Table Of Content♂
「
Ｌ
⌒ ′
′
ニ
0微積分の必須手法をわかりやすく総整理 :‐
0厳密でも分かりにくい解説より、身近で感寛的な連解を
0入試問題の8割は本書でカバTできる 1 1 ‐‐‐ i !
■ ■
東 京 出版
は じ め に
黒 木 正 憲
ギリシャの昔,エ レアのツェノンは,ア テネ lim率=4摯年
を訪れて,4つの逆説を示 し,当時の哲学者達 ク″ 1lmク″
を悩ませました。そのひとつに,「 アキレス ただし,limわη+0
(註)は先を行く亀に追いつくことはできない」 などは証明ぬきで教科書にのせられています。
という命題があります。なぜなら,アキレスが それは,無限をあつかう微分積分法の諸定理
いま亀がいる地点につくとき,それまでの時間 を厳密に証明することなど,初心者には荷が重
にやはり亀は先行している.ま たアキレスがそ すぎるからです.そ こで, このような問題はこ
の地点につくとき,それまでの時間にやはり亀 ういう定理 。公式に従って解きなさい, という
は先行している。かくして,アキレスは亀に追 方法がとられます.簡単な問題ならそれでいい
いつくことはない, というのです のですが,す こし複雑なものになると,壁につ
.
たとえば, アキレスがはじめ亀がいた地点に きあたって,や っていることの意味がわからな
つくのに かかり ぎに1 分 ぎ 1に くなるのです.たとえば,上の定理が関係する
1分 ,つ す ,つ す
問題で,{α2),{♭π)が収束するとき, という
分というように時間がかかるとすれば,アキレ 条件を忘れて誤答するというようなことがおこ
スが亀に追いつくには ります。そこで,微分積分法の問題に対しては
, ,
(1+!十!+…+二十・・・｀分となって,た しか できるだけ問題の意味をあきらかにする方法が
ヽ Z 3 π / とられなくてはなりません。そのような意図の
に,アキレスは亀に追いつけません。しかし もとにつくられたのが本書です。この書は,い
,
両者の速さの比が2:1で, アキレスがはじめ わば,微分積分法を生かじりしてきた数学の小
亀のいる地点に1分でついたとすれば,2分後 僧さんをひとかどの数学の職人さんに仕上げて
にはアキレスは亀に追いつくことはすぐ計算で くれるでしょう.教科書と入試問題とのギャッ
きるでしょう. プは, この一冊でかなり埋まるはずです.さ ら
｀
無限、というのは人間にとって永い間茫 に数学の親方も目指したい人は,「 解法の探求
漠としていたもので,それが理論的に解明され Ⅱ」の体系編などがその基礎になります。
だしたのは近世になってからでした。
｀
高校で習う微分積分法は 無限、を根底に 註 アキレス:ト ロイ戦争におけるギリシャの
してなりたっています.しかし,極限とか数列 英雄.生れたとき,産湯として,両手でかかと
の収束とはどういうことかなど,直観に委ねた のところを持たれて逆さに不死身の池につけら
説明で,数列 {απ},{bη}が収東するとき, れたアキレスは, トロイ側をさんざん悩ますが
lim(αη+ιπ)=lim α2+lim ι″ やがて不死身でないかかとのところを傷つけら
lim(αη―bπ)=lim α2-lim b″ れ落命する.いまいうアキレス腱の由来である。
lim(α″ιη)=(lim απ)(lim bη)
1、 // ヽ｀■こ・‐ノ1/ ＼L/ 本機の藩罐饉鮨 / ●
/=＼ β x / ヽ
栗 田 哲 也
◆ 理系受験生必須の関門,微積分の壁 ◆ 本書の目的と読者対象
高3になると,理系の受験生は誰でも,微分・積分の そこで本書では, この第2段階初期の (微積分の壁に
学習をしなければなりません. 突きあたった)受験生を対象に,
この微分・積分という分野は, これまで習ってきた他 ・〆ゃlog“ といった妖怪たちに慣れ親しみ,
の数学の分野とは,一味も二味も違う分野です。 ・微積分を考えて意味のわかる身近な存在にする
まず第1にそこには極限を求めるという操作を通して ことを目的とします
, .
`無限 この関門さえ突破すれば,微積分はもうおそれるにた
'
という概念が入ってきます。 りません.たいていの先輩たちが言っているように,
同時に,そ こではOrだのlog″ だの,sin″,cos″ と はじめは難しく思えたけれど,慣れてしまった後
いった,いかにも扱いにくそうな,身近な親しみをおぼ では数Iや数Ⅱより点がとりやすいよ
えにくい関数を相手にしなければならなくなります ということになってきます。
.
そのため,微分をはじめて学ぶ者にとって,次のよう みなさんも, この関門をはやく突破して,「微積分こ
な学習上の問題点が生じます.それは, そ得点源」というようになってください.
・抽象性に辟易して,意味もわからないまま式を
いじる ◆ 本書 の構成
。身近な興味をもてないため, どのような面白さ 本書では,以上のような日的を実現するために, 第1
があるかわからない (つまり,興味づけの方向 部から第3部までの,3段階の構成をとり,それぞれの
性を失ってしまう) 段階に工夫をこらしました。
ということです。 第1部 :文字通り,計算訓練のコーナーです。このコー
もっとも,教科書を理解し,パターン化された問題を ナーの目的は,あ とで応用題を考えるときに,
反復練習する学習初期の段階では,重大な障害に突きあ 計算でわずらわされ,大切なポイントに目が
たることはむしろ少ないといってよいでしょう. 行かなかったなどということがないように,
それは,微積分は `訓練' の比重が他の分野にくら 計算を軽々できるようになるまで,時間制限
べて高い.そのため,おきまりの作業をこなす上では, を設けた訓練をすることです.
意味もわからず,興味もわかなくとも, 日本人もち前の 第2部 :微積分を身近に使いこなせるものとするため,
ガンバリ根性でひたすら突き進めば何とかなってしまう 様々な角度から200位のポイントを選びまし
という (悲しい')特殊事情によります. た。これらのポイントは,少 しずつ読み進め
問題は, こうした初期の訓練段階を経て,晴れて「考 てもよいし,苦手なところを拾い読みしても
えて意味のわかる中級の微積分」に進もうとしたときに ょいでしょう。「キーポイントマスター」と
起こります して,arやlog″ などの妖怪を征服するため
.
こうした応用段階の初期にきてはじめて の解説記事もつけました。
,
「オレは今まで意味もわからず計算練習をしてきただ 第3部 :第 2部までをもとに,大学入試で何度も出題
けだった」とか,「微積分なんて面白くない,計算すれ された有名問題,典型問題のポイントを解明
ば何となく答えらしきものはでてくるけど……」といっ します。ここをマスターすれば,大学入試の
た受験生諸君の悲しい声が多く聞かれるようになります 微積分の問題の8割方は,すぐ方針が立つよ
勉強するわりに,何故か得点がのびない,微積分がわ うになるでしょう.
かった気がしないという悩みをもつのも,この時期です なお本書で用いた各種記号については,各部の扉の前
.
一種の壁に突きあたってしまうのです。 にまとめてあります.(Sp.19,p.81)
2
|(cid:631)(cid:631)(cid:631)(cid:631)Iア
■|||||||:|||,|,ゃリ、 麟 軋
:|●
ゝ
´
A
“
はじめに 黒木 正憲 ・………1
本書の利用法 栗田 哲也 。………2
第 1部 計算力のチェック
問題篇 栗 田 哲也 ・………4
解答篇 ・……… 8
第 2部 手筋,常識,落 とし穴 坪田 三千雄 ・・・・・・・・・19
栗田 哲也
坪田三千雄
キーポイントマスター
栗田 哲也
1.展開の話 ・…‥・……68 2.グ ラフの概形 ・…………74
ティータイム 三角級数のマジック・……………………………………………………80
第 3音「 有名問題,典型問題の解明 福田 邦彦 ・………81
あとがき °…・………………………¨………¨……………¨¨………………………………128
なお,第2部,第3部については,各扉 (p■9,p.81)の ところに
説明があります
§ 計算力のチ ェック
1。
これらの計算問題は,教科書が8割程度わかったところで時間制
限を設けて解くと効果が倍増します。く〉内は時間の目安で, た
とえば 〈15→ 8〉 は,はじめて見るときは15分かかっても構わな
いが,最終的には8分でクリアしたい問題ということを表します
.
□1. [有理化]次 の極限を求めよ 〈15→5〉
(1) lim、′α(、′而 一、′″) (東京電機大) (2) lim( ″2+2″+2- ″2_2″+2) (室 蘭工大)
(3) lim(√フ十″+″) (大阪工大) (4) .闘. T t t TI″W了丁 (九州東海人)
□2. [有理化。やや発展]次の極限を求めよ.〈10→ 5〉
(1) llIュ″(3-ν√9=2-) (神奈川大) Ｈ■﹁ｍ一１″︲′ヽ／︑、/11″ 、 / 42″ (東ナ|`人)
□3. [因数分解。二項定理] 次の極限を求めよ.〈20→7〉
(1) lirn rヽ・l_上22人Yl工_上32 り…tl―赤り (岩手医大)(2)」 ■―tI号丁 [π は正の整数] (福 岡教育人)
(3) lim (1+″)″″-(cid:631)1-π″ [η は2以上の自然数](横浜市大)
□4. [三角関数]次の極限を求めよ 〈15→ 7〉
(1) li,0m 並 ⊆ 2' 重ユ (東邦大) (2)lim I - cos, (立教大)
r― 1-cos 1
(T″
堅 量 ⊇三ニユ
(3)li″m‐,■0 = 望 ″4辛2 (小樽商大)(4)露 而 者 テ髪孝 ≒ 戸 (摂南大)
□5. [三角関数]次の極限を求めよ.〈10→5〉
(cid:631)(cid:631)
(1) ｌｉルｌЮｎ「マ「1T+(cid:631)S(cid:631)i「n″ ″ 1 - sine (2)lir興―,0 二 笙 望 三″U二里二 (岩手大)
□6. [指数関数]次 の極限を求めよ く15→5〉
.
(1) ;…里 3(cid:631)2+可1_17_5TηW丁+1-1-77″(cid:631)+l (愛知工大) (2)ru■ 2'3+E3ユ (北海道工大)
(3) ｍ﹁︲′ヽ／︑ ＋ 一２3ι一ヽノr (4) ;…1■ /鬱 2万η=丁 V'ノ〕 (東京電機大)
□7. [対数関数]次の極限を求めよ.〈10→ 3〉
sin2″
(1) …曇堺丁肩Ⅸ丁再万 (2) linす1 log(3τ+9″)
□8. [微分の定義式]/(″)が微分可能なとき,次の極限を/(α),/′(α)で表せ.〈8→ 3〉
(1) α+3カ)一た/(α-2カ) (東京電機大) (2)lim ″ケ(α″)一―ααケ(″) (千葉経済大)
□9. [微分の定義式と見る] 次の極限を求めよ.〈20→8〉
(1) lirn α+λ ―た α―ん [α>0] (小 樽商大) (2) limr(Ni -r) (愛知工大)
(3) lim ασ′(″r2)__α″02′(α) (武蔵工大) (4) l″iαm = 空 ■″}二(cid:631)α《π空 堕(cid:631) ) (鹿児島大)
“
□10. [極限計算の工夫]次の各問いに答えよ.〈15→
5〉
(1) 数夕ll修″}が αl=1,の=ο,α″+1 α,2α″_1 [π≧2]をみたすとき,lim α2を求めよ
(2) 次の無限級数を求めよ.謄
1万雨T万 (信州大)
□ 11. [微分の計算] 次の各問いに答えよ.〈15→7〉
(cid:631)
(1) /(″)=デ 丁 を微分せよ. k/Z^ノ、 υ = 4/「/V″(cid:631) (cid:631)T=″,=‐+(cid:631)(cid:631)玉ソ0 を微分すると,υ′=□ となる.
(拓殖大)
(3)/(α)=√T7了TTT両アのとき,ァて雨=E三]である (小樽商大)
(4) 関数バ ″)=log︲′ヽ／ ｎ２″一 の,″=者 における微分係数を求めよ (横浜国大)
︑
□12. [対数微分法]次の各問いに答えよ. く7→3〉
(1) 関数y=″.2[″>1]を微分せよ。 (国士舘大)
(2) 関数ν=″F [″>0]を微分せよ. (東京電機大)
(3) 曲線υ=(2″+1)2r13上の点 (0,1) における接線の傾きを求めよ (東邦大)
□13. [逆関数と微分]次の各問いに答えよ.〈20→ 10〉
(1) /(χ)=cos″ [π<″<2π]の逆関数をσ(■)とするとき,σ(α)の導関数を求めよ (富山医薬大)
(2) 正接の逆関が数与をえtらaれn(cid:631)1た″ととき書く./(″で)の=6tan(cid:631)I″の値のをと求きめ,/よ′(1)を求めよ. (自治医大)
(3) tan y=″ ,y=f― 場
:子 .
E114.[パラメーター表示と微分] 〈7→ 3〉
″の関数υが,′ を媒介変数 (パラメーター)と して,α=′一Sin ι,y=1-cosι [0<′<2π]と表されている。
このとき,4≒ 4≒・をιの式で表せ (北海道工大)
α″ α″‐ .
□15. [グラフの概形]次の各問いに答えよ.〈60→ 40〉
(1) /(″)=√ +1 とする /′(“),/″(″)を計算し,増減,凹凸を調べてグラフの概形を描け (北海道工大)
「
(2)′(″)=|/二 1 ヽ|10g ・ とする /′c),/″(″)を計算し,lim/(″)を求めてグラフの概形を描け. (岩手大)
ヽ″/
(3)/(″)=7≡Tとする.ノ′(″),/″(″)を計算し,増減,凹凸,li黒/(″),.IⅢ/(″),1増0/(″),■%/(″)
を調べて, そのグラフの概形を描け. (北 海道工大)
(4)/C)丁 ≡Tとする /(″)/(■)を計算し 増減 i極値 凹凸 変曲点、 ,斬近線を調べて グラフの
概形を描け. (大 阪工大)
□16. [不定積分の計算(1)] 次の関数の原始関数を1つ求めよ. 〈30-)10〉
(1) 10g″ (2) l°″g″ (3) tan jr (4)一t二an1″― ヽbり cos α
(6) (7) 言上 一 (8) e'(cose- sinr) (9) 〆(cos″+sin″)
sin2″ sln″cos″
(10) sln1″ ′ヽ.1■.、ノ (cid:631)(cid:631)sC(cid:631)lO(cid:631)Sn(cid:631)‐″5(cid:631)χ(cid:631)(cid:631) (12) sCiOnS2″ r (13) 〆・ι+1 (′｀1(cid:631)_^ 4´、) ・・￠夕 (cid:631)+″″・ ″
一
□17. [不定積分の計算(2)] 次の関数の原始関数を1つ求めよ 〈15→ 5〉
2再 (2)
(1) ″√万 ″ (3) ″・ι2 (4) sin3,cos2″
′頭
〜
□18. [不定積分の計算(3)] 次の関数の原始関数を1つ求めよ 〈15→ 5〉
(1) (,-2″)(-α8-5) (2) (″-1)(“+1) (3) ″23+″3″+4+2
□ 19. [不定積分の計算(4)]次の関数の原始関数を1つ求めよ 〈15→ 7〉
(1) 3〆 (2)(″ 2_2″)ι(cid:631)″ (3)(log″ )3 (4) ″31。g″
“
□20. [不定積分の計算(5)] 次の関数の原始関数を 1つ求めよ. く10→ 5〉
(1) sin 5″cos 3″ (2)sin 2″ sin 4″ (3) cos″cos5″
6
□21. [不定積分の計算(6)] 次の関数の原始関数を1つ求めよ (10 - 5)
(1) tan2″ rヽり●ヽノ 11 2旦″2二■ (3) .t-11-,]rt-on(ltarl
□22. [定″積分の計算α″。部分 積(分な2ど)]次ルの定積分の″値を求めよ. く20→ 10〉
∫♯聯 2″-1
(1) cos麗 (3) ∫ ′″α″
″2
[]123. [定積分の計算・置換積分]次 の定積分の値を求めよ く35→20〉
(1) 「2″、2″α″ (2)fti=≒ご″ (3) lr l_ _ _ _l二___″_
υl υ0 1+“ 4 JO(″2+1):W″
(4) 仲 :立整ユα″ (5)f:上α″ (6) 」I√7α″
υl , υo COS,'
[]24. [絶対値つき定積分の値] 次の定積分の値を求めよ.〈20→ 10〉
(1) Jlπlcos3″lα″ (2) ;["lrinr-r/T cosxldx (3) JO′Z」 1lsin″ -2cosαlα″
[]25. [定積分関数の微分]次の関数をπについて微分せよ.〈15→ 7〉
(1) /(″)=鳥in′α`(2)/0=覧 静 α
□126.[定積分関数の微分(発展)] (10→5〉
―″ を″につして微分せよ
Jちsin(“ )凌
[]27. [部分積分法で漸化式をつくる] 次の数列みについて,漸化式を作れ.〈15→ 7〉
η ″
(1) 几=fl″ 〆α″ (2)ヶル (log汲
Jo
'・
E]28. [区分求積法]区分求積法を利用して,次の各式の値を求めよ.〈25→ 10〉
7
ム
(1)
1聖 7業,砦
(2) 正の整数れに対して, η+1 π+2 十¨・ η+31π をαηとおくとき, lim α"
(3) liT÷(″可 十Vη2巧+…+√万三て万1T「)
_ (12+22+...+κ2)(13+23+.… +が
(4) 1lP(cid:631)(cid:631)百T,T丁耳万で]「『T7丁T「耳(cid:631)覆「(cid:631))(cid:631)
計算力のチェック (4)√TTア=α,t′百 =う とおくと,
α3-う3=2″ より″=す 3_b3)な ので
(α
解 答 ÷3_が
.. ″ , (α )
1lm =1lln
二鋤Vl+″ 一Vl―■ '→0 α―ろ
う2)………………………
1.差が∞一∞や,0-0の 形になる場合は,「有理化」 =」冊す(α2+αb十 ………(☆)
がポイントになります. ここで,lim√1+″ =1,limy lI″ =1 なので
,
【解答】
(1)limV7(イ(cid:631)房Tl―√7) )=:(1+1×1+12)=:
(☆
F)(F再
√ (√再― 珍注 3乗根の形でも有理化の方針は変わりません
=lim ″TT+√ア 素朴に(おきかえをせずに)やれば,分母,分子に .
F (vTT″ )2+VTTF VT=7+(√ 1-F)2
==lliirrnn √再T√+v′丁 ヽγ↓/ ´ 1´(cid:631)(cid:631) √分万母で,分割る子を 上と[展のい解開う「公答式かのたよ(αまう―なりb」お)(αをき2かか+αえけbをる+ゎすこ2ると)=にとα,な 3_そりゎまこ3すが の.ス利マ用ー]ト
l+1t_+J 2 に変形できるわけですが,本質的には同じことです
.
1
″
珍注 これはいわば分子の有理化です.元の形のまま 2.前間と同様に「有理化」がポイントですが,問題
だと∞×0 の形になるので,式変形をしたわけです
. を見ただけでは,多少気づきにくいでしょう (でもこの
(2)lim( ″2+2″+2- ″2_2″+2) 程度はすぐ気づくようになるまで慣れてほしい!)。 な
=lh (″″22++22″″十+2+ --22″″++22) ″分で母割,分る子を おで,はl,iまmをず式は変li形mのの際中に身毎だ回け書をく式の変は形面す倒るなのこでと,に こしまこ
4 す。
=lim =2
√葬耳耳十 2 2 【解答】
γ ″ ″4 ″ ″2 r / , ヽヽ
珍″注2+-22“″″→++22∞==Vのて(と″万きT-T1,下) 夏「+百1=≒″“+-11 (1) ″(3- 9-==“, ″133+2_ヽ99--二=二″,=／′︲
という「感覚」があれば,(“+1)一 (″-1)=2 とい 2 1 “
うように,暗算程度で答えが出ます。 3+3 3 (″→ ∞)
(3)―″=υ とおきかえると 3+.//9-=,=
,「 γ ″
=lillinm (υO写a2_2' 十a F+十a″=)l=ilrnim(√ry--1=1υ*t(cid:631)υ) (2) 丁1ヽ/「 肩1= 7(cid:631) 7 万 (24=- 戸″ヽノ)-= 2lア2 (1V(cid:631)_47″三了)百瓦-顧2扇√戸1三丁百(cid:631)
a ″ √T可√可 14″ +2√:耳丁
21 (cid:631)√了 ≡アロ3瓦 =T(cid:631)西珂石「
7丁 =了 「 )
珍注 √戸=|″|なので,√戸+″ = ″ ＋ 2ノマ(cid:7891) =ア3(2+2)83 (‐→ 0)
(cid:631)7︑ 1・ 2・
は,″→ ―∞のとき, およそ (cid:631)″ ︱ と見るこ
( ／′
|.極限の問題の多くは,式変形にポイントがあります
とができ,`一“二÷‐)十″=―-1- と答えを出すこと (1)のように,ち ょっと変形すると分母と分子でどんど.
ができます.で も,″ が負の場合には,V″2=″ と ん約分できるようなケースは,気持ちよいものです。
いう錯覚をしやすいので[正 しくは√戸=一″], 上 ナ
記の解答のように, 一″=υ というおきかえをする 解答】 (1) (ト )(1-十)…(1-夕)
のが安全です
.
22_1 32_1 2_1
π
22 32 ,22 lim 1 - cosz =limf上上
2+12 -1) (3+1)3(23-1) (π+1)(π-1) 一 一１３″ ″→。 oる^°:1_121_ ″6
3×1 4×7 ヽ×γ (π+1)0ィ0 /″、2 sin2= / 一般に,`→0のとき
=:2××74芽よ上×_g→ :4×(πイ―)∞) λ×η =limr'0 S.kI n6・ノ。τ″ ―/―ゲ――一ニヽ′りソ2ー ・ 0υ = = 0レ 11′｀(cid:631)s(cid:631)iアn2′(cid:631) = k/sιin ιノ、2 → _1 )
t、 ,―
(2)[″ をα,″ (cid:631)1を う とおきかえると] 珍注 実は,“→0の とき 1-cOs″=2 と見なす
″″η(cid:631)―″″ 1″ =α′'1+α″2う |…―αわ':2■う″| ことができ, こうした「奥の手」を使えば,答えが
1
ここで,limα=1,lim b=1 だから,答えは2 17/″″Y 9 であることは,す ぐわかります
珍注 上の解答でおきかえをしているのは,単にその 7ヽ1「ノ
争方が見評やす=ノいとー1い+″う″理3由+で.+,″3-"十″(cid:631)" (3) 分子=3(cos2″ _1)_2(1-cos″)
=(1-cos″)(-5-3 cosr)と 変形でき
,
としても,本質的には同じことです。ポイントはあく 3 cos2″+2 cos″-5
まで,上の網目部の式変形です linl 2
.
(3)2項 定理により =胸上 `σ・ )=:(8)=-4
(1+″)2=1+2Cl″+・・,・十″C"_1″″(cid:631)1+″η だ｀から 芦 (-5-3 cos″
,
…11l n(1+″)″-1-π″ 珍注 上のい〜より二1-rぅnc 7デ 1=≒すと見るわけです
″→0 ″Z .
「
+ の3次以上の項) =aC2 (4)分母,分子に (1+cos″)(輌+″ア+、/T_″2)
,-0
をかけると
,
4 三角関数の極限は,I■里■■-1 が基本となりま 与式=lim 1 -1 +″cos2r 1-1+ ) (十li√c丁o三s百s2))
す.その他は,式変形によりこの式に帰着させることに : Iim sin2″(√T十″2+√T三百2) 2 1
なりますが,(1),(2)の 注に書いた事項は,おぼえて r'0 2x2(ll cosr) 4 2
おくと便利でしょう 珍,主 このように 1-cos″ に1+cos″ をかけるの
もよくある手法で, これを用いると
【解答】 … 1(cid:631)_(cid:631)c戸os″(cid:631)(cid:631) = _闘 s(cid:631)in戸2,(cid:631) ・ 1 1, = 7_、で■
´ 、 . sn(2sin 3″〉 1珊 百:τ冨丁
ぃ , 1l,m0― ■
(cid:631)四__sin(2■n3″) (cid:631)2扇an(cid:631)3τ, 3, ´ 今までの手筋をくみあわせてみましょう
… … …… は.、 5。
2sln3π 【解答】
であり,■-0のとき,2sin37-0.3,-0 だから'
網目部はどちらも1に収束する , (1) lim √ 下 冨 百 一 √ ‐ 薪 百
. ″
よって,(☆)-2×8‐6 1+sin″ (1- sinz)
ゆ注 上の式変形は, はじめは巧妙に見えるかもしれ =lim ″( 1+sin″ 1-sin″ )
ませんか ともかく基本はコ を作ること と考 =lim2望ュニ 1
えれば,強引に変形しても上の:■ようになるはずです r―,o lr 1+sin π 1 sinz
2sm 3"―4■23+″―3′と となおっきてか見えやれすばい, てしょケ =,(cid:631). 二 21 _ = 1‐
夕
tanr- sine sinz sinrcosz
;1皇 (2)
コ,3 r3 cosr
(2)1-c∝″-2 sin2, である これを使うと : sinir(1-cose) : sinsz
, ,tt*, ricosr( 1 .]_ cose)
