Calculus Integrals (Sample)

0.25 MB·Modern Syriac

by  Ashur Cherry

ܵ ܵ ܵ ܵ ܲ
ܐܝܠܘܼ ܡܕ ܐܬ ܘܼ ܝܢܡܼ
∫ܣ ܕܡ = ܣܡ − ∫ܡ ܕܣ
ܢ+1
ܣ
∫ܣܢ ܕܣ = + ܓ ܢ ≠ −1
ܢ + 1
ܕܣ
∫ = ln|ܣ| + ܓ
ܣ
∫eܣ ܕܣ = eܣ + ܓ
ܣ
ܐ
∫ܐܣ ܕܣ = + ܓ
ln(ܐ)
∫sin(ܣ) ܕܣ = −cos(ܣ) + ܓ
∫cos(ܣ) ܕܣ = sin(ܣ) + ܓ
∫sec2(ܣ) ܕܣ = tan(ܣ) + ܓ
∫csc2(ܣ) ܕܣ = −cot(ܣ) + ܓ
∫sec(ܣ)tan(ܣ) ܕܣ = sec(ܣ) + ܓ
∫csc(ܣ)cot(ܣ) ܕܣ = −csc(ܣ) + ܓ
∫tan(ܣ) ܕܣ = ln(|sec(ܣ)|) + ܓ
∫cot(ܣ) ܕܣ = ln(|sin(ܣ)|) + ܓ
ܵ ܵ ܵ ܵ ܲ
ܐܝܠܘܼ ܡܕ ܐܬ ܘܼ ܝܢܡܼ
∫sec(ܣ) ܕܣ = ln(|sec(ܣ) + tan(ܣ)|) + ܓ
∫csc(ܣ) ܕܣ = ln(|csc(ܣ) − cot(ܣ)|) + ܓ
ܕܣ ܣ
∫ = sin−1( ) + ܓ
ܐ
2 2
√ܐ − ܣ
ܕܣ 1 ܣ
∫ = tan−1 ( ) + ܓ
2 2
ܐ − ܣ ܐ ܐ
ܕܣ 1 ܣ
∫ = sec−1 ( ) + ܓ
ܐ ܐ
2 2
ܣ√ܣ − ܐ
ܕܣ 1 ܣ + ܐ
∫ = ln(| |) + ܓ
ܐ2 − ܣ2 ܐ ܣ − ܐ
ܕܣ 1 ܣ − ܐ
∫ = ln(| |) + ܓ
ܣ2 − ܐ2 2ܐ ܣ + ܐ
2
ܣ ܐ
2 2 2 2 2 2
∫√ܐ + ܣ ܕܣ = √ܐ + ܣ + ln(ܣ + √ܐ + ܣ ) + ܓ
2 2
4
ܣ ܐ
2 2 2 2 2 2 2 2 2
∫ܣ √ܐ + ܣ ܕܣ = (ܐ + 2ܣ )√ܐ + ܣ − ln(ܣ + √ܐ + ܣ ) + ܓ
8 8
2 2 2 2
√ܐ + ܣ ܐ + √ܐ + ܣ
∫ ܕܣ = √ܐ2 + ܣ2 − ܐln || || + ܓ
ܣ ܣ
( )
ܵ ܵ ܵ ܵ ܲ
ܐܝܠܘܼ ܡܕ ܐܬ ܘܼ ܝܢܡܼ
2 2 2 2
√ܐ + ܣ √ܐ + ܣ
2 2
∫ ܕܣ = − + ln(ܣ + √ܐ + ܣ ) + ܓ
2
ܣ ܣ
ܕܣ
2 2
∫ = ln(ܣ + √ܐ + ܣ ) + ܓ
2 2
√ܐ + ܣ
2 2
ܣ ܕܣ ܣ ܐ
2 2 2 2
∫ = √ܐ + ܣ − ln(ܣ + √ܐ + ܣ ) + ܓ
2 2
2 2
√ܐ + ܣ
2 2
√ܐ + ܣ + ܐ
ܕܣ 1
∫ = − ln || || + ܓ
ܐ ܣ
2 2
ܣ√ܐ + ܣ
( )
2 2
√ܐ + ܣ
ܕܣ
∫ = − + ܓ
2
2 2 2 ܐ ܣ
ܣ √ܐ + ܣ
ܕܣ ܣ
∫ = − + ܓ
3
(ܐ2 + ܣ2)2 ܐ2√ܐ2 + ܣ2
2
ܣ ܐ ܣ
∫√ܐ2 − ܣ2 ܕܣ = √ܐ2 − ܣ2 + sin−1( ) + ܓ
2 2 ܐ
4
ܣ ܐ ܣ
∫ܣ2√ܐ2 − ܣ2 ܕܣ = (2ܣ2 − ܐ2)√ܐ2 − ܣ2 + sin−1( ) + ܓ
8 8 ܐ
ܵ ܵ ܵ ܵ ܲ
ܐܝܠܘܼ ܡܕ ܐܬ ܘܼ ܝܢܡܼ
2 2 2 2
√ܐ − ܣ ܐ + √ܐ − ܣ
∫ ܕܣ = √ܐ2 − ܣ2 − ܐln|| || + ܓ
ܣ ܣ
2 2
√ܐ − ܣ
1 ܣ
∫ ܕܣ = − √ܐ2 − ܣ2 − sin−1( ) + ܓ
ܣ2 2 ܐ
2 2
ܣ ܕܣ ܣ ܐ ܣ
∫ ܕܣ = − √ܐ2 − ܣ2 + sin−1( ) + ܓ
2 2 ܐ
2 2
√ܐ − ܣ
2 2
ܐ + √ܐ − ܣ
ܕܣ 1
∫ ܕܣ = − ln|| || + ܓ
ܐ ܣ
2 2
ܣ√ܐ − ܣ
ܕܣ 1
2 2
∫ ܕܣ = − √ܐ − ܣ + ܓ
2
2 2 2 ܐ ܣ
ܣ √ܐ − ܣ
3 ܣ 3ܐ4 ܣ
∫(ܐ2 − ܣ2)2 ܕܣ = − (2ܣ2 − 5ܐ2)√ܐ2 − ܣ2 + sin−1 ( ) + ܓ
8 8 ܐ
ܕܣ ܣ
∫ = + ܓ
3
(ܐ2 − ܣ2)2 ܐ2√ܐ2 − ܣ2
2
ܣ ܐ
2 2 2 2 2 2
∫√ܣ − ܐ ܕܣ = √ܣ − ܐ − ln|ܣ + √ܣ − ܐ | + ܓ
2 2
ܵ ܵ ܵ ܵ ܲ
ܐܝܠܘܼ ܡܕ ܐܬ ܘܼ ܝܢܡܼ
4
ܣ ܐ
2 2 2 2 2 2 2 2 2
∫ܣ √ܣ − ܐ ܕܣ = (2ܣ − ܐ )√ܣ − ܐ − ln|ܣ + √ܣ − ܐ | + ܓ
8 8
2 2
√ܣ − ܐ
ܐ
∫ ܕܣ =√ܣ2 − ܐ2 − ܐcos−1 ( ) + ܓ
ܣ |ܣ|
2 2 2 2
√ܣ − ܐ √ܣ − ܐ
2 2
∫ ܕܣ = − + ln|ܣ + √ܣ − ܐ | + ܓ
2
ܣ ܣ
ܕܣ
2 2
∫ =ln|ܣ + √ܣ − ܐ | + ܓ
2 2
√ܣ − ܐ
2 2
ܣ ܕܣ ܣ ܐ
2 2 2 2
∫ = √ܣ − ܐ + ln|ܣ + √ܣ − ܐ | + ܓ
2 2
2 2
√ܣ − ܐ
2 2
√ܣ − ܐ
ܕܣ
∫ = + ܓ
2
2 2 2 ܐ ܣ
ܣ √ܣ − ܐ
ܕܣ ܣ
∫ = + ܓ
3
(ܣ2 − ܐ2)2 ܐ2√ܣ2 − ܐ2
ܣ ܕܣ 1
∫ = [ܐ + ܒܣ − ܐln|ܐ + ܒܣ|] + ܓ
ܐ + ܒܣ ܒ2
ܵ ܵ ܵ ܵ ܲ
ܐܝܠܘܼ ܡܕ ܐܬ ܘܼ ܝܢܡܼ
2
ܣ ܕܣ 1
2 2
∫ = [(ܐ + ܒܣ) − 4ܐ(ܐ + ܒܣ) + 2ܐ ln|ܐ + ܒܣ|] + ܓ
ܐ + ܒܣ 2ܒ3
ܕܣ 1 ܣ
∫ = ln| | + ܓ
ܣ(ܐ + ܒܣ) ܐ ܐ + ܒܣ
ܕܣ 1 ܒ ܐ + ܒܣ
∫ = − + ln| | + ܓ
2 2
ܣ (ܐ + ܒܣ) ܐܣ ܐ ܣ
ܣ ܕܣ 1 1
∫ = + ln|ܐ + ܒܣ| + ܓ
2 2 2
(ܐ + ܒܣ) ܒ (ܐ + ܒܣ) ܒ
ܕܣ 1 1 ܐ + ܒܣ
∫ = − ln| | + ܓ
2 2
ܣ(ܐ + ܒܣ) ܐ(ܐ + ܒܣ) ܐ ܣ
