Cap. 1 ANÁLISIS VECTORIAL

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Física General - 1 -

Cap. 1

ANÁLISIS VECTORIAL

CONTENIDO:
- 2 - Física General

OBJETIVO HOLÍSTICO ESPECÍFICO:

Demostramos los procesos matemáticos que sustentan
como herramienta a la física estudiando y analizando
las características y sus aplicaciones en el manejo de
los vectores para el desarrollo y generación de
recursos productivos, en beneficio de la sociedad
plurinacional de Bolivia

SUMA Y RESTA DE VECTORES CON GEOGEBRA

Descargue el software GEOGEBRA, un pequeño manual de uso y practique suma, resta,
productos con vectores en dos y tres dimensiones.

¿Qué es GEOGEBRA?: GeoGebra es un software matemático interactivo libre que está lleno de
funcionalidades tendientes a simplificar las construcciones geométricas. Está escrito en Java y por
tanto está disponible en múltiples plataformas.
Es un recurso educativo que se utiliza en como una herramienta didáctica en la enseñanza de las
Matemáticas. Los usuarios pueden hacer construcciones con puntos, segmentos, líneas, cónicas,
que pueden ser modificados posteriormente, de manera dinámica.
Con este programa, se pueden ingresar ecuaciones y coordenadas directamente. Así, GeoGebra
tiene la capacidad de operar con variables vinculadas a números, vectores y puntos; permite hallar
derivadas e integrales de funciones y ofrece un amplio repertorio de comandos propios del Cálculo,
para identificar puntos singulares de una función, como raíces o extremos. Posee cinco
características distintivas:
En relación a las ecuaciones y el sistema de coordenadas, se cuenta con una gran cantidad de
funcionalidades, como por ejemplo, la gráfica de ecuaciones (de una manera muy similar a un
graficador), trazado de tangentes, áreas inferiores, etc.
Física General - 3 -

Vector.- El vector es una representación gráfica de Suma de vectores.- Consiste en determinar en
una magnitud física vectorial, posee cuatro forma gráfica y analítica un vector resultante que
elementos: produzca los mismos efectos de los vectores
componentes actuando juntos y simultáneamente.

L
a) Vectores paralelos y colineales.- Todos los
vectores tienen la misma dirección, solo se
A diferencian en los sentidos, pueden ser positivos o
negativos.

O

1. Módulo.- Es el valor numérico del vector,
geométricamente es el tamaño del vector.


OA  V  V = Vector

OA  V  V  Módulo

  

A2u B3u C 4u
2. Dirección.- Es la línea de acción del vector o las
líneas rectas paralelas a él ( L ).
La resultante es:
La dirección queda definida por el ángulo (θ)    
R ABC (2)(3)(4)3u
3. Sentido.- Es la característica del vector que nos

indica hacia donde se dirige.
La resultante tiene módulo 3 unidades, dirección

horizontal y sentido hacia la derecha.
Está determinado por la punta de la flecha (A)

4. Punto de aplicación.- Es el origen del vector (O)
b) Método del paralelogramo.- Válido para dos

vectores concurrentes. Se dibujan los dos vectores

componentes haciendo coincidir sus orígenes, luego
Expresión de un vector como par ordenado.- En
se trazan paralelas para formar un paralelogramo, el
el plano cartesiano los vectores tienen dos
vector resultante estará en una de sus diagonales y
componentes, donde el origen del vector se
su punto de aplicación coincidirá con el origen de los
encuentra en el origen de coordenadas.
vectores.

Ejemplos:
N

O M


Módulo de R:

Aplicando teorema de los cósenos al triángulo OMN:

R2  A2  B2 2ABcos(180º)

  

A(5,5) B(7,6) C (4,7)
Por identidad: cos(180º)  cos
- 4 - Física General

Entonces: R2  A2 B2 2ABcos

R A2  B2 2ABcos


Dirección de R:

Aplicando teorema de senos al triángulo OMN:
Ejem. 1.1.- Calcular el vector resultante (módulo y
dirección), de dos vectores de 80 N y 60 N que
sen sen(180º)
 forman un ángulo de 120º.
B R Datos: Incógnitas:
A = 80 N R = ?
Reemplazando: sen(180º – ) = sen  B = 60 N θ = ?

sen sen


B R

Bsen 120º
sen

R

Dónde:
Solución:

R = Módulo del vector resultante
Módulo de R:

A y B = Módulos de los vectores sumandos
R  A2B22.A.B.cos

 = Ángulo entre los vectores A y B
R (80N)2(60N)22(80N)(60N)(cos120º)  72.11N
 = Angulo del vector resultante con uno de sus
componentes Direcciòn de R:

sen sen(180º120º)
c) Método del triángulo.- Válido solo para dos 
B R
vectores concurrentes. Se trazan los vectores uno
a continuación del otro para luego formar un
triángulo, el vector resultante se encontrará en la Bsen60º
sen 
línea que forma el triángulo y su punto de aplicación
R
coincidirá el origen del primer vector.

60Nsen60º
Ejemplo: sen   0.72
72.11N
Sumar los siguientes vectores:
arcsen0.7246.1º

d) Casos particulares.- Para el ángulo de dos
vectores.

Resultante máxima.- La resultante de dos vectores
es máxima cuando estos se encuentran en la misma
Aplicando el método del triángulo:
dirección y sentido ( θ = 0º )


Módulo deR: R AB
Física General - 5 -

Resultante mínima.- La resultante de dos vectores Resta de dos vectores.- Es un caso especial de la
es mínima, cuando estos se encuentran en la misma suma de vectores, se toma en cuenta al vector
dirección; pero de sentidos contrarios ( θ = opuesto de uno de los sumandos y se procede de la
180º ) misma forma que la suma:


Módulo deR: R AB
Ejem. 1.3.- Hallar el vector resultante: R = A – B

e) Vectores ortogonales.- Cuando dos vectores
forman 90º son perpendiculares u ortogonales.

En este caso usaremos el vector opuesto de B:


Módulo deR: Teorema de Pitágoras:

R  A2 B2

 cat.opuesto
Dirección deR: tan
cat.adyacente
Vectorialmente: R AB

B
tan Ejem. 1.4.- Hallar el vector resultante: R = B – A
A

Ejem. 1.2.- La resultante de dos vectores, varía al
hacer girar uno de ellos. El mínimo módulo de la
resultante es 2 y el máximo 14. Determine el módulo
de la resultante cuando los vectores forman ángulo
recto.

R mínima: A – B = 2

En este caso, el vector opuesto de A
R máxima: A + B = 14

Resolviendo ambas ecuaciones, se tiene:

A = 8 y B = 6

Cuando forman ángulo recto, la resultante se obtiene

aplicando el teorema de Pitágoras:

R A2  B2  82 62  100
Vectorialmente: RBA

R10

Para tomar en cuenta:

La sustracción de vectores no es conmutativa.
- 6 - Física General

Ejem. 1.5.- Determinar una expresión vectorial, de b)

 
manera que el vector A esté en función de los
    BB CC
vectores B, C y/o D. AA

a)

  AA
BB  Trazamos el vector D para facilitar el ejercicio:
AA


 DD
CC  
 BB CC
   
AA
Trazando  A se tiene: BCA

  

Despejando: ACB
DD

b)  
 Trazando los vectores opuestos D y D, nos
CC
permite plantear dos ecuaciones:

 DD   
AA DB A
  
 CD1B s/m/m ambas ecuaciones
BB   2 
BC A 1 B
    2
CDBA   
    Despejando: AC  1 B
2
De donde se despeja: ACDB

c)

 Método del polígono.- Es una continuación del
BB  método del triángulo, válido para dos o más
AA vectores concurrentes y coplanares.


CC Este método gráfico se utiliza tanto para la suma

como para la resta de vectores.

  

C  AB Se trazan los vectores uno a continuación de otro y
   luego formar un polígono con una recta, el vector
AC  B resultante se encontrará en la línea que forma el
De donde se despeja:
polígono y su punto de aplicación coincidirá con el
origen del primer vector.

Ejem. 1.6.- Hallar el vector A en función de los
 
Ejem. 1.7.- Sumar los siguientes vectores:
vectoresB, C

a)

 AA
BB

CC

   

Diagonal mayor: 2A. Se tiene: 2ABC

   Aplicando el método del polígono:
A 1(BC)
Despejando:
2
Física General - 7 -

Procedimiento:

- Descomponer los vectores en sus componentes
rectangulares.

- Hallar la resultante en el eje X y Y, por el método
de vectores colineales.

- Hallar el módulo del vector resultante aplicando el

teorema de Pitágoras.

Nota: El ángulo de la resultante deberá medirse con R V 2 V 2
un transportador de ángulos x y

Para tomar en cuenta: En el caso de que el origen - Hallar la dirección de la resultante con la función
del primer vector coincida con el extremo del último tangente:
vector, la resultante es nula, y se dice que el sistema
de vectores se encuentra en equilibrio. V
tan y
V
x
Componentes rectangulares de un vector.- Se
denominan así a las proyecciones rectangulares de
un vector sobre los ejes coordenados. Ejem. 1.8- Hallar la resultante.

Y
X
O

Se puede expresar un vector en función de otros dos

ubicados sobre los ejes X e Y.
Datos:

  
R R  R A = 30 N B = 50 N C = 25 N
x y
D = 60 N E = 40 N

Los módulos de éstas componentes se obtienen a
Solución:
partir de las funciones trigonométricas:

1º) Descomponer los vectores en sus componentes
A
cos  x  A  Acos rectangulares:
A x
2º) Determinar la resultante horizontal y vertical, por
la suma de vectores componentes colineales,
A
sen  y  A  Asen horizontales y verticales:
A y
V = Acos70º + Bcos150º + Ccos0º + Dcos(–30º) +
x

Ecos270º
Componente horizontal Componente vertical

V = Asen70º + Bsen150º + Csen0º + Dsen(–30º) +
y
A  Acos A  Asen
x y Esen270º
- 8 - Física General

V = 30xcos70º + 50xcos150º + 25xcos0º + Vectores unitarios cartesianos.- Son aquellos
x
vectores que tienen como módulo la unidad de
60xcos(–30º) + 40xcos270º
medida de medida y las direcciones coinciden con

los ejes cartesianos.
V = 30xsen70º + 50xsen150º + 25xsen0º +
y
60xsen(–30º) + 40xsen270º

Componente horizontal: V = 43.92 N
x

Componente horizontal: V = –16.81 N
y

CUADRO RESUMEN
Los vectores cartesianos son:

V  V Vcos V Vsen i = Tiene dirección del eje X positivo
x y

A = 30 70º i = Tiene dirección del eje X negativo
B = 50 150º
j = Tiene dirección del eje Y positivo
C = 25 0º

D = 60 –30º  j = Tiene dirección del eje Y negativo
E = 40 270º

Vx 43.92  Vy –16.81 El módulo es igual a la unidad:

i  i  j   j 1
3º) Graficando las sumatorias horizontal y vertical,

se tienen dos vectores perpendiculares:
Representación de un vector en función de los

vectores unitarios:
YY

 
 
V  V ;V  V V iV j
 x y x y
VV
xx
XX
 
VV Modulo: V  V2 V2
yy  x y
RR
V
Dirección: tg y
V
x

4º) Con Pitágoras se obtiene el módulo de R:
Ejemplos:
R V 2 V 2  43.922 16.812  
x y A4;5  A4i5 j

R47.03N  
 
B 6;2  B6i2 j

 
La dirección de la resultante:  
C  4;0  C 4i

tg Vy  16.81N 0.3827 20.9º Suma de vectores aplicando los vectores
V 43.92N unitarios.- Para estas operaciones, se deben sumar
x
o restar cada uno de los componentes unitarios de

cada vector:
Física General - 9 -

 
Módulo de la resultante:
Ejem. 1.9- Sumar: A4i5 j ; B2i3 j

  
R 242 72 25
R AB(42)i(53) j

R6i2 j
Multiplicación de vectores.- Además de la suma y

la resta de vectores, existe la multiplicación entre
vectores.

a) Producto de un escalar por un vector.- Una
cantidad escalar es todo número real, positivo o
negativo, entero o fracción.

El producto de una cantidad escalar por un vector,

se escribe como kA, es un nuevo vector cuya

magnitud es k veces la magnitud de A, tiene la
misma dirección, mantiene su sentido si k es positiva
y tiene sentido opuesto si k es negativa.

Ejemplos:

k = 2
k = 0.5

k = –2
Ejem. 1.10- Sean los vectores:

A = 2 i + 2 j B = 2 i + j

Hallar el módulo de: A + B
b) Producto escalar de dos vectores.- Dos
 
vectores A y B que forman un ángulo  entre sí,
Solución:
se pueden multiplicar escalarmente, se lo

representa con un punto:
Vector resultante:

R = A + B = (2 + 2) i + (2 + 1) j Vector A multiplicado escalarmente con el vector B:
 
R = 4 i + 3 j AB

Módulo de la resultante:
Da como resultado un escalar. Su valor se obtiene

multiplicando la magnitud de un vector por la
R 42 32 5 magnitud de la componente del segundo vector en la
dirección del primero.

Ejem. 1.11- Sean los vectores:

A = 15 i + 2 j B = 9 i + 5 j

Hallar el módulo de: A + B
B cos

Solución:

 
Vector resultante: A.B A Bcos

R = A + B = (15 + 9) i + (2 + 5) j El producto escalar de dos vectores es una
cantidad escalar.
R = 24 i + 7 j
- 10 - Física General

Propiedades del producto escalar.- Tiene las Regla de la mano derecha: El índice debe ubicarse
siguientes: sobre el primer vector (en esta caso A); el deo mayor
sobre el segundo vector (en este caso B), tomando
   
1. Es conmutativa: A.B  B.A en cuenta el menor àngulo. El pulgar extendido
señala dirección y sentido del vector producto

vectorial (C)
2. Distributiva respecto a la adición:

      
A.(BC)  A.BA.C

3. Asociativa de la ponderación:

     
kA.B  k(A.B)  A.kB

  
2
4. Definición de módulo: A.A  A
Propiedades del producto vectorial.- Tiene las

siguientes:

c) Producto vectorial de vectores.- Dos vectores    
 
1. No es conmutativa: AB  BA
A y B que forman un ángulo  entre sí, se

pueden multiplicar vectorialmente, se lo
2. Distributiva respecto a la adición:
representa con un aspa:

      
Vector A multiplicado vectorialmente con el vector B: A(BC)  ABAC

 
A B 3. Asociativa con la ponderación:

      
kAB  k(AB)  AkB
Da como resultado otro vector C.

 
La dirección y el sentido se obtienen con la regla del 4. Absorbente consigo mismo: AA  0
tornillo de la mano derecha.

Ejem. 1.12.- El vector resultante de dos vectores
mide 30 m y hace ángulos de 45º y 30º con cada uno
= x de ellos. Calcular el valor de los vectores
componentes.
Datos: Incógnitas:
R = 30 m A = ?
β = 45º B = ?
γ = 30º

 
Para calcular el módulo del vector AB se utiliza
la siguiente relación:
30º

C  ABsen
30º

El producto vectorial de dos vectores es una
45º
cantidad vectorial. 105º 45º


La dirección de C es perpendicular al plano
 

formado por A y B, cuyo sentido es el que

avanza un tornillo derecho siguiendo el ángulo
El ángulo interno opuesto a la resultante es 105º y su
de los vectores.
suplemento es 75º, luego: