uno de los
coeficientes de las {δq } en ha de anularse:
j
(cid:146) (cid:147)
d ∂T ∂T
− = Q , (j = 1,...,n). (7.12)
j
dt ∂q˙ ∂q
j j
Estas expresiones son las llamadas ecuaciones de Lagrange, en su forma ba´-
sica.
Observaciones.-
En (7.12) existe una ecuaci´on por cada grado de libertad, por lo que la
elecci´on de coordenadas generalizadas libres conduce directamente al
m´ınimo nu´mero de ecuaciones din´amicas.
Se trata de ecuaciones diferenciales de segundo orden (al existir deri-
vadas temporales de los t´erminos ∂T/∂q˙ , que dependen, a su vez, de
j
q˙ ).
j
Delasecuaciones(7.12)hanquedadoeliminadastodaslasreaccionesde
enlace que no realizan trabajo virtual, correspondientes a los enlaces
lisos. Esto contrasta con las ecuaciones procedentes de los teoremas
Newtonianos en las que, en principio, deben considerarse tambi´en estas
reacciones.
7.8 Cap´ıtulo 7. DINA´MICA ANAL´ıTICA
Una vez evaluadas las expresiones de T y de Q , las ecuaciones de La-
j
grange se pueden obtener de forma autom´atica sin ma´s que aplicar las
reglas anal´ıticas de derivacio´n correspondientes a (7.12). Es posible in-
cluso automatizar su obtenci´on mediante una programaci´on adecuada
de sistemas de matema´tica simb´olica, como MAPLE, MATHEMATI-
CA, MACSYMA, etc.
(cid:146) (cid:147)
d ∂T
El significado f´ısico del t´ermino en (7.12) es el de las fuerzas
dt ∂q˙
j
de inercia. Para comprobarlo, tomemos como coordenadas las propias
coordenadas vectoriales r :
j
(cid:34) (cid:160) (cid:33)(cid:35)
(cid:146) (cid:147)
(cid:88)N
d ∂T d ∂ 1 d
= m r˙2 = (m r˙ ) = m r¨ .
dt ∂r˙ dt ∂r˙ 2 i i dt j j j j
j j
i=1
Por u´ltimo, los t´erminos ∂T/∂q pueden interpretarse como fuerzas
j
ficticias procedentes de la eleccio´n de coordenadas generalizadas {q }.
j
En caso de que ´estas sean simplemente las componentes cartesianas de
los vectores {r }, desaparecer´ıan. Estas fuerzas se an˜aden a las fuerzas
i
generalizadas Q en la direccio´n de q .
j j
7.2.3. Caso en que las fuerzas provienen de un poten-
cial. Funci´on Lagrangiana
Si las fuerzas aplicadas proceden de un potencial V,
∂V
f = −grad V = − ,
i i ∂r
i
las fuerzas generalizadas tendr´an entonces la expresi´on:
(cid:88)N (cid:88)N
∂r ∂V ∂r ∂V
def i i
Q = f · = − · = − . (7.13)
j i ∂q ∂r ∂q ∂q
j i j j
i=1 i=1
En lo que sigue, admitimos la hip´otesis de que el potencial V depende de las
coordenadas y posiblemente del tiempo2, pero no de las velocidades3:
V = V(q ,t) = V(r ,t).
j i
2Ya se ha comentado (apartado 2.1.3) que si el potencial no es constante (es decir,
∂V(r ,t)/∂t=(cid:54) 0), las fuerzas no son conservativas a pesar de provenir de un potencial.
i
3En caso de existir fuerzas de tipo electromagn´etico, esta suposici´on no es v´alida, ya
que las fuerzas dependen de la velocidad con la que se mueven las part´ıculas con carga.
Es posible definir un potencial generalizado dependiente de la velocidad para este caso,
y establecer las ecuaciones de Lagrange correspondientes, aunque que no trataremos aqu´ı
este aspecto para no complicar el desarrollo.
Aptdo. 7.2. Ecuaciones de Lagrange 7.9
Sustituyendo (7.13) y agrupando t´erminos, las ecuaciones de Lagrange (7.12)
se pueden escribir como:
(cid:146) (cid:147)
d ∂T ∂(T −V)
− = 0 (j = 1,...,n).
dt ∂q˙ ∂q
j j
Se define la funci´on Lagrangiana como:
def
L(q ,q˙ ,t) = T(q ,q˙ ,t)−V(q ,t);
j j j j j
al no depender V de las velocidades, se verifica ∂T/∂q˙ = ∂L/∂q˙ . De esta
j j
forma, las ecuaciones quedan finalmente:
(cid:146) (cid:147)
d ∂L ∂L
− = 0, (j = 1,...,n). (7.14)
dt ∂q˙ ∂q
j j
Estas expresiones constituyen las ecuaciones de Lagrange en su forma esta´n-
dar, aplicables para sistemas en que las fuerzas provienen de un potencial.
Es necesario comprender la importancia de la funci´on Lagrangiana L en
la caracterizacio´n din´amica de un sistema: basta con conocer su expresio´n,
L(q ,q˙ ,t), para poder determinar a partir de ella las ecuaciones din´amicas
j j
(7.14); toda la informacio´n dina´mica del sistema est´a por tanto contenida en
la estructura de L(q ,q˙ ,t).
j j
Unicidad de la funci´on Lagrangiana
La elecci´on de una funcio´n Lagrangiana para representar un sistema no
es u´nica. Para comprender esto basta considerar un potencial distinto, que
difiera en una constante aditiva (V(cid:48) = V + cte.), lo que, como sabemos, es
equivalente por completo. Por tanto, dos Lagrangianas que difieran en una
constante tambi´en son equivalentes. Este resultado se puede generalizar, ya
que es posible comprobar que dos Lagrangianas que difieran entre s´ı en una
derivada total de alguna funci´on que dependa exclusivamente de coordenadas
y tiempo, son equivalentes4.
En efecto, sean L y L(cid:48) tales que
d
L(cid:48)(q ,q˙ ,t) d=ef L(q ,q˙ ,t)+ F(q ,t); (7.15)
j j j j j
dt
siendo F(q ,t) una funcio´n cualquiera de q y t pero no de las velocidades q˙ .
j j j
Por la definicio´n funcional de F, desarrollando la derivada temporal:
(cid:88)n
dF ∂F ∂F
L(cid:48) −L = = q˙ + ,
k
dt ∂q ∂t
k
k=1
y las contribuciones de este t´ermino en las ecuaciones de Lagrange son:
4Las transformaciones que ocasionan una variaci´on de L de este tipo se denominan
(cid:19)transformacionesdegauge(cid:20),t´erminoprovenientedelingl´es,aunquelatraducci´ondirecta
en castellano (cid:19)transformaciones de galga(cid:20) no parece tampoco muy atractiva.
7.10 Cap´ıtulo 7. DINA´MICA ANAL´ıTICA
(cid:148) (cid:146) (cid:147)(cid:149) (cid:148) (cid:149)
d ∂ dF d ∂F (cid:88)n ∂2F ∂2F
= = q˙ +
k
dt ∂q˙ dt dt ∂q ∂q ∂q ∂q ∂t
j j j k j
k=1
(cid:148) (cid:149)
∂ dF (cid:88)n ∂2F ∂2F
= q˙ +
k
∂q dt ∂q ∂q ∂t∂q
j k j j
k=1
Como se ve, al restar ambos t´erminos en (7.14) se anulan entre s´ı, y el re-
sultado neto, de emplear L(cid:48), son las mismas ecuaciones dina´micas que para
L.
Caso de fuerzas no conservativas
En los casos en que existan algunas fuerzas que procedan de un potencial
(QV d=ef −∂V/∂q ) y otras que no (QN):
j j j
∂V
Q = QV +QN = − +QN,
j j j ∂q j
j
es posible definir una Lagrangiana parcial L = T − V, resultando entonces
las ecuaciones:
(cid:146) (cid:147)
d ∂L ∂L
− = QN, j = 1,...,n
dt ∂q˙ ∂q j
j j
donde s´olo aparecen expresamente las fuerzas no conservativas QN.
j
Transformaciones admisibles de coordenadas
Supongamos un cambio de coordenadas definido mediante una funci´on
biun´ıvoca G : {q } (cid:55)→ {qˆ}, suave5. Llamaremos a su inversa g = G−1.
j j
Entonces,
qˆ = G (q ,t); q = g (qˆ,t) i,j = 1,...,n
i i j i i j
(cid:140) (cid:140)
(cid:140)∂q (cid:140)
(cid:140) i(cid:140) =(cid:54) 0.
(cid:140) (cid:140)
∂qˆ
j
Para simplificar las expresiones en lo que sigue, definimos la derivada varia-
cional de L respecto a q como
j
(cid:146) (cid:147)
δL ∂L d ∂L
= − ; (7.16)
δq ∂q dt ∂q˙
j j j
En funcio´n de ella, las ecuaciones de Lagrange (7.14) quedan expresadas
simplemente como
δL
= 0 j = 1,...,n.
δq
j
5es decir, con derivadas continuas hasta el orden que sea preciso