2 2
ܣ ܕܣ 1 ܐ
∫ = (ܐ + ܒܣ − − 2ܐln|ܐ + ܒܣ|) + ܓ
(ܐ + ܒܣ)2 ܒ3 ܐ + ܒܣ
2 3
∫ܣ√ܐ + ܒܣ ܕܣ = (3ܒܣ − 2ܐ)(ܐ + ܒܣ)2 + ܓ
2
15ܒ
ܣ ܕܣ 2
∫ = (ܒܣ − 2ܐ)√ܐ + ܒܣ + ܓ
2
3ܒ
√ܐ + ܒܣ
2
ܣ ܕܣ 2
2 2 2
∫ = (8ܐ + 3ܒ ܣ − ܐܒܣ)√ܐ + ܒܣ + ܓ
3
15ܒ
√ܐ + ܒܣ
ܵ ܵ ܵ ܵ ܲ
ܐܝܠܘܼ ܡܕ ܐܬ ܘܼ ܝܢܡܼ
√ܐ + ܒܣ − √ܐ
ܕܣ 1
∫ = ln|| || + ܓ ܐ > 0
ܣ√ܐ + ܒܣ √ܐ √ܐ + ܒܣ + √ܐ
ܕܣ 2 ܐ + ܒܣ
∫ = tan−1 (√ ) + ܓ ܐ < 0
−ܐ
ܣ√ܐ + ܒܣ √−ܐ
√ܐ + ܒܣ
ܕܣ
∫ ܕܣ = 2√ܐ + ܒܣ + ܐ∫
ܣ
ܣ√ܐ + ܒܣ
√ܐ + ܒܣ √ܐ + ܒܣ
ܒ ܕܣ
∫ ܕܣ = − + ∫
ܣ2 ܣ 2
ܣ√ܐ + ܒܣ
2 3
∫ܣܢ√ܐ + ܒܣ ܕܣ = [ܣܢ(ܐ + ܒܣ)2 − ܢܐ∫ܣܢ−1√ܐ + ܒܣ ܕܣ]
ܒ(2ܢ + 3)
ܢ
ܢ 2ܣ √ܐ + ܒܣ ܢ−1
ܣ ܕܣ 2ܢܐ ܣ ܕܣ
∫ = − ∫
ܒ(2ܢ + 1) ܒ(2ܢ + 1)
√ܐ + ܒܣ √ܐ + ܒܣ
√ܐ + ܒܣ
ܕܣ ܒ(2ܢ − 3) ܕܣ
∫ = − − ∫
ܢ ܐ(ܢ − 1)ܣܢ−1 2ܐ(ܢ − 1) ܢ−1
ܣ √ܐ + ܒܣ ܣ √ܐ + ܒܣ
1 1
∫sin2(ܣ) ܕܣ = ܣ − sin(2ܣ) + ܓ
2 4
ܵ ܵ ܵ ܵ ܲ
ܐܝܠܘܼ ܡܕ ܐܬ ܘܼ ܝܢܡܼ
1 1
∫cos2(ܣ) ܕܣ = ܣ + sin(2ܣ) + ܓ
2 4
∫tan2(ܣ) ܕܣ = tan(ܣ) − ܣ + ܓ
∫cot2(ܣ) ܕܣ = −cot(ܣ) − ܣ + ܓ
1
∫sin3(ܣ) ܕܣ = − (2 + sin2(ܣ))cos(ܣ) + ܓ
3
1
∫cos3(ܣ) ܕܣ = (2 + cos2(ܣ))sin(ܣ) + ܓ
3
1
∫tan3(ܣ) ܕܣ = tan2(ܣ) + ln|cos(ܣ)| + ܓ
2
1
∫cot3(ܣ) ܕܣ = − cot2(ܣ) − ln|sin(ܣ)| + ܓ
2
1 1
∫sec3(ܣ) ܕܣ = sec(ܣ)tan(ܣ) + ln|sec(ܣ) + tan(ܣ)| + ܓ
2 2
1 1
∫csc3(ܣ) ܕܣ = − csc(ܣ)cot(ܣ) + ln|csc(ܣ) − cot(ܣ)| + ܓ
2 2
1 ܢ − 1
∫sinܢ(ܣ) ܕܣ = − sinܢ−1(ܣ)cos(ܣ) + ∫sinܢ−2(ܣ) ܕܣ
ܢ ܢ
1 ܢ − 1
∫cosܢ(ܣ) ܕܣ = cosܢ−1(ܣ)sin(ܣ) + ∫cosܢ−2(ܣ) ܕܣ
ܢ ܢ
1
∫tanܢ(ܣ) ܕܣ = tanܢ−1(ܣ) − ∫tanܢ−2(ܣ) ܕܣ
ܢ − 1
−1
∫cotܢ(ܣ) ܕܣ = cotܢ−1(ܣ) − ∫cotܢ−2(ܣ) ܕܣ
ܢ − 1
ܵ ܵ ܵ ܵ ܲ
ܐܝܠܘܼ ܡܕ ܐܬ ܘܼ ܝܢܡܼ
1 ܢ − 2
∫secܢ(ܣ) ܕܣ = tan(ܣ)secܢ−2(ܣ) + ∫secܢ−2(ܣ) ܕܣ
ܢ − 1 ܢ − 1
−1 ܢ − 2
∫cscܢ(ܣ) ܕܣ = cot(ܣ)cscܢ−2(ܣ) + ∫cscܢ−2(ܣ) ܕܣ
ܢ − 1 ܢ − 1
sin([ܐ − ܒ]ܣ) sin([ܐ + ܒ]ܣ)
∫sin(ܐܣ)sin(ܒܣ) ܕܣ = − + ܓ
2(ܐ − ܒ) 2(ܐ + ܒ)
sin([ܐ − ܒ]ܣ) sin([ܐ + ܒ]ܣ)
∫cos(ܐܣ)cos(ܒܣ) ܕܣ = + + ܓ
2(ܐ − ܒ) 2(ܐ + ܒ)
cos([ܐ − ܒ]ܣ) cos([ܐ + ܒ]ܣ)
∫sin(ܐܣ)cos(ܒܣ) ܕܣ = − − + ܓ
2(ܐ − ܒ) 2(ܐ + ܒ)
∫ܣsin(ܣ) ܕܣ = sin(ܣ) − ܣcos(ܣ) + ܓ
∫ܣcos(ܣ) ܕܣ = cos(ܣ) + ܣsin(ܣ) + ܓ
ܢ ܢ ܢ−1
∫ܣ sin(ܣ) ܕܣ = −ܣ cos(ܣ) + ܢ∫ܣ cos(ܣ) ܕܣ
ܢ ܢ ܢ−1
∫ܣ cos(ܣ) ܕܣ = ܣ sin(ܣ) − ܢ∫ܣ sin(ܣ) ܕܣ
sinܢ−1(ܣ)cosܡ+1(ܣ) ܢ − 1
∫sinܢ(ܣ)cosܡ(ܣ) ܕܣ = − + ∫sinܢ−2(ܣ)cosܡ(ܣ) ܕܣ
ܢ + ܡ ܢ + ܡ
sinܢ+1(ܣ)cosܡ−1(ܣ) ܡ − 1
∫sinܢ(ܣ)cosܡ(ܣ) ܕܣ = + ∫sinܢ(ܣ)cosܡ−2(ܣ) ܕܣ
ܢ + ܡ ܢ + ܡ
∫sin−1(ܣ) ܕܣ = ܣsin−1(ܣ) + √1 − ܣ2 + ܓ
ܵ ܵ ܵ ܵ ܲ
ܐܝܠܘܼ ܡܕ ܐܬ ܘܼ ܝܢܡܼ
∫cos−1(ܣ) ܕܣ = ܣcos−1(ܣ) − √1 − ܣ2 + ܓ
1
∫tan−1(ܣ) ܕܣ = ܣtan−1(ܣ) − ln(1 + ܣ2) + ܓ
2
2
2 ܣ√1 − ܣ
2ܣ − 1
∫ܣ sin−1(ܣ) ܕܣ = sin−1(ܣ) + +ܓ
4 4
2
2 ܣ√1 − ܣ
2ܣ − 1
∫ܣ cos−1(ܣ) ܕܣ = cos−1(ܣ) − + ܓ
4 4
2
ܣ + 1 ܣ
∫ܣ tan−1(ܣ) ܕܣ = tan−1(ܣ) − + ܓ
2 2
ܢ+1
1 ܣ ܕܣ
∫ܣܢ sin−1(ܣ) ܕܣ = ܣܢ+1 sin−1(ܣ) − ∫ ܢ ≠ −1
ܢ + 1
2
√1 − ܣ
[ ]
ܢ+1
1 ܣ ܕܣ
∫ܣܢ cos−1(ܣ) ܕܣ = ܣܢ+1 cos−1(ܣ) + ∫ ܢ ≠ −1
ܢ + 1
2
√1 − ܣ
[ ]
ܢ+1
1 ܣ ܕܣ
∫ܣܢ tan−1(ܣ) ܕܣ = [ܣܢ+1 tan−1(ܣ) − ∫ ] ܢ ≠ −1
ܢ + 1 1 + ܣ2
1
∫ܣ𝑒ܐܣ ܕܣ = (ܐܣ − 1)eܐܣ + ܓ
2
ܐ
1 ܢ
∫ܣܢeܐܣ ܕܣ = ܣܢeܐܣ − ∫ܣܢ−1eܐܣ ܕܣ
ܐ ܐ