Calculs stochastique et de Malliavin appliqués aux modèles de taux d'intérêt engendrant des ...

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by  Caroline Pintoux

Calculs stochastique et de Malliavin appliqués aux
modèles de taux d’intérêt engendrant des formules
fermées
Caroline Pintoux
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Caroline Pintoux. Calculs stochastique et de Malliavin appliqués aux modèles de taux d’intérêt en-
gendrant des formules fermées. Mathématiques [math]. Université de Poitiers, 2010. Français. ￿NNT:
￿. ￿tel-00555727￿
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Université de Poitiers
Thèse
pour l’obtention du grade de Docteur de l’Université de Poitiers,
spécialité «Mathématiques et leurs intéractions»
préparée au Laboratoire de Mathématiques et Applications, UMR 6086
dans le cadre de l’École Doctorale Sciences de l’Ingénieur et
l’Information S2I
présentée et soutenue publiquement
le 10 Décembre 2010 par
Caroline Pintoux
Calculs stochastique et de Malliavin
appliqués aux modèles de taux
d’intérêt engendrant des formules
fermées
Directeurdethèse:MarcArnaudon
Directeurdethèse :NicolasPrivault
Thèsesoutenue devantlacommission d’examen
Jury
LarbiAlili ProfesseurdesUniversités,GBR-UniversitédeWarwick(Rapporteur)
MarcArnaudon ProfesseurdesUniversités,UniversitédePoitiers(Directeur)
ClémentDombry Maîtredeconférences,UniversitédePoitiers(Examinateur)
JulienMichel ProfesseurdesUniversités,UniversitédePoitiers(Examinateur)
NicolasPrivault ProfesseurdesUniversités,SIN-UniversitéNationaledeSingapour(Directeur)
ThomasSimon ProfesseurdesUniversités,UniversitédeLille1(Rapporteur)
AntonThalmaier ProfesseurdesUniversités,LUX-UniversitéduLuxembourg(Examinateur)

Remerciements
R
emercier chaleureusement les personnes qui m’ont soutenue ou au moins côtoyée
pendantces3années,3moiset7jours(précisément)estunexercicecompliqué,voire
périlleux . Mais le protocole étant ce qu’il est, je m’y plie de bonne grâce, en espérant
∗
occuper un moment les gens qui assistent à ma soutenance et qui s’y embêtent un peu.
J’apprécieque voussoyezvenus.
Je tiens d’abord à exprimer ma gratitude aux membres du jury, qui me font l’honneur
d’évaluer mon travail : merci à messieurs les professeurs Larbi Alili de Warwick et Tho-
masSimondeLilled’avoiracceptéd’êtrelesrapporteursdecettethèse.Leursremarques,
questions et suggestions m’ont permis d’apporter des améliorations à la qualité de ce
document.MerciégalementauxprofesseursJulienMicheldePoitiersetAntonThalmaier
de l’Université du Luxembourg, ainsi qu’à Clément Dombry de Poitiers pour avoir ac-
ceptéd’examinermonmémoireetdefairepartiedemonjurydethèse.
Marc Arnaudon et Nicolas Privault m’ont témoigné une grande confiance en acceptant
de diriger cette thèse. Marc, la sollicitude et le soutien que tu m’as témoignés en toutes
circonstances pendant ces 3 années (3 mois et 7 jours, encore) m’ont été précieux. En
m’incitant énergiquement à prendre des initiatives et des "risques", Nicolas Privault m’a
appris l’autonomie et a façonné mon profil de chercheuse, je lui en suis reconnaissante.
Malgrél’éloignement, sacontribution etsesconseils avisésont étéindispensablesaubon
déroulementdelathèse.
À PolVanhaecke, directeurdulaboratoirede MathématiquesetApplications dePoitiers,
je dois l’excellent accueil dont j’ai été gratifiée au sein de l’équipe. Mentions spéciales
aux fondamentaux Mustapha Raïs, Pierre Torasso, Patrice Tauvel, Abderrazak Bouaziz,
AlainMiranvilleetClaudeQuitté quine sont pasétrangersàmon entêtementmathéma-
tique, au même titre que M. Robert Louiset. Je tiens évidemment à remercier l’ensemble
des enseignants-chercheurs ainsi que Nathalie Mongin, Benoît Métrot et Brigitte Brault
pour leur gentillesse et leur efficacité lors des difficultés administratives ou logistiques
que j’ai pu rencontrer. Les documentalistes Jocelyne Attab et Nathalie Marlet sont aussi
charmantes que remarquables, elles m’ont sauvé la mise de nombreuses fois et ont fait
preuve d’une patience infinie envers ma médiocre gestion des retours d’ouvrages. Elles
sonttoujours raviesderecevoirdelavisite,passezdoncleurfairecoucouàl’occasion.
Des remerciements pour les copains thésards qui m’ont aidée, ou pas, au cours des 3
ans (3 mois et 7 jours...) de cette thèse : les aînés et docteurs Marie-Eve Modolo (encore
merci pour tes bons plansde 2006!), Guilhem Coq (sansqui cette thèse seraitsansdoute
toujoursen«étatdesortie1»sousKile),KoléhéCoulibaly(tafortepersonnalitémanque
ici), et également Armel, Idriss, Sami, Toufic et Khaoula. Je remercie aussi Mikaël, qui
n’est pas de la maison mais tout aussi docteur que ceux-là et un ami très cher qui m’a
souvent remonté le moral, avecsubtilité qui plus est. Delphine David, Anthony Reveillac
et Benjamin Laquerrière, en tant que demi-frères et soeur de thèse, vous êtes importants.
Une pensée pour les "cadets", dont la future réussite ne fait aucun doute : Paul, Wesam,
Gang, Houssam, Haïdi, Jules, Apollinaire, Florent, Le,Brice, Anouar, Batoul, Alice, Anis,
Daniel, Frédéric et Guilnard. Benjamin D. prépare également un doctorat, et sa grande
amitié lui octroie le privilège d’apparaître deux fois dans ces remerciements. Je termine
∗préséance,exhaustivité...:lesusagesm’échappent
iii
parlesdeuxcopinesdubureau0-29,dontlesoutiensansfailleestremarquable:Caroline,
ton organisation sans pli me sidère, je suis pas loin d’être jalouse, mais n’étant pas une
brute,jetesouhaitetoutelaréussitepossible.Hélène,enseptembre,çaferaunedécennie
qu’on se connaît, ce qui fait accessoirement de nous deux vieilles peaux. Du groupe
de khôlle à la thèse, en passant par le compagnonnage agrégatif, nous avons eu maintes
occasions de nous serrerles coudes, et je crois que ce n’est pasfini. Mercipour le pot les
filles, àchargederevanche.
Ilresteune bonne dosede gratitudeàdistribuer (avecfadeurdansleslignesqui suivent,
mais c’est surtout pour la postérité) aux amis-copains qui me sont infiniment précieux :
Cathy,ladétentricedurecorddelongévité (toutàsonhonneur),l’amiedetoujours;Ben-
jamin S., le plus officiel entre tous, et le plus barbu aussi; Marine l’unique, la fantaisiste
auriremagique; Ondine la fidèle (’ringsa bell?)etstimulante; Stéphanel’irremplaçable
ténor, toujours prêt à m’accorder l’asile politique; Double-M la fée, qui récemment a su
veillersurmoiquandj’enavaisbesoin,etl’airderienenplus;Cloél’abonnéeausaumon
et à la Belgique, aux calembours approximatifs que je préfère; Anabelle la voyageuse et
Anaëlle aux yeux azur, les benjamines mais non moins musiciennes; Raphaël, si l’assi-
duitéresteàaméliorer,turestespourtantleseul(l’humour aseslimites)maisnonmoins
respectable représentant du ministère de la Défense que je fréquente; Tata, je ne t’oublie
pas, ce serait vulgaire; et puis les trois mousquetaires Nico, Benjamin et Fabien, primor-
diaux, avec leurs moitiés non respectives Amandine et Ludmilla, sans qui la vie serait
moins drôle; et enfin le nécessaire et inestimable d’Artagnan, qui se reconnaîtra, la clef
devoûteessentielle(n’est-ilpasclasse,monpléonasme?).
Onaplussouventl’occasiondel’écrirequedeledire,maisçaresterare:jevoussaisgré
d’êtremesamis.
Quant aux copains musiciens, vous m’en voyez confuse, mais vous êtes trop nombreux
pour que je me risque à vexer vos sensibilités d’artistes en oubliant de vous citer indivi-
duellement; sans vous, ça feraitvide, sachez-le, mais je ne suis pas assez téméraire pour
risquer l’incidentdiplomatique.
Un gros, énorme merci à ma petite et inversement proportionnellement merveilleuse fa-
mille, que je ne changerais pour rien au monde. Les parents, c’est sans doute creux de
vous l’écrire, mais sans vous je ne serais pas là. C’est l’une des seules certitudes que j’ai,
tiens. Vous êtes de loin les plus méritants étant donné que vous me supportez depuis
avant la victoire de Yannick Noah à Roland Garros, c’est dire. Je concluerai en dédiant
cettethèseàPinllau.
Poitiers, le10décembre2010.
iv
v
Table des matières
Table des matières vi
1 Introduction 1
1.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Enjeuxetmotivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Objectifsetprésentationgénérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Fonctionnellesexponentiellesdumouvementbrownien . . . . . . . . 4
1.3 Fonctionnellespériodiquesdumouvementbrownien . . . . . . . . . . 12
1.4 CalculdesensibilitésvialecalculdeMalliavin . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1 Calculdesensibilités:leB.A.-BA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.2 CalculdeMalliavinpourdesdiffusionsàgénérateurinfinitésimalhypoelliptique 19
2 Le modèle de Dothan revisité 27
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 TheDothanPDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 PDEsolutionusingBesselfunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 PDEsolutionusingtheGammafunction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 Appendix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3 Fonctionnelles exponentielles du mouvement brownien 47
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2 Mainresultanditsconsequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 IntegralrepresentationsandBesselfunctions . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4 Appendix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4 Fonctionnelles périodiques du mouvement brownien 63
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Mathieufunctionsandspectraldecomposition . . . . . . . . . . . . . 67
4.3 Solutionstothetime-dependentMathieu’sequations. . . . . . . . . . 70
4.4 Bondpricingwithperiodicrates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.5 Periodicpotentialsintime-dependentSchrödingerequations . . . . 74
4.6 Appendice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.6.1 GénéralitéssurlesgroupesdeLie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.6.2 Tauxd’intérêtsurlecercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.6.3 TentativedegénéralisationàSO(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.6.4 Tauxd’intérêtsurSL(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5 Calcul de sensibilités via le calcul de Malliavin 85
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2 Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.3 Financialapplications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3.1 AparticularhypoellipticdiffusionforAsianoptions . . . . . . . . . . . . 89
5.3.2 Langevinprocess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.3.3 GeometricBrownianmotionandBlack-Scholesmodel . . . . . . . . . . . 95
5.3.4 Vasicekinterestratemodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.4 Appendix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
vi
Perspectives 113
Liste des figures 114
Notations 115
Bibliographie 117
vii

1
Introduction
Sommaire
1.1 Contexte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Enjeuxetmotivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Objectifsetprésentationgénérale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Fonctionnellesexponentiellesdumouvementbrownien . . . . . . . . . 4
1.3 Fonctionnellespériodiquesdumouvementbrownien . . . . . . . . . . . . 12
1.4 CalculdesensibilitésvialecalculdeMalliavin . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.1 Calculdesensibilités:leB.A.-BA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.2 CalculdeMalliavinpourdesdiffusionsàgénérateurinfinitésimalhypoelliptique 19
